中考數學復習講座

2013年中考數學專題講座一：選擇題解題方法

一、中考專題詮釋

選擇題是各地中考必考題型之一，2012年各地命題設置上，選擇題的數目穩定在8~14

題，這說明選擇題有它不可替代的重要性.

選擇題具有題目小巧，答案簡明；適應性強，解法靈活；概念性強、知識覆蓋面寬等特

征，它有利于考核學生的基礎知識，有利于強化分析判斷能力和解決實際問題的能力的培養.

二、解題策略與解法精講

選擇題解題的基本原則是：充分利用選擇題的特點，小題小做，小題巧做，切忌小題大做.

解選擇題的基本思想是既要看到各類常規題的解題思想，但更應看到選擇題的特殊性，數

學選擇題的四個選擇支中有且僅有一個是正確的，又不要求寫出解題過程.因而，在解答時應

該突出一個“選,，字，盡量減少書寫解題過程，要充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息，依

據題目的具體特點，靈活、巧妙、快速地選擇解法，以便快速智取，這是解選擇題的基本策

略.具體求解時，一是從題干出發考慮，探求結果；二是題干和選擇支聯合考慮或從選擇支出

發探求是否滿足題干條件.事實上，后者在解答選擇題時更常用、更有效.

三、中考典例剖析

考點一：直接法

從題設條件出發，通過正確的運算、推理或判斷，直接得出結論再與選擇支對照，從而

作出選擇的一種方法。運用此種方法解題需要扎實的數學基礎.

例1（2012?白銀）方程x二l=o的解是（）

A.x=±lB.x=1C.x=-1D.x=0

思路分析：觀察可得最簡公分母是（X+1）,方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化

為整式方程求解.

解：方程的兩邊同乘（X+1）,得

x2-1=0,

即（x+1）（x-1）=0,

解得:X|=-1,X2=l.

檢驗：把x=-1代入（x+1）=0,即x=-1不是原分式方程的解；

把x=l代入（x+1）=2w0,即x=1是原分式方程的解.

則原方程的解為：x=l.

故選B.

點評：此題考查了分式方程的求解方法.此題難度不大，注意掌握轉化思想的應用，注意

解分式方程一定要驗根.

對應訓練

1.（2012?南寧）某單位要組織一次籃球聯賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），計

劃安排10場比賽，則參加比賽的球隊應有（）

A.7隊B.6隊C.5隊D.4隊

考點二：特例法

運用滿足題設條件的某些特殊數值、特殊位置、特殊關系、特殊圖形、特殊數列、特殊

函數等對各選擇支進行檢驗或推理，利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也

不真的原理，由此判明選項真偽的方法。用特例法解選擇題時，特例取得愈簡單、愈特殊愈

好.

例2（2012?常州）已知a、b、c、d都是正實數，且，給出下列四個不等式:①」一〈上-

bda+bc+d

②,<一匕；③一4一<一也；④一、<一色一。其中不等式正確的是（）

c+da+bc+da+ba+hc+d

A.①③B.①④C.②④D.②③

思路分析：由已知a、b、c、d都是正實數，且取a=l,b=3,c=l,d=2,代入所求四

bd

個式子即可求解。

解：由已知a、b、c、d都是正實數，且取a=l,b=3,c=l,d=2,則

bd

47_1_1C11所以，一<一￡一，故①正確；

a+b1+34'c+d1+23'a+bc+d

d22b33db

所以——<——，故③正確。

c+d1+23a+b1+34c+da+b

故選Ao

點評：本題考查了不等式的性質，用特殊值法來解，更為簡單.

對應訓練

2.（2012?南充）如圖，平面直角坐標系中，。。的半徑長為1,點P（a,0）,0P的半徑長

為2,把。P向左平移，當。P與。O相切時，a的值為（）

A.3B.1C.1,3D.±1,+3

考點三：篩選法（也叫排除法、淘汰法）

分運用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個正確選擇支這一信息，從選擇支入手，

根據題設條件與各選擇支的關系，通過分析、推理、計算、判斷，對選擇支進行篩選，將其

中與題設相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結論的方法。使用篩選法的前提是“答案唯

一”，即四個選項中有且只有一個答案正確.

