第11講弧長及扇形面積（8大知識點8大典例變式訓練過關檢測）-（暑期銜接課堂）2025年暑假八升九數學銜接講義（浙教版）

第11講弧長及扇形面積（1大知識點+8大典例+變式訓練+過關檢測）典型例題一求弧長典型例題二求圓心角典型例題三求扇形半徑典型例題四求某點的弧形運動路徑長度典型例題五求扇形面積典型例題六求弓形面積典型例題七求其他不規則圖形的面積典型例題八求圖形旋轉后掃過的面積知識點01弧長設的半徑為，圓心角所對弧長為，弧長的計算【即時訓練】1．（2025·浙江衢州·模擬預測）如圖，兩個大小一樣的傳送輪連接著一條傳送帶，則這條傳送帶的長為（

）【答案】B【分析】根據傳送帶的長為一個直徑為的圓的周長加兩個圓心之間距離的兩倍，即可得出答案．故選：B．【點睛】本題主要考查了圓的周長計算，解題的關鍵是數形結合，熟記圓的周長公式．【即時訓練】【答案】【分析】本題主要考查了弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題關鍵．故答案為：．知識點02扇形的面積扇形面積的計算（1）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫作扇形。（3）公式推導：（4）公式中的“”與弧長公式中的“”的意義是一樣的，表示“”的圓心角的倍數，計算時不帶單位。【即時訓練】1．（2425九年級上·浙江金華·期中）下列圖形中，稱為扇形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據扇形的定義判斷即可．【詳解】解：根據扇形的定義由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形可知選項是扇形，其它選項不是扇形．故選：B．【點睛】本題考查了扇形，掌握扇形的定義是解答本題的關鍵．【即時訓練】2．（2425九年級上·浙江溫州·期末）如圖，，，，兩兩不相交，且半徑都是，則圖中四個扇形（即陰影部分）的面積之和為．【答案】【分析】本題考查扇形的面積，關鍵是由圖形得到四個扇形的面積之和半徑是的圓的面積．四個扇形的面積之和=半徑是的圓的面積，由此即可計算．【詳解】解：四邊形內角和是，故答案為：．【典型例題一求弧長】A． B． C． D．【答案】B故選：B．A．120 B．116 C．108 D．100【答案】C【分析】本題主要考查了求弧長．先求出點P移動的距離，再根據弧長公式計算，即可求解．故選C．【答案】故答案為：【例4】（2025·浙江麗水·模擬預測）如圖，小明同學把一直角三角板的角的頂點A放在半徑為4的圓形鐵絲上，三角板的一條直角邊及斜邊分別與圓形鐵絲交于點B，C，則圖中的長為．（結果保留）【答案】故答案為：．【答案】A故選A．2．（2025·浙江紹興·模擬預測）綜合與實踐——硬幣滾動中的數學．將兩枚半徑為r的硬幣放在桌面上，固定白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖1；將三枚半徑均為r的硬幣連貫的放在桌面上，固定兩枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖2；現將四枚半徑均為r的硬幣按圖3、圖4擺放在桌面上，固定三枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，則在圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路徑長的比值為．【答案】故答案為：．3．（2324九年級上·浙江金華·階段練習）一位家住內蒙古呼倫貝爾大草原的同學，暑假回家幫助家人在空地上圍城左邊是半圓，右邊是矩形的羊圈（如圖所示），在柵欄總長度為定長的條件下，矩形的豎直方向寬設為，水平方向長為，要使羊圈面積最大，應如何設計？【分析】本題主要考查二次函數的應用，根據題意列出周長的關系式，再結合面積公式列出表達式，利用二次函數的性質求解即可．【詳解】解：如圖，∵柵欄總長度為定長，【典型例題二求圓心角】A．90 B．108 C．120 D．無法判斷【答案】B【分析】本題考查了弧長的公式的應用，根據傳送的距離等于轉動了的圓弧的長，進而即可求得．故選：B．【答案】D故選：D．【點睛】本題考查了弧長公式的應用，掌握公式和理解圖形變化前后對應關系是解題的關鍵．【答案】故答案為：．

