所有初中、高中數學公式

初中數學全部重點公式

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|-|a|<a<|a|

一元二次方程的解-b+d(b2-4ac)/2a-b-V(b2-4ac)/2a

根與系數的關系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韋達定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個相等的實根

b2-4ac>0注：方程有兩個不等的實根

b2-4ac<0注：方程沒有實根，有共枕復數根

三角函數公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=比(1-cosA)/2)sin(A/2)=?((1-cosA)/2)

COS(A/2)=A/((1+COSA)/2)COS(A/2)=-A/((1+COSA)/2)

tan(A/2)=4((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-^((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-^((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+...+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+...n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標準方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側面積S=c*h斜棱柱側面積S=c'*h

正棱錐側面積S=1/2c*h'正棱臺側面積S=1/2(c+c')h'

圓臺側面積S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2

圓柱側面積S=c*h=2pi*h圓錐側面積S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數r>0扇形面積公式s=1/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=S'L注：其中S是直截面面積，L是側棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內錯角相等，兩直線平行

11同旁內角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內錯角相等

14兩直線平行，同旁內角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

21全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有?個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30。那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱

軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直

線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即"2+鏟2=82

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系aA2+b"2=cA2,那么這個三角

形是直角三角形

48定理四邊形的內角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于(n-2)X180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即$=(axb)+2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組

對角

71定理1關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經過某?點，并且被這一

點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱

74等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段

相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第

三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它

的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的

一半L=(a+b)+2S=Lxh

83(1)比例的基本性質如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質如果a/b=c/d,那么(a土b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質如果a/b=c/d=...=m/n(b+d+...+nH0),那么

（a+c+...+m）/（b+d+...+n）=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應

線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這

條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形

三邊對應成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與

原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三

角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平

分線的比都等于相似比

97性質定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等

于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半

徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直

平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距

離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的--條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90。的圓周角所

對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它

的內對角

121①直線L和。。相交d<r

②直線L和。。相切d=r

③直線L和。。相離d>r

122切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑

124推論1經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

125推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積

相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割

線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這--點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相

等

134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內切d=R-r(R>r)⑤兩圓內含d〈R-r(R>r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n23):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內角都等于(n-2)xi80°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積43a/4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為

360°,因此kx(n-2)18(T/n=360。化為(n-2)(k-2)=4

144弧長計算公式：L=n兀R/180

145扇形面積公式：S扇形=n兀R"2/360=LR/2

146內公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

1、同旁內角互補，兩直線平行

2、兩直線平行，同位角相等

3、兩直線平行，內錯角相等

4、兩直線平行，同旁內角互補

5、定理三角形兩邊的和大于第三邊

6、推論三角形兩邊的差小于第三邊

7、三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°

8、推論1直角三角形的兩個銳角互余

9、推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

10、推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

11、全等三角形的對應邊、對應角相等

12、邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

13、角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

14、推論(AAS)有兩角和其中?角的對邊對應相等的兩個三角形全等

15、邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

16、斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和?條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

17、定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

18、定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

19、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

20、等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

21、推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

22、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

23、推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

24、等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相

等(等角對等邊)

25、推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

26、推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

27、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

28、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

29、定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

30、逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

31、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

32、定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

33、定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

34、定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在

對稱軸上

35、逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這

條直線對稱

36、勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a~2+b-2=>2

37、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a~2+b-2=c”2,那么這個三

角形是直角三角形

38、定理四邊形的內角和等于360°

39、四邊形的外角和等于360°

40、多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于(n-2)X180°

41、推論任意多邊的外角和等于360°

42、平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角相等

43、平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

44、推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

45、平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

46、平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

47、平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

48、平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

49、平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

50、圓是定點的距離等于定長的點的集合

51、圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

52、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

53、同圓或等圓的半徑相等

54、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

55、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

56、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

57、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

58、定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

59、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

60推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

61、推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

62、3圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

63、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦

心距相等

64、推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組

量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

65、定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

66、推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相

等

67、推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑

68、推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

69、定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角

70、①直線L和。0相交d

②直線L和。0相切d=r

③直線L和。0相離d>r

71、切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

72、切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑

73、推論1經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

74、推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

75、切線長定理從圓外?點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線

平分兩條切線的夾角

76、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

77、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

78、推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

79、相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

80、推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

81、切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線

段長的比例中項

82、推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積

相等

83、如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

84、定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

85、定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

高中數學常用公式及結論

1元素與集合的關系:xexiCb,A,xeCb,A=xeZ.00A<^>A^0

2集合｛《,%，…，4｝的子集個數共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個；非空

的真子集有2"-2個.