例3（2。⑵東營）方程有兩個實數根’則k的取值范圍是（）

A.k>lB.k<lC.k>lD.k<l

思路分析：原方程有兩個實數根，故為二次方程，二次項系數不能為0,可排除A、B；又因

為被開方數非負，可排除C。故選D.

解：方程（》1伙2-，^*+,=0有兩個實數根，故為二次方程，二次項系數左一1二0,左H1,

可排除A、B；又因為1一攵厘0,攵1,可排除C。

故選D.

點評：此題考查了一元二次方程根的判別式與解的情況，用排除法較為簡單.

對應訓練

3.（2012?臨沂）如圖，若點M是x軸正半軸上任意一點，過點M作PQ〃y軸，分別交函數

kk

y=」（x>0）和y=」（x>0）的圖象于點P和Q,連接OP和OQ.則下列結論正確的是（）

XX

A./POQ不可能等于90。

C.這兩個函數的圖象一定關于x軸對稱

D.Z^POQ的面積是!（|ki|+|k2|）

2

考點四：逆推代入法

將選擇支中給出的答案或其特殊值，代入題干逐一去驗證是否滿足題設條件，然后選擇

符合題設條件的選擇支的一種方法.在運用驗證法解題時，若能據題意確定代入順序，則能較

大提高解題速度.

例4（2012?貴港）下列各點中在反比例函數y=9的圖象上的是（）

X

A.（-2,-3）B.（-3,2）C.（3,-2）D.（6,-1）

思路分析：根據反比例函數y=9中xy=6對各選項進行逐一判斷即可.

x

解：A、：（-2）x（-3）=6,.?.此點在反比例函數的圖象上，故本選項正確；

B,V（-3）、2=-6優，，此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；

C、；3x（-2）=-6粕，此點不在反比例函數的圖象上,故本選項錯誤;

D.V6x（-1）=-6,6,...此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤.故選A.

點評：本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數中k=xy的特點是解答

此題的關鍵.

對應訓練

4.（2012?貴港）從2,-1,-2三個數中任意選取一個作為直線y=kx+l中的k值，則所得

的直線不經過第三象限的概率是（）

考點五：直觀選擇法

利用函數圖像或數學結果的幾何意義，將數的問題（如解方程、解不等式、求最值，求取

值范圍等）與某些圖形結合起來，利用直觀幾性，再輔以簡單計算，確定正確答案的方法。這

種解法貫穿數形結合思想，每年中考均有很多選擇題（也有填空題、解答題）都可以用數形結合

思想解決，既簡捷又迅速.

例5（2012?貴陽）已知二次函數y=ax1bx+c（a<0）的圖象如圖所示，當-5WxW0時，下列

說法正確的是（）

A.有最小值-5、最大值0B.有最小值-3、最大值6

C.有最小值0、最大值6D,有最小值2、最大值6

解：由二次函數的圖象可知，

?5WxW0,

，當x=-2時函數有最大值，y裊大=6；

當x=-5時函數值最小，y戢小=-3.

故選B.

點評：本題考查的是二次函數的最值問題，能利用數形結合求出函數的最值是解答此題的關

鍵.

對應訓練

5.（2012?南寧）如圖，在平面直角坐標系中，有兩條位置確定的拋物線，它們的對稱軸相同,

則下列關系不正確的是（）

A.k=nB.h=mC,k<nD,h<0,k<0

考點六：特征分析法

對有關概念進行全面、正確、深刻的理解或根據題目所提供的信息、，如數值特征、結構特

征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判斷和選擇的方法

例6（2012?威海）下列選項中，陰影部分面積最小的是（）

分析：根據反比例函數系數k的幾何意義對各選項進行逐一分析即可.

2

解：A、,?，M、N兩點均在反比例函數y=—的圖象上，；?S陰影=2；

x

2

B、???M、N兩點均在反比例函數y二—的圖象上，.?.S陰影二2；

x

C、如圖所示，分別過點MN作MAlx軸，NB±x軸，則S陰影=S.AM+S陰影梯形

11,、13

ABNM-SAOBN=—x2-i—(2+1)x1--x2=-；

213

D、???M、N兩點均在反比例函數y二一的圖象上，.??一xlx4=2.???，V2,???C中陰影部分的

x22

面積最小.故選C.