【答案】/90度【詳解】解：連接，

故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，準確作出輔助線和熟練掌握圓周角定理和圓心角定理是解題的關鍵．

A．1 B．2 C． D．【答案】C故選：C．【點睛】本題考查了弧長公式的應用，扇形的面積計算，掌握公式和理解圖形變化前后對應關系是解題的關鍵．【答案】【詳解】解：連接OC，設∠BOC=n°，∴∠BAC=45°，∴根據旋轉的性質得故答案為：．【點睛】本題考查弧長公式、圓周角定理、扇形面積公式，熟記公式，掌握圓周角定理是解答的關鍵．(2)依據相關數據，求花窗的面積．【分析】本題考查求圓心角與扇形面積，熟練掌握弧長與扇形面積公式是解題的關鍵．【典型例題三求扇形半徑】【例1】（2324九年級上·浙江溫州·階段練習）已知一條圓弧的度數為，弧長為，則此圓弧的半徑為（）A．15 B．30 C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長公式的變形計算，根據公式，變形計算即可．故選B．A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B∵裙長為米，故選：B．【詳解】解：設扇形的半徑為，【答案】故答案為：．1．（2025·浙江衢州·模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長為8，以點A為圓心，AD為半徑，畫圓弧DE得到扇形DAE（陰影部分，點E在對角線AC上）．若扇形DAE正好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（

