2025中考數學熱點題型專練：圓中的證明與計算問題（原卷版+解析）

專題10圓中的證明與計算問題

目錄

熱點題型歸納..............................................................................................1

題型01圓的性質及角度和線段的計算.......................................................................I

題型02弧長和面積問題....................................................................................5

題型03切線的判定定理及性質應用.........................................................................8

題型04相交弦定理.......................................................................................11

題型05切割線定理.......................................................................................13

題型06切線長定理.......................................................................................15

題型07弦切角定理.......................................................................................16

題型08隱圓（定點定長型、定弦定角型、對角互補型）.....................................................18

題型09圓與相似綜合.....................................................................................20

題型10圓與全等綜合.....................................................................................22

題型11圓與三角函數綜合................................................................................24

中考練場.................................................................................................26

題型01圓的性質及角度和線段的計算

01題型綜述

圓的性質及角度和線段的計算是初中數學幾何板塊中綜合性較強的關鍵內容，它借助圓的獨特性質，如垂徑定理、

圓周角定理等，深度考查學生對幾何知識的綜合運用能力，在中考數學中分值占比約6%-10%o

1.考查重點：重點考查垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧）、圓周角定理（一條弧所對的

圓周角等于它所對的圓心角的一半）等圓的核心性質在角度和線段計算中的應用，以及利用這些性質進行幾何證明。

2.高頻題型：高頻題型有已知圓的半徑、弦長等條件，運用垂徑定理求弦心距、弧長等線段長度；根據圓周角與圓心

角關系，結合圓內其他角度條件，計算特定角度大小；在圓與三角形、四邊形等組合圖形中，綜合運用圓的性質和其

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他圖形性質，計算線段長度和角度。

3.高頻考點：考點集中在垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理等圓的基本定理應用，圓內接四邊形性質（對角互補）

的運用，以及切線的性質與判定（切線垂直于過切點的半徑）在解決角度和線段問題中的體現。

4.能力要求：要求學生具備較強的邏輯推理能力，能依據已知條件合理選擇圓的性質進行證明和計算；擁有良好的圖

形識別與分析能力，從復雜圖形中提煉出與圓相關的幾何關系；掌握扎實的運算能力，尤其是在涉及勾股定理、三角

函數等知識用于圓中線段和角度計算時。

5.易錯點：易錯點在于對垂徑定理、圓周角定理等圓的性質理解不透徹，應用時條件使用錯誤；在計算過程中，因對

圓內復雜的角度和線段關系梳理不清，導致計算錯誤；對圓與其他圖形綜合問題中，不能有效整合各類圖形性質，思

路受阻。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.圣徑正理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

2.垂徑定理的推論：

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。

3.圓心角、弦以及弧之間的關系：

①定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組

量都分別相等。

說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優弧或

劣弧。

4.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

5.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

【典例分析】

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例1.（2024?海南?中考真題）如圖，40是半圓。的直徑，點8、C在半圓上，且凝=發:=而，點P在也上，若

ZPCS=130°,貝！|NPA4等于（）

C.90°D.70°

例2.（2024?山東濱州?中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于。。，若四邊形O4BC是菱形，則.

例3.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在。。中，直徑48LCD于點E,CD=6,BE=1,則弦/C的長為

例4.（2024?安徽?中考真題）如圖，是V48c的外接圓，。是直徑48上一點，44CD的平分線交N8于點E,交O。

于另一點尸，FA=FE.

(1)求證：CDLAB；

(2)設廠“"L/8,垂足為M,^OM=OE=\,求/C的長.

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例5.（2024?山東德州?中考真題）如圖，圓O。］與OQ都經過，，3兩點，點Q在。Q上，點C是/.8上的一點，連

接/C并延長交。&于點尸，連接NABC,BP.

⑴求證：NACB=2NP

⑵若NP=30。，AB=26.

①求的半徑；

②求圖中陰影部分的面積.

【變式演練】

1.（202牛江蘇南京模擬預測）如圖，A,B,C是。。上三點，ZAOC=130°,AD是。。的直徑，DA,C8的延長線相

C.35°D.40°

2.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，NB是。。的直徑，弦C。交48于尸點，AP=1,BP=5,ZAPC=45°,則CD

的長為（）

C.277D.V7

3.（2024?安徽阜陽?一模）如圖，C為O。上的一點，直徑/8=26,NNC8的平分線交O。于點。，交AB于點、E.