點評：本題考查的是反比例函數系數k的幾何意義，即在反比例函數的圖象上任意一點象坐

IkI

標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是且保持不變.

2

對應訓練

6.(2012?丹東)如圖，點A是雙曲線y=K在第二象限分支上的任意一點，點B、點C、點D

X

分別是點A關于X軸、坐標原點、y軸的對稱點.若四邊形ABCD的面積是8,則k的值為

C.2D.-2

考點七：動手操作法

與剪、折操作有關或者有些關于圖形變換的試題是各地中考熱點題型，只憑想象不好確定,

處理時要根據剪、折順序動手實踐操作一下，動手可以直觀得到答案，往往能達到快速求解

的目的.

例7（2012?西寧）折紙是一種傳統的手工藝術，也是每一個人從小就經歷的事，它是一種

培養手指靈活性、協調能力的游戲，更是培養智力的一種手段.在折紙中，蘊含許多數學知

識，我們還可以通過折紙驗證數學猜想，把一張直角三角形紙片按照圖①?④的過程折疊后

展開，請選擇所得到的數學結論（

A.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

B.在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的宜角邊等于斜邊的一半

C.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

D.如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

思路分析：嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現出來，也可仔細觀察

圖形特點，利用對稱性與排除法求解.

解：如圖②，?.?△CDE由4ADE翻折而成，；.AD=CD,如圖③，：4DCF由△DBF翻折而

成，；.BD=CD,；.AD=BD=CD,點D是AB的中點，.■.CD=-AB,即直角三角形斜邊上的

2

中線等于斜邊的一半.

點評：本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵.

對應訓練

7.（2012?寧德）將一張正方形紙片按圖①、圖②所示的方式依次對折后，再沿圖③中的虛

線剪裁，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得到的圖案是（）

四、中考真題演練

1.（2012?衡陽）一個圓錐的三視圖如圖所示,則此圓錐的底面積為（

D.lOOncm23

2.（2012?福州）。0］和。。2的半徑分別是3cm和4cm,如果OQ2=7cm,則這兩圓的位置

關系是（）

A.內含B.相交C.外切D.外離

3.（2012?安徽）為增加綠化面積，某小區將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植卓

前，更換后，圖中陰影部分為植草區域，設正八邊形與其內部小正方形的邊長都為a,則陰影

部分的面積為（）

A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2

4.（2012?安徽）如圖，A點在半徑為2的。O上，過線段OA上的一點P作直線C,與OO

過A點的切線交于點B,且NAPB=60。，設OP=x,則4PAB的面積y關于x的函數圖象大致

是（）

c.

5.（2012?黃石）有一根長40mm的金屬棒，欲將其截成x根7mm氏的小段和y根9mm長的

小段，剩余部分作廢料處理，若使廢料最少，則正整數x,y應分別為（）

A.x=l,y=3B.x=3,y=2C.x=4,y=lD.x=2,y=3

6.（2012?長春）有一道題目：己知一次函數y=2x+b,其中b<0，…，與這段描述相符的函數

圖象可能是（）

7.（2012?荊門）如圖，點A是反比例函數y=2（x>0）的圖象上任意一點，人8〃乂軸交反比

X

例函數y=-衛的圖象于點B,以AB為邊作。ABCD,其中C、D在x軸上，則S口ABCD為（）

D.5

8.（2012?河池）若a>b>0,則下列不等式不一定成立的是（

A.ac>bcB.a+c>b+cC.—D.ab>b2

ab

9.(2012?南通)己知x2+16x+k是完全平方式，則常數k等于（)

A.64B.48C.32D.16

10.(2012?六盤水)下列計算正確的是()

A.B.(a+b)2=a2+b2C.(-2a)3=-6a3D.-(x-2)=2-x

11.(2012?郴州)拋物線y=(x-1)2+2的頂點坐標是()

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(1,2)

