專題13 統計（5大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關）-備戰2024年高考數學考試易錯題（新高考專用）（解析版）

專題13統計

易錯點一：統計用表中概念不清、識圖不準致誤（頻率分布直方圖、總體

取值規律）

頻率分布直方圖

作頻率分布直方圖的步驟

①求極差：極差為一組數據中最大值與最小值的差.

②決定組距與組數

將數據分組時，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”，組數應力求合適，以使數據的分布規律能較清楚

地呈現出來.

③將數據分組

④列頻率分布表

小組頻數

各小組的頻率＝.

樣本容量

⑤畫頻率分布直方圖

頻率頻率頻率

縱軸表示，實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，小長方形的面積＝組距×＝頻率.

組距組距組距

頻率分布直方圖的性質

頻率

①因為小矩形的面積＝組距×＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖

組距

就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小.

②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.

頻數

③＝樣本容量.

相應的頻率

④頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內的頻率，

可近似地估計總體在這一范圍內的可能性.

易錯提醒：頻率分布條形圖和頻率分布直方圖是兩個完全不同的概念，考生應注意兩者之間的區別.雖然它

們的橫軸表示的內容是相同的，但是頻率分布條形圖的縱軸表示頻率；頻率分布直方圖的縱軸表示頻率與

組距的比值，其各小組的頻率等于該小組上的矩形的面積.

例：如圖所示是某公司（共有員工300人）2021年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年

薪在1.4萬元~1.6萬元之間的共有______人.

易錯分析：解本題容易出現的錯誤是審題不細，對所給圖形觀察不細心，認為員工中年薪在1.4萬元~1.6萬

元之間的頻率為10.020.080.1020.60，從而得到員工中年薪在1.4萬元~1.6萬元之間的共有

3000.60180（人）的錯誤結論.

正解：由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元~1.6萬元之間的頻率為

10.020.080.080.100.1020.24，所以員工中年薪在1.4萬元~1.6萬元之間的共有3000.2472

（人）.故72.

易錯警示：考生誤認為頻率分布直方圖中縱軸表示的是頻率，這是錯誤的，而是“頻率/組距”，所以頻率對

應的是各矩形的面積.

變式1：某大學有男生2000名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查了該校100名男生的體重，并將

這100名男生的體重（單位：kg）分成以下六組：54,58、58,62、62,66、66,70、70,74、74,78，

繪制成如下的頻率分布直方圖：

該校體重（單位：kg）在區間70,78上的男生大約有人．

【詳解】由頻率分布直方圖可知，該校體重（單位：kg）在區間70,78上的男生的人數為

20000.020.014240.

故答案為：240.

變式2：現對某類文物進行某種物性指標檢測，從1000件中隨機抽取了200件，測量物性指標值，得到如下

頻率分布直方圖，據此估計這1000件文物中物性指標值不小于95的件數為.

【詳解】抽取的200件文物中，物性指標值不小于95的頻率為0.0330.0240.0080.002100.67，

由此估計出1000件文物中，物性指標值不小于95的頻率約為0.67，

∴估計這1000件文物中物性指標值不小于95的有10000.67670件.

故答案為：670.

變式3：如圖是根據我國部分城市某年6月份的平均氣溫數據得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的

范圍是[20，26]，樣本數據的分組為[20，21)，[21，22)，[22，23)，[23，24)，[24，25)，[25，26].已

知樣本中平均氣溫低于22°C的城市個數為11，樣本中平均氣溫不低于25°C的城市個數是.

【詳解】由題意可得：平均氣溫低于22°C的頻率為0.1010.1210.22，平均氣溫不低于25°C的頻率為

0.1810.18，

11

∴樣本中平均氣溫低于22°C的城市個數為11，則樣本容量為50，

0.22

故樣本中平均氣溫不低于25°C的城市的個數為0.18509.

故答案為：9.

1．已知某班全體學生在某次數學考試中的成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則圖中a所代表

的數值是.

【答案】0.015

【分析】根據頻率分布直方圖結合頻率和為1運算求解.

【詳解】由頻率分布直方圖可知每組頻率依次為：0.1,10a,0.35,0.3.0.1，

則0.110a0.350.30.11，解得a0.015.

