2026版三維設(shè)計(jì)一輪高中總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題庫-第六節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.通過具體實(shí)例，了解對數(shù)函數(shù)的概念；能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)（a＞0，且a≠1）.1.化簡lg2+lg5－lg8lg50A.1 B.2C.3 D.4解析：A原式＝lg2×58lg502.（2024·雅安一模）函數(shù)y＝log0.5A.［23，1） B.（23，＋C.（0，1] D.（23，解析：D函數(shù)y＝log0.5（3x－2）有意義，則有3x－2>0，log0.5（33.已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝（）A.25 B.5C.259 D.解析：C由2a＝5兩邊取以2為底的對數(shù)，得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log4534.函數(shù)y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的圖象恒過的定點(diǎn)是.答案：（2，2）解析：當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的值為2，所以圖象恒過定點(diǎn)（2，2）.5.已知函數(shù)f（x）＝loga（2x－a）在區(qū)間［23，34］上恒有f（x）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案：（12，解析：由題意得a>1，2×23－a1.換底公式的變形（1）logab·logba＝1，即logab＝1logba（a，b均大于0（2）logambn＝nmlogab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈2.換底公式的推廣logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）.3.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.1.（多選）如圖是三個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象，則（）A.a＞1 B.0＜b＜1C.2b＜2c＜2a D.c＜b解析：ABC由結(jié)論3可知A、B、C正確.2.log89×log332＝.答案：10解析：由結(jié)論1知，log89×log332＝23log23×5log32＝103.log23·log34·log42＝.答案：1解析：由結(jié)論2知，log23·log34·log42＝log22＝1.對數(shù)式的運(yùn)算1.設(shè)alog34＝2，則4－a＝（）A.116 B.C.18 D.解析：B法一因?yàn)閍log34＝2，所以log34a＝2，則有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19法二因?yàn)閍log34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，2.（2024·九江模擬）log535＋2log122－log5150－log5A.1 B.2C.3 D.4解析：B原式＝log535－log5150－log514＋log12（2）2＝log535150×14＋log122＝log5125－1＝log553.（2024·濟(jì)寧模擬）log225·log3（22）·log59＝.答案：6解析：法一log225·log3（22）·log59＝log252·log3232·log532＝6log25·log32·log53法二log225·log3（22）·log59＝lg25lg2·lg（22）lg3·lg9lg5＝練后悟通1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例1】（1）函數(shù)y＝logax與y＝－x＋a在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）（2）已知函數(shù)f（x）＝｜lnx｜.若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），則a＋4b的取值范圍是（）A.（4，＋∞） B.[4，＋∞）C.（5，＋∞） D.[5，＋∞）答案：（1）A（2）C解析：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝logax的圖象為選項(xiàng)B，D中的曲線，此時(shí)函數(shù)y＝－x＋a的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a應(yīng)滿足a＞1，B、D錯(cuò)誤；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝logax的圖象為選項(xiàng)A，C中的曲線，此時(shí)函數(shù)y＝－x＋a的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a應(yīng)滿足0＜a＜1，A正確.（2）由f（a）＝f（b）得｜lna｜＝｜lnb｜.根據(jù)函數(shù)y＝｜lnx｜的圖象及0＜a＜b，得－lna＝lnb，0＜a＜1＜b，所以a＝1b，令g（b）＝a＋4b＝4b＋1b，根據(jù)對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)易得g（b）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以g（b）＞g（1）＝5.故a＋4b＞5，解題技法利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧（1）對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）、值域（最值）、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想；（2）對一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.1.