《現代圖像分析》課件第4章

4.1二維形狀描述技術

4.2三維物體的表示方法4.3由圖像性質導出表面方向4.1.1內標量方法

內標量方法以完整形狀輪廓所包圍的區域為對象，利用從這些區域導出的數學性質來做形狀的描述，實現起來比較簡單，無需進行智能推斷或剖析。我們將感興趣的區域置為1，不感興趣的部分置為0，形成二值圖，在數值為1的子圖上進行標量測量。顯然，若目標因搭接或交疊只能獲得形狀的部分輪廓時，就很少應用這類技術。4.1二維形狀描述技術

1．簡單標量技術

簡單標量技術是早期形成的一種形狀描述方法，它不是數據保持的，在機器視覺和目標識別領域已有廣泛應用。諸如面積、周長、包圍目標的最小外圓、內接目標的最大內圓以及它們的比值等都屬于簡單標量。

1)分散度

分散度(Divergence)是一種面積形狀的測度。

如圖4.1.1給出了兩個具有同樣面積和周長而形狀不同的目標，它們的分散度一樣，但形狀不同，要識別它們還必須借助其它的描述子加以區別。圖4.1.1兩個有同樣周長與面積的不同形狀目標

2)伸長度

設圖像子集S的面積為A，寬度為W，即使S完全消失所需的最小收縮步數為W，定義A/W2為S的伸長度。

3)歐拉(Euler)數

歐拉數的定義是物體個數和孔數之差。在一幅圖像中孔數為H，物體連接部分數為C，則歐拉數E定義為

E=C-H

(4.1-1)

例如，圖4.1.2中所示的區域，其歐拉數分別等于0和-1，因為A有一個物體連接部分和一個孔，而B有一個物體連接部分和兩個孔。圖4.1.2歐拉數示例

4)凹凸性

設p是圖像子集S中的點，若通過p的每條直線只與S相交一次，則稱S為發自p的星形，也就是站在p點能看到S的所有的點。

5)復雜性

復雜性是物體形狀分析的一個重要性質，人們對形狀復雜性的判斷依賴于物體的許多性質，而且與觀察環境、觀察者的知識習慣等心理因素有關。

6)偏心度

區域的偏心度是區域形狀的重要描述，度量偏心度常用的一種方法是采用區域主軸與輔軸之比，如圖4.1.3所示。圖4.1.3一種偏心度量：A/B

另一種方法是計算慣性主軸比，它基于邊界線點或整個區域來計算偏心度。特南鮑姆(Tenenbaum)提出了計算任意點集R偏心度的近似公式。為了得到近似公式，需作如下計算：①計算平均向量

(4.1-2)

②計算pq矩

(4.1-3)

③計算方向角

(4.1-4)

④計算偏心度的近似值

其中m11、m02、m20的概念見下面矩不變量的介紹。(4.1-5)

2.矩不變量

1)矩不變量基本定理

矩(Moment)是一種線性特征，矩特征對于圖像的旋轉、比例和平移具有不變性，因此可以用來描述圖像中的區域特性。

二維矩不變量理論是1962年由美籍華人學者胡名桂教授提出的，對于連續圖像二維函數f(x,y)，其p+q階矩定義為如下黎曼積分形式：

(4.1-6)

其中，p+q=0,1,2,…。將上述矩特征量進行位置歸一化，得圖像f(x,y)的中心矩(Centralmoment)：

(4.1-7)

式中，，而

(4.1-8)

(4.1-9)

(4.1-10)如果將圖像f(x,y)的灰度看做是“質量”，那么上述的(

,

)即為圖像f(x,y)的質心點。

對于M×N的數字圖像f(i,j)，其p+q階矩可表示為

(4.1-11)

即為目標區域的形心。這樣，離散圖像的中心矩為

(4.1-12)

