《高等數學 上冊》課件 5.2微積分基本公式

上一節，我們介紹了定積分的定義和性質，但并未給出一個有效的計算方法．即使被積函數很簡單，如果利用定義計算其定積分也是十分麻煩的．因此必須尋求計算定積分的新方法．導

言第二節：微積分基本公式第五章：定積分講解：數學教研室單位：公共課部目錄CONTENTS二、積分上限函數及其導數一、變速直線運動的路程四、小結三、牛頓—萊布尼茨公式1變速直線運動的路程一.變速直線運動的路程設某物體作變速直線運動，在t時刻的位置為s(t)，速度為v(t)=s’(t)，則該物體在時間間隔[a,b]上所經過的路程有以下兩種表示：于是推廣這種積分與原函數的關系在一定條件下具有普遍性.猜測：2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式2積分上限函數及其導數2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式定義5-2若f(x)在區間[a,b]

上可積，則稱積分為f(x)在區間[a,b]上的積分上限函數(變上限積分函數)；yxy=f(x)axbOAB記為C類似地，有

稱為f(x)在區間[a,b]

上的變下限積分函數；統稱為變限積分函數.(2)(1)接下來僅討論變上限積分函數的性質，而變下限積分函數性質可以相應給出。2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式yxy=f(x)axbOAB

定理5-32.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式(x)Δyy=f(t)abOtxx+Δx2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式例5-8已知，求解：積分上限函數的導數12.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式例5-9已知，求解：2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式

練習P183習題5-2第1題2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式定義

若f(x)在區間[a,b]

上可積，則稱積分為f(x)在區間[a,b]

上的變上限復合積分函數；可看作和復合而成22.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式例5-10已知，求解：該函數為變上限復合積分函數2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式計算下列導數：（9）解:（9）

練習P183習題5-2第1題2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式3212.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式求解：例5-112.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式綜合練習

P183習題5-2第1題2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式例5-12

求解：利用洛必達法則2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式求利用洛必達法則解：例5-132.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式練習解：P183習題5-2第2題2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式定理5-4若f(x)在區間[a,b]

上連續，是函數f(x)在區間[a,b]

則函數

上的一個原函數.（原函數存在定理）說明：定理2

證明了連續函數的原函數是存在的，同時為通過原函數計算定積分開辟了道路.2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式3牛頓—萊布尼茨公式如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，F(x)是

f(x)在區間[a,b]

上任一原函數，那么（牛頓－萊布尼茨公式）三、微積分基本定理定理5-5

2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式證:根據定理1,故因此得記作2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式微積分基本公式架起了不定積分和定積分之間的橋梁.注意求定積分問題轉化為先求原函數的問題.2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式積分中值定理微分中值定理微積分基本公式2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式例5-14解由于

是

的一個原函數，故由N-L公式有

計算2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式解由于

是

的一個原函數，故由N-L公式有（3）練習P183習題5-2第4題2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式例5-15

計算

2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式

計算例5-162.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式基本積分表非常重要，必須熟記！2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式

練習P183習題5-2第4題2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式

答案2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式例5-17解:逐項積分求

2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式例5-18

加項減項解:2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式練習P183習題5-2第4題計算下列定積分2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式解：求例5-192.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式練習P183習題5-2第4題2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式解:設函數計算例5-202.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式練習解:

P183習題5-2第4題2.積分上限函數及其導數1.變速直線運動的路程3.牛頓—萊布尼茨公式1.微積分基本公式2.積分上限函數3.積分上限函數的導數小結微積分基本公式作

業

習題5-21（6）,4(12、13)