2026屆吉林省長春市汽車經濟開發區第五校數學九年級第一學期期末學業質量監測模擬試題含解析

2026屆吉林省長春市汽車經濟開發區第五校數學九年級第一學期期末學業質量監測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，正方形ABCD中，BE＝FC，CF＝2FD，AE、BF交于點G，連接AF，給出下列結論：①AE⊥BF；②AE＝BF；③BG＝GE；④S四邊形CEGF＝S△ABG，其中正確的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．將點A（﹣3，4）繞原點順時針方向旋轉180°后得到點B，則點B的坐標為（）A．（3，﹣4） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）3．如圖，l1∥l2∥l3，若，DF=6，則DE等于（）A．3 B．3.2 C．3.6 D．44．已知關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有兩個不相等的實數根．則k的取值范圍為（）A．k＞﹣ B．k＞4 C．k＜﹣1 D．k＜45．如圖，已知，那么下列結論正確的是（）A． B． C． D．6．已知，則等于()A．2 B．3 C． D．7．拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖所示，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根．其中正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．已知，則下列各式中正確的是（）A． B． C． D．9．下列調查中，最適合采用抽樣調查方式的是（）A．對某飛機上旅客隨身攜帶易燃易爆危險物品情況的調查B．對我國首艘國產“002型”航母各零部件質量情況的調查C．對渝北區某中學初2019級1班數學期末成績情況的調查D．對全國公民知曉“社會主義核心價值觀”內涵情況的調查10．若，則（）A． B． C．1 D．11．用配方法解方程-4x+3=0，下列配方正確的是（）A．=1 B．=1 C．=7 D．=412．用一個圓心角為120°，半徑為6cm的扇形做成一個圓錐的側面，這個圓錐的高為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．點與關于原點對稱，則__________．14．瑞士中學教師巴爾末成功的從光譜數據：，……中得到巴爾末公式，從而打開光譜奧妙的大門.請你根據以上光譜數據的規律寫出它的第七個數據___.15．如圖，以矩形ABCD的頂點A為圓心，線段AD長為半徑畫弧，交AB邊于F點；再以頂點C為圓心，線段CD長為半徑畫弧，交AB邊于點E，若AD＝，CD＝2，則DE、DF和EF圍成的陰影部分面積是_____．16．如圖，直線與雙曲線交于點，點是直線上一動點，且點在第二象限．連接并延長交雙曲線與點．過點作軸，垂足為點．過點作軸，垂足為，若點的坐標為，點的坐標為，設的面積為的面積為，當時，點的橫坐標的取值范圍為_________．17．二次函數向左、下各平移個單位，所得的函數解析式_______．18．如圖，圓形紙片⊙O半徑為5，先在其內剪出一個最大正方形，再在剩余部分剪出4個最大的小正方形，則4個小正方形的面積和為_______．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A、B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求證：AC是⊙O的切線：（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑；（3）若∠ADB=60°，BD=1，求陰影部分的面積．（結果保留根號）20．（8分）如圖，將等邊△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EFC，∠ACE的平分線CD交EF于點D，連接AD、AF．（1）求∠CFA度數；（2）求證：AD∥BC．21．（8分）某體育看臺側面的示意圖如圖所示，觀眾區的坡度為，頂端離水平地面的高度為，從頂棚的處看處的仰角，豎直的立桿上、兩點間的距離為，處到觀眾區底端處的水平距離為．求：（1）觀眾區的水平寬度；（2）頂棚的處離地面的高度．（，，結果精確到）22．（10分）解方程（1）（用公式法求解）（2）23．（10分）如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．（1）觀察猜想：線段與線段的數量關系是；（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經過點，其他條件不變，若、，求的值．24．（10分）2019年12月27日，我國成功發射了“長征五號”遙三運載火箭.如圖，“長征五號”運載火箭從地面處垂直向上發射，當火箭到達處時，從位于地面處的雷達站測得此時仰角，當火箭繼續升空到達處時，從位于地面處的雷達站測得此時仰角，已知，.（1）求的長；（2）若“長征五號”運載火箭在處進行“程序轉彎”，且，求雷達站到其正上方點的距離.25．（12分）某班“數學興趣小組”對函數y=x2﹣2|x|的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中，m=．（2）根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數圖象的一部分，請畫出該函數圖象的另一部分．（3）觀察函數圖象，寫出兩條函數的性質．（4）進一步探究函數圖象發現：①函數圖象與x軸有個交點，所以對應的方程x2﹣2|x|=0有個實數根；②方程x2﹣2|x|=2有個實數根.③關于x的方程x2﹣2|x|=a有4個實數根時，a的取值范圍是．26．若二次函數的圖象的頂點在的圖象上，則稱為的伴隨函數，如是的伴隨函數．（1）若函數是的伴隨函數，求的值；（2）已知函數是的伴隨函數．①當點（2，-2）在二次函數的圖象上時，求二次函數的解析式；②已知矩形，為原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點（6，2），當二次函數的圖象與矩形有三個交點時，求此二次函數的頂點坐標．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】根據正方形的性質證明△ABE≌△BCF，可證得①AE⊥BF；