4/138

c

D

⑴求8。的長.

（2）若/C=10,求CD的長.

4.（21-22九年級上?河北石家莊?期中）如圖，48是。。的直徑，弦于點￡,點P在。。上，ZPBC=ZC.

⑴求證：CB〃PD；

(2)若8C=12,BE=8,求。。的半徑.

題型02弧長和面積問題

01）題型綜述_________________________________________

圓的弧長和面積問題是初中數學幾何板塊中對圓的度量性質深入探究的重要內容，通過運用圓的半徑、圓心角等要

素，結合特定公式計算弧長與面積，考查學生對幾何知識的量化應用能力，在中考數學中分值占比約3%-6%o

I.考查重點：重點考查準確運用弧長公式、扇形面積公式以及圓的面積公式進行相關計算，同時關注這些公式在實際

情境和組合圖形中的靈活運用。

2.高頻題型：高頻題型有已知圓的半徑和圓心角，求弧長或扇形面積；在組合圖形中，如扇形與三角形、四邊形等組

合，通過分析各圖形關系，計算陰影部分（包含弧長或扇形面積）的面積；根據實際問題背景，如摩天輪轉動的弧長、

噴灌區域的面積等，建立數學模型求解弧長或面積。

3.高頻考點：考點集中在弧長公式、扇形面積公式以及圓面積公式的正確應用，圓心角與弧長、扇形面積的對應關系,

以及在不規則圖形中通過割補法、等積變換等方法轉化為可利用公式計算的規則圖形，求解弧長和面積。

4.能力要求：要求學生具備較強的公式記憶與應用能力，能準確代入數據進行計算；擁有良好的圖形分析能力，從復

雜圖形中識別出與弧長、面積相關的部分，并能通過合理的圖形變換簡化計算；掌握一定的數學建模能力，將實際問

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題轉化為數學問題求解。

5.易錯點；易錯點在于對弧長和扇形面積公式記憶混淆，導致計算錯誤；在代入數據時，對圓心角、半徑等數值讀取

錯誤；在組合圖形中，不能準確分析各圖形間的關系，錯誤地進行面積的加減計算；對實際問題建模不準確，忽略問

題中的關鍵條件。

02解題攻略

【提分秘籍】

11.弧長計算公式：

i

-180°（弧長為？，圓心角度數為〃，圓的半徑為「）

2.扇形的面積計算公式：

u閥加121

S=--------3=-lr=

360°或2（其中/為扇形的弧長）。

【典例分析】

例1.（2024?山東青島?中考真題）如圖，4B,C,。是。。上的點，半徑。4=3,AB=CD^ZDBC=25°,連接4),

則扇形的面積為（）

B------C

55-55

A.—71B.171C.-713.——兀

48212

例2.（2024?內蒙古包頭?中考真題）如圖，在扇形/O3中，ZAOB=[W。，半徑04=3,C是前上一點，連接。C,D

是OC上一點，且。D=DC,連接8D.若則就的長為()

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例3.（2024?河南?中考真題）如圖，OO是邊長為4G的等邊三角形ABC的外接圓，點。是前的中點，連接AD,C。.以

點。為圓心，5。的長為半徑在。。內畫弧，則陰影部分的面積為（）

B.4兀D.16兀

【變式演練】

1.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，為。。的弦，九W垂直平分,垂足為M，交。。于N,若43=26,MN=3,

則々的長是（）

D.乃

2.（2024?四川樂山?模擬預測）如圖，矩形/BCD中，AB=6,5C=1,現將矩形4BCZ）繞點C順時針旋轉90。后得到

矩形HQC。，則ND邊掃過的面積（陰影部分）為（）

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1111

A.一兀B.-7tC.-7iD.一萬

2345

3.（2024?寧夏銀川?一模）如圖，正方形45。的邊長為4,分別以點4。為圓心，長為半徑畫弧，分別交對角線

4c于點E,F,則圖中陰影部分的面積為（）

A.4?—8B.2萬一4C.71-2D.8萬一16

題型03切線的判定定理及性質應用

01題型綜述

圓的切線的判定定理及性質應用是初中數學幾何板塊中對圓與直線位置關系深入研究的核心內容，通過判定直線是

否為圓的切線以及運用切線性質解決幾何問題，考查學生對幾何定理的理解與綜合運用能力，在中考數學中分值占比

約4%-7%o

1.考查重點：重點考查對圓的切線判定定理（經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）和性質（圓的