現在再將中心矩進行大小歸一化，定義歸一化中心矩為

(4.1-13)式中，r=(p+q)/2+1。

可以進一步推出利用ηpq表示的7個具有平移、比例和旋轉不變性的矩不變量(注意I7只具有比例和平移不變性)：(4.1-14)矩特征有著明確的物理和數學意義。正如前面討論的那樣，目標的零階矩m00反映了目標的面積，一階矩反映了目標的質心位置，因此利用這兩個矩量就可以避免物體大小和位移變化對物體特征的影響。物體的二階矩又稱為慣性矩。物體的低階矩所反映的物體的特征可以用圖像橢圓來表示，如圖4.1.4所示，參見本章參考文獻［3］。圖像橢圓的主軸定向角可利用低階矩求得：

(4.1-15)圖4.1.4圖像橢圓圖像橢圓的長短軸分別為

(4.1-16)

(4.1-17)從物理學的角度對二階矩進行分析，可以對物體的旋轉半徑定義如下：

(4.1-18)三階以上的高階矩主要描述圖像的細節。目標的三階矩主要表現了目標對其均值分布偏差的一種測度，即目標的扭曲度。目標的四階矩在統計中用于描述一個分布的峰態，

有關矩量的物理含義和數學中的統計意義的解釋有助于我們理解矩特征，便于特征的選取和分布。

不變矩計算示例見圖4.1.5。圖4.1.5同一幅圖像的不同變型對圖4.1.5各圖根據式(4.1-14)計算得到的7個矩不變量的數值列在表4.1.1中，由表可知這7個矩不變量在圖像發生以上幾種變化時其數值基本保持不變(一些微小差別可歸于對

離散圖像的數值計算誤差)。表4.1.1矩不變量計算結果

2)投影矩不變量

由矩的定義可知mpq是一個二重積分運算，在離散情況下是二重加權求和運算，其運算簡單。投影矩的定義如下：經數學變換推導可得矩與投影矩的關系為(4.1-20)在離散情況下，數字圖像f(i,j)通常為有限區域亮度分布函數，-M≤i≤M，-N≤j≤N，則可改寫成如下離散化形式：

(4.1-21)為求投影矩，取r=3,θ=0、π/4、π/2、3π/4，先求四個方向的投影值：

(4.1-22)可得四個方向上的投影矩：

(4.1-23)

3.二維傅氏變換

通過比較兩個不同形狀的傅氏變換，可以進行目標匹配，這表明二維傅氏變換也不失為一種形狀描述方法。

圖像函數f(i，j)的二維傅氏變換F(m，n)定義為：

(4.1-24)其中：(i，j)為圖像坐標，M、N為圖像尺寸。已知在頻域比較兩個形狀等價于在空間域作模板的匹配運算。在形

狀識別時，若遇到尺度和旋轉量不清楚時，就需要在尺度和旋轉量可能變化的范圍內重復進行目標匹配運算。圖4.1.6目標的弦

4.弦分布

一條封閉曲線的弦定義為連接邊界上一已知點和邊界上任意其它點的連線，見圖4.1.6中的r。所謂弦分布描述，是通過一條閉合曲線上所有弦的長度和角度的分布來形成形狀的描述方法。

以b(x，y)表示邊界曲線：

(4.1-25)極坐標形式下了弦分布h(r,θ)為

h(r,θ)=

b(x,y)b(x+rcosθ,y+ysinθ)dxdy

(4.1-26)直角坐標下的弦分布h(dx,dy)為

h(dx,dy)=

b(x,y)b(x+dx,y+dy)dxdy

(4.1-27)在r和θ域內分別對分布作累加，就產生了輻射弦分布h(r)和角弦分布h(θ)，即：

(4.1-28)

