2025年初中數(shù)學(xué)北師大版單元測試 第一章 三角形的證明（A卷·知識通關(guān)練）解析版

班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)

第一章三角形的證明（A卷,知識通關(guān)練）

考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)

【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的性質(zhì)：

1.筆腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。

2.等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角

3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。

1.如圖，在A48C中，ZABC=ZACB,?為AA8C內(nèi)的一點(diǎn)，且ZPBC=NPCA,ZBPC=100%則

的大小為（）

【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出/尸8C+N尸C8=80。，從而可求出NPC4+N尸C8=80L進(jìn)而可得

44c8=80°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得NABC=NAC8=80。，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【解答】解：???NBPC=1（X）。，

NPBC+4PCB=）80°-NBPC=80°,

?.?APBC=4PCA,

:.APCA+ZPCB=S0°,

/.ZACB=80°,

?/AB=AC^

...NABC=NA6=80°,

.*.Z4=I8O0-ZABC-NACA=20。，

故選：B.

2.已知等腰三角形的一邊長為8cv〃，周長為1&?〃，則腰長為（）

A.8cm或2c〃?B.8(777C.5cmD.8(777或5(777

（分析］分8c?〃長的邊是腰和底邊兩種情況進(jìn)行討論即可求解?.

【解?答】解：當(dāng)長是Scm的邊是腰時(shí)，三邊為8（7??,8a7?，2cm,等腰三角形成立，腰長是Scm：

當(dāng)長是Scm的邊是底邊時(shí)，三邊為Scm，5cm,5cm,等腰三角形成立，腰長是5cm.

故腰長是或5cm,

故選：D.

3.若一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為5和12,則該三角形的周氏是（）

A.5B.5或12C.22或29D.29

【分析】因?yàn)榈妊切蔚膬蛇叿謩e為12和5,但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種恃況，需要分

類討論.

【解答】解：當(dāng)12為底時(shí)，其它兩邊都為5,12、5、5不能構(gòu)成三角形，

當(dāng)12為腰時(shí)，其它兩邊為12和5,因?yàn)?2十5>12,所以能構(gòu)戊二角形，

所以該三角形的周長是：12+12+5=29.

故選：D.

4.己知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為60。，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于（）

A.15。或75。B.30°C.150°D.150。或30。

【分析】方法1：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求得答案.

方法2：讀到此題我們首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)不可

能出現(xiàn)題中所說情況，所以舍去不計(jì)，我們可以通過畫圖來討論剩余兩種情況.

【解答】解：方法1：根據(jù)題意得：AI3=AC，BDA.AC,

如圖（1）,NA4D=60°,

則44=30。;

如圖（2）,ZABD=60°.

/.Zfi4D=30°，

.-.ZBAC=180o-30°=150°.

故這個(gè)等腰三角形的頂角等于30°或150。.

方法2：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)可以畫圖，

高與左邊腰成60。夾角，由三角形內(nèi)角和為180。可得，頂角為180°-90°-60。=30°,

②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)可畫圖，

此時(shí)垂足落到三角形外面，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180。，

由圖可以看出等腰三角形的頂角的補(bǔ)角為30。，

二三角形的頂角為180。-30°=150°.

Q)

考點(diǎn)2等腰三角形的判定

【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊“

牢記:（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角“與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注

意區(qū)分；

（2）判定定理可以用來判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。

【分析】由三角形的內(nèi)角和判定選項(xiàng)A4C中的三角形是否為等腰三角形，。選項(xiàng)由等腰三角形的定義判斷.

【解答】解：A、由三角形的內(nèi)角和為180。知：第三個(gè)角的大小為：180°-50°-35。=95。，

A選項(xiàng)中的圖形不是等腰三角形.故A選項(xiàng)符合題意；

B、由三角形的內(nèi)角和為180。知：第三個(gè)角的大小為：180°-93°-45。=45。，

.??8選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形.故笈選項(xiàng)不符合題意；

C、由三角形的內(nèi)角和為180。知：第三個(gè)角的大小為：180°-100。-40。=40。，

.?.C選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形.故C選項(xiàng)不符合題意；

。、由圖形中有兩邊長為5知：選項(xiàng)。中的圖形是等腰三角形.故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知4(2,2),8(4,0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使AA4c為等腰三角形，則

滿足條件的點(diǎn)。的個(gè)數(shù)是()

A.5B.6C.7D.8

y八

i

o

【分析】由點(diǎn)A、A的坐標(biāo)可得到A8=2應(yīng)，然后分類討論：若AC=AA；若BC=AB；若CA=CB,確

定C點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【蟀答】解：???點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(2,2)、5(4,0).