切線垂直于過切點的半徑）的精準理解與靈活運用，以及借助這些定理在復雜幾何圖形中進行推理和計算。

2.高頻題型：高頻題型有證明某條直線是圓的切線；已知直線為圓的切線，利用切線性質證明線段垂直、角相等或進

行線段長度計算；在圓與三角形、四邊形等組合圖形中，結合切線判定與性質以及其他圖形性質，解決綜合性幾何問

題。

3.高頻考點：考點集中在切線判定定理的準確應用，切線性質在證明和計算中的體現，切線與圓周角、圓心角等圓中

角的關系的運用。

4.能力要求：要求學生具備較強的邏輯推理能力，能依據已知條件合理選擇切線判定定理進行證明，熟練運用切線性

質進行推導；擁有敏銳的圖形觀察能力，從復雜圖形中識別出圓與切線的相關幾何關系；掌握扎實的運算能力，在涉

及切線的幾何計算中準確求解。

5.易錯點：易錯點在于判定切線時，對“經過半徑外端”和“垂直于半徑”這兩個條件把握不準確，遺漏或錯用；

在運用切線性質時，對切點位置判斷錯誤，導致垂直關系應用出錯；在綜合圖形中，不能有效整合切線與其他圖形性

質，思路混亂，影響解題。

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02解題攻略

【提分秘籍】

i［一場H的桂面;

①圓的切線垂直于經過切點的半徑。

②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。

③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。

運用切線的性質進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或相似三角形

解決問題。

2.切線的判定：

經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段,

證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公

共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”。

【典例分析】

例1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在。。中，48是直徑，是弦，且垂足為￡,AB=20,CD=12,

在胡的延長線上取一點尸，連接CF,使NFCD=2NB.

⑴求證：C戶是OO的切線;

⑵求好的長.

例2.（2024?湖北?中考真題）如圖，在Rta/BC中，4C2=90。，點E在/C上，以CE為直徑的O。經過上的點。,

與05交于點廠，S.BD=BC.

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B

⑴求證：是OO的切線；

⑵若40=6，AE=1,求3的長.

例3.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在△48。中，AB=BD,OO為△N3D的外接圓，8E為。。的切線，/C為。。

的直徑，連接。。并延長交BE于點瓦

(1)求證：DELBE；

Q)若AB=5^,BE=5,求。。的半徑.

例4.（2024?內蒙古通遼?中考真題）如圖，V/5C中，NNCS=90。，點。為NC邊上一點，以點。為圓心，0c為半徑

作圓與相切于點。，連接CD.

⑴求證：NABC=2N4CD；

(2)若/C=8,BC=6,求。。的半徑.

【變式演練】

1.（2025?湖北?一模）如圖，NB是。。的直徑，點E在。。上，連接/E和平分//BE交。。于點C,過點C作

CDBE,交BE的延長線于點。，連接CE.

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(1)請判斷直線。與O。的位置關系，并說明理由；

3

(2)若sin/ECO=qCE=5,求。。的半徑.

2.(2025?湖南長沙?一模)如圖，C是以NB為直徑的OO上一點，尸為病的中點，過點C作。。的切線交。尸的延長

線于點E,連接BE,BC,BC交OF于點D.

E、

(1)求證：BE是。。的切線；

(2)若DF=2,ZEOB=60°,求線段OE的長；

⑶在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

3.(2025?陜西西安?二模)如圖，已知48是。。的直徑，直線DC是。。的切線，切點為C,AE1DC,垂足為E,

連接/C.

(1)求證：AC平分NBAE；

(2)若NC=6,tanZACE=^,求OO的半徑.

4.(2025?四川?模擬預測)如圖，尸為O。外一點，尸/、為。。的切線，切點分別為A、B,直線尸。交。。于點。、

E,交于點C.

(1)求證：ZADE=ZPAE；

⑵若PE=4,CD=6,求CE的長.