故答案為：0.015.

2．某校共有400名學生參加了趣味知識競賽（滿分：150分），且每位學生的競賽成績均不低于90分．將

這400名學生的競賽成績分組如下：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]，得到的頻率

分布直方圖如圖所示，則這400名學生中競賽成績不低于120分的人數為．

【答案】220

【分析】由頻率分布直方圖的面積和為1求出a，再計算出結果即可.

【詳解】由頻率分布直方圖可知0.0100.0100.025a0.0150.005101，解得a0.035，

這400名學生中競賽成績不低于120分的人數為400′(0.035+0.015+0.005)′10=220，

故答案為：220

3．從某小學所有學生中隨機抽取100名學生，將他們的身高（單位：cm）數據繪制成頻率分布直方圖（如

圖），其中樣本數據分組[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150)，則a=．

【答案】0.020

【分析】根據頻率和為1，結合圖表中數據，列式計算即可.

【詳解】根據圖表數據可得：100.0050.0350.030a0.0101，

即a0.0800.1，a0.020.

故答案為：0.020.

4．某工廠抽取100件產品測其重量（單位：kg）．其中每件產品的重量范圍是[40,42]．數據的分組依次為

[40,40.5),[40.5,41),[41,41.5),[41.5,42]，據此繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則重量在[40,41)內的產品

件數為．

【答案】40

【分析】根據直方圖確定各組的頻率，進而求出[40,41)的頻率，最后估算出對應的產品件數.

【詳解】由題設[40,40.5),[40.5,41),[41,41.5),[41.5,42]對應頻率依次為0.05,0.35,0.4,0.2，

所以[40,41)的頻率為0.4，故重量在[40,41)內的產品件數為0.410040.

故答案為：40

5．某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得

到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判

定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為q(c)．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．設函數

f(c)p(c)q(c)，則函數f(c)在區間[95,105]取得最小值時c．

【答案】100

【分析】根據題意結合頻率分布直方圖求出函數fc的解析式，然后利用函數的性質求出最小值時的自變

量c的值即可.

【詳解】當c[95,100]時，f(c)p(c)q(c)

c950.002100c0.0150.0020.008c0.82，

有函數fc在c[95,100]單調遞減，

所以f100fcf950.02fc0.06，

當c100,105時，f(c)p(c)q(c)

50.002c1000.012105c0.0020.01c0.98，

有函數fc在c100,105單調遞增，

所以f100fcf1050.02fc0.07，

0.008c0.82,95c100

所以fc，

0.01c0.98,100c105

所以fc在95,105上有最小值0.02，

當c100時取到最小值.

故答案為：100.

6．某大學有男生10000名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查了該校100名男生的體重，并將這

100名男生的體重（單位：kg）分成以下六組：54,58、58,62、62,66、66,70、70,74、74,78，

繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，該校體重（單位：kg）在區間70,78上的男生大約有人．

【答案】1200

【分析】由頻率分布直方圖求得體重在區間70,78上男生的頻率，由此求得正確答案.

【詳解】體重在區間70,78上男生的頻率為40.020.010.12，

所以在區間70,78上的男生大約有100000.121200人.

故答案為：1200

7．某中學為了解高三男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：

秒），將數據按照11.5,12，12,12.5，…，15.5,16分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.由直方

圖估計本校高三男生100米體能測試成績大于13.25秒的頻率是.

63

【答案】0.63/

100

【分析】根據頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1，可求得a的值，再結合頻率分布直方圖即可求得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1，

可得0.5(0.0820.160.302a0.520.120.04)1，

解得a0.40，

1

故體能測試成績大于13.25秒的頻率是0.5(0.400.520.300.120.080.04)0.63，

2

故答案為：0.63

8．某工廠對一批產品的長度（單位：mm）進行檢驗，將抽查的產品所得數據分為五組，整理后得到的頻

率分布直方圖如圖所示，若長度在20mm以下的產品有30個，則長度在區間20,30內的產品個數為.

【答案】55

【分析】先根據頻率分布直方圖求出長度在區間20,30內的頻率，根據頻率分布直方圖求出長度在20mm以

下的頻率，后用比例相等即可得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖可知，長度在區間20,30內的頻率為

5′(0.08+0.03)=0.55，

長度在20mm以下的頻率為5′(0.02+0.04)=0.3

30

則長度在區間20,30內的產品個數為0.5555，

0.3

故答案為：55.