）【答案】D【分析】根據圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等列式計算即可．【詳解】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，根據題意可知：AD=AE=8，∠DAE=45°，底面圓的周長等于弧長：解得r=1．所以，該圓錐的底面圓的半徑是1故選：D．【點睛】本題考查了圓錐的計算，解決本題的關鍵是掌握圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．2．（2425九年級上·浙江溫州·期中）如圖所示，在矩形紙片上剪下一個扇形和一個圓形，使之恰好能圍成一個圓錐模型.若扇形的半徑為R，圓的半徑為r，則R與r滿足的數量關系是.【分析】利用圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長，根據弧長公式計算．圓的半徑為，則底面圓的周長是，【點睛】本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算，解題的關鍵是要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．3．（2425九年級上·浙江紹興·期末）如圖，已知．（1）試用尺規作圖確定所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若的度數為120°，的長是8π，求所在圓的半徑的長．【答案】（1）作圖見解析；（2）12【分析】（1）在弧上任取一點C，連接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分線即可（2）根據弧長公式計算即可；【詳解】（1）在弧上任取一點C，連接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分線即可，點O即為所求；（2）如圖，連接AO，BO，又∵弧AB的長是，∴所在圓的半徑的長是12．【點睛】本題主要考查了弧長公式的應用，結合垂直平分線作圖求解是解題的關鍵．【典型例題四求某點的弧形運動路徑長度】【例1】（2425九年級上·浙江衢州·期中）鐘面上分針的長為1，從12點到12點20分，分針針尖在鐘面上走過的軌跡長度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得可知，分針針尖在鐘面上走過的軌跡為圓弧，從12點到12點20分走了圓周長的三分之一，進行計算即可．【詳解】解：由題意，得：分針針尖在鐘面上走過的軌跡為圓弧，到12點20分走了圓周長的三分之一，故選B．【點睛】本題考查弧長公式．熟練掌握弧長公式，是解題的關鍵．A． B． C． D．【答案】A【分析】由旋轉的性質可得所在圓的半徑和圓心角度數，再根據弧長計算公式進行計算即可．故選：A．【點睛】本題考查旋轉的性質，弧長的計算，理解旋轉的性質，掌握弧長的計算方法是正確解答的前提．【例3】（2425九年級上·浙江金華·期末）如圖，將半徑為2cm的圓形紙板，沿著長和寬分別為12cm和10cm的矩形的外側滾動一周并回到開始的位置，圓心所經過的路線長度是cm．【答案】（44+4π）【分析】圓心所經過的路線長度是矩形的周長+一個圓的周長，結合弧長公式解答．【詳解】解：圓在矩形的四個角的頂點處旋轉的角度是：90°×4＝360°，則圓心所經過的路線的長是：2（12+10）+4π＝（44+4π）（cm）故答案為：（44+4π）．【點睛】本題考查弧長公式，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．【答案】【分析】將點A翻滾到A2位置分成兩部分：第一部分是以C為旋轉中心，CA長5cm為半徑旋轉90°，第二部分是以D為旋轉中心，3cm為半徑旋轉60°，根據弧長的公式計算即可．故答案為：．【答案】C【分析】本題主要考查了正六邊形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，弧長公式，利用正六邊形的性質和勾股定理求出的長度，進而得到的長度，最后根據弧長公式進行計算即可．故選：C．【分析】矩形旋轉一次，頂點A所經過的路徑是以右下角的頂點為圓心，這個頂點到A的距離為半徑的圓周長的，每轉4次又回到開始位置，即可得出答案．【點睛】本題考查矩形及弧長計算，關鍵是探索旋轉中的規律：旋轉4次，A又回到左下角，A經過的路徑為．(1)在圖中標出點，并畫出“L”形旋轉后所得到的圖形；(2)______；(3)在旋轉過程中，點所經過的路徑長為______．【答案】(1)見解析(2)90(3)【分析】本題考查了作圖旋轉變換，求弧長．（1）線段和的中垂線的交點即為點O，再確定點的位置，最后連線即可得“L”形旋轉后所得到的圖形；（3）點所經過的路徑長是以為半徑，圓心角為90度的弧長，根據弧長公式計算即可．【詳解】（1）解：如圖，線段和的中垂線的交點即為點O，“L”形旋轉后所得到的圖形如圖所示；故答案為：90；（3）解：點所經過的路徑長是以為半徑，圓心角為90度的弧長，故答案為：．【典型例題五求扇形面積】A． B． C． D．【答案】D故選：D．【答案】A【分析】本題考查了扇形的面積，掌握扇形的面積公式是解題的關鍵．故選：A．【答案】【分析】陰影部分的面積等于兩個扇形的面積的和，根據扇形的面積公式計算即可．此題主要考查了扇形面積的計算，正確熟記扇形的面積公式是解此題的關鍵．