題型04相交弦定理

01題型綜述

圓的相交弦定理是初中數學幾何板塊中研究圓內線段關系的重要定理，它揭示了圓內兩條相交弦所分線段之間的數

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量關系，豐富了圓的幾何性質內容，在中考數學中分值占比約2%-4%。

02解題攻略

【提分秘籍】

「洞夯藐面

i

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

i

幾何語言：若弦工&8交于點E,則尸4尸3=尸（7尸0。

I

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

I

i

幾何語言：若是直徑，CD垂直53于點尸，則戶（72=為2=EAP5。

【典例分析】

例1.（24-25九年級上?北京房山?期末）如圖，為。。的直徑，弦CDL48于點若48=10,CD=8,則OH的

長為（）

A

A.2B.3C.4D.5

【變式演練】

1.（24-25九年級上?湖南長沙?期中）如圖，O。的直徑垂直于弦O垂足為E,44=30。,48=4,則CD的長為（）

A.2B.2gC.4D.4A/3

2.（2025?廣東廣州?一模）如圖，。4。民。。都是。。的半徑，/C,08交于點。.若/O=CD=3,OO=4,則8。的長

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為（）

A.4B.1C.3D.2

3.（2025?陜西西安?一模）如圖，48是。。的直徑，OD垂直于弦/C于點的延長線交。。于點￡,DE=3,

AC=26,則8C的長是（）

A.1B.2C.V2D.4

題型05切割線定理

Oil題型綜述

圓的切割線定理是初中數學幾何板塊中深入探討圓與直線位置關系時涉及線段數量關系的關鍵定理，它通過揭示從

圓外一點引圓的切線和割線時，切線長與割線各線段長之間的聯系，拓展了圓的幾何性質應用范疇，在中考數學中分

值占比約2%-4%。

02解題攻略

【提分秘籍】

切割線定理：

從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

幾何語言：

「PT切。。于點T,PBA是。0的割線

.,,PT2=PA*PB（切割線定理）。

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

幾何語言：

VPBA,PDC是。O的割線

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.?.PD?PC=PA?PB

由上可知：PT2=PA?PB=PUPD。

【典例分析】

例1.（2024?山西?模擬預測）如圖，N8與O。相切于點/，點E在。。上，連接BE,BE與。。相交于點C,與/O相

交于點。，已知乙4CE=45。砂=2DE,4B=6,則陰影部分的面積為（）

9兀33兀3》3兀39兀3

A.--------B.--------C.--------D.--------

42422222

【變式演練】

1.（20-21九年級上?浙江寧波?期中）如圖，在O。中，E是直徑4S延長線上一點，CE切O。于點C,若CE=2BE,

則/E的余弦值為（）

,3434

A.—B.-C.—D.一

5543

2.（2024?重慶銅梁?一模）如圖，NB是。。的切線，A為切點，08交OO于點C,若。1=5,48=12,則8c的長

為（）

AB

A.5B.7C.8D.13

3.（2024?山東東營?模擬預測）如圖，為。。的直徑，CD與。。相切于點C,交A8的延長線于點。，且C4=C￡>.若

=3,則。。半徑長為（）

14/138

、/c

A.2B.C.3百D.273

題型06切線長定理

01題型綜述

圓的切線長定理是初中數學幾何板塊里研究圓與直線特殊位置關系時，涉及線段等量關系的重要定理，它明確了從

圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等這一特性，豐富了圓的幾何知識應用，在中考數學中分值占比約2%-5%。

02解題攻略

【提分秘籍】

「場殘隹兔逋二——

i

（1）切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

i

（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線

|的夾角。

〒典初分布f

例1.（2024?重慶?三模）如圖，AB、/C是。。的切線，B、C為切點，。是。。上一點，連接3。、CD,若NBDC=60°,

/3=3,則。。的半徑長為（）

A

B

15/138

A.-J3B.3A/5C.3D.—

【變式演練】

1.（2024?湖南衡陽?模擬預測）如圖所示，V45C的內切圓。。分別與4B,BC,/C相切于點。，E,F,且40=6,

BE=4,CF=8,則A/BC的周長為（）

2.（2024?四川南充?三模）如圖，過。。外一點尸作。。的兩條切線尸N,PB,切點分別為A,B,PO馬AB交于點D,

與48交于點E,NC為。。的直徑.若PA=AB,BC=6,則的長為（）

A.2B.3C.V3D.—

2

3.（2024?四川德陽?二模）如圖，。。內切于正方形ABC。，邊AD、CD分別與切于點E、F,點、M、N分別在線

段￡?E、￡＞尸上，且與。。相切.若的面積為4,則。。的半徑為（）

B.V5C.272D.2

題型07弦切角定理

01題型綜述

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圓的弦切角定理是初中數學幾何板塊中探究圓與直線所成特殊角度關系的重要定理，它揭示了弦切角與所夾弧所對