12.（2012?莆田）在一次芭蕾舞比賽中，甲、乙、丙、丁四隊女演員的人數相同，身高的平

均數均為166cm,且方差分別為S甲2=1.5,S乙2=2.5,S丙2=2.9,S丁2=3.3,則這四隊女演

員的身高最整齊的是（）

A.甲隊B.乙隊C.丙隊D.丁隊

13.（2012?懷化）為了比較甲乙兩種水稻秧苗是否出苗更整齊，每種秧苗各取10株分別量出

每株長度，發現兩組秧苗的平均長度一樣，甲、乙方差分別是3.9、15.8,則下列說法正確的

是（）

A.甲秧苗出苗更整齊B.乙秧苗出苗更整齊

C.甲、乙出苗一樣整齊D.無法確定

14.（2012?長春）如圖是2012年倫敦奧運會吉祥物，某校在五個班級中對認識它的人數進行

了調查，結果為（單位：人）：30,31,27,26,31.這組數據的中位數是（）

A.27B.29C.30D.31

15.（2012?欽州）如圖所示，把一張矩形紙片對折，折痕為AB,在把以AB的中點O為頂點

的平角NAOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出??個以O為頂點的等腰

三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開平鋪后得到的平面圖形一定是（）

16.（2012?江西）如圖，有a、b、c三戶家用電路接入電表，相鄰電路的電線等距排列，則三

戶所用電線（）

abc

??-?-?-

A.a戶最長B.b戶最長C.c戶最長D.三戶一樣長

17.（2012?大慶）平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A的坐標為點,1）,將OA繞原

點按逆時針方向旋轉30。得OB,則點B的坐標為（）

A.（1,73）B.（-1,炳）C.（O,2）D.（2,0）

18.（2012?長春）在下列正方體的表面展開圖中，剪掉1個正方形（陰影部分），剩余5個正

方形組成中心對稱圖形的是（）

19.（2012?涼山州）已知則的值是（）

a13a+b

239

A.-B.-C.-

324

20.（2012?南充）下列幾何體中，俯視圖相同的是（）

aE

□①A②③④

A.①②B,①③C.②③D.②④

21.（2012?朝陽）兩個大小不同的球在水平面上靠在?一起，組成如圖所示的幾何體，則該兒

何體的俯視圖是（）

水平面

A.兩個外離的圓B.兩個相交的圓C.兩個外切的圓D.兩個內切的圓

22.（2012?河池）如圖，把一塊含有45。角的直角三角板的兩個頂點分別放在直尺的一組對邊

上.如果N1=25。，那么N2的度數是（）

23.（2012?長春）如圖，在平面直角坐標系中，在x軸、y軸的正半軸上分別截取OA、OB,

使OA=OB；再分別以點A、B為圓心，以大于±AB長為半徑作弧，兩弧交于點C.若點C

24.（2012?巴中）如圖，已知AD是△ABC的BC邊上的高，下列能使△ABD空&ACD的條

件是（）

A.AB=ACB.ZBAC=90°C.BD=ACD.ZB=45°

25.（2012?河池）用直尺和圓規作一個以線段AB為邊的菱形，作圖痕跡如圖所示，能得到四

邊形ABCD是菱形的依據是（）

A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

B.四邊相等的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.每條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形

AB是OO的直徑，若NBAC=35。,則/ADC=()

B.55°C.70°D.110°

27.（2012?攀枝花）下列四個命題:

①等邊三角形是中心對稱圖形；

②在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等;

③三角形有且只有一個外接圓；

④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.

其中真命題的個數有（）

C.3個D.4個

28.（2012?萊蕪）以下說法正確的有（)

①正八邊形的每個內角都是135。

②&？與停同類二次根式

③長度等于半徑的弦所對的圓周角為30。

④反比例函數y=-2當xVO時，y隨x的增大而增大.

x

A.1個B.2個C.3個D.4個

29.（2012?東營）如圖，一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A,B兩點，與反比例函數

尸用的圖象相交于C,D兩點，分別過C,D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E,F,連接

X

CF,DE.有下列四個結論：

①4CEF與ADEF的面積相等；?AAOB^AFOE；③△DCE^Z\CDF；④

其中正確的結論是（）

A.①②B.①②③C.①②③④D.②③④

專題一選擇題解題方法參考答案

三、中考典例剖析

對應訓練

1.C

解：設邀請x個球隊參加比賽，依題意得l+2+3+...+x-l=10,即叢^——=10,.\x2-x-20=0,

2

，x=5或x=-4（不合題意，舍去5故選C.