9．某中學為了解學生的數學學習情況，在全體學生中隨機抽取200名，統計這200名學生某次數學考試的

成績，將所得的數據分為7組：30,40，40,50，…，80,90，90,100，并整理得到如下頻率分布直方

圖，則在被抽取的學生中，該次數學考試成績不低于80分的人數為．

【答案】56

【分析】由頻率分布直方圖求出在被抽取的學生中，該次數學考試成績不低于80分的頻率，再由頻率與頻

數的關系數學考試成績不低于80分的人數.

【詳解】由頻率分布直方圖可得在被抽取的學生中，該次數學考試成績不低于80分的頻率為

0.0200.008100.28，

所以在被抽取的學生中，該次數學考試成績不低于80分的人數為0.2820056，

故答案為：56.

10．某區為了解全區12000名高二學生的體能素質情況，在全區高二學生中隨機抽取了1000名學生進行體能

測試，并將這1000名的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖．根據此頻率分布直方圖，這1000名學生

平均成績的估計值為．

【答案】80.5

【分析】根據所有矩形面積之和為1求出a的值，將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，相加可得

這1000名學生平均成績.

【詳解】由于頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1，

可得0.005a0.0220.04101，解得a0.015，

由頻率分布直方圖可知，這1000名學生平均成績的估計值為

550.05650.15750.2850.4950.280.5分.

故答案為：80.5.

11．將一個容量為100的樣本數據，按照從小到大的順序分為8個組，如下表：

組號12345678

頻數10161815119

若第6組的頻率是第3組頻率的2倍，則第6組的頻率是．

7

【答案】0.14/

50

【分析】求出第6組的頻數即得解.

【詳解】由題得第3組和第6組的頻數和為1001016181511921，

2

所以第6組的頻數為2114.

3

14

所以第6組的頻率是14%0.14.

100

故答案為：0.14

12．節約用水是中華民族的傳統美德，某市政府希望在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理

的居民月用水量標準x（噸），用水量不超過x的部分按平價收費，超過x的部分按議價收費．為此希望已

經學習過統計的小明，來給出建議．為了了解全市居民用水量的分布情況，小明通過隨機走訪，獲得了100

位居民某年的月均用水量（單位：噸），將數據按照0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9組，制成了如圖所示的

頻率分布直方圖．若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），如果你是小明，你覺得x

的估計值為（精確到小數點后1位）

【答案】2.9

【分析】由頻率分布直方圖解得a值，估計85%的居民每月的用水量所在區間后可計算x的.

【詳解】由頻率分布直方圖知，0.16a0.400.52a0.120.080.040.51，

解得a0.34；

計算月均用水量小于2.5噸的居民人數所占的百分比為0.50.160.340.400.520.71，

即71%的居民月均用水量小于2.5噸；

計算月均用水量小于3噸的居民人數所占的百分比為0.50.160.340.400.520.340.88，

即88%的居民月均用水量小于3噸；

故2.5x3，

0.850.730.5

假設月均用水量平均分布，則x2.50.52.9（噸），

0.3

即85%的居民每月用水量不超過標準為2.9噸．

故答案為:2.9．

易錯點二：統計中的數字特征的實際意義理解不清楚致誤（頻率分布直方

圖特征數考查）

眾數、中位數、平均數

①眾數：一組數據中出現次數最多的數.

②中位數：把一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間位置的數(或中間兩個數的平均數)叫

做這組數據的中位數.

11n

③平均數：如果個數，，，，那么叫做這個數的平均數

nx1x2…xnxx1x2xnxin.

nni1

總體集中趨勢的估計

①平均數、中位數和眾數等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數據的集中趨勢.

②一般地，對數值型數據(如用水量、身高、收入、產量等)集中趨勢的描述，可以用平均數、中位數；而對

分類型數據(如校服規格、性別、產品質量等級等)集中趨勢的描述，可以用眾數.

頻率分布直方圖中平均數、中位數、眾數的求法

①樣本平均數：可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形面積的乘積之和近似代替.