圓周角之間的等量聯系，為解決圓中角度相關問題提供了關鍵依據，在中考數學中分值占比約2%-4%。

02解題攻略

【提分秘籍】

|弦切角定理：

（1）弦切角的定義：如圖像/ACP這樣，頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

I

（2）弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半。等于這條弧所對的圓周角。

i

|BPZPCA=ZPBCo

【典例分析】

例1.（2024?廣東?模擬預測）如圖，48是。。的直徑，點C,。在。。上，且//DC=45。，過點C作。。的切線，交

DA的延長線于點E,則N/CE的度數為（

C.25°D.15°

【變式演練】

1.（2024?河南關B州?三模）如圖，在OO中，48為直徑，BC為弦，CD為切線，連接。C.若/BCD=60。，貝！J//OC

的度數為（）

A.40°B.50°C.60°D.100°

2.（2024?重慶?模擬預測）如圖，V/2C內接于O。，42為O。的直徑，直線CO與O。相切于點C,過點。作

交CD于點E,若NB4c=32°,則/OEC的度數為（）

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C.26°D.58°

題型08隱圓（定點定長型、定弦定角型、對角互補型）

01。題型綜述_________________________________________

隱圓（定點定長型、定弦定角型、對角互補型）是初中數學幾何板塊中具有較高綜合性與技巧性的內容，它將圓的

概念巧妙隱藏于各類幾何圖形中，考查學生挖掘潛在圓的特征并運用圓的知識解決問題的能力，在中考數學中分值占

比約3%-6%=

02解題攻略

【提分秘籍】

原面稹泡是指茬二近冗而詞藏不「遍訪而嗦徒時以爰頊薦在二不慝面的南「南角面的性質栗解獲詞函「蓿血皈醺直

模型有以下幾種類型：

（1）定點定長型：當題目中出現一個定點和一個動點，且動點到定點的距離始終保持不變時，那么這個動點的軌跡就

是一個以定點為圓心，定長為半徑的圓。例如，在平面直角坐標系中，點/（3,0）,點尸（工,歷滿足上4=5,根據兩點

間距離公式J（x—3）2+y2=5,可知點尸的軌跡是以4（3,0）為圓心，5為半徑的圓。

（2）定弦定角型：如果一條線段（定弦）所對的角始終為一個固定的角度（定角），那么這個角的頂點的軌跡是一個

圓。特別地，當定角為90°時，定弦就是圓的直徑。例如，在A/BC中，AB=6,ZC=60°,那么點。的軌跡是一

段圓弧。因為同弧所對的圓周角相等，所以滿足條件的點C都在以Z8為弦，圓周角為60°的圓上。

（3）對角互補型：若四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。例如，在四邊形/8C。中，

NZ+NC=180°，根據圓內接四邊形的性質，可知/BCD四點共圓。此時，四邊形的外接圓直徑與四邊形的

邊或對角線存在一定的關系，可通過正弦定理等知識來求解相關線段的長度。

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【典例分析】

例1.（2024?吉林長春?模擬預測）兩塊直角三角板（/胡。=4a>=90。,/3=/。,/。3。=30。）按如圖方式放置，AC,

AD相交于點O,給出下面四個結論：①點A、3、C、。在同一個圓上；②ZAOB=75。；③AC=BD；?AB=42CD.1.

述結論中，所有正確結論的序號是.

例2.（2023九年級上?全國?專題練習）如圖，在V/8C中，ZACB=90°,AC=2,BC=4,AE=3,連接BE,以BE為斜

邊在BE的右側作等腰直角VADE,P是NE邊上的一點，連接尸C和CA,當"3）=45。，則尸E長為.