故答案為：【分析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵．根據扇形面積公式計算即可．A． B．1 C．2 D．4【答案】C故選：C．【答案】【詳解】解：如圖，連接、．∵，是以為直徑的半圓的三等分點，故答案為：．方案二：如圖2，先在鋼板上沿對角線割下兩個扇形，再焊接成一個大扇形（如圖3）．方案三：如圖4，先把鋼板分成兩個相同的小矩形，并在每個小矩形里割下兩個小扇形，然后將四個小扇形按類似圖3的方法焊接成一個大扇形．(1)由方案一、二可知圖1、圖3中所得扇形的圓心角均為90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圓心角是否也是，請說明理由．(2)由方案一、二容易得出圖1的扇形與圖3的扇形的面積相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面積是否也與方案二所焊接成的大扇形的面積相等；若不相等，面積是增大還是減小？請說明理由．(3)若將正方形鋼板按類似圖4的方式割成n個相同的小矩形，并在每個小矩形里割下兩個小扇形，然后將這2n個小扇形按類似方案三的方式焊接成一個大扇形，則當n逐漸增大時，所焊接成的大扇形的面積如何變化？【答案】(1)大于，理由見解析(2)不能相等，面積增大；理由見解析(3)當n逐漸增大時，焊接成的大扇形的面積增大【分析】本題考查了正方形的性質，扇形的面積的計算，列出扇形的面積是解題的關鍵．（2）根據扇形的面積公式進行解答；（3）n越大，焊接而成的大扇形的圓心角越大，可知扇形的面積越大．【詳解】（1）解：不能為90°．∴按方案三所焊接而成的大扇形的圓心角必大于90°．（2）解：不能相等，面積增大．∴圓心角n增大，扇形的面積必增大；由（1）知，按方案三所焊成的大扇形的圓心角大于90°，∴按方案三所焊成的大扇形的面積大于按方案二所焊接成的大扇形的面積．（3）解：n越大，所焊接成的大扇形的面積也越大．∴n越大，焊接而成的大扇形的圓心角越大，∴焊接成的大扇形的面積也越大．【典型例題六求弓形面積】A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4【答案】C【分析】根據同弧所對的圓心角和圓周角的關系，可以得到∠BOC的值，然后根據勾股定理可以得到OB的長，由圖可知S陰影＝S扇形BOC?S△BOC，然后代入數據計算即可．【詳解】解：∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4，解得OB＝4，∴S陰影＝S扇形BOC?S△BOC＝4π?8．故選：C．【點睛】本題考查扇形面積的計算、勾股定理、圓周角定理，利用數形結合的思想解答是解答本題的關鍵．【例2】（2025·江蘇連云港·模擬預測）如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）【答案】B【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，過點OC作OD⊥AB于點D，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，故選：B．【點睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計算方法是正確解答的關鍵．【答案】【分析】根據扇形的面積公式用大扇形的面積小扇形的面積即可．由圖可知陰影部分的面積大扇形的面積小扇形的面積，故答案為．【分析】求弓形面積，利用所在的扇形的面積，再減去三角形的面積，因此構造弓形所屬扇形，用【詳解】解：設點O為所在圓的圓心，連接OB，OC，如圖所示，A． B． C． D．【答案】D故選：D．2．（2025·浙江金華·模擬預測）現在很多家庭都使用折疊型西餐桌來節省空間，兩邊翻開后成圓形桌面（如圖1）．餐桌兩邊AD和BC平行且相等（如圖2），小華用皮帶尺量出AC＝4米，AB＝2米，那么桌面翻成圓桌后，桌子面積會增加平方米．（結果保留π）【分析】首先將圓形補全，設圓心為O，連接DO，過點O作OE⊥AD于點E，進而得出AD，EO的長以及∠1，∠AOD的度數，進而得出S弓形AD面積＝S扇形AOD﹣S△AOD求出即可．【詳解】解：將圓形補全，設圓心為O，連接DO，過點O作OE⊥AD于點E，由AD和BC平行且相等，則四邊形ABCD是平行四邊形，∵平行四邊形ABCD內接與圓，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AC為圓的直徑，∵AC＝4米，AB＝2米，∴∠ACB＝30°，∵餐桌兩邊AB和CD平行且相等，∴∠C＝∠1＝30°，∴EO＝AO＝1，∴AD＝，∵AO＝DO，∴∠1＝∠D＝30°，∴∠AOD＝120°，∴S弓形AD面積＝S扇形AOD﹣S△AOD【點睛】題主要考查了圓的綜合問題，包括扇形面積計算圓內接四邊形等知識，熟練掌握圓的相關知識是解題關鍵．(3)在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積（結果保留）．（3）根據扇形面積公式和三角形面積公式進行計算即可．∵是直徑，（2）如圖，連接，【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，勾股定理，扇形面積的計算，熟練掌握各性質定理，熟記扇形面積計算公式是解題的關鍵．【典型例題七求其他不規則圖形的面積】【答案】B故選：B．