(4.1-29)4.1.2外標量變換方法

這類方法通過變換將目標邊界用相應的標量描述。對原始的目標邊界有如下幾種數學表示方式：

(1)極坐標表示。

(2)直角坐標表示。

(3)切線表示。

(4)曲率表示。

利用邊界點切線Φ(l)的導數來表示邊界，因為這個導數對應于該曲線的連續曲率，故稱為曲率表示。

圖4.1.7畫出了一個邊界的極坐標、切線及直角坐標表示。圖4.1.7邊界的表示

1.傅氏形狀描述

一個目標邊界的傅氏系數經過歸一化處理后，也可作為形狀描述參數。圖4.1.8顯示了一個xy平面內的N點數字邊界。以任意點(x0,y0)為起點，坐標對(x0,y0),(x1,y1),…,(xN-1,yN-1)為逆時針方向沿著邊界遇到的點。這些坐標可以用下列形式表示：x(k)=xk和y(k)=yk。用這個定義，邊界可以表示成坐標的序列s(k)=［x(k),y(k)］(k=0,1,2,…,N-1)。再有每對坐標可以看做一個復數：

s(k)=x(k)+jy(k)圖4.1.8一條數字化邊界和表示它的復數序列

對離散s(k)的傅里葉變換(DFT)為

(4.1-30)

復系數S(u)稱為邊界的傅里葉描繪子(Fourierdescriptor)。這些系數的逆傅里葉變換為

(4.1-31)如果假設代替所有的傅里葉系數，只使用前P個系數，則反向傅里葉系數s(k)的近似值如下所示：

(4.1-32)圖4.1.9給出了由N＝64個點的正方形邊界以及在式(4.1.32)中取不同P值重建這個邊界得到的一些結果。首先可注意到，對很小的P值，重建的邊界是圓形的。當P增加到8時，重建的邊界才開始變得像一個圓角方形。其后隨著P的增加，重建的邊界基本沒有大的變化，只有到P＝56時，四個角點才比較明顯起來。繼續增加P值到61時，4條邊才變得直起來。最后再加一個系數，P＝62，重建的邊界就與原邊界幾乎一致了。圖4.1.9借助傅里葉描述近似表達邊界現在我們來考慮一下傅里葉描述受邊界平移、旋轉、尺度變化以及計算起點(傅里葉描述與從邊界點建立復數序列對的起始點有關)的影響。起點的變化在空域相當于把序列的原點平移，而在傅里葉變換域中相當于乘以一個與系數本身有關的量。綜合上面討論可總結得表4.1.2。表4.1.2傅里葉描述受邊界平移、旋轉、尺度變化以及計算起點的影響由于標量方法通常要涉及輪廓位置數據的求解，因此它們不能正常地處理只獲得目標部分邊界的情況。對于丟失30％邊界點的輪廓，可以通過在S(u)和N′上極小化下述函數，估計出輪廓的傅里葉系數：

(4.1-33)

2.隨機方法

目標外輪廓一般是一條封閉的曲線，可以用諸如自回歸模型這類隨機方法導出一組參數來描述它。假定封閉的邊

界曲線L上有K個邊界點，則可按下式計算曲線L的形心(x0,y0):

(4.1-34)以形心(x0,y0)為中心，向外以等角度2π/N作射線，該射線必與曲線L相交于一點，這就是采樣點。形心與采樣點的距離形成了一個序列R(i),i=0,1，…,N-1，它是一種近似曲線的表示，用它來描述邊界曲線L,參見圖4.1.10。圖4.1.10用R(i)序列表示曲線自回歸模型的含義是將R(i)看做一個隨機過程，并用前m個采樣點的數值來估計當前點的值，計算公式為

i=0,1,…,N-1

(4.1-35)對一觀察序列{R(i)}，運用最小方差估計可解出:

(4.1-36)

其中r為{R(i)}的均值，C為待估計的參數矩陣，Φ、B為相關矩陣，即

(4.1-37)

3.轉折能量法

從概念上說，這個方法是將一個棒彎曲成給定目標邊界形狀所需的物理能量，它對應于在輪廓長度上累加曲率的平方。圖4.1.11是解釋這個方法的一個例子，其中圖(a)是一段被采樣了的目標輪廓線；圖(b)是曲率與路徑長度的函數關系，曲率按45°為單位計算增量；圖(c)是平滑與平方后的轉折能量。利用轉折能量表示目標外輪廓邊界不具有數據保持性，因為不同的形狀可能具有同樣的轉折能量。圖4.1.11轉折能量法示例4.1.3內空間域技術