【變式演練】

1.如圖，將VABC繞點A順時針旋轉25。得到八AEF,EF交BC于點N,連接AN,若NC=57。,則ZANB=.

2.（2024?山東濟南三模）如圖，在矩形/BCD中，ZABD=60°,BE=2/E,點尸在4D邊上運動，以線段EF為斜

邊作其中點M與點N位于E尸兩側，NMEF=30°.連接DM,當DM最小時，一=

AD

3.（2024?廣東珠海?一模）如圖，在Rt448C中，NACB=9Q°,BC=3,AC=4,點P為平面內一點，且NCPB=N4,

過。作C0，CP交口的延長線于點。，則CQ的最大值為.

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R

B

Q

4.（2024?安徽黃山二模）如圖，在R￡/3C中，NACB=9Q°,將V/3C繞點C順時針旋轉得到ADEC,8c和DE相

交于點。，點。落在線段N8上，連接3E.

（1）若N48c=20。，貝Ij/8CE=；

（2）若BE=BD,則幻"ZABC=.

題型09圓與相似綜合

01題型綜述

圓與相似綜合是初中數學幾何領域中極具綜合性與挑戰性的內容，它將圓獨特的性質，如圓周角定理、切線性質等,

與相似三角形的判定和性質緊密結合，考查學生對不同幾何知識的融會貫通能力，在中考數學中分值占比約4%-7%o

1.考查重點：重點考查在圓的背景下，通過尋找、構造相似三角形，運用相似三角形對應邊成比例、對應角相等的性

質，結合圓的弦、弧、角之間的關系，解決線段長度計算、角度求解以及幾何證明等問題。

2.高頻題型：高頻題型有已知圓中弦、弧、切線等條件，證明三角形相似，并利用相似比計算相關線段長度；根據圓

內角度關系，推出相似三角形，進而求解角度大小；在圓與多邊形的組合圖形中，借助相似三角形性質，判斷圖形間

的位置關系或進行面積計算。

3.高頻考點：考點集中在相似三角形的判定定理（兩角對應相等、三邊對應成比例、兩邊對應成比例且夾角相等）在

圓的情境中的應用，圓的性質（如圓周角定理、弦切角定理、切線長定理）與相似三角形性質的綜合運用，以及通過

添加輔助線（如連接半徑、作弦的垂線等）構建相似三角形的幾何模型。

4.能力要求：要求學生具備敏銳的圖形觀察能力，能從復雜的圓相關圖形中識別出相似三角形的基本模型；擁有較強

的邏輯推理能力，依據圓的性質和已知條件，合理推導相似三角形的存在及相關性質；掌握扎實的運算能力，準確處

理相似比與圓中線段、角度的計算。

5.易錯點：易錯點在于在復雜圓圖形中，難以準確找出相似三角形的對應邊和對應角，導致相似比計算錯誤；對圓的

性質與相似三角形性質的結合運用不夠熟練，混淆相關定理的應用條件；添加輔助線不合理，無法有效構建相似三角

形模型，影響解題思路。

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02解題攻略

【典例分析】

例1.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，3E是。。的直徑，點A在。O上，點C在BE的延長線上，NEAC=NABC,AD

平分NA4E交O。于點。，連結。E.

⑴求證：C/是O。的切線；

（2）當/。=8,<?￡=4時，求。E的長.

例2.（2024?陜西?中考真題）如圖，直線/與。。相切于點/,NB是。。的直徑，點C,。在/上，且位于點/兩側,

連接3C,BD,分別與OO交于點E,F,連接ERAF.

(1)求證：NBAF=NCDB；

⑵若。。的半徑r=6,AD=9,/C=12,求EF的長.

【變式演練】

1.（2024?內蒙古包頭?中考真題）如圖，NB是OO的直徑，8C,2。是。。的兩條弦，點。與點。在48的兩側，E是OB

上一點（。￡>8￡）,連接OC,C￡,且NBOC=2NBCE.

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(1)如圖1,若8￡=1,CE=0求OO的半徑；

(2)如圖2,若BD=20E,求證：BD//OC.(請用兩種證法解答)

2.(2025?安徽淮北?一模)如圖，經過VN8C的頂點8,與邊BA,8c分別交于點￡,F,與邊NC相切于點。，連

接DE,DF,BD,且DE=DF.

