《空間向量與立體幾何》核心素養梳理復習課件

北師大版同步教材精品課件《空間向量與立體幾何》核心素養梳理知識網絡建構如果向量a,b,c是空間三個不共面的向量,p是空間任意一個向量,那么存在唯一的三元有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc知識網絡建構l∥m或l與m重合l∥m或或與重合l⊥ml⊥m知識網絡建構若點P是直線l外一點,是直線l的單位方向向量,點A是直線l上任意一點,則點P到直線l的距離為點P到平面α的距離,等于點P與平面α內任意一點A連線所得向量,在平面α的單位法向量方向上所作投影向量的長度,即知識網絡建構核心素養梳理數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.數學建模過程主要包括:在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題.邏輯推理是指從一些事實和命題出發,依據規則推出其他命題的素養.主要表現為:掌握推理基本形式和規則,發現問題和提出命題,探索和表述論證過程,理解命題體系,有邏輯地表達與交流.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數學問題的素養.主要包括:借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系,構建數學問題的直觀模型,探索解決問題的思路.數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果等.本章內容涉及數學建模、邏輯推理、直觀想象和數學運算核心素養的地方較多,比如下面這幾道例題,在第一問中證明線面垂直、線線垂直或面面垂直考查了邏輯推理核心素養;在第二問中求線面角、面面角的正弦值等,綜合考查了數學建模、直觀想象和數學運算等核心素養.核心素養梳理例1如圖,在三棱錐P-ABC中,(1)求證:PO⊥平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且二面角M-PA-C的平面角為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.解析(1)利用等腰三角形的性質可知OP⊥AC,.連接OB,同理可證OB⊥AC,,進而根據三邊關系可知PO⊥OB.利用線面垂直判定定理可得PO⊥平面ABC.,解方程即可求出平面PAM的法向量,(2)建系,轉化為兩平面法向量夾角的余弦值絕對值為進而利用數量積求解.核心素養梳理答案(1)因為AP=CP=AC=4,O為AC的中點,所以OP⊥AC,且.連接OB,因為,所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,.由知PO⊥OB,由OP⊥OB,OP⊥AC,AC∩OB=0,知PO⊥平面ABC.(2)如圖,以O為坐標原點,以OB,OC,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.

,取平面PAC的一個法向量=(2,0,0).設,則=(a,4-a,0).設平面PAM的法向量為n=(x,y,z).由,得可取

核心素養梳理,所以.由已知得,所以,解得a=-4(舍去),.所以.又,所以.以PC與平面PAM所成角的正弦值為.核心素養梳理例2在如圖所示的多面體中,四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠ABD=(1)求證:平面BDEF⊥平面ADE;(2)若ED=BD,求直線AF與平面AEC所成角的正弦值.,AB=2AD.解析(1)利用余弦定理可得,根據可知BD⊥AD.利用線面垂直、化簡計算即可.面面垂直判定定理即可證明結論(2)由(1)可以點D為坐標原點,建立空間直角坐標系,求出平面AEC的一個法向量n,利用核心素養梳理答案(1)在△ABD中,∠ABD=,AB=2AD,由余弦定理,得,從而,所以△ABD為直角三角形且∠ADB=90°,故BD⊥AD.因為DE⊥平面ABCD,所以DE⊥BD.又AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADE.因為平面BDEF,所以平面BDEF⊥平面平面ABCD,ADE.(2)由(1)可得,在Rt△ABD中,,,又由ED=BD,設AD=1,則.因為DE⊥平面ABCD,BD⊥AD,所以可以點D為坐標原點,DA,DB,DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.核心素養梳理則A(1,0,0),C(-1,,0),E(0,0,),F(0,,).所以=(-1,0,),=(-2,,0).設平面AEC的法即令z=1,得為平面AEC的一個法向量.因為=(-1,,),所以,所以直線AF與平面AEC所成角的正弦值為.向量為n=(x,y,z),則核心素養梳理例3如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF.(1)求證:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.解析(1)利用線面垂直判定定理證明BF⊥平面PEF,進而可證平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF,垂足為H.以H為坐標原點,建系,轉化為求直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題.核心素養梳理答案(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,EF∩PF=F,所以BF⊥平面PEF.又(2)作PH⊥EF,垂足為H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H為坐標原點,的方向為y軸正方向,為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系.平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得.是則H(0,0,0),,為平面ABFD的一個法向量.設DP與,則所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.平面ABFD所成的角為.核心素養梳理例4

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥側面ABB1A1,且AA1=AB=2.(1)求證:AB⊥BC;(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為,請問在線段A1C上是否存在點E,使得二面角A-BE-C？請說明理由.的平面角為解析(1)利用等腰三角形三線合一可知AD⊥A1B,再結合面面垂直的性質定理可知AD⊥BC.根據AA1⊥BC及線面垂直判定定理可知BC⊥側面ABB1A1,進而得證結論.(2)假設存在適合條件的點E,建系,設,問題轉化為兩個平面的法向量的夾角的余弦值的絕對值等于是否有解的問題,化簡計算即得結論.核心素養梳理答案(1)連接AB1交A1B于點D,則D為A1B的中點,因為AA1=AB,所以AD⊥A1B.又平面A1BC⊥側面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,所以AD⊥平面A1BC,又平面A1BC,所以AD⊥BC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AD=A,所以BC⊥側面ABB1A1,所以BC⊥AB.(2)由(1)得AD⊥平面A1BC,所以∠ACD是直線AC與平面A1BC所成的角,即.又,AB=2,所以,BC=2.假設存在適合條件的點E,以A為坐標原點,平面ABC內過點A的AC的垂線為x軸,AC所在直線為y軸,AA1