/.AB=2叵,

?JVAC=AB,以A為圓心，/W為半徑畫弧與X軸有2個(gè)交點(diǎn)(含3點(diǎn))，即(0,0)、(4,0),

.??滿足A43c是等腰三角形的C點(diǎn)有1個(gè)；

②若屈=人4,以“為圓心，笈4為半徑畫弧與x軸有2個(gè)交點(diǎn)(A點(diǎn)除外)，即滿足AA4C是等腰三角形的。

點(diǎn)有2個(gè)；

③若6=6,作的垂直平分線與x軸，y軸各有一個(gè)有1個(gè)交點(diǎn)，即滿足AA4c是等腰三角形的C點(diǎn)

有2個(gè)；

綜上所述：點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，AABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有5個(gè).

故選：A.

7.如圖，在AABC中，ZE4C=90°,4）是高，班:是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)、G,交BE

于點(diǎn)H,下面說法正確的是（）

①M(fèi)跖的面積等于ABCE的面積；

②ZAAG=ZAGA

③NE4G=2ZAb；

④BH=CH.

A.①②③B.②?④C.①③④D.????

【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)瓦證明①；根據(jù)三角形的高線可得NABC=NC4D，利用三角形外角的性質(zhì)

結(jié)合角丫分線的定義可求解NAFC=NAGF,可判定②；根據(jù)角平分線的定義可求解③；根據(jù)已知條件無法

判定④.

【解答】解：?.?盛是AA8C的中線，

AE=CE,

「.AABE的面積等于MCE的面積，故①正確;

?.?4）是AA9C的高線，

NADC=9（）。，

NA8C十〃AZ>=90°,

-.?Za4C=90°,

/HAD+NC4O=90°，

NA4C=NC4力，

?.?W為A44C的角平分線，

/.ZACF=NBCF=-ZACH，

2

?.?ZAkC=NA8D+NBC卜,ZA5=ZACb+NG4L>,

：.ZAFC=ZAGF.故②正確；

?.?/fiAD+NG4D=ZAC3+NG4￡>=90。，

:.ZBAD=ZACD

ZFAG=2ZACF,故③正確：

根據(jù)已知條件無法證明故④錯(cuò)誤，

故選：A.

8.如圖，已知NMQV,在邊QN上順次取點(diǎn)［,G，A…，在邊OM上順次取點(diǎn)〃，P4,6…，使

得。［=q4=64=44=七6...,得到等腰△oq〃，△P\Pp,△鳥A鳥，2P3P1P5…

（1）若NA/ON=30。，可以得到的最后一個(gè)等腰三角形是△RRR；

（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個(gè)等腰三角形是4^乙乙，則NMON的度數(shù)a的取值范圍

是—.

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出NO6A即可判斷.

（2）由題意要使得得到的最后一個(gè)等腰三角形是仆需要滿足：/巴心乙=4儀＜90。且

NM8《=50.90。，解不等式即可解決問題.

【解答】解：（1）?.?06=66=66，

NO恰=NO=30。，

么例=/社4=60。，

..NOV90。,

△P[P3P4不存在，

.??得到的最后一個(gè)等腰三角形是△466.

故答案為^PFK

(2)由題意要使得得到的最后一個(gè)等腰三角形是4P.P4P5,

需要滿足：N44A=4a<90。且/9心=5。..90。，

.?.18。,，a<22.5。，

故答案為18。,，a<22.5。.

考點(diǎn)3“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用

【方法點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(簡稱“三線合一

9.如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,ADLBC,8￡平分NA8C,G為E/的中點(diǎn)，求證：AGLEF.

【分析】只要證明A/=AE,利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可解決問題;

【答案】證明：:BE平分N4BC

ZABE=NCBE/AEF=9C-ZABE

又/AFE=/DFB=900-NCBE

：.ZAFE=ZAEF,

???△AFE為等腰三角形

又YG為E尸的中點(diǎn)

：.AGLEF.

10.在△48C中，8c邊上的高AG平分NBAC.

(1)如圖I,求證：AB=ACx

(2)如圖2,點(diǎn)。、E在△人BC的邊8C上，AD=AE,BC=I0cw,DE=6cm,求的長.

AA

【分析】（1）想辦法證明N8=NC即可解決問題.

（2）如圖2中，作AG_LBC于G.利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明即可解決問題.

【答案】（1）證明：如圖1中，

為N84C的平分線，

???N8AG=NC4G,

??YG為8C邊上高

???NAG8=NAGC=9()°,

：?4B=/C,

：.AB=AC.

(2)如圖2中，作AG_18c于G.

'：AB=AC,AGIBC,

:?BG=CG,

a：AD=AE,AGA.BC.

:.DG=EG,

:.BG?DG=CG?EG,

:?BD=CE,

VZ^C=10cvn,DE=6cm,

BD=2cm.

11.已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)。，8C的延長線上取一點(diǎn)E,使CE=CD.求證:

【分析】欲證8。=。&只需證根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可證明NO8E=/

E=30°.

【答案】證明：???△A3C為等邊二角形，“。是AC邊的中線，

/.BD1AC,8。平分NABC,^DBE=^ZABC=30a.

2

,:CD=CE,

：,ZCDE=ZE.

VZ4CT=60°,且/4C8為△COE的外角，

AZCDE+ZE=6(f.

AZCDE=Z￡=30°,

.\ZDBE