(1)如圖1,求證：AD2=AE-AB;

(2)如圖2,連接斯，若8。經過圓心。，且ND=6,AE=4,求E尸的長.

3.(2024?福建?中考真題)如圖，在V/8C中，ZBAC=90°,AB=AC,以48為直徑的OO交8C于點。，AELOC,

垂足為E,BE的延長線交介于點尸.

(2)求證：△AEBsLBEC；

(3)求證：4D與所互相平分.

題型10圓與全等綜合

01題型綜述________________________________________

圓與全等綜合是初中數學幾何板塊中具有較高思維要求的內容，它將圓的性質，諸如半徑相等、同弧所對圓周角相

等、切線性質等，與全等三角形的判定和性質深度關聯，著重考查學生對不同幾何知識的整合運用能力，在中考數學

中分值占比約3%-6%o

I.考查重點：重點考查在圓的環境下，通過挖掘圓的特性構造全等三角形，利用全等三角形對應邊相等、對應角相等

的性質，結合圓內弦、弧、角的關系，完成線段長度計算、角度求解以及幾何證明等問題。

2.高頻題型：高頻題型包括依據圓中半徑、弦長、角度等條件證明三角形全等，進而計算相關線段長度；根據圓內的

特殊角度關系，構造全等三角形來推導其他角度大小；在圓與多邊形構成的復合圖形中，借助全等三角形性質判斷圖

形間的位置關系或者進行面積計算。

3.高頻考點：考點集中在全等三角形判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS、HL)在圓的情境下的運用，圓的性質(如

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垂徑定理、圓周角定理、切線長定理）與全等三角形性質的協同應用，以及通過合理添加輔助線（例如連接圓心與弦

的端點、作過切點的半徑等）構建全等三角形的幾何模型。

4.能力要求：要求學生具備敏銳的圖形感知能力，能夠從復雜的圓相關圖形中捕捉到全等三角形的線索；擁有較強的

邏輯推導能力，依據圓的性質與已知條件，有條不紊地推導出全等三角形的存在及相關性質；掌握扎實的運算技能，

準確處理全等三角形對應邊、角與圓中線段、角度的計算。

5.易錯點：易錯點在于在復雜的圓圖形中，難以精準確定全等三角形的對應邊和對應角，致使全等判定錯誤；對圓的

性質與全等三角形性質的結合運用不夠嫻熟，混淆相關定理的適用條件；添加輔助線缺乏針對性，無法有效構建全等

三角形模型，阻礙解題思路。

02解題攻略

【典例分析】

例1.（2025?貴州?模擬預測）如圖，將半徑為5的扇形048繞點。逆時針旋轉&得到扇形OCT）.0c交48于點G,OB

交.CD于點E,48與相交于點足

一飛

：O__/D

C

（1）//與ND的數量關系是//ZD；

⑵在（1）的條件下，求證：ZS/OG四

⑶當ND為直徑時，以OE為半徑的。。切CD于點E,求e的值及優弧片的長.

例2.（2025?江蘇鎮江?模擬預測）如圖，已知正方形/BCD,以邊N8為直徑作。。，點￡是邊8c上一點（不與8,

C重合），將正方形沿DE折疊，使得點。恰好落在。。上.

AD

EC

（1）判斷直線。C'與的位置關系，并說明理由;

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（2）若正方形的邊長為2,求線段BE的長.

【變式演練】

1.（2025?湖北?一模）如圖，AB,3C分別與OO相切于￡,尸兩點，點G是圓上一點，直線CD過點G,且〃/8,

CD交BC于C點、,S.BE+CG=BC.

⑴求證：CD是。。的切線；

⑵若。8=6,ZBCD=6Q°,求圖中陰影部分的面積（保留根號和兀）.

2.（2025?河北?模擬預測）如圖1,在V/8C中，ZACB=90°,AC=BC=4s,以點8為圓心，以近為半徑作圓.

⑴設點P為。3上的一個動點，線段C尸繞著點C順時針旋轉90。，得到線段CA,連接DB,PB,如圖2,求證:

AD=BP；

⑵在（1）的條件下，若NCP8=135。，求AD的長；

⑶在（1）的條件下，當NPBC=。時，有最大值，且最大值為；當NPBC=。時，AD有最小值,

且最小值為.