1.中軸變換

從一幅棒狀線條圖常常可以識別出像人、馬這類復雜圖形。這表明形狀的骨架或對稱軸攜帶有許多定義形狀所要的信息。具體處理步驟如下：

(1)假定B是一個邊界點集；

(2)對區域中每一點，找出它在區域邊界上的最近鄰點；

(3)若區域內某點有一個以上的邊界點與其有相同的最小距離，則該點必定位于對稱軸或中軸之上；

(4)將找出的相鄰的中軸點連接形成骨架。為從中軸復原出原圖形，需要知道中軸骨架上每一點至邊界點的最小距離r(x)。以x為中心、以r(x)為半徑的所有圓的并集就是原圖形。圖4.1.12是幾個圖形的中軸表示。中軸

表示也有一些不足：其一是對噪聲很敏感，邊界上小的擾動會引起中軸結構的較大變化；其二不能直接由兩個形狀的中軸導出它們之間的相似性度量；其三不能直接表示與邊界凸凹有關的形狀特性。圖4.1.12中軸變換骨架

2.多尺度中軸變換

多尺度中軸變換是在中軸變換基礎上發展起來的。

3.凸集分解技術

從結構分析觀點看，一個復雜的圖形可以分解為若干個最簡單的形狀的組合。不失一般性，只考慮有向多邊形，它的邊均指定了方向，外邊界為順時針方向，內邊界為逆時針方向。

凸集分解過程是層次進行的：

(1)找出由該多邊形所有半平面相交而形成的Q子集，作為將要形成的Q樹的樹根。這個Q子集的排斥表是空的；

(2)由樹根出發，分別減少一個半平面，看由所有其它半平面能否交出Q子集，形成Q樹的新一層節點。若能產生，則記錄并準備下一層分解，所交出的Q子集的排斥表中將有一個半平面。

(3)從可以繼續分解的節點出發，再分別減少一個半平面，檢查由所有其它半平面能否產生Q子集，形成新一層節點。

(4)通過移去所有與上層節點相同的葉子，就將Q樹修整為化約Q樹。化約Q樹的葉子是由盡可能少的半平面相交而構成的多邊形凸子集。圖4.1.13解釋了上述分解過程，第一層的Q子集為EFKE，排斥表為空。第二層是排斥一個半平面的結果，第三層是在第二層可繼續分解節點上再排斥一個半平面的結果。最右邊的是該多邊形的化約Q樹。圖4.1.13多邊形與它的Q樹、化約Q樹因此，有向多邊形P的初等凸子集定義為對應于它的化約Q樹的葉子的集合，而多邊形P的核是一個沒有非空先輩的Q子集。P的初等凸子集的并集等于P。圖4.1.14說明，

由一定數量多邊形可以逼近普通物體外輪廓時的初等子集和核，其中以小寫字母表示初等子集，而以陰影和數字表示核。由圖可見，分解很直觀簡潔。當然還可以采用別的圖形作基本形狀，例如非凸子集。圖4.1.14某些普通物體的多邊形外廓分解為初等子集

(標以字母)和核(打上陰影并標以數字)在凸集分解的基礎上，可以形成多邊形的初等圖，這是一個標號的二叉樹，其節點對應初等子集和核，對應交集的不同標號的節點將連通。它是物體的一種表述，圖4.1.15中給出圖4.1.14中物體的初等圖。圖4.1.15圖4.1.14中物體的初等圖4.1.4外空間域技術

1.鏈碼跟蹤

鏈碼(Chaincode)是對邊界點的一種編碼表示方法，其特點是利用一系列具有特定長度和方向的相連的直線段來表示目標的邊界。常用的有4方向和8方向鏈碼，其方向定義分別見圖4.1.16(a)和(b)。它們的共同特點是直線段的長度固定，方向數有限。圖4.1.16(c)和(d)分別給出用4方向和8方向鏈碼表示區域邊界的例子。圖(d)中選取S點作為起點，形成的鏈碼為01222322100000765556711。圖4.1.164方向和8方向鏈碼為了確定鏈碼所表示的曲線在圖像中的位置，并能由鏈碼準確地重建曲線，需要標出起點的坐標。此時，常將鏈碼歸一化，即改變起點位置使鏈碼所表示的整數最小，這通過鏈碼的循環位移便能得到。鏈碼的表示歸一化對形狀匹