3二次函數的解析式的三種形式:

(1)一f(x)=ax2+bx+c(a0);

(2)頂點式/(x)="(x-?2+A(aw0);(當已知拋物線的頂點坐標仇外時，設為此式)

(3)零點式/(x)=a(x-M)(X-X2)9W0)；(當已知拋物線與x軸的交點坐標為

(再,0),(%,0)時,設為此式)

(4)切線式：/(x)=4(x-x())2+(Ax+d),(awO)。(當已知拋物線與直線y=Ax+d相切且

切點的橫坐標為x。時，設為此式)

4真值表：同真且真，同假或假

5常見結論的否定形式;

原結論反設詞原結論反設詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有(/7-1)個

小于不小于至多有〃個至少有(〃+1)個

對所有X,成立存在某X,不成立p或g—ip且—\C[

對任何X,不成存在某X,成立。且4r7或f

立

6四種命題的相互關系(下圖)：(原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.)

充要條件：(1)、pnq則P是q的充分條件，反之，q是P的必要條件;

(2)、pnq,且qW>p,則P是q的充分不必要條件;

(3)、pW>p,且q=>p,則P是q的必要不充分條件;

4、pW>p,且qW>p,則P是q的既不充分又不必要條件。

7函數單調性：

增函數：(1)、文字描述是：y隨x的增大而增大。

(2)、數學符號表述是：設f(x)在x《D上有定義，若對任意的不々e。，且^<馬,

都有

/區(qū))</(4)成立，則就叫f(x)在x《D上是增函數。D則就是f(x)的遞增

區(qū)間。

減函數：(1)、文字描述是：y隨x的增大而減小。

(2)、數學符號表述是：設f(x)在xWD上有定義，若對任意的知々e。，且須</,

都有

/區(qū))>/(々)成立，則就叫f(x)在xeD上是減函數。D則就是f(x)的遞減

區(qū)間。

單調性性質：(1)、增函數+增函數=增函數；(2)、減函數+減函數=減函數；

(3)、增函數-減函數=增函數；(4)、減函數-增函數=減函數；

注：上述結果中的函數的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數定義域的交集。

復合函數的單調性：

數單調性

單調

內層函數tfI

外層函數tIf

復合函數ttII

等價關系:

(1)設為,工2￡[白力],玉w4那么

(Xj-X2)[f\x})-/(x9)1>0<=>)一/3)>0=/*)在上是增函數；

Xj—x2

(X|72)[/a)_/(%2)]<0=/㈤/。2)<0=/(x)在上是減函數.

x{-x2

(2)設函數y=/(x)在某個區(qū)間內可導，如果八x)〉0,則/(x)為增函數；如果八x)<0,

則/(x)為減函數.

8函數的奇偶性：(注：是奇偶函數的前提條件是：定義域必須關于原點對稱)

奇函數：

定義：在前提條件下，若有/(-x)=-/(x)或/'(-x)+/(x)=0,

則f(x)就是奇函數。

性質：(1)、奇函數的圖象關于原點對稱；

(2)、奇函數在x>0和x<0上具有相同的單調區(qū)間；

(3)、定義在R上的奇函數，有f(0)=0.

偶函數：

定義：在前提條件下，若有/(-x)=/(x),則f(x)就是偶函數。

性質：(1)、偶函數的圖象關于y軸對稱；

(2)、偶函數在x>0和x<0上具有相反的單調區(qū)間；

奇偶函數間的關系：

(1)、奇函數?偶函數=奇函數；(2)、奇函數?奇函數=偶函數；

(3)、偶奇函數?偶函數=偶函數；(4)、奇函數土奇函數=奇函數(也有例外得偶函數的)

(5)、偶函數士偶函數=偶函數；(6)、奇函數土偶函數=非奇非偶函數

奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖象關

于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是

偶函數.

9函數的周期性：

定義：對函數f(x),若存在TwO,使得f(x+T)=f(x),則就叫f(x)是周期函數，其中，

T是f(x)的一個周期。

周期函數幾種常見的表述形式：

(1)、f(x+T)=-f(x),此時周期為2T；

(2)、f(x+m)=f(x+n),此時周期為2何-〃|；

⑶、/(%+??)=,此時周期為2mo

./U)

11對于函數、=/(x)(xe7?),/(x+a)=/(b-x)恒成立,則函數/(x)的對稱軸是x=

兩個函數y=/(x+a)與y=/(A-X)的圖象關于直線x=寧對稱?

12分數指數塞與根式的性質：

n,n

(1)a=\a(Q〉0,加,〃￡N*，且〃〉1).

-11

(2)an=——=.—(a>0,m,HeN*,且〃>1).

