2024-2025學年遼寧省沈陽市五校協作體高二（下）期末數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年遼寧省沈陽市五校協作體高二（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|2<x<5}，B={x|2x≤8}，則A∪B=A.{x|2<x≤3} B.{x|x<5} C.{x|3≤x<5} D.{x|x≤3}2.某班有60名同學，一次數學考試(滿分150分)的成績X服從正態分布N(90,σ2)，若P(80≤X≤100)=0.6，則本班在100分以上的人數約為A.6 B.12 C.18 D.243.已知x與y之間具有相關關系，并測得如下一組數據，x與y之間的經驗回歸方程為y?=?0.7x+10.3，則m的值為x681012y65m2A.3 B.3.3 C.4 D.4.34.在公差不為0的等差數列{an}中，若a3是ax與ayA.32 B.53 C.655.已知y=1?alog2x是減函數，則函數f(x)=|x|(x?a)的大致圖象為A. B.

C. D.6.已知點(m,9)在冪函數f(x)=(m?2)xα的圖象上，設a=f(α+1m)，b=f(ln2)，A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a7.已知數列{an}滿足an=(?1)nn2，某同學將其前A.64 B.?81 C.100 D.?1218.已知函數f(x)=xex+1?kx+k，有且只有一個負整數x0，使f(x0A.(23e,12] B.(0,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設數列{an}的前項n和為Sn，若aA.{Sn}為等比數列 B.Sn=3n10.已知函數f(x)=(x?4)ex，下列說法正確的是(

)A.limΔx→0f(1+Δx)?f(1?Δx)3Δx=?43e

B.當且僅當m>?e3時，方程f(x)?m=0有兩個不等的實根

C.對區間(2,+∞)上任意兩個實數x1≠x11.已知甲口袋中裝有3個紅球，1個白球，乙口袋中裝有2個紅球，1個白球，這些球只有顏色不同.先從甲口袋中隨機取出1個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出1個球.記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件A1、A2，從乙口袋中取出的球是紅球為事件B，則下列結論正確的是(

)A.P(A2)=34 B.P(B|A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.“a>12”是“1a13.設函數f(x)在(a,b)上的導函數為f′(x)，f′(x)在(a,b)上的導函數為f″(x)，若在(a,b)上f″(x)<0恒成立，則稱函數f(x)在(a,b)上為“凸函數”，已知f(x)=ex?xlnx?m2x214.在n維空間中(n≥2,n∈N)，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為n維坐標(a1,a2,?,an)，其中ai∈{0,1}(1≤i≤n，i∈N)，定義：在n維空間中的兩點(a1,四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知命題p：?x∈R，不等式2x2+4x+7?m>0恒成立；命題q：?x∈R，使x2?2mx+m+2<0成立．

(1)若命題p為真命題，求實數m的取值范圍；

(2)若命題p，q16.(本小題15分)

錢學森、華羅庚、李四光、袁隆平、鐘南山分別是我國著名的物理學家、數學家、古生物學家、農學家、呼吸病學專家，他們在各自不同的領域為我國作出了卓越貢獻.為調查中學生對這些著名科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名中學生，請他們列舉這些科學家的成就，把能列舉這些科學家成就不少于4項的稱為“比較了解”，少于4項的稱為“不太了解”.調查結果如表：0項1項2項3項4項5項5項以上男生(人)166720173女生(人)25581082(1)完成如下2×2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“中學生對這些科學家的了解程度與性別有關”比較了解不太了解合計男生女生合計(2)在抽取的100名中學生中，按照性別采用分層抽樣的方法抽取一個10人的樣本，從這個樣本中隨機抽取4人，記X為這4人中女生的人數，求X的分布列和數學期望．

附：P(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828K2=n(ad?bc)17.(本小題15分)

已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1+a5=8，S6=33．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)記數列18.(本小題17分)

已知函數f(x)=m(1?x)?lnx?1．

(1)當m=2時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)≥?1，求m的值；

(3)當m>1時，證明：g(x)=f(x)+xex?m有219.(本小題17分)

甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.設從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，經過n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn．

(Ⅰ)寫出X1的分布列并計算E(X1)；

(Ⅱ)某人重復進行了100次操作，記an=1,Xn=00,Xn≠0，(n∈N,1≤n≤100)，求該數列{a答案解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x|2<x<5}，B={x|2x≤8}={x|x≤3}，