配是有益的。我們將這樣轉換后所對應的鏈碼起點作為這個邊界的歸一化鏈碼的起點，參見圖4.1.17。圖4.1.17鏈碼起點歸一化對4鏈碼來說，它的導數是指對每個碼元向后作差分，并對結果作模4運算。這種表示的優點在于鏈碼與邊界的

旋轉無關，而且同樣描述了鏈碼的走向。參見圖4.1.18，左邊的目標逆時針旋轉90°后成了右邊的圖形。原鏈碼發生了變化，但差分碼并沒有變化。圖4.1.18鏈碼的旋轉歸一化差分碼的求取：設原碼為MN=a1a1…an,差分碼為

MN′=b0b1…bn。其中：

(4.1-38)八鏈碼時N＝8,四鏈碼時N＝4

2.廣義鏈碼和多邊形近似

在簡單的鏈碼技術中，以跟蹤的步長去衡量每個標準方向的單元線段。

4.1.5二維形狀描述方法回顧

現將已述的二維形狀描述方法總結成表4.1.3，其中ST為標量變換，SD為空間域，I為內描述，E為外描述，DP為數據保持，DN為非數據保持，PY為能描述部分輪廓，FN

為不能描述部分輪廓。表4.1.3二維形狀描述方法回顧4.1.6二維形狀的層次描述

對二維形狀來說，可以基于其占有的區域或區域的輪廓找出描述它的方法。一般有兩類方法：一是用不同常數的高斯濾波器去平滑形狀所占有的區域，而后形成對應不同濾波常數的層次描述；二是用不同常數的高斯濾波器沿形狀的邊界作一維濾波，而后再形成相應的層次描述。我們認為利用Witkin尺度空間思想建立層次形狀描述是必要的，但直接套用又不盡合適。

(1)形狀的層次描述中的層次(也不妨叫形狀分辨率)不應當同圖像的分辨率混同起來。

(2)不同的形狀應當具有特定的層次數，簡單用幾個共同的濾波常數獲得的層次描述很難觸及不同形狀的本質。

圖4.1.19是一些實驗結果，其中圖(a)為鑰匙圖像及相應的內外層次多邊形組；圖(b)為相應的層次形狀描述。表4.1.4為鑰匙的層次參數，其中NT為樹叢中樹的序號，NL為每棵樹中的層序號，Lns為層多邊形的邊數，Lnsa為內銳角數，Lnn為增加的新邊數，Lsl為邊的統計參數。圖4.1.19二維形狀的層次描述4.2.1骨架描述法

骨架(Skeleton)描述法又可稱為線條畫表示法。如圖4.2.1所示，線條是兩個平面的交線，幾根線條又交匯在一個頂點。頂點和線條都隨目標不同及在目標上的位置不同，而具有各異的狀態：一個頂點可能是兩條線或多條線相交而成的，各線之間的空間角也不相同；線條兩側的平面可能形成不同的空間角，使線條呈現出凸在外面或凹在里面的效果。4.2三維物體的表示方法圖4.2.1骨架描述4.2.2表面描述法

通常一個三維物體可以由它的封閉表面或邊界確定。因此，表面描述法對于計算機視覺是很有用的，特別是對平面多面體的表示。在建立三維物體的視覺描述中，它還起著中間過渡表示的作用。

1.表面基元法

物體由它們的邊界或封閉表面表示，而這些表面又是由一些用無界數學曲面和曲線點等基元組成的面基元構成的。圖4.2.2是基于平面基元的三維物體表示的一個例子。對某些物體，由于觀察者的角度不同，可以得到不同的表面基元，如圖4.2.3所示。因此，對面作任何單一的定義在很多