②在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應相等.

③將最高小矩形所在的區間中點作為眾數的估計值.

易錯提醒：利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數時，易出錯，應注意區分這三者．在頻率分布直

方圖中：

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；

（2）中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

（3）平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中

點的橫坐標之和.

例．某班50名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據頻率分布直方圖，估計該班本次測

試眾數為．

解：由題意，因為眾數的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點的橫坐標，

110130

∴眾數為120.

2

故答案為：120.

變式1：為響應自己城市倡導的低碳出行，小李上班可以選擇自行車，他記錄了100次騎車所用時間（單位：

分鐘），得到頻率分布直方圖，則騎車時間的眾數的估計值是分鐘

2022

【詳解】由頻率分布直方圖可知，騎車時間的眾數的估計值是21分鐘.

2

故答案為：21.

變式2：數學興趣小組的四名同學各自拋擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，四名同學的部分統計

結果如下：

甲同學：中位數為3，方差為2.8；乙同學：平均數為3.4，方差為1.04；

丙同學：中位數為3，眾數為3；丁同學：平均數為3，中位數為2.

根據統計結果，數據中肯定沒有出現點數6的是同學.

【詳解】對于甲同學，當投擲骰子出現結果為1，2，3，3，6時，滿足中位數為3，

1122222

平均數為：x12336＝3，方差為S2＝1323333363＝2.8，可以

55

出現點數6；

1

對于乙同學，若平均數為3.4，且出現點數6，則方差S2(63.4)21.3521.04，

5

所以當平均數為3.4，方差為1.04時，一定不會出現點數6；

對于丙同學，當擲骰子出現的結果為1，2，3，3，6時，滿足中位數為3，眾數為3，可以出現點數6；

對于丁同學，當投擲骰子出現的結果為2,2,2,3,6時，滿足平均數為3，中位數為2，可以出現點數6.

綜上，根據統計結果，數據中肯定沒有出現點數6的是乙同學.

故答案為：乙

變式3：以下5個命題中真命題的序號有.

①樣本數據的數字特征中，與眾數、中位數比較起來，平均數可以反映出更多的關于樣本數據全體的信息；

②若數據x1，x2，x3，…，xn的標準差為S，則數據ax1b，ax2b，ax3b，…，axnb的標準差為aS；

③將二進制數11001000(2)轉化成十進制數是200；

3

④x是區間[0,5]內任意一個整數，則滿足“x3”的概率是.

5

【詳解】對于命題①，平均數與每一個樣本的數據有關，任何一個樣本數據的改變都會引起平均數的改變，

這是眾數、中位數都不具有的性質，故與眾數、中位數比較起來，平均數可以反映出更多的關于樣本數據

全體的信息，命題①是真命題；

1n1n

xx22

對于命題②，數據1，2，x3，…，xn的平均數xxi，S(xix)，

ni1ni1

1nan

'

而數據ax1b，ax2b，ax3b，…，axnb的平均數為xaxibxibaxb，

ni1ni1

nn2n

112a2

方差為2'22，

SaxibxaxibaxbxixaS

ni1ni1ni1

所以SaS，命題②是真命題；

763

對于命題③，11001000(2)121212200，命題③是真命題；

對于命題④，x是區間[0,5]內任意一個整數，則x可取0、1、2、3、4、5共6種結果，滿足“x3”的有0、

31

1、2共3種結果，故概率為，命題④不是真命題.

62

故答案為：①②③.

1．2022年11月卡塔爾世界杯如期舉行，這是世界足球的一場盛宴．為了了解全民對足球的熱愛程度，組

委會在某場比賽結束后，隨機抽取了1000名觀眾進行對足球“喜愛度”的調查評分，將得到的分數分成6段：

70,75，75,80，80,85，85,90，90,95，95,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖．圖中部分數

據丟失，若已知這1000名觀眾評分的中位數估計值為87.5，則m=.

1

【答案】0.02/

50

【分析】根據中位數之前的矩形面積之和對于0.5列方程求解即可.

【詳解】由題可知，5m0.0250.0387.5850.050.5，解得m0.02.

