初中數學數與代數學習領域起始復習課教學策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”在“課程實施”中強調，“充分發揮核心素養導向的教學自標對教學過程的指導作用，在實現知識進階的同時，體現核心素養的進階”“教學內容是落實教學目標、發展學生核心素養的載體”“幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。”在九年級學生第一輪復習時，教師如果還像單元復習或期中、期末復習那樣，仍然按照教材的編排順序，以章為單位進行復習教學，那么將會導致學生過分關注知識點而忽視了知識點之間的內在聯系和主題研究方法的一致性，難以形成有張力的結構。為此，教師可基于整體教學理念，對教學內容進行結構化思考，形成數與代數學習領域宏觀統領、系統構建、逐步實施的一輪復習教學設想：第一節課是安排數與代數學習領域的復習課，進行宏觀統領；第二節課是領域內第一個主題“數與式\"的中觀建構；第三節課是“數與式運算”的微觀細化。后續設置基于主題的習題課、檢測課及講評課。教師應引導學生利用數與式的結構對“方程與不等式\"“函數\"兩個主題進行復習，發揮結構的力量，使數與代數學習領域的內容結構逐漸內化為學生的認知結構。下面，筆者以數與代數學習領域起始復習課為例，對上述復習策略和意義進行探討。一、尋根溯源，厘清關聯一數與代數學習領域起始復習課的整體分析（一）起始復習課作用分析與定位數與式構成了代數的基礎語言。在初中階段，教師應引導學生關注如何使用字母來表示數，從而形成代數式，并以運算為核心，構建起數與式的體系。通過理解關系，學生能夠體會到方程和不等式是描述現實世界的有力工具；進而，通過變量之間的對應關系，學生能夠發展到更高層次的思維一一函數。在常規的中考復習教學中，通常以一個章節或以教輔劃定的課時為單位落實復習教學，學生或許能回憶起具體的問題，但往往難以形成整體觀念，知識掌握缺乏內在聯系，難以形成從宏觀角度審視所學內容的思考經驗。而本節起始復習課內容跨越了三個年級的六冊教材，共十三章的內容，學習時空跨度大，導致學生對先前學過的知識遺忘嚴重。為了有效克服教學難點，筆者從簡單的數及其運算入手，以運算為主線，讓學生體會數系的擴展、代數式的形成過程；從數學內部出發，借助關系構建方程（組）和不等式（組），引入兩個變量構造函數，從低起點開始，步步為營、循階而上，幫助學生構建起整個數與代數學習領域的全景圖式，讓學生在這一領域復習的起始階段就能見到系統的\"大廈”，而不是局部的“瓦礫”。（二）起始復習課復習內容及其解析1.復習內容人教版初中數學教材數與代數學習領域中的三個主題，“數與式\"分布在七年級上冊第一章“有理數”第二章“有理數的運算”，七年級下冊第八章“實數”，八年級上冊第十四章“整式的乘法與因式分解”、第十五章“分式”，八年級下冊第十六章“二次根式”；“方程與不等式（組）\"分布在七年級上冊第三章“一元一次方程”，七年級下冊第九章“一元一次不等式（組）”第十章“二元一次方程組”，九年級上冊第二十一章“一元二次方程”；“函數\"分布在八年級下冊第十九章“一次函數”，九年級上冊第二十二章“二次函數”，九年級下冊第二十六章“反比例函數”；共十三章的內容。2.內容解析數與式構成了數與代數學習領域的基礎。在初中階段，學習數域的最大范圍是實數，研究數通常遵循“定義表示$$性質$$運算$$應用”的路徑。式的研究與數具有一致性，當給出數與式一定的等量關系時，就產生了方程（組）；當給出不等關系時，就產生了不等式（組）；當再引入一個變量來表達代數式的值與其中字母的變化對應關系時，就產生了函數。如此遞進式發展，完整呈現了數與代數學習領域的內在生長過程。（三）起始復習課復習目標及其解析1.復習目標（1）通過運算經歷式的產生過程，感受數式通性，建立數與式的結構，理解數與式結構的一致性；（2）通過關系建立構造方程和不等式，體會方程、不等式是數與式相等或不等關系的表達，建立方程、不等式的結構；（3）借助函數的視角構造函數，體會變量的變化對應關系，形成函數的結構，厘清函數與方程、不等式的內在聯系，構建數與代數學習領域的結構體系。2.