應用中都是不合適的。圖4.2.2基于平面基元的三維物體表示圖4.2.3表面基元基于平面基元的表示不僅涉及平面基元之間的關系，還要具體確定各平面基元。實際上只有面、邊和頂角三種節點需要考慮彼此之間的連接關系。每個面節點要指向它的周邊之一，每個邊節點既要指向形成它的兩個側面，又要指向它的兩個端點，每個頂角節點要指向在該頂點相交的各邊。圖4.2.4表示了利用這種方法連接一個四面體各邊節點的情形。圖4.2.4四面體邊節點連接的例圖

2.多邊形網格

多邊形網格是邊、頂點和多邊形的集合。頂點由邊來連接，多邊形由一系列頂點或邊構成。可以用不同的途徑來表示多邊形網格，它們各有優缺點。一般說來，頂點、邊和多邊形之間的關系表達得越明顯，執行運算的速度就越快，但需要的存儲空間也越大。現介紹三種多邊形網格表示法。

1)直接表示多邊形的方法

每一個多邊形都用一個頂點坐標表表示：P={(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),…,(xn,yn,zn)},用繞多邊形一圈所遇到的點的次序來存儲這些頂點。

2)用指向頂點表的指針定義多邊形

這種表示方法對多邊形網格中的每一個頂點只存儲一次，按頂點形式P={(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),…,(xn,yn,zn)}存儲。每個多邊形通過指向頂點表列的指針(或下標)來定義。

3)直接用邊表示多邊形

在這種表示中，仍有一個頂點表V，用一個指向邊表的指針表代替了上面表示方法中的點表的指針表。在邊表中，每條邊僅出現一次，而且指向頂點表中定義該邊的兩個頂點，同時還指向該邊所屬于的一個或兩個多邊形。所以將一個多邊形描述為P=(E1,E2,…,En)，每條邊表示為E=(V1,V2,P1,P2)。當一條邊僅屬于一個多邊形時，P1和P2為空。3.以樣條函數為基礎的表示

用曲面網格表示曲表面的物體，顯然要比用多邊形網格更準確。

為了保證曲線段在連接點位置斜率的連續性以及曲線的端點要經過特定的點，常常選擇三次參數曲線，即把曲線坐標（x,y,z）分別表示為某個參數t的三次多項式。有三種方式可以定義一條三次參數曲線：①在曲線端點定義位置相切的切線的Hermit形式；②定義曲線端點的位置，用不在曲線上的另外兩個點間接定義曲線端點切線的Bezier形式；③接近又不擬合端點，但保證線段端點一階和二階導數都連續的B樣條函數(B-splinefunction)，用B樣條函數可以獲得最光滑的表示。

以B樣條函數為基礎表示曲面，可直接進行二維樣條插值，但相當復雜。對于兩個參數s和t，插值公式為

(4.2-1)

其中：Vij為曲面Z(s,t)的系數。當采用網格方式時，可將其簡化。定義一種節點Vij的網格，Vij和Zij相對應，即

Zij=MVij

(4.2-2)

此時，不在二維同時插值，而是先在一方向上(例如t)插值，對一個j值有：Zij(t)=［t3

t2

t1］［C］［Vi-1,

j0(t),Vi,j0(t)Vi+1,j0(t),Vi+2,j0(t)］T

(4.2-3)其中，［C］由雙三次多項式系數構成。對每一個t值再計算Vij(t)：

Zij(t)=MVij(t)

(4.2-4)而后在另一個方向上插值，并計算

Zij(s,t)=［s2

s2

s1］［C］［Vi-1,j(t),Vi,j(t)Vi+1,j(t),V

i+2,j(t)］T

(4.2-5)

4.球面函數的表面描述

某些物體表面可以表示為“高斯球面”上的函數。如果將表面徑向投射到一個以原點為中心的球上，則從原點到表面上一點的射線方向就是該點的方向，而表面上該點的值則是經緯度的函數。