故答案為：0.02

2．為了普及環保知識，增強環保意識，某中學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分(十分制)如圖所

m

示，假設得分值的中位數為e，眾數為mo，平均數為x，則me,mo,x的大小關系是．

【答案】momex

【分析】根據題意求中位數、眾數和平均數，進而可對結果.

【詳解】由條形統計圖可知，30名學生的得分為

得分345678910

頻數231063222

56

因為中位數為第15，16個數(分別為5，6)的平均數，所以m5.5，

e2

且5出現次數最多，故mo5，

233410566372829210179

平均數x5.97，

3030

因為55.55.97，即momex.

故答案為：momex.

3．《中國居民膳食指南（2022）》數據顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達19.0%．為了解某地中

學生的體重情況，某機構從該地中學生中隨機抽取100名學生，測量他們的體重（單位：千克），根據測量

數據，按40,45，45,50，50,55，55,60，60,65，65,70分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖

所示．根據調查的數據，估計該地中學生體重的中位數是．

【答案】53.75

【分析】根據頻率分布直方圖估計中位數的方法直接計算即可.

【詳解】0.010.0350.20.5，0.20.0850.60.5，

該地中學生體重的中位數位于50,55內，

設中位數為m，則0.2m500.080.5，解得：m53.75.

故答案為：53.75.

4．為了解某校高三學生的數學成績，隨機地抽查了該校100名高三學生的期中考試數學成績，得到頻率分

布直方圖如圖所示.請根據以上信息，估計該校高三學生數學成績的中位數為.（結果保留到小數點后

兩位）

【答案】71.67

【分析】依據頻率分布直方圖，計算p0.5時對應的數值，即為中位數.

【詳解】解：0.0050.04100.450.5，0.0050.040.03100.750.5，所以中位數在70,80

之間，

m70

設中位數為m，則有0.03100.50.45，

10

5

所以m7071.67

3

故答案為：71.67.

5．2021年某省高考體育百米測試中，成績全部介于12秒與18秒之間，抽取其中100個樣本，將測試結果

按如下方式分成六組：第一組12,13，第二組13,14，…，第六組17,18，得到如下頻率分布直方圖．則

該100名考生的成績的中位數（保留一位小數）是．

【答案】15.3

【分析】由頻率分布直方圖估計樣本的中位數時，可知中位數出現在概率為0.5的地方,即可求解.

【詳解】因為前三組頻率直方圖面積和為0.100.150.150.4，前四組頻率直方圖面積和為

0.100.150.150.30.7，所以中位數位于第四組內，

設中位數為a，則a150.300.1，解得a15.3，

故答案為：15.3.

6．200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速的眾數、中位數的估計值分別

為.

【答案】65，62.5.

【分析】根據矩形的高確定眾數，先計算面積確定中位數所在的區間，再利用公式求出中位數.

【詳解】解：∵最高的矩形為第三個矩形，

6070

∴時速的眾數的估計值為65.

2

前兩個矩形的面積為(0.01＋0.03)×10＝0.4<0.5，

前三個矩形的面積為(0.01＋0.03+0.04)×10＝0.8＞0.5,

所以中位數在區間(60,70)，設中位數為x，

由題得0.4(x60)0.040.5，解之得x62.5.

∴中位數的估計值為62.5.

故答案為：65，62.5.

7．某快遞驛站統計了近期每天代收快件的數量，并制成如下圖所示的頻率分布直方圖．

則該快遞驛站每天代收包裹數量的中位數為．

【答案】260

【分析】先確定中位數在區間(200,300)內，設其為x，解方程0.10.1(x200)0.0050.5即得解.

【詳解】解：左邊第一個矩形的面積為1000.0010.1，

左邊第二個矩形的面積為1000.0010.1，

左邊第三個矩形的面積為1000.0050.5，

因為0.10.10.5,0.10.10.50.5，

所以中位數在區間(200,300)內，設其為x，

所以0.10.1(x200)0.0050.5，

所以x260.

故答案為：260

8．某質檢部門對某新產品的質量指標隨機抽取100件檢測，由檢測結果得到如圖所示的頻率分布直方圖．

2

由頻率分布直方圖可以認為，該產品的質量指標值Z服從正態分布N,，其中近似為樣本平均數

x,2近似為樣本方差s2.設X表示從該種產品中隨機抽取10件，其質量指標值位于11.6,35.4的件數，則X

的數學期望＝．（精確到0.01）

注：①同一組數據用該區間的中點值作代表，計算得樣本標準差s11.9；②若Z~N,2，則

P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.