題型11圓與三角函數綜合

01題型綜述

圓與三角函數綜合是初中數學幾何與代數緊密結合的關鍵內容，它借助圓的半徑、弦、弧所構成的幾何圖形，運用

三角函數知識來量化角度與線段之間的關系，全方位考查學生跨知識板塊的運用能力，在中考數學中分值占比約

4%-7%o

1.考查重點：重點考查在圓的圖形背景下，通過構造直角三角形，利用三角函數（正弦、余弦、正切）定義，將圓中

的半徑、弦長、圓心角、圓周角等元素與三角函數值建立聯系，進行角度和線段長度的求解以及相關幾何證明。

2.高頻題型：高頻題型有已知圓的半徑及部分角度，利用三角函數求弦長；根據圓中弦長、弧長等條件，借助三角函

數計算圓心角、圓周角大小；在圓與多邊形組合圖形中，結合圓的性質與三角函數知識，計算圖形面積或線段間的比

例關系。

3.高頻考點：考點集中在三角函數定義在圓中的應用，圓的性質（垂徑定理、圓周角定理等）與三角函數知識的融合,

以及通過添加輔助線（如作圓的直徑、弦的垂線等）構造可運用三角函數的直角三角形模型。

4.能力要求：要求學生具備良好的知識遷移能力，將三角函數知識靈活運用到圓的問題情境中；擁有較強的圖形構建

能力，能從復雜圓圖形中識別或構造出適用三角函數的直角三角形；掌握扎實的運算能力，準確進行三角函數值與圓

中幾何量的計算。

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5.易錯點：易錯點在于在圓中構造直角三角形時，對直角邊、斜邊與圓中線段的對應關系判斷錯誤，導致三角函數選

用不當；混淆圓的性質與三角函數的應用條件，在計算過程中出錯；添加輔助線不合理，無法有效構建運用三角函數

的模型，影響解題思路。

02解題攻略

【典例分析】

例1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，V/BC內接于。。，48為。。的直徑，于點。，將△CD8沿

5c所在的直線翻折，得到點。的對應點為E,延長EC交A4的延長線于點F

⑴求證：C戶是OO的切線；

（2）若sin/CB8=二，48=8,求圖中陰影部分的面積.

2

例2.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，V48c中，ZACB=90°,AC=BC,經過2,C兩點，與斜邊交于

點E,連接CO并延長交48于點交O。于點。，過點E作所〃CD,交/C于點尸.

（1）求證：￡尸是OO的切線；

Q）若BM=4亞,tanZBCD=~,求的長.

【變式演練】

1.（2024?天津?中考真題）已知V/08中，乙48。=30。,/8為。。的弦，直線M7V與。。相切于點C.

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（1）如圖①，若AB〃MN,直徑CE與NB相交于點。，求N/O8和N3CE的大小；

（2）如圖②，若OB〃MN,CG1AB,垂足為G,CG與02相交于點尸,。4=3,求線段。F的長.

2.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，"BC為OO的內接三角形，AB為。。的直徑,將A48c沿直線48翻折到A/AD,

點。在。。上.連接CD,交AB于點E,延長2。，CA,兩線相交于點尸，過點A作。。的切線交8P于點G.

(1)求證：AG//CD；

⑵求證：PT=PG?PB;

（3）若sin//尸。=；,PG=6.求tan4GB的值.

3.（2024?寧夏?中考真題）如圖，OO是VN8C的外接圓，45為直徑，點。是V4BC的內心，連接40并延長交OO于

點E,過點E作。。的切線交N8的延長線于點尸.

（1）求證：BC//EF；

（2）連接CE,若。。的半徑為2,sinN/￡C=g,求陰影部分的面積（結果用含兀的式子表示）.

03中考練場

一、單選題

1.（2025?陜西?模擬預測）如圖，四邊形/8CD內接于。O,48為直徑，點E為。。上一點.若/B￡C=18。，則//DC

的度數為（）

A.72°B.108°C.110°D.118°

2.（2025?浙江溫州?模擬預測）如圖，A,B是。。上的點，A',才是O。外的點，V和△/'C?是位似圖形，位

似中心為點O,點A,8對應點是點H,B',。夕交O。于點C,若OC=2"C,AB=2,則/⑻的長為（）