2.D

解：當兩個圓外切時，圓心距d=l+2=3,即P到O的距離是3,則2=±3.當兩圓相內切時，

圓心距d=2-l=l,即P到O的距離是1,則@=±1.故a=±l或±3.故選D.

3.D

解：A.，??P點坐標不知道，當PM=MO=MQ時，ZPOQ=90°,故此選項錯誤；

PMk

B.根據圖形可得：ki>0,k2<0,而PM,QM為線段一定為正值，故工7=臺，故此選項

QMk2

錯誤；

C.根據k1,k2的值不確定，得出這兩個函數的圖象不一定關于X軸對稱，故此選項錯誤;

故選：D.

4.C

5.A

6.D

解：，?,點B、點C、點D分別是點A關于x軸、坐標原點、y軸的對稱點，

???四邊形ABCD是矩形，

???四邊形ABCD的面積是8,

???4x|-k|=8,

解得|k|=2,

又???雙曲線位于第二、四象限，

.*.k<0,

：.k=-2.

故選D.

7.B.

四、中考真題演練

1.B

2.C

3.A

解：???某小區將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，設正八邊形與其內部小

正方形的邊長都為a,

；.AB=a,且NCAB=/CBA=45。,

..BCBCV2

..sin45=——=——=--,

ABa2

.\AC=BC=^X,

2_

.』

ABC=乙,X冬乙，浮乙Wq，

2

，正八邊形周圍是四個全等三角形,面積和為：-?Lx4=a2.

4

正八邊形中間是邊長為a的正方形,

陰影部分的面積為：a2+a2=2a2,

故選：A.

解：當P與0重合，

VA點在半徑為2的。O上，過線段0A上的一點P作直線1,與。。過A點的切線交于點B,

且NAPB=60°,

；.A0=2,OP=x,則AP=2-x,

解得：AB=M(2-x)=-

X2

SAABP="|PAXAB=-1(2-x)=-|x-6x+6,

故此函數為二次函數，

3

Va=->0,

2

o2

...當x=-昌-―全2時，S取到最小值為：4ac-b=（）,

2a2X-4a

根據圖象得出只有D符合要求.

故選：D.

5.B

解:根據題意得:7x+9y<40,

貝niljx<-4-0----9y

7

：40-9洶且y是非負整數，

，y的值可以是：1或2或3或4.

當x的值最大時，廢料最少，

當y=l時，xs節，則x=4,此時，所剩的廢料是：40-Ix9-4x7=3mm；

當y=2時，XV爺,則x=3,此時，所剩的廢料是：40-2x9-3x7=lmm；

1R

當y=3時，x<—,則x=l,此時，所剩的廢料是：40-3x9-7=6mm；

當y=4時，xs?則x=0（舍去）.

則最小的是：x=3,y=2.

故選B.

6.A

7.D

解：設A的縱坐標是b,則B的縱坐標也是b.

把y=b代入y=2得，b=-,則x—,,即A的橫坐標是號,；

xxbb

同理可得：B的橫坐標是：-三

b

貝IJAB=2-（-a）=①.

bbb

則SoABCDn^xbV.

b

故選D.

8.A

9.A

10.D

11.D

12.A

13.A

14.C

15.D

16.D

17.A

解：如圖，作ACJLx軸于C點，BD，y軸于D點,

.??點A的坐標為（盯，1）,

AC=1,OC=^3，

??OA=Jg2+1”

ZAOC=30°,

OA繞原點按逆時針方向旋轉30。得OB,

/.ZAOB=30°,OA=OB,

/.ZBOD=30°,

RtAOAC合RtAOBD,

DB=AC=1,OD=OC=A/3，

B點坐標為（1,勺%）.

故選A.