1)由三維球坐標點組成的多邊形網格

2)球調和函數

球調和函數Umn(θ,φ)和Vmn(θ,φ)的極坐標形式定義如下：

Umn(θ,φ)=cos(nθ)sinn(φ)ρ(m,n,cos(φ))

(4.2-6)

Vmn(θ,φ)=sin(nθ)sinn(φ)ρ(m,n,cos(φ))

(4.2-7)其中：m=0,1,…,M；n=0,1,…,m，而ρ(m,n,x)為x的函數的m階Legndre多項式的n階導數。表面的凸起程度也隨m的增大而增大。為了表示任意的形狀，設極坐標中的極徑R是這些球面調和函數的線性加權和：

(4.2-8)4.2.3體積描述法和廣義圓柱體

1.體積描述法

利用三維物體占有的體積來描述三維物體是很自然的。這類描述方法有空間單元表示和單元分解等。空間單元表示又稱為空間占有，如圖4.2.5所示，它是由最基礎的體積單元堆砌去逼近三維物體的；而單元分解是用三維物體本身所具有的特定的體積單元來組合表示的。圖4.2.5用體積單元占有陣列近似物體最常用的一種8叉樹表示法是將物體空間用一個立方體來表示，如果該立方體全被物體占有，那么該立方體表示為“滿”；如果該立方體與物體完全不相交，則該立方體表示為“空”；如果物體僅占有立方體的部分空間，那么，就將該立方體等分為8個小立方體，并按一定規律給每個小立方體編號，然后再按上述規則檢查，直到分辨率所允許的最小立方體為止。當分辨率很高時需要很大的存儲量。8叉樹表示法過程如圖4.2.6所示。由于體積描述法具有比表面描述法較多的計算困難，人們也在探索一些更通用、方便的體積描述法。其中之一是考慮用一些標準的幾何形體作基元，圖4.2.7給出了用各種圓柱體表示一些動物的例子。另一條途徑是下面要介紹的廣義圓柱體，它可以表示更復雜的一些幾何形體。圖4.2.68叉樹表示法圖4.2.7利用不同圓柱體表示動物的例子

2.廣義圓柱體描述法

在三維模型表示中，物體的軸線起著十分重要的作用。物體各部分軸線之間的相對位置、長短和方向，都載有物體結構方面的重要信息。從圖4.2.8所示的幾種動物的軸線圖中，人們能大體上辨認出相應的動物來。圖4.2.8幾種動物的軸線圖廣義圓柱體表示包括一條被稱為軸線的空間曲線，軸線上任一點都有一個與軸線在該點的切線有固定角度的橫截面，而且有一個橫截面沿軸線掃描變化的變換規則(函數關系)。

在以物體為中心的坐標系中，用廣義圓柱體描述三維模型可以是等級式的，即由粗到細的分級結構，這是基于對物體不斷作精度逐步增加的近似。圖4.2.9給出了人體的分級三維模型描述的說明。圖4.2.9人體的分級三維模型描述4.3.1坐標系統和梯度空間

首先定義要采用的坐標系統，見圖4.3.1。景物中的X、Y軸和圖像中的x、y同方向且對準，Z軸朝著觀察點，即右手坐標系統。觀察點(透鏡中心)在原點位置(0，0，0)，成像平面在Z＝－1處，焦距為1。成像平面可圍繞原點轉動，以保持和景物的“上”、“下”、“左”和“右”的相對方向。4.3由圖像性質導出表面方向圖4.3.1定義坐標系統許多圖像特性與三維表面的差分性質有關。梯度空間技術為描述表面法線方向與圖像幾何之間的關系提供了一條方便的途徑。現在定義梯度空間，在圖4.3.1所示的坐標系統中，考慮一個表面：

-Z=f(X,Y)

(4.3-1)梯度空間由(p,q)定義，其中：

(4.3-2)