函數(shù)f（x）＝loga｜x｜＋1（0＜a＜1）的圖象大致為（）解析：A由函數(shù)f（x）的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.設(shè)g（x）＝loga｜x｜，先畫出x＞0時(shí)，g（x）的圖象，然后根據(jù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱畫出x＜0時(shí)g（x）的圖象，最后由函數(shù)g（x）的圖象向上整體平移一個(gè)單位長度即得f（x）的圖象，結(jié)合圖象知選A.2.已知函數(shù)f（x）＝log2x，x>0，3x，x≤0，關(guān)于x的方程f（x答案：（1，＋∞）解析：問題等價(jià)于函數(shù)y＝f（x）與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象（如圖所示）可知a＞1.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考向1比較對數(shù)式的大小【例2】（1）（2021·新高考Ⅱ卷7題）已知a＝log52，b＝log83，c＝12，則下列判斷正確的是（A.c＜b＜a B.b＜a＜cC.a＜c＜b D.a＜b＜c（2）（2021·天津高考5題）設(shè)a＝log20.3，b＝log120.4，c＝0.40.3，則a，b，c的大小關(guān)系為（A.a＜b＜c B.c＜a＜bC.b＜c＜a D.a＜c＜b答案：（1）C（2）D解析：（1）∵a＝log52＜log42＝12，b＝log83＞log93＝12，故b＞c＞a.（2）∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝log120.4＝－log20.4＞－log20.5＝1，0＜c＝0.40.3＜0.40＝1，∴a＜c＜b，解題技法比較對數(shù)式（值）大小的常見類型及解題方法考向2解對數(shù)方程或不等式【例3】（教材題改編）若loga4＜1，則a的取值范圍為.答案：（0，1）∪（4，＋∞）解析：當(dāng)a＞1時(shí)，由loga4＜1?loga4＜logaa?a＞4；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由loga4＜1?loga4＜logaa?a＜4，即0＜a＜1，綜上所述，a的取值范圍為（0，1）∪（4，＋∞）.（變條件）若本例中的條件變?yōu)閘oga4＜2a－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案：（0，1）∪（2，＋∞）解析：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga4＜0＜2a－1，顯然成立；當(dāng)a＞1時(shí)，由2a－1－loga4＝2a－1－ln4lna，令f（x）＝2x－1－ln4lnx，由y＝2x－1，y＝－ln4lnx在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，且f（2）＝0，因此，f（a）＞0＝f（2），即a＞2，綜上可知，a∈（0，1）∪（解題技法對數(shù)不等式常見的兩種類型及求解方法（1）求解形如logaf（x）＞logag（x）的不等式，主要是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需要分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論；（2）求解形如logax＞b的不等式，先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式，再轉(zhuǎn)化為（1）型求解.考向3對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題【例4】設(shè)函數(shù)f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，則f（x）（）A.是偶函數(shù)，且在12B.是奇函數(shù)，且在－1C.是偶函數(shù)，且在－∞D(zhuǎn).是奇函數(shù)，且在－∞解析：D由2x+1≠0，2x－1≠0，得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?-12∪－12，12∪12，＋∞，其關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)閒（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，排除A、C；當(dāng)x∈－12，12時(shí)，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)x∈－∞,-12時(shí)，f解題技法與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則確定函數(shù)的單調(diào)性.1.已知a＝log312，b＝30.7，c＝sin3，則（A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.a＞c＞b D.b＞c＞a解析：D因?yàn)閘og312＜log31＝0，所以a＜0，因?yàn)?0.7＞30＝1，所以b＞1，因?yàn)棣?＜3＜π，所以0＜sin3＜1，即0＜c＜1，所以b＞c2.（多選）已知函數(shù)f（x）＝ln2x+12x－A.f（x）為奇函數(shù)B.f（x）為偶函數(shù)C.f（x）在（12，＋∞）D.f（x）的值域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞）解析：ACDf（x）＝ln2x+12x－1，令2x+12x－1＞0，解得x＞12或x＜－12，∴f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?2）∪（12，＋∞），又f（－x）＝ln－2x+1－2x－1＝ln2x－12x+1＝ln（2x+12x－1）－1＝－ln2x+12x－1＝－f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，故A正確，B錯(cuò)誤；又f（x）＝ln2x+12x－1＝ln（1＋22x－1），令t＝1＋