則A∪B={x|x<5}．

故選：B．

2.【答案】B

【解析】解：∵成績X服從正態分布N(90,σ2)，P(80≤X≤100)=0.6，

∴P(X>100)=P(X>90)?P(80≤X≤100)2=0.5?0.62=0.2，

所以本班在100分以上的人數約為60×0.2=123.【答案】A

【解析】解：根據題意可知，x?=6+8+10+124=364=9，y?=6+5+m+24=13+m4，

4.【答案】A

【解析】解：公差不為0的等差數列{an}中，若a3是ax與ay的等差中項，則2a3=ax+ay，

所以x+y=6，x>0，y>0，

則1x+45.【答案】B

【解析】解：已知y=1?alog2x是減函數，又由于對數函數y=log2x是增函數，

所以a>0，

又f(x)=?x(x?a),x≤0x(x?a),x>0，

當x>0時，f(x)=(x?a2)2?a24，

則函數f(x)的圖象是對稱軸為直線x=a2>0，頂點為(6.【答案】C

【解析】解：因為f(x)=(m?2)xα為冪函數，所以m?2=1，解得m=3，

把點(3,9)代入f(x)=xα中，得3α=9，解得α=2，所以f(x)=x2，

因為a=f(a+1m)=f(1)，b=f(ln2)，c=f(32)，

且f(x)在(0,+∞)上為增函數，

又因為0<ln2<1<32，則f(ln2)<f(1)<f(32)，

所以7.【答案】A

【解析】解：因為an=(?1)nn2，

則前20項和S=?12+22?32+42?…?192+202

=(8.【答案】A

【解析】解：已知函數f(x)=xex+1?kx+k，則f(x)≤0?xex+1≤kx?k有且只有一個負整數解．

令g(x)=xex+1，則g′(x)=(x+1)ex+1，

當x<?1時，g′(x)<0，

當x>?1時，g′(x)>0，

所以g(x)在(?∞,?1)上遞減，在(?1,+∞)上遞增，

當x=?1時，g(x)取得最小值為g(?1)=(?1)×e?1+1=?1，

設?(x)=kx?k=k(x?1)，則?(x)恒過點(1,0)，

在同一坐標系中分別作出y=g(x)和y=?(x)的圖象，如圖所示：

顯然x0=?1，依題意得g(?1)≤?(?1)且g(?2)>?(?2)，即?1≤?2k且?2e>?3k，解得23e<k≤12，

9.【答案】AD

【解析】解：因為a1=1,an+1=2Sn(n∈N?)，

所以當n=1時，a2=2S1=2a1=2，

當n≥2時，an+1=Sn+1?Sn=an+22?an+12，

所以32an+1=an+22，所以an+2=3an+1，

因為a2=2a1，所以從第二項起，數列{an}是公比為3的等比數列，

所以an=2,n=12×310.【答案】ACD

【解析】解：函數f(x)=(x?4)ex的定義域為R，

f′(x)=ex+(x?4)ex=(x?3)ex，

當x<3時，f′(x)<0，f(x)在(?∞,3)上單調遞減；

當x>3時，f′(x)>0，函數f(x)在(3,+∞)上單調遞增，

對于A，limΔx→0f(1+Δx)?f(1?Δx)3Δx=23limΔx→0f(1+Δx)?f(1?Δx)2Δx=23f′(1)=?43e，A正確；

對于B，當m=0時，f(x)=0只有1個根4，B錯誤；

對于C，f(x1)+f(x2)?2f(x1+x22)=(x1?4)ex1+(x2?4)ex2?2(x1+x22?4)ex1+x22

=(ex12?ex22)[(x1?4)ex12?(x2?4)ex22]，令函數?(t)=(2t?4)et，t>1，

求導得?′(t)=(2t?2)et>0，函數?(t)在(1,+∞)上單調遞增，

由x1，x2∈(2,+∞)，x1≠x2，不妨令x1>x2>2，則?(x12)>?(x22)，

即(x1?4)ex12>(x2?4)11.【答案】BCD

【解析】解：對于A，由于甲口袋中裝有4個球，其中有1個紅球，所以P(A2)=14，故A錯誤；

對于B，若從甲口袋中取出的球是白球，則此時乙口袋中有2個紅球，2個白球，

從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為P(B|A2)=24=12，故B正確；

對于C，由于甲口袋中裝有4個球，其中有3個紅球，所以P(A1)=34，

若從甲口袋中取出的球是紅球，則此時乙口袋中有3個紅球，1個白球，

從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為P(B|A1)=34，