即p和q分別為表面沿X和Y方向在深度上的變化率。很明顯，(p,q,1)具有朝著觀察者的表面法線方向，或者(p/

)是單位表面法線矢量。矢量(p,q)對應平行平面集：

-Z=pX+qY+C (4.3-3)4.3.2由正交投影影像獲取三維形狀信息

利用梯度空間技術，可以從正交投影影像提取出的線段和區域推斷出一些三維形狀信息。本小節將從兩平面交線的投影、區域的變形對稱和陰影失真等方面出發，介紹分析推斷方法，為進一步獲取更多的三維信息打下基礎。圖4.3.2兩空間平面相交為L，L投影為l，二平面的梯度連線垂直于l

1.兩平面交線的投影

設三維空間中有兩個相交的平面，它們的法線方向分別為n1=(p1,q1,1)和n2=(p2,q2,1)，兩平面的交線L的方向由互積n1×n2決定。在正交投影成像后，兩平面的投影分別為區域R1和R2，其交線的投影l的方向應由n1×n2的X、Y分量給出，即(q1-q2,p1-p2)，見圖4.3.2(a)。因為梯度空間中的這個三角形位置和尺寸還不確定，這三條線投影可對應許多三維多面體，當然也包括立方體。為了確定立方體還需要別的三維信息。圖4.3.3“立方體”線圖示例

2.扭對稱

可視三維表面的投影是圖像中的區域，區域的形狀包含了物體的三維信息。

圖4.3.4(c)和(d)是兩個扭對稱的例子，圖中虛線是它們各自的對稱軸，圖4.3.4(e)畫出了圖4.3.4(b)的兩個對稱軸的方向。圖4.3.4扭對稱例圖設三維表面的梯度G=(p,q)。在圖像平面內，γ方向上的二維單位矢量為

eγ=(cosγ,sinγ)

(4.3-4)

根據式(4.3-3)，可以得出eγ對應的三維矢量uγ：

uγ=(cosγ,sinγ,-(pcosγ+qsinγ)) (4.3-5)在圖像上若檢測出某區域的兩個扭對稱軸，它們的方向分別為α和β，則可以有對應的兩個三維矢量uα和uβ：

uα=(cosα,sinα,-(pcosα+qsinα))

(4.3-6)

uβ=(cosβ,sinβ,-(pcosβ+qsinβ)) (4.3-7)因為uα和uβ對應三維表面的一般意義上的對稱軸，彼此應當垂直，即uα·uβ=0，或

cos(α-β)+(pcosα+qsinα)(pcosβ+qsinβ)=0

(4.3-8)

將梯度空間中p和q轉動λ=(α+β)/2，有：

(4.3-9)則式(4.3-8)變為

(4.3-10)圖4.3.5對應圖4.3.4(e)的式(4.3-8)的曲線梯度空間中的這個性質也可用于解釋線圈。還采用圖4.3.3(a)中立方體例子，將其畫在圖4.3.6(a)之中，現在考慮增加三個區域1、2和3的扭對稱軸，并形成如圖4.3.6(b)所示的

三條雙曲線。結合前面兩平面相交線的限制條件，可以確定出G1、G2、G3的位置。此時三角形不但形狀方向確定，而且位置與大小也確定，這樣它就可以唯一解釋立方體了。圖4.3.6立方體確定例圖

3.陰影幾何

陰影可以提供估計三維物體與表面之間空間關系的線索，航空照片解釋中就常用這個線索估計目標的高度。圖4.3.7(a)顯示了基本的陰影幾何。它由平行光源I、產生陰影的表面S0和接收陰影的表面Ss組成。待計算的六個參數是：S0的梯度G0=(p0,q0)、Ss的梯度Gs=(ps,qs)和光照的方向(pI,qI)。現在再考慮兩個由產生陰影和接收陰影定義的表面SI1和SI2，它們的梯度分別為GI1和GI2。SI1由E01和Es1定義，SI2由E02和Es2定義。

現在來看圖4.3.7(b)所示的例子。假設已知光照方向(實際只知光照矢量的相對深度分量僅僅為一個參數)及陰影接收表面Ss的方向(Gs)，欲求產生陰影表面S0的梯度G