19.D

20.C

21.B

22.C

解：???△GEF是含45。角的直角三角板,

??.ZGFE=45°,

Z1=25°,

ZAFE=ZGEF-Z1=45°-25°=20°,

?/ABIICD,

：Z2=ZAFE=20°.

故選C.

解：?.?OA=OB；分別以點A、B為圓心，以大于aAB長為半徑作弧，兩弧交于點C,

C點在NBOA的角平分線上，

??.C點到橫縱坐標軸距離相等，進而得出，m-l=2n,

即m-2n=l.

故選：B.

24.A

25.B

26.B

27.B

解：?.?等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，，①是假命題；

如圖，/（2和/口都對弦人8,但ZC和ND不相等，即②是假命題；

三角形有且只有一個外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，即③是真命題;

垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的兩條弧，即④是真命題.

故選B.

28.C

2

解：①正八邊形的每個內角都是：3義「-）-135。,故①正確；

②丫5/27=3V3>4一呼,

,病與點是同類二次根式；故②正確；

③如圖：,.OA=OB=AB,

ZAOB=60°,

ZC=-ZAOB=30",

2

ZD=1800-ZC=150°,

.?.長度等于半徑的弦所對的圓周角為：30。或150。；故③錯誤；

④反比例函數y=-Z,當x<0時，y隨x的增大而增大.故④正確.

X

故正確的有①②④，共3個.

故選C.

o

D

29.C

解：①設D(x,-|),則F(x,0),

由圖象可知x>0,

.?.△DEF的面積是：鼻條岡=2,

2x

設C(a,-),則E(0,-),

aa

由圖象可知：-<0,a>0,

a

△CEF的面積是:昌=2,

2a

/.△CEF的面積=Z\DEF的面積，

故①正確；

@ACEF和4DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，

故EF〃CD,

；.FE〃AB,

/.△AOB^AFOE,

故②正確；

③???C：、D是一次函數y=x+3的圖象與反比例函數打?的圖象的交點,

X

/.x+3=~,

x

解得:x=-4或1,

經檢驗：x=-4或1都是原分式方程的解，

AD(1,4),C(-4,-1),

???DF=4,CE=4,

???一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A,B兩點，

AA(-3,0),B(0,3),

，ZABO=ZBAO=45°,

VDF//BO,AO〃CE,

AZBCE=ZBAO=45°,ZFDA=ZOBA=45°,

???NDCE=NFDA=45°,

DF=CE

在ADCE和ACDF中.ZFDC=ZECD，

DC=CD

/.△DCE^ACDF(SAS),

故③正確；

④：BD〃EF,DF//BE,

四邊形BDFE是平行四邊形，

；.BD=EF,

同理EF=AC,

；.AC=BD,

故④正確；

正確的有4個.

2013年中考數學專題講座二：新概念型問題

一、中考專題詮釋

所謂“新概念”型問題,主要是指在問題中概念了中學數學中沒有學過的一些概念、新運算、

新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識、能力進行理解，根據新概念進行運算、推理、

遷移的一種題型.“新概念''型問題成為近年來中考數學壓釉題的新亮點.在復習中應重視學生應

用新的知識解決問題的能力

二、解題策略和解法精講

“新概念型專題”關鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二

是根據問題情景的變化，通過認真思考?，合理進行思想方法的遷移.

三、中考典例剖析

考點一：規律題型中的新概念

例1（2012?永州）我們把按照一定順序排列的一列數稱為數列，如1,3,9,19,33,…就

是一個數列，如果一個數列從第二個數起，每一個數與它前一個數的差等于同一個常數，那

么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做這個等差數列的公差.如2,4,6,8,10就是一

個等差數列，它的公差為2.如果一個數列的后一個數與前一個數的差組成的新數列是等差數

列，則稱這個數列為二階等差數列.例如數列1,3,9,19,33,它的后一個數與前一個

數的差組成的新數列是2,6,10,14,…，這是一個公差為4的等差數列，所以，數列1,3,

9,19,33,…是一個二階等差數列.那么，請問二階等差數列1,3,7,13,…的第五個數

應是.

思路分析：由于3-1=2,7-3=4,13-7=6,…，由此得出相鄰兩數之差依次大2,故13的后一

個數比13大8.