【答案】6.83

【分析】先求出的近似值即樣本平均數x，然后結合條件以及注釋即可求解.

【詳解】計算得x50.15150.25250.3350.2450.123.5，

由條件Z~N23.5,11.92，從而P(11.6Z35.4)0.6826.

故從該種產品中隨機抽取1件，其質量指標值位于11.6,35.4的概率是0.6826，

所以抽取10件的期望值為EX100.68266.8266.83.

故答案為：6.83

9．由于受到網絡電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經濟損失，現將A地

區200家實體店該品牌洗衣機的月經濟損失統計如圖所示，估算月經濟損失的平均數為m，中位數為n，則

mn.

【答案】360

【解析】先計算第一塊小矩形的面積S10.3，第二塊小矩形的面積S20.4，，面積和超過0.5，所以中位數

在第二塊求解，然后再求得平均數作差即可.

【詳解】第一塊小矩形的面積S10.3，第二塊小矩形的面積S20.4，

0.50.3

故n20003000；

0.0002

而m10000.330000.450000.18(70009000)0.063360，

故mn360.

故答案為：360.

【點睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數字特征，考查運算求解能力以及數形結合思想，屬于基礎題.

10．某大學天文臺隨機調查了該校100位天文愛好者的年齡，得到如下樣本數據頻率分布直方圖，則估計

該校100名天文愛好者的平均歲數為.

【答案】21.4

【分析】根據頻率分布直方圖的平均數的計算公式，準確計算，即求解.

【詳解】根據頻率分布直方圖的平均數的計算公式，可得估計該校100名天文愛好者的平均歲數為：

50.16150.36250.28350.1450.08550.0221.4.

故答案為：21.4.

11．眾數?平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據分布的形態有關.在如圖的分布

形態中，m?n?p分別表示眾數?平均數?中位數，則m?n?p中最小值為.

【答案】n

【分析】將所給的直方圖近似看作為一個梯形，再根據眾數，平均數和中位數的定義求解.

【詳解】將所給的直方圖近似看作為一個梯形，則眾數m出現在最大的矩形（即從左邊數第6個矩形）內，

平均數n出現在從左邊數第4個矩形內，中位數p必須保證中位數p兩邊矩形面積相等，所以出現在從左

邊數第5個矩形內，

所以n最小；

故答案為：n.

12．如圖為某工廠工人生產能力頻率分布直方圖，則估計此工廠工人生產能力的平均值為.

669

【答案】133.8/

5

【分析】先根據面積之和為1求x，然后根據直方圖估計平均值的計算方法求解即可.

【詳解】由10(0.0080.020.048x)1解得x0.024，

所以x1150.008101250.02101350.048101450.02410133.8.

故答案為：133.8

易錯點三：運用數字特征作評價時考慮不周（方差、標準差的求算）

方差、標準差

11n

①假設一組數據為，則這組數據的平均數，

x1,x2,x3,xnxx1x2xnxi

nni1

n2n2

1222112

方差為2，

sx1xx2xxnxxixxinx

nni1ni

n2

標準差1

sxix

ni1

②若假設一組數據為，它的平均數為，方差為2，

x1,x2,x3,xnxs

則一組數據為，的平均數為，方差為22。

ax1b,ax2b,ax3b,axnbaxbas

③標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度，標準差越大，數據的離散程度越大；標準差越小，數據的離

散程度越小.

易錯提醒：方差(標準差)越大，說明數據的離散性越大；方差(標準差)越小，說明數據的離散性越小，數據

越集中、穩定．用樣本的數字特征估計總體的數字特征時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映

總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差，這些偏差是由樣本的隨機性引起的．雖然樣本的數字特征并

不是總體真正的數字特征，而是總體的一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本容量很大時，樣本

的數字特征穩定于總體的數字特征．

例、若甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100mm的零件，為了檢驗產品的質量，從產品中隨機抽取6件進行

測量，測得數據如下：(單位：mm)：甲：99，100，98，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.通

過計算，請你說明哪一臺機床加工的零件更符合要求.