②AE＝BF正確；證明△BGE∽△ABE，可得＝＝，故③不正確；由S△ABE＝S△BFC可得S四邊形CEGF＝S△ABG，故④正確．【詳解】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90，

又∵BE＝CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，

∴∠FBC＋∠BEG＝∠BAE＋∠BEG＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故①，②正確；

∵CF＝2FD，BE＝CF，AB＝CD，

∴＝，

∵∠EBG＋∠ABG＝∠ABG＋∠BAG＝90°，

∴∠EBG＝∠BAE，

∵∠EGB＝∠ABE＝90°，

∴△BGE∽△ABE，

∴＝＝，即BG＝GE，故③不正確，

∵△ABE≌△BCF，

∴S△ABE＝S△BFC，

∴S△ABE?S△BEG＝S△BFC?S△BEG，

∴S四邊形CEGF＝S△ABG，故④正確．

故選：C．本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識點，解決問題的關鍵是熟練掌握正方形的性質．2、A【分析】根據點A（﹣3，4）繞坐標原點旋轉180°得到點B，即可得出答案．【詳解】解：根據點A（﹣3，4）繞坐標原點旋轉180°得到點B，可知A、B兩點關于原點對稱，∴點B坐標為（3，﹣4），故選：A．本題考查坐標與圖形變換—旋轉，解題關鍵是熟練掌握旋轉的旋轉.3、C【解析】試題解析：根據平行線分線段成比例定理，可得：設解得：故選C.4、A【分析】根據方程的系數結合根的判別式△＞0；即可得出關于k的一元一次不等式；解之即可得出結論．【詳解】∵關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有兩個不相等的實數根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×k2=4k+1＞0，∴k＞﹣．故選A．本題考查了根的判別式，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．5、A【分析】已知AB∥CD∥EF，根據平行線分線段成比例定理，對各項進行分析即可．【詳解】∵AB∥CD∥EF，∴．故選A．本題考查平行線分線段成比例定理，找準對應關系，避免錯選其他答案．6、D【詳解】∵2x=3y，∴．故選D．7、B【分析】先從二次函數圖像獲取信息，運用二次函數的性質一—判斷即可．【詳解】解：∵二次函數與x軸有兩個交點，∴b2-4ac>0，故①錯誤；∵拋物線與x軸的另一個交點為在（0，0）和（1，0）之間，且拋物線開口向下，∴當x=1時,有y=a+b+c＜0，故②正確;∵函數圖像的頂點為（-1，2）∴a-b+c=2，又∵由函數的對稱軸為x=-1，∴=-1,即b=2a∴a-b+c=a-2a+c=c-a=2，故③正確；由①得b2-4ac>0，則ax2+bx+c=0有兩個不等的實數根，故④錯誤；綜上，正確的有兩個．故選：B．本題考查了二次函數的圖像與系數的關系，從二次函數圖像上獲取有用信息和靈活運用數形結合思想是解答本題的關鍵．8、A【分析】根據比例的性質，逐項分析即可.【詳解】A.∵，∴，∴，正確；B.∵，∴，∴，故不正確；C.∵，∴，故不正確；D.∵，∴，∴，故不正確；故選A.本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解答本題的關鍵，如果，那么或或.9、D【分析】根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似，進行判斷．【詳解】A、對某飛機上旅客隨身攜帶易燃易爆危險物品情況的調查適合采用全面調查方式；B、對我國首艘國產“002型”航母各零部件質量情況的調查適合采用全面調查方式；C、對渝北區某中學初2019級1班數學期末成績情況的調查適合采用全面調查方式；D、對全國公民知曉“社會主義核心價值觀”內涵情況的調查適合采用抽樣調查方式；故選：D．本題主要考查抽樣調查的意義和特點，理解抽樣調查的意義是解題的關鍵.10、D【分析】令=k，則x=2k，y=3k，z=4k，再代入分式進行計算即可．【詳解】解：令=k，則x=2k，y=3k，z=4k，