目標解析達成目標（1）的標志：建立數與式的結構鏈，清晰認識到運算產生了新的式，并掌握其結構；達成目標（2）的標志：能認識到方程是數與式等量關系的表達，掌握其一般研究路徑；達成目標（3）的標志：掌握初中學段各類函數與方程的關系及函數的研究路徑，能夠用函數的視角審視方程與不等式。二、素養導向，系統整合一數與代數學習領域起始復習課的教學過程設計（一）數之源起，代數統領教師先提出問題：用數學的眼光觀察下頁圖1，你想到了什么？用數學的眼光觀察得到“3”，你又想到了什么？在學生充分表達的基礎上，教師順勢闡釋：在中國文化中，數字“三\"頗為受寵。像“三人行，必有我師焉”。道家所言\"道生一，一生二，二生三，三生萬物”，其中“方物”是一種借喻，代指“所有事物”，從數學層面講，等同于“所有的數”，也就是“任意一個數”。那么，如何表示任意一個數呢？圖1課堂導入圖在學生給出用一個小寫字母表示任意一個數（如4?x，）的前提下，筆者點睛：有了用字母表示數的方法，使數學的“威力\"大增。因為“它（x）”不僅可以表示未知數，還可以當成已知數參與運算，也就產生了式。若給式一個關系（相等或不等）就可以建立方程，當然它也可以表示變量，用另一個變量表示式的值時，也就得到了函數。數與式”“方程與不等式\"及“函數”構成了本節要復習的代數系統（展示“代數的藤蔓”，如圖2）。圖2“代數的藤蔓”【設計意圖】通過展示圖，從直觀感受過渡到用數學眼光觀察，旨在激發學生的好奇心，體會數是對數量的抽象，理解數之源起。一個簡單的問題讓不同層次的學生都有話可講，有想法可以表達，讓復習（思維）在每一名學生的身上真實發生；再通過層層遞進的追問引發更深的思考，實現知識關聯深化理解，使學生認識到數學知識是一個相互關聯的整體，而非孤立的點。這符合奧蘇貝爾的有意義學習理論，與學生原有知識結構中的數的概念相互作用，實現知識的同化。從數延伸到用字母表示數，是從具體到抽象的又一次跨越，使學生理解字母表示數的強大通性，拓寬了數學思考、數學表達的邊界，使學生對數與代數學習領域系統有一個大概了解。（二）運算生新，數式相通教師出示問題一：①4×（-3）2-2×（-3）;②2×（-3）-1。教師追問：兩題中有哪些數？參與了哪些運算，其結果是什么？師生共同建立實數知識結構（如圖3），明確研究內容和路徑。圖3實數知識結構【設計意圖】從數的運算入手，體會數是一切運算的根本，通過對運算過程的剖析，引導學生梳理實數運算相關知識，將零散的運算規則和計算方法系統化。師生共同建立實數知識結構，明確從基礎運算規則到綜合運算應用的研究內容和路徑，便于學生整體把握知識，提升數學思維的邏輯性和系統性。教師出示問題二：用x取代以上算式中的-3，會得到什么算式？①4x2-2x;②2x-1門教師追問：以上兩式中字母x參與了哪些運算？形成了哪類式？教師出示問題三：根據數式通性原理，利用剛才獲得的兩個式子（或其中之一），你能創編出一個什么樣的題目？教師追問：你所創編的題目中含有哪些運算？它們的運算結果是什么？對于這些式我們是怎么研究的？學生獨立思考創編后，小組內交流想法，分享自己構思題目的過程，了解大家是怎樣想的，與同學一起對不完善的題目進行修改和補充。教師參與學生的交流，了解學生的思維過程以及解決問題時遇到的困難，引導學生回顧整個過程，與學生一起建立數與式的結構（如下頁圖4）。圖4數與式的結構【設計意圖】借助用字母表示數，體會式比數更具有一般性；所創編的式中都參與了哪種運算，體會數式通性，即式與數一樣，保持了數的運算性質、法則、運算律的一致性。借助運算體會其結果產生了分式，類比有理數的分類，給出“整式與分式統稱有理式”的再認識；由開方運算產生了二次根式、三次根式等無理式，遂成“有理式和無理式統稱為代數式\"的現有認識。在解決這一問題時，教師引導學生通過漸近性板書形成代數式的結構，體會數與代數式結構的一致性及研究路徑，促進研究內容的一致性。這樣就建立了整式、分式與二次根式之間的關聯，并通過同類項和同類二次根式，建立了數與式之間的運算關聯。（三）關系搭橋，方程（不等式）刻畫教師出示問題四：如何利用問題二和問題三中的表達式構建方程和不等式？教師追問：我們構建了哪些方程和不等式？又是如何研究它們的？教師關注學生交流，了解學生的思維過程，對學生給出的方程（組）和不等式（組）進行分類，共同建立方程和不等式的結構（如圖5）。