【錯解】x甲＝＝100，

x乙＝＝100，

因為兩個機床所加工零件的平均數相等，平均數描繪了數據的平均水平，

所以兩臺機床加工的零件都符合要求．

【錯因】平均數x對數據有“取齊”作用，它描述了一組數據的平均水平，定量地反映了數據的集中趨勢，因

此平均數是與樣本數據最接近、最理想的近似值，但由于樣本選取的隨機性，有時用平均數衡量總體的特

征會失之偏頗，因此應進一步計算方差或標準差來比較它們的波動大小．

【正解】x甲＝＝100，

x乙＝＝100，

s＝×[(99－100)2＋3×(100－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝×[2×(99－100)2＋3×(100－100)2＋(102－100)2]＝1.

s>s，說明甲機床加工的零件波動比較大．

故乙機床加工的零件更符合要求．

變式1：泉州，作為古代海上絲綢之路的起點，具有深厚的歷史文化底蘊，是全國同時擁有聯合國三大類非

遺項目的唯一城市.為高效統籌整合優質文旅資源，文旅局在“五一”假期精心策劃文旅活動，使得來泉旅游

人數突破了305.85萬人次.某數學興趣小組為了解來泉游客的旅游體驗滿意度，用問卷的方式隨機調查了500

名來泉旅游的游客，被抽到的游客根據旅游體驗給出滿意度分值T（滿分100分），該興趣小組將收集到的

數據分成五段：[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]，處理后繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求圖中a的值并估計500名游客滿意度分值T的中位數（結果用分數表示）；

(2)已知T在[45,65)的平均數為57，方差為104，T在[65,95]的平均數為77，方差為564，試求被調查的500

名游客的滿意度分值T的平均數及方差.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：(0.0050.02520.01a)101，解得

a0.035

由頻率分布直方圖，(0.0050.025)100.30.5

(0.0050.0250.035)100.650.5

因此，中位數落在區間[65,75)內，

0.50.3495

6510

0.357

495

可以估計500名游客滿意度分值T的中位數為

7

22

（2）把T在[45,65)的平均數記為x，方差記為sx；T在[65,95]的平均數記為y，方差記為sy；T在[45,95]的

平均數記為z，方差記為s2

22

由題得，x57，sx104，y77，sy564，

T在[45,65)的頻率為(0.0050.025)100.3，

T在[65,95]的頻率為(0.0350.0250.1)100.7

則z0.3x0.7y0.3570.77771

22222

由s0.3[sx(xz)]0.7[sy(yz)]

可得s20.3[104(5771)2]0.7[564(7771)2]510

即被調查的500名游客的滿意度分值T的方差為510

變式2：拔尖創新人才是21世紀社會經濟發展的巨大動力，培養拔尖創新人才也成為世界各國教育的主要

任務．某市為了解市民對拔尖人才培養理念的關注程度，舉辦了“拔尖人才素養必備”知識普及競賽，從所有

答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：

40,50,50,60,,90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該市這次競賽成績的眾數；

22

(2)已知落在50,60的平均成績z156，方差s19，落在70,80的平均成績z276，方差s25，求這兩

組成績的總平均數z和總方差s2．

10.050.10.20.250.1

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，a0.03，

10

該市這次競賽成績的眾數為75分.

（2）落在50,60與70,80的人數比為0.01:0.031:3．

z3z56376

所以z1271，

44

22

22

22

s1z1z3s2z2z

29(5671)35(7671)

s81.

44

變式3：為了研究網民的上網習慣，某機構隨機抽取了年齡在10歲到60歲的網民進行問卷調查，按年齡分

為5組，即10,20，20,30，30,40，40,50，50,60，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)若按分層抽樣的方法，從上述網民中抽取n人做采訪，其中年齡在30,40中被抽取的人數為7，求n；

(2)若各區間的值以該區間的中點值作代表，求上述網民年齡的方差的估計值.

【詳解】（1）由題意得，100.0200.025a0.0150.0051，

解得a0.035，年齡在30,40中人數所占比例為0.035100.35

7

則n20.