解答：解：由數字規律可知，第四個數13,設第五個數為x,則x-13=8,解得x=21,即第五

個數為21,故答案為：21.

點評：本題考查了數字變化規律類問題.關鍵是確定二階等差數列的公差為2.

對應訓練

1.(2012?自貢)若x是不等于1的實數，我們把」一稱為x的差倒數，如2的差倒數是—=-1,

1-x1-2

-1的差倒數為一--=現已知X尸-X2是XI的差倒數，X3是X2的差倒數，X4是X3

1-(-1)23

的差倒數，…，依次類推，則X2O12=.

考點二：運算題型中的新概念

ab

例2(2012?荷澤)將4個數a,b,c,d排成2行、2歹ij,兩邊各加一條豎直線記成

d

概念“b=ad-bc,上述記號就叫做2階行列式.若'+11一1=8,則*=.

cd\-xx+1

思路分析：根據題中的新概念將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為X

的值.

X+11—X

解：根據題意化簡=8,得：(x+1)2一(1-X)2=8,整理得：X2+2X+1-(1-2X+X2)

1-xx+1

-8=0,即4x=8,解得:x=2.故答案為：2

點評：此題考查了整式的混合運算，屬于新概念的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去

括號、合并同類項法則，根據題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關鍵.

對應訓練

2.(2012?株洲)若(xi,yi)?(x2)y2)=xix2+yiy2,則(4,5)?(6,8)=.

考點三：探索題型中的新概念

例3(2012?南京)如圖，A、B是00上的兩個定點，P是上的動點(P不與A、B重合)、

我們稱/APB是。O上關于點A、B的滑動角.

(1)已知NAPB是(DO上關于點A、B的滑動角，

①若AB是。O的直徑，則NAPB=。；

②若。。的半徑是1,AB=、歷，求NAPB的度數；

(2)已知02是。Oi外一點，以02為圓心作一個圓與。O1相交于A、B兩點，NAPB是。

01上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交。02于M、N(點M與點A、點N與點B

均不重合)，連接AN,試探索/APB與/MAN、/ANB之間的數量關系.

'B

思路分析：（1）①根據直徑所對的圓周角等于90。即可求解；

②根據勾股定理的逆定理可得NAOB=90。，再分點P在優弧前上；點P在劣弧京上兩種情

況討論求解；

（2）根據點P在。Oi上的位置分為四種情況得到/APB與/MAN、ZANB之間的數量關系.

解：（1）①若AB是。O的直徑，則/APB=90.

②如圖，連接AB、OA、OB.

在ZiAOB中，

VOA=OB=1.AB=&,

.,.OA2+OB2=AB2.

/AOB=90°.

當點P在優弧窟上時，ZAP1B=AZAOB=45°；

2

當點P在劣弧窟上時，ZAP2B=1（360。-ZAOB）=135。...6分

2

（2）根據點P在。O1上的位置分為以下四種情況.

第一種情況：點P在。02外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖①

ZMAN=ZAPB+ZANB,

NAPB=NMAN-ZANB；

第二種情況：點P在。02外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖②.

；NMAN=NAPB+NANP=/APB+（180°-ZANB）,

AZAPB=ZMAN+ZANB-180°；

第三種情況：點P在002外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖③.

ZAPB+ZANB+ZMAN=180%

，NAPB=180°-ZMAN-ZANB,

第四種情況：點P在。02內，如圖④，

ZAPB=ZMAN+ZANB.

點評：綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點與圓的位置關系，本題難度較大，

注意分類思想的運用.

對應訓練

3.(2012?陜西)如果一條拋物線y=ax?+bx+c(a^0)與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的

頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形(1)”拋物線三角形”

一定是三角形；(2)若拋物線y=-x?+bx(b>0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b

的值；(3)如圖，AOAB是拋物線y=-x2+b，x(b(>0)的“拋物線三角形”，是否存在以原點O

為對稱中心的矩形ABCD?若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說

明理由.