圖5方程和不等式的結構【設計意圖】立足于兩個式之間的數量關系（或一個式與常數間的數量關系）實現數式向方程、不等式的轉換，進而產生向函數領域延伸的趨勢。教師引導學生將之前問題中的表達式與方程（組）不等式（組）的知識建立聯系，促使學生整合運用分散的數學知識，加深對代數知識體系的理解，提升知識遷移水平。（四）變量相依，函數表達教師出示問題五：如何利用問題二和問題三中的表達式構建函數？教師追問：大家構建的函數屬于哪一類？我們是如何學習它們的？如何用函數的視角審視方程和不等式（以一次函數為例）？【設計意圖】通過用函數的視角來看（即一個量來表達）問題二、問題三中的整式、分式、根式，或把方程、不等式動態化，實現知識拓展與整合，拓寬知識視野，完善數學知識體系，以培養函數建模能力，使學生學會從函數角度看待數量關系。此外，幫助學生梳理自己構建的函數類型，如一次函數、二次函數、反比例函數等，加深對不同函數類型特征的理解，強化對函數概念的認知，明晰研究路徑，發展其數學核心素養。教師以一次函數為例，引導學生用函數的視角重新審視方程和不等式，揭示函數、方程、不等式之間的內在聯系，幫助學生建立起更系統、連貫的數學思維；通過這種跨知識模塊的思考，加深學生對數學本質的理解，讓學生明白不同數學概念并非孤立存在，而是相互關聯、相互轉化的。（五）數式為基，相生相長教師引導學生借助前面的感知，回顧“數與式一方程（不等式）一函數\"的發展脈絡，梳理出“數與代數\"系統的整體結構（如圖6）。"【設計意圖】教師引導學生厘清三個主題的內在關聯，建構整個“數與代數\"領域的知識體系；厘清知識生長的來龍去脈，明晰研究路徑；體會它們在研究路徑方法上的邏輯性、整體性、一致性。（六）多維作業，運算貫通【作業一】對上面提出但未解決的問題依次進行解決。【作業二】借力前面的感知，回顧它們的內在關聯，自已復習數與式相關章節，嘗試畫出數與式主題結構圖。【作業三】A層（計算）：；（改編自八年級上冊分式練習和八年級下冊練習）（為八年級上冊例題）B層：（2）先化簡再求值請你選擇一個合適的值代人求值（改編自八年級上冊例題）。【設計意圖】在對作業完成情況的分析中搜尋學生的薄弱點，發現學生的共性問題，可以為后繼每一部分復習的學情分析提供真實背景；為下一節復習課中觀建構數與式的結構提供方向性支持，助力知識內容的結構化。【作業一】中要求學生按序解答之前所提出的系列問題，這一過程能夠促使學生將課堂所學知識融會貫通，編織出完整且牢固的知識網絡；【作業二】期望學生回溯數與式之間的內在關聯，并通過繪制數與式的結構圖，進一步深化對整個數與代數學習領域架構的理解與把握。【作業三】A層作業聚焦基礎運算以及化簡求值能力的錘煉，旨在讓學生進一步認識數與式的基本運算準則；B層作業則更側重于綜合應用能力的考查，為下一節的復習奠基。三、形成結構化認知，發展核心素養一數與代數學習領域起始復習課的教學思考與闡釋（一）系統起始復習，宏觀統攝組織作為數與代數學習領域的起始復習課，本節課是一類宏觀意義上的課，應該讓學生在中考復習一開始就見到這個領域（系統）的全貌，明晰這個領域是怎樣學習的，其內在關聯如何，形成整個領域的結構化，起到宏觀統攝的引領作用。本節課是站在三年課程的高度，通過“領域一主題\"的認定，確立好復習的進程，把三年課程統籌規劃（本領域復習整體規劃如圖7），通過“二次創業”，讓知識再生長，便于學生系統化學習知識、結構化建構知識體系，進而成為穩定性強、遷移力強的認知結構。圖7數與代數學習領域復習整體規劃（二）優化認知結構，深化知識理解布魯納的認知結構理論強調學習者應主動構建知識體系。筆者通過梳理“數式一方程一函數”的發展脈絡，引導學生將零散的數與代數學習領域的知識進行整合，清晰把握各知識點在系統中的位置和關聯，形成層次分明、邏輯連貫的知識網絡，促進長時記憶與知識存儲，如此清晰的“數與代數\"結構能讓學生發現不同知識點間的共性和差異。根據奧蘇貝爾的認知遷移理論，該學習方式可以實現知識的正遷移，便于提升知識的有效提取和應用效率。（三）培養思維能力，涵育數學觀念建構主義學習理論認為學習是學習者在原有的經驗基礎上主動建構意義的過程。筆者通過設計問題鏈，引導學生有條理地思