0.35

（2）10,20，20,30，30,40，40,50，50,60五組的頻率分別為0.2,0.25,0.35,0.15,0.05，

若各區間的值以該區間的中點值作代表，則上述網民年齡的平均值的估計值為

150.2250.25350.35450.15550.0531（歲）

方差的估計值為

22222

0.215310.2525310.3535310.1545310.055531214

1．已知甲、乙兩位同學在一次射擊練習中各射靶10次，射中環數頻率分布如圖所示：

22

令x甲，x乙分別表示甲、乙射中環數的均值；s甲，s乙分別表示甲、乙射中環數的方差，則（）

2222

A．x甲x乙，s甲s乙B．x甲x乙，s甲s乙

2222

C．x甲x乙，s甲s乙D．x甲x乙，s甲s乙

【答案】D

22

【分析】根據頻率分布圖分別計算x甲,x乙，s甲,s乙，比較大小可得.

【詳解】由圖可知，x甲70.380.490.38,x乙70.480.290.48,

2222，

s甲780.3880.4980.30.6

2222，

s乙780.4880.2980.40.8

22

所以x甲x乙，s甲s乙.

故選：D.

2．某學校組織學生參加數學測試，某班成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為

60,70,70,80,80,90,90,100.若不低于80分的人數是35人，且同一組中的數據用該組區間的中點值代表，

則下列說法中正確的是（）

A．該班的學生人數是50

B．成績在80,90的學生人數是12

C．估計該班成績的眾數是95分

D．估計該班成績的方差為100

【答案】ACD

【分析】根據頻率與總數關系、頻率和為1、頻率分布直方圖估計眾數、平均數和方差的方法依次判斷各個

選項即可.

【詳解】對于A，不低于80分對應的頻率為10.010.02100.7，

35

該班的學生人數為50，A正確；

0.7

對于B，0.010.02a0.04101，a0.03，

成績在80,90的學生人數為50a1015，B錯誤；

對于C，成績在90,100對應的矩形面積最大，估計該班成績的眾數為95分，C正確；

對于D，估計該班成績的平均數為650.0110750.0210850.0310950.041085，

2222

方差為0.011065850.021075850.031085850.04109585100，D正確.

故選：ACD.

3．從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得頻率分布直方

圖，則這500件產品質量指標值的樣本方差s2是（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）．

【答案】110

【分析】由頻率分布直方圖可得數據的平均值，再由方差的公式運算即可得解.

【詳解】由頻率分布直方圖得抽取產品的質量指標值的樣本平均值為：

1000.0101100.0201200.0351300.0301400.00510120，

∴樣本方差2222

s1001200.0101101200.0201201200.035

22．

1301200.0301401200.00510110

故答案為：110.

【點睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求數據的方差，考查了運算求解能力，屬于基礎題.

4．在一次區域統考中，為了了解各學科的成績情況，從所有考生成績中隨機抽出20位考生的成績進行統

計分析，其中數學學科的頻率分布直方圖如圖所示，據此估計，在本次考試中數學成績的方差為.（同

一組中的數據用該組區間的中點值作代表）

【答案】110

【解析】根據頻率分布直方圖，直接利用平均數與方差的公式，即可得到本題答案.

【詳解】由題，得

x550.01010650.02010750.03510

850.03010950.0051075，

方差s2(7555)20.1(7565)20.2(7575)20.35

(7585)20.3(7595)20.05110.

故答案為：110

【點睛】本題主要考查利用頻率分布圖求數據平均數與方差的問題.

5．為了解本市居民的生活成本,甲?乙?丙三名同學利用假期分別對三個社區進行了“家庭每月日常消費額”的

調查.他們將調查所得的數據分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),記甲?乙?丙所調查數據的標準差分別為

s1,s2,s3,則它們的大小關系為.

【答案】s1s3s2

【解析】第二組數據是單峰的每一個小長方形的差別比較小，數字數據較分散，各個段內分布均勻，第一

組數據的兩端數字較多，絕大部分數字都處在兩端最分散，而第三組數據絕大部分數字都在平均數左右，

是集中，由此得到結果．

【詳解】解：根據三個頻率分步直方圖知，

第一組數據的兩端數字較多，絕大部分數字都處在兩端數據偏離平均數遠，最分散，其方差最大；

第二