/海

(3)曲)"=a.

(4)當〃為奇數時，V7=?；當〃為偶數時，V7=iai=f,fl-°.

-a,a<0

13指數式與對數式的互化式：log“N=bo/=Ng〉0,"l,N>0).

指數性質：

⑴1、a-p=—；⑵、a°=l(awO)；⑶、

ap

⑷、“=優(yōu)+'(4>0/,5€0);⑸、京=叱;

指數函數：

(1)、y=a'(a>1)在定義域內是單調遞增函數；

(2)、歹=優(yōu)(0<。<1)在定義域內是單調遞減函數。注：指數函數圖象都恒過點(0,

1)

對數性質：

(1)、logaM+logaN=loga(MN)；(2)、log?Af-loga7V=loga^-；

yi

⑶、log/"=相Jog〃6；(4)>logb"=--log/>；(5)>log?1=0

"m0

sh

(6)、logua=1；(7)、a'°"=b

對數函數：

(1)、y=log.x(a>l)在定義域內是單調遞增函數；

(2)、y=log“x(0<a<l)在定義域內是單調遞減函數；注：對數函數圖象都恒過點

(1,0)

(3)、log“x〉0=a,xe(0,1)或a,xe(1,+oo)

(4)>1080%<0=4€(0,1)則X€(1,+8)或ae(l,+oo)則xe(0,1)

14對數的換底公式：log“N=3583>0,且awl,加>0,且加Yl,N〉0).

log,”a

對數恒等式：a*''=N(a〉0,且awl,N>0).

推論log6"='log“63>0,且"1,TV>0).

am

15對數的四則運算法則:若a>0,aWLM>0,N>0,則

⑴log“(MV)=log〃A/+log“N;(2)log?=log?M-logN;

Nu

(3)log?M"=nlogM[ne7?);(4)logN"=—logN{n,meR)0

ama

16平均增長率的問題(負增長時p<0)：

如果原來產值的基礎數為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產值y,有

y=N(1+Py.

17等差數列：

通項公式：(1)an=ai+(n-l)d,其中％為首項，d為公差，n為項數，a“為末項。

(2)推廣：an=ak+(n-k)d

(3)an=Sn-Sn_^>2)(注：該公式對任意數列都適用)

前n項和：（1）S,,=呻;、）；其中q為首項，n為項數，%為末項。

（2）S=na.H----------a

"12

（3）S“=S,i+%（〃22）（注：該公式對任意數列都適用）

（4）S,,=.+4+???+%（注：該公式對任意數列都適用）

常用性質：（1）^若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq；

注：若a,“是。”,力,的等差中項，則有2q“=q,+%,on、m、p成等差。

（2）、若｛q｝、｛瓦｝為等差數列，則｛勺±4｝為等差數歹人

（3）、｛%｝為等差數列，S“為其前n項和，則S,“,S2”-鼠,53?,-52,“也成等差數歹U。

（4）、%=%<=P，則%』=。：

（5）1+2+3+…+n=----------

2

等比數列：

通項公式：⑴q=a聞〃T="./（〃eN*）,其中q為首項，n為項數，q為公比。

q

nk

（2）推廣:an=ak-q-

（3）a“=S“-S"〃22）（注：該公式對任意數列都適用）

前n項和：（1）S“=S“T+4（〃N2）（注：該公式對任意數列都適用）

（2）Sn=ay+a2-\---an（注：該公式對任意數列都適用）

（q=D

（3）S“=<4（l-q"）

（qwi）

.i—q

常用性質：（1）、若m+n=p+q,則有am-an=ap-aq；

注：若a,“是a”,4的等比中項，則有a,J=a“?％,=!!、m、p成等比。

（2）、若｛凡｝、他,｝為等比數列，則｛為也｝為等比數列。

18分期付款（按揭貸款）：每次還款.猊罟元（貸款”元，〃次還清,每期利率為外

19三角不等式:

(1)若xe(0,—),貝！Jsinx<x<tanx.

2

⑵若x€(0,—),貝(J1<sinx+cosx4

2

(3)IsinxI+1cosxl>1.

20同角三角函數的基本關系式：sin2^+cos2^=l,tan^=—,

COS。

21正弦、余弦的誘導公式(奇變偶不變，符號看象限)

22和角與差角公式

sin(a±')=sinacos1土cosasin0;cos(a±0)=cosacos,干sinasin(3;

/,小tan(7±tan/?

tan(a±/3)=-------------.