所以P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=34×12.【答案】充分不必要

【解析】解：1a<2?a>2或a<0，

故“a>12”是“1a<2”的充分不必要條件．13.【答案】[e【解析】解：函數f(x)=ex?xlnx?m2x2,x>0，

求導得f′(x)=ex?1?lnx?mx，f″(x)=ex?1x?m，

依題意，?x∈(1,2)，f″(x)<0?m>ex?1x恒成立，

而函數g(x)=ex?1x14.【答案】6421【解析】解：對于X=k(1≤k≤6,k∈Z)的隨機變量，在坐標(a1,a2,a3,??,a6)與(b1,x12…6PCC…C所以E(X)=1?c6126?1+2?c622615.【答案】解：(1)命題p：?x∈R，不等式2x2+4x+7?m>0恒成立；

若p為真命題，則Δ1=16?4×2×(7?m)=8m?40<0，

解得m<5，所以m的取值范圍是(?∞,5)．

(2)命題q：?x∈R，使x2?2mx+m+2<0成立．

當q為真命題時：Δ2=4m2?4(m+2)=4m2?4m?8>0，

解得m<?1或m>2，所以m的取值范圍是(?∞,?1)∪(2,+∞)．

當命題p，q中恰有一個為真命題時，

①P為真命題，q為假命題，即m<5?1?m?2，

所以m的取值范圍是[?1,2]．

②p為假命題，q【解析】(1)利用判別式Δ<0，求出不等式2x2+4x+7?m>0恒成立時m的取值范圍；

(2)求出命題q為真命題時m的取值范圍，討論①P為真命題，q為假命題和②p為假命題，q為真命題時m16.【答案】解：(1)依題意填寫2×2的列聯表如下：比較了解不太了解合計男生402060女生202040合計6040100K2=100(40×20?20×20)260×40×60×40≈2.78<3.841，

∴沒有95%的把握認為“中學生對這些科學家的了解程度與性別有關”．

(2)抽取的女生人數為10×40100=4(人)，男生人數為10×60100=6(人)．

所以X的可能取值為0，1，2，3，4，

則P(X=0)=C40X01234P18341數學期望為E(X)=0×114【解析】(1)依題意填寫2×2的列聯表，求出K2，然后判斷是否有95%的把握認為“中學生對這些科學家的了解程度與性別有關”．

(2)抽取的女生人數，男生人數，X的可能取值為0，1，2，3，4，求出概率，得到X的分布列，然后求數學期望E(X)．

17.【答案】解：(1)設等差數列{an}的公差為d，

又a1+a5=8，S6=33，

則2a1+4d=86a1+15d=33，

則a1=?2d=3，

則an=?2+3(n?1)=3n?5；

(2)由(1)可得：1an+1an+2=1(3n?2)(3n+1)=13(13n?2?13n+1)，

則【解析】(1)設等差數列{an}的公差為d，則2a1+4d=86a1+15d=3318.【答案】3x+y?2=0；

m=?1；

證明見解析．

【解析】(1)當m=2時，f(x)=1?2x?lnx，則f′(x)=?2?1x，

∴f(1)=?1，f′(1)=?3，

∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y+1=?3(x?1)，

即3x+y?2=0．

(2)函數f(x)的定義域為(0,+∞)，且f′(x)=?m?1x=?mx+1x，

①當m≥0時，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調遞減，

又f(1)=?1，∴當x>1時，f(x)<?1，不符合題意；

②當m<0時，由f′(x)<0，得0<x<?1m，由f′(x)>0，得x>?1m，

∴f(x)在(0,?1m)上單調遞減，在(?1m,+∞)上單調遞增，

∴f(x)min=f(?1m)=m+ln(?m)，

∵f(x)≥?1，則其等價于m+ln(?m)≥?1，即1+m+ln(?m)≥0．

令u(m)=1+m+ln(?m)(m<0)，則u′(m)=1+1m=m+1m，

∴當m∈(?∞,?1)時，u′(m)>0，u(m)單調遞增，

當m∈(?1,0)時，u′(m)<0，u(m)單調遞減，

∴u(m)max=u(?1)=0，因u(m)≥0恒成立，故m=?1．

(3)證明：g(x)=f(x)+xex?m=xex?lnx?mx?1，x∈(0,+∞