∴．故選：D．本題考查的是分式的化簡求值，在解答此類題目時要注意，當條件是連等式，因此可用設參數法，即設出參數k，得出x，y，z與k的關系，然后再代入待求的分式化簡即可．11、A【解析】用配方法解方程-4x+3=0，移項得：-4x=-3，配方得：-4x+4=1，即=1.故選A.12、B【分析】根據題意直接利用圓錐的性質求出圓錐的半徑，進而利用勾股定理得出圓錐的高．【詳解】解：設此圓錐的底面半徑為r，由題意得：，解得r=2cm，故這個圓錐的高為：.故選：B.本題主要考查圓錐的計算，熟練掌握圓錐的性質并正確得出圓錐的半徑是解題關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】直接利用關于原點對稱點的性質分析得出答案．【詳解】解：∵點P（-4，7）與Q（1m，-7）關于原點對稱，∴-4=-1m，解得：m=1，故答案為：1．此題主要考查了關于原點對稱點的性質，正確掌握橫縱坐標的符號是解題關鍵．14、【分析】分子的規律依次是，32，42，52，62，72，82，92…，分母的規律是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，所以第七個數據是．【詳解】解：由數據可得規律：分子是，32，42，52，62，72，82，92分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，∴第七個數據是．主要考查了學生的分析、總結、歸納能力，規律型的習題一般是從所給的數據和運算方法進行分析，從特殊值的規律上總結出一般性的規律．15、2π+2﹣4【分析】如圖，連接EC．首先證明△BEC是等腰直角三角形，根據S陰=S矩形ABCD-（S矩形ABCD-S扇形ADF）-（S矩形ABCD-S扇形CDE-S△EBC）=S扇形ADF+S扇形CDE+S△EBC-S矩形ABCD計算即可．【詳解】如圖，連接EC．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝EC＝2，∠B＝∠A＝∠DCB＝90°，∴BE＝＝＝2，∴BC＝BE＝2，∴∠BEC＝∠BCE＝45°，∴∠ECD＝45°，∴S陰＝S矩形ABCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形ADF）﹣（S矩形ABCD﹣S扇形CDE﹣S△EBC）＝S扇形ADF+S扇形CDE+S△EBC﹣S矩形ABCD＝+×2×2﹣2×2，＝2π+2﹣4．故答案為：2π+2﹣4．本題考查扇形的面積公式，矩形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會用分割法求陰影部分面積．16、-3<x<-1【分析】根據點A的坐標求出中k，再根據點B在此圖象上求出點B的橫坐標m，根據結合圖象即可得到答案.【詳解】∵A(-1，3)在上，∴k=-3，∵B（m，1）在上，∴m=-3，由圖象可知：當時，點P在線段AB上，∴點P的橫坐標x的取值范圍是-3<x<-1，故答案為：-3<x<-1.此題考查一次函數與反比例函數交點問題，反比例函數解析式的求法，正確理解題意是解題的關鍵.17、【分析】根據二次函數圖象的平移規律即可得．【詳解】二次函數向左平移2個單位所得的函數解析式為，再向下平移2個單位所得的函數解析式為，即，故答案為：．本題考查了二次函數圖象的平移規律，掌握理解二次函數圖象的平移規律是解題關鍵．18、16【分析】根據題意可知四個小正方形的面積相等，構造出直角△OAB，設小正方形的面積為x，根據勾股定理求出x值即可得到小正方形的邊長，從而算出4個小正方形的面積和.【詳解】解：如圖，點A為上面小正方形邊的中點，點B為小正方形與圓的交點，D為小正方形和大正方形重合邊的中點，由題意可知：四個小正方形全等，且△OCD為等腰直角三角形，∵⊙O半徑為5，根據垂徑定理得：∴OD=CD==5，設小正方形的邊長為x，則AB=，則在直角△OAB中，OA2+AB2=OB2，即，解得x=2，∴四個小正方形的面積和=.故答案為：16.本題考查了垂徑定理、勾股定理、正方形的性質，熟練掌握利用勾股定理解直角三角形是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）證明見解析；（2）6；（3）.【解析】(1)連接OA、OD,如圖,利用垂徑定理的推論得到OD⊥BE,再利用CA=CF得到∠CAF=∠CFA,然后利用角度的代換可證明∠OAD+∠CAF=,則OA⊥AC,從而根據切線的判定定理得到結論;(2)設⊙0的半徑為r,則OF=8-r,在Rt△ODF中利用勾股定理得到,然后解方程即可;(3)先證明△BOD為等腰直角三角形得到OB=,則OA=,再利用圓周角定理得到∠AOB=2∠ADB=,則∠AOE=,接著在Rt△OAC中計算出AC,然后用一個直角三角形的面積減去一個扇形的面積去計算陰影部分的面積.