1+tancrtanp

asina+bcosa=yja2-\-b2sin(cr+°)

（輔助角0所在象限由點g,6）的象限決定，tane=2）.

a

23二倍角公式及降幕公式

.八.2tan。

sin2a=sinacosa=------------

1+taira

1-tan2a

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\=l-2sin2a

1+tan2a

2tanasin2a1-cos2a

tan2atana=-------------=-----------

1-tan2a1+cos2asin2a

1-cos2a21+cos2a

sin2a------------,cos-a

22

24三角函數的周期公式

函數y=sin（ox+°）,xWR及函數y=cos（Gx+°）,x￡R（A,3,°為常數，且AWO）的周

T=—-函數卜=tan（ox+°）,xw左左+工次cZ（A,3,°為常數，且AWO）的周期

\co\2

…7C

T=—?

\a）\

三角函數的圖像：

25

?(7=27?sin=27?sin5,c=27?sinC=Q:6:c=sin/:sinB:sinC

26余弦定理：

a2=/?2+(?-2bccosA;Z?2=c2+(72-2C6FCOSB\c2=a2+b2-2ahcosC.

27面積定理：

(1)S=-ah=-bh=-ch(%、瓦、4分別表示a、b、c邊上的高).

2a2h2c

(2)S--absinC--bcsinA--easinB.

222

22

(3)SWAB=|yl(\OA\-\OB\)-(OAOB).

2sA__a+6一,斜邊

內切圓-q+.+.，角A內切圓一2

28三角形內角和定理：

在△ABC中，有Z+8+C=〃=C=7一(/+8)

C7tA+B-c-?，八、

o-=------------o2c—27—2（A+B）.

222

29實數與向量的積的運算律:設入、口為實數，那么:

（1）結合律：入（u））=（入口）a;

⑵第一分配律：（入+口）5=Xa+V.a

（3）第二分配律：入（方+石）=入5+入石.

305與5的數量積（或內積）：a?b=\a\\bIcos^o

31平面向量的坐標運算：

⑴設石=(再,乂),b=(x2,y2),則-+3=(X1+工2，/+力)?

⑵設,=(卬乂),b=(x2,y2),則d-B=(X|-/,必一丁2).

(3)設A(X]/]),B(x2,y2),貝(J/8=05—0/=02—七,必一,).

(4)設)=(x,y)"eR,a=(Ax,Ay).

(5)設5=a，乂)，石=。2，/)，則萬?b=(xix2+yly2).

32兩向量的夾角公式：

cos°=I：A=-f==^==7(a=(x,,^),b=(x,y)).

lal/blQx；+y；.g+齊22

33平面兩點間的距離公式：

22

dAB=\AB1=不ABAB=7(x2-x,)+(y2-j^,)(A(七,凹)，B(x2,y2)).

34向量的平行與垂直：設刁=a，乂），B=（X2，%），且BHO,貝！J：

a\\bba0x以一々乂=0.（交叉相乘差為零）

alb（方w0）o方?B=0OX/2+NM=0?（對應相乘和為零）

35線段的定比分公式：設[（%,乂），鳥（乙，%），P（xj）是線段片鳥的分點，4是實數，且

_X]+相

9=幾而，則“-1+，o加口+伙

-」=.+儀]+丸

———1

?OP=tOP+(\-t)OP(t=——).

l21+A

36三角形的重心坐標公式：^ABC三個頂點的坐標分別為A(XI,y)、B(x2)y2).C(x3)y3),

則AABC的重心的坐標是G（哈旦,—A）.

37三角形五“心”向量形式的充要條件：

設。為A48C所在平面上一點，角4凡。所對邊長分別為",Ac,則

.—.2-■—12

(1)。為A/L5C的夕卜心=。8-=。。一.

(2)。為M8C的重心=宓+礪+夠=0.

(3)。為ZU8C的垂心oa?礪=礪?玩=定京.

(4)。為ZU8C的內心o4而+6礪+03=0.

(5)。為A46。的NN的旁心oa刀=8礪+c0d.

38常用不等式：

(1)a,beR=>a2+b2>2ab(當且僅當a=b時取"=”號).

(2)“,6€/?+=>土吆29(當且僅當2=1)時取“=”號).

2

(3)/+b'+c3>3abc(a〉0,6〉0,c>0).

(4)|a|-\b\<|a+Z>|<\a\+|Z>|.

(5)—<V^<—(當且僅當a=b時取"=”號)。

a+b2\2

39極值定理：已知xj都是正數，則有

(1)若積犯是定值〃，則當x=y時和x+y有最小值2折；

(2)若和x+y是定值s,則當x=y時積個有最大值Ll.