考點四：開放題型中的新概念

例4(2012?北京)在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點Pi(x”力)與P2(x2,y2)的

“非常距離”，給出如下概念：若|x「X2回yi-yd，則點Pi與點P2的“非常距離”為1x1*1；若因氏|

<|yi-y2|.則點Pi與點P2的'啡常距離”為lyi-yj例如：點Pi(1,2),點P2C,5),因為|1-3|

<|2-5|,所以點P,與點P2的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖1中線段PiQ與線段P?Q長度的

較大值(點Q為垂直于y軸的直線PiQ與垂直于x軸的直線P2Q交點).(1)已知點A(-；,

0),B為y軸上的一個動點，①若點A與點B的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點B

3

的坐標；②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；（2）已知C是直線y=-x+3上的一

4

個動點，①如圖2,點D的坐標是（0,1）,求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點

C的坐標；②如圖3,E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非

思路分析：（1）①根據點B位于y軸上，可以設點B的坐標為（0,y）.由“非常距離”的概念

可以確定|0-y|=2,據此可以求得y的值；②設點B的坐標為（0,y）.因為卜;-0閆0-外所以

113

點A與點B的“非常距離”最小值為卜一@=一；⑵①設點C的坐標為Cxo,-xo+3），根據

224

材料"若慢』|沙|至1，則點Pi與點P2的“非常距離”為同利”知，C、D兩點的“非常距離”的最

小值為_xo=—3xo+2,據此可以求得點C的坐標；②當點E在過原點且3與直線盧1x+3垂直的

44

34

直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，即EJ-,-）,解答思路同上.

55

解：（1）①，.出為y軸上的一個動點，，設點B的坐標為（0,y）.，|0-y|=2,

3_33

①,.，C是直線y=—x+3上的一個動點，，設點C的坐標為（xo，—X（）+3）J—x（）+2.此

444

QQ8153

時，xo=2,,?.點c與點D的“非常距離”的最小值為：此時C（-2,—）；②E（一,

77775

4、

一）*

5

334889

-----xo=-x（）+3—，解得，xo=—,則點C的坐標為（—，—）,最小值為1.

545555

點評：本題考查了一次函數綜合題.對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件.本

題中的“非常距離”的概念是正確解題的關鍵.

對應訓練

4.（2012?臺州）請你規定一種適合任意非零實數a,b的新運算“a十b”，使得下列算式成立：

74

1?2=2?1=3,（-3）?（-4）=（-4）?（-3）（-3）?5=5?（-3）=，...

615

你規定的新運算a3b=（用a,b的一個代數式表示）.

考點五：閱讀材料題型中的新概念

例5（2012?常州）平面上有兩條直線AB、CD相交于點O,且/BOD=150。（如圖），現按

如下要求規定此平面上點的“距離坐標”：（1）點O的“距離坐標''為（0,0）；（2）在直線CD

上，且到直線AB的距離為p（p>0）的點的“距離坐標”為（p,0）；在直線AB上，且到直線

CD的距離為q（q>0）的點的“距離坐標”為（0,q）；（3）至直線AB、CD的距離分別為p,

q（p>0,q>0）的點的“距離坐標”為（p,q）.設M為此平面上的點，其“距離坐標”為（m,

n）,根據上述對點的''距離坐標''的規定，解決下列問題：（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：①

滿足m=l,且n=0的點M的集合；②滿足m=n的點M的集合；（2）若點M在過點O且與直

線CD垂直的直線1上，求m與n所滿足的關系式.（說明：圖中01長為一個單位長）

思路分析：（1）①以O為圓心，以2為半徑作圓，交CD于兩點，則此兩點為所求；②分別

作NBOC和/BOD的角平分線并且反向延長，即可求出答案；（2）過M作MN_LAB于N,

MNm

根據已知得出OM=n,MN=m,求出NNOM=60。，根據銳角三角函數得出sin6（T=——=—,

OMn

求出即可.

解:（I）①如圖所示:

(0除外)為所求；(2)如圖:

VM的“距離坐標”為(m,n),

；.OM=n,MN=m,VZBOD=150°,直線I_LCD,/.ZMON=150°-90°=60°,在Rt^MON中,

sin6(T=M^=絲，即m與n所滿足的關系式是：m=——