【答案】A故選：A．

【分析】本題主要考查了直角三角形的面積和扇形的面積的計算，用直角三角形的面積減去兩個半徑相等的扇形的面積，就是剩余部分的面積．【分析】本題考查的知識點是圓的性質、扇形面積的計算公式，解題關鍵是熟練掌握扇形面積的計算公式．兩半圓面積相等，【答案】D故選：．，∵“玫瑰三葉形”的周長為，由圖形可得，“玫瑰三葉形”的面積可以看成個全等的弓形組成，(1)求半徑的長；(2)求圖2中陰影部分的面積．【答案】(1)30【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，平行線間的距離，（2）連接【典型例題八求圖形旋轉后掃過的面積】A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查點的坐標，勾股定理，扇形的面積公式，根據點坐標可以求出的長，再由題意可知，繞原點逆時針方向旋轉到掃過面積為圓的面積，由扇形面積公式即可求得．∵將繞原點逆時針方向旋轉到，∴線段掃過的部分的面積為圓，故選B．【例2】（2324九年級上·貴州遵義·階段練習）貴州畢節風車草原成為近年來網紅打卡地，云海風車更是吸引著浙江金華各地的游客前來參觀．風車扇葉示意圖如圖所示，扇葉的長為20米，當扇葉旋轉至位置時，扇葉掃過的面積為（

）【答案】C故選：C．【答案】故答案為：．【答案】∴線段掃過的圖形面積為，故答案為：．1．（2025·浙江·模擬預測）如圖，一根5m長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A(羊只能在草地上活動)，那么小羊A在草地上的最大活動區域面積是（

）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2【答案】D故選：D.【點睛】本題主要考查了扇形面積的實際應用，畫出符合條件的圖形是解決本題的關鍵.【分析】解直角三角形求出BC、AC、∠ABC的度數，根據旋轉的性質求出CB′=CB，∠B′=∠ABC=60°，∠A′CB′=∠ACB=90°，求出∠ACA′,再根據扇形的面積公式和弧長公式求出答案即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，∴BC=AB=4，∠ABC=90°∠A=60°，∵將Rt△ABC繞點C順時針旋轉，使斜邊A′B′過B點，∴CB′=CB，∠B′=∠ABC=60°，∠A′CB′=∠ACB=90°，∴△BCB′是等邊三角形，∴∠BCB′=60°，∴∠A′CB=90°60°=30°，∴∠ACA′=∠ACB∠A′CB=90°30°=60°，【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形，解直角三角形和扇形的面積以及弧長計算等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．(2)在（1）的條件下，求出線段所掃過的面積．【答案】(1)見解析【分析】本題主要考查了旋轉作圖、扇形的面積、勾股定理等知識點，掌握扇形的面積公式是解題的關鍵．（2）先利用勾股定理計算出，然后根據扇形面積公式計算線段所經過的面積即可．【答案】A【分析】此題考查了扇形弧長，設這個扇形的半徑為根據題意列方程求解即可．∴設這個扇形的半徑為∴這個扇形的半徑為．故選：A．A． B． C． D．【答案】B故選：B．3．（2425九年級上·浙江杭州·期末）起重機的滑輪裝置如圖所示，已知滑輪半徑是10cm，當物體向上提升3πcm時，滑輪的一條半徑OA繞軸心旋轉的角度為（

）A． B．【答案】A【分析】設半徑OA繞軸心旋轉的角度為n°，根據弧長公式列出方程即可求出結論．【詳解】解：設半徑OA繞軸心旋轉的角度為n°解得n=54即半徑OA繞軸心旋轉的角度為54°故選A．【點睛】此題考查的是根據弧長，求圓心角的度數，掌握弧長公式是解決此題的關鍵．4．（2425九年級上·浙江紹興·期中）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（

）【答案】A【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面積公式是關鍵．故選：A．

【答案】C【分析】整個旋轉過程中線段所掃過部分的面積(即陰影部分面積)為以點B為圓心，、為半徑的兩個扇形組成的一個環形，分別求出、，即可求出陰影部分面積．【詳解】解：連接，，

∴線段所掃過部分的面積(即陰影部分面積)為以點B為圓心，、為半徑的兩個扇形組成的一個環形，∵H為邊的中點，故選：C．【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，涉及到直角三角形的性質及旋轉的性質，根據題意作出輔助