(3)已知。也X/ER'若"+”=1則有

—+—=(ax+勿)(』+—)=(7+Z?+—+—>t74-/)4-2\[ah=(\Ja+VK)2。

xyxyxy

(4)已知o,Z?,x,ysR',若@+2=i則有

xy

x+y=(x+y)(—+—)=<7+Z)+—+—>67+6+2y[ab=(>/a+\fb)2

xyxy

2

40一元二次不等式of+bx+c>()(或<0)(Q。〃-4ac>0),如果Q與ax+6x+c同號,

則其解集在兩根之外；如果。與辦2+版+。異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號

兩根之外，異號兩根之間.即：

X,<X<X2<=>(X-X1)(X-X2)<0(x,<x2)；

X<Xj,或X>x2<=>(X-Xj)(x-x2)>O(X]<x2).

41含有絕對值的不等式：當a>0時，有

|x|<6r<z>x2<a2<=>-a<x<a,

\x\>a<^>x2>a2ox>ax<-a.

42斜率公式：

k="2K(片(芯,弘)、鳥(%2，%)).

x2-X]

43直線的五種方程：

(1)點斜式y-y=%(x-須)(直線/過點乂)，且斜率為左).

(2)斜截式y=云+b(b為直線/在y軸上的截距).

（3）兩點式一力=X-々,（乂一丁2）（片（國，乂）、已（工2，72）（再。工2，凹”2））?

/一乂々_玉

兩點式的推廣：。2-玉）（二乂）-（丁2-M）（x-Xi）=O（無任何限制條件！）

(4)截距式2+上=1(以6分別為直線的橫、縱截距，。工0、6中0)

ab

(5)一般式Zx+與+C=O(其中A、B不同時為0).

直線4x+8y+C=0的法向量：/=(48),方向向量：l=(B,-A)

44夾角公式：

k-k

⑴tana=l2'I.(乙：y=左盧+々，l\y=kx+b,kk,0一1)

14-k2kl222

(2)tana=1筆廠第1.(/,：4+電+。=0/:A.x+B.y+Q=0,44+0)?

442+gB2

直線時，直線6與，2的夾角是1.

454到，2的角公式：

k-k

(l)tana?=-2'-.(/,+,l:ykx+b,kkN-l)

1IK,KI222t2

(2)tana=4^~~A^x+B^y+C]=0,/2:^x+5,^+C2=+?5*()).

22

AXA2+BtB2''

直線4，/,時，直線A到，2的角是毛.

2

點到直線的距離：d="x+段。+。(點p(x。,比),直線/：Ax+By+C=O).

y/A2+B2

47圓的四種方程:

(1)圓的標準方程(x-<7)2+(y-6)2=r~.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(Z)2+￡2-4F>0).

x=<7+rcos^

(3)圓的參數方程

y=h-^-rsin3

(4)圓的直徑式方程。-刈（》-受）+8-冊）。-%）=0（圓的直徑的端點是4西,加）、氏毛送））.

48點與圓的位置關系：點PG。/。）與圓（x-a）2+O-6）2=/的位置關系有三種：

22

若d=yl（a-xQ）+（b-yQ）,貝（Jd>r0點尸在圓外；

d=r=點P在圓上；d<r=點尸在圓內.

49直線與圓的位置關系：直線小+a+C=0與圓（x-a）2+3-6）2=廠2的位置關系有三種

（公叫+劭+%：

J/2+B,

d>r=相離=A<0;d=r=相切<=>A=0；t/<r<=>相交=△>（）.

50兩圓位置關系的判定方法:設兩圓圓心分別為6,O2,半徑分別為n,r2,\OtO2\=d,貝！J：

d>4+々0外離o4條公切線；

d=八+々=外切o3條公切線；

,一々|<"<八+々o相交o2條公切線；內含型相交型相離

9-------------?------------9-------------A

0-*——d—?年-"**~d-?”+「2'**-dd

d=Mi-&|=內切=1條公切線；

0cd<K1一々|=內含o無公切線.

51橢圓￡+==1(。”>0)的參數方程是F=：°s,.離心率還,

a"b"[y=psin^a\a"

準線到中心的距離為二，焦點到對應準線的距離(焦準距)p=t°

CC

過焦點且垂直于長軸的弦叫通經，其長度為：2歐.

a

52橢圓7V=l(a>6>0)焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構成三角形的面積:

\PFX|=e(x+—)=a+ex,\PF21=e(--x)=a-exiS.產、=cI%1=62tan公'昔-。

53橢圓的的內外部：

2

(1)點。(.%,%)在橢圓[+/=1(“〉6>0)的內部。/+%

F<

2

222%

(2)點Pa。,為)在橢圓，?+方=13〉6〉0)的外部