【詳解】（1）證明：連接OA、OD，如圖，∵D為BE的下半圓弧的中點，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD=90°，∵CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，而∠CFA=∠OFD，∴∠ODF+∠CAF=90°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為r，則OF=8﹣r，在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2=（）2，解得r1=6，r2=2（舍去），即⊙O的半徑為6；（3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD，∴△BOD為等腰直角三角形，∴OB=BD=，∴OA=，∵∠AOB=2∠ADB=120°，∴∠AOE=60°，在Rt△OAC中，AC=OA=，∴陰影部分的面積=??﹣=．【點睛】本題主要考查圓、圓的切線及與圓相關的不規則陰影的面積，需綜合運用各知識求解.20、（1）75°（2）見解析【解析】（1）由等邊三角形的性質可得∠ACB＝60°，BC＝AC，由旋轉的性質可得CF＝BC，∠BCF＝90°，由等腰三角形的性質可求解；（2）由“SAS”可證△ECD≌△ACD，可得∠DAC＝∠E＝60°＝∠ACB，即可證AD∥BC．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形∴∠ACB＝60°，BC＝AC∵等邊△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EFC∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE∴CF＝AC∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60°∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30°∴∠CFA＝（180°﹣∠ACF）＝75°（2）∵△ABC和△EFC是等邊三角形∴∠ACB＝60°，∠E＝60°∵CD平分∠ACE∴∠ACD＝∠ECD∵∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，CA＝CE，∴△ECD≌△ACD（SAS）∴∠DAC＝∠E＝60°∴∠DAC＝∠ACB∴AD∥BC本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，熟練運用旋轉的性質是本題關鍵．21、（1）20；（2）頂棚的處離地面的高度約為．【分析】（1）根據坡度的概念計算；（2）作于，于，根據正切的定義求出，結合圖形計算即可．【詳解】（1）∵觀眾區的坡度為，頂端離水平地面的高度為，∴，答：觀眾區的水平寬度為；（2）如圖，作于，于，則四邊形、為矩形，∴，，，在中，，則，∴，答：頂棚的處離地面的高度約為．本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．22、（1），；（2）=1，.【解析】（1）先確定a，b，c的值，計算判別式，利用求根公式求出方程的根．（2）移項后，先提取公因式（x-1）即可得到（3x-2）（x-1）=0，再解兩個一元一次方程即可．【詳解】解：（1）a=1，b=-4，c=-7，==44∴==∴，；（2），，，∴x-1=0或3x-2=0，∴=1，.本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．23、（1）；（2）成立，證明過程見解析；（3）.【分析】（1）利用三角形全等的判定定理與性質即可得；（2）如圖（見解析），過點分別作，垂足分別為，證明方法與題（1）相同；（3）如圖（見解析），過點分別作，垂足分別為，先同（2）求出，從而可證，由相似三角形的性質可得，再根據平行線的性質和相似三角形的性質求出的值，即可得出答案.【詳解】（1），理由如下：由直角三角板和正方形的性質得在和中，；（2）成立，證明如下：如圖，過點分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形由正方形對角線的性質得，為的角平分線則在和中，；（3）如圖，過點分別作，垂足分別為同（2）可知，由長方形性質得：，即在和中，.本題考查了正方形的性質、矩形的性質、三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判定定理與性質，較難的是題（3），通過作輔助線，構造兩個相似三角形是解題關鍵.24、（1）km；（2）【分析】（1）設為，根據題意可用含x的代數式依次表示出AM、AC、AN的長，然后在直角△CAN中利用解直角三角形的知識即可求出x的值，進而可得答案；（2）由（1）的結果可得CN的長，作，垂足為點，如圖，根據題意易得∠DCN和∠DNC的度數，設HN=y，則可用y的代數式表示出CH，根據CH+HN=CN可得關于y的方程，解方程即可求出y的值，進一步即可求出結果.【詳解】解：（1）設為，∵，∴，則，在中，∵，AC=AB+BC=x+40，AN=AM+MN=x+120，∴，即，解得：，∴km；（2）作，垂足為點，如圖，由（1）可得，，∵，∴，∵，∴，∴CH=DH，∵，∴，設為，則，∴，解得：，∴.答：雷達站到其正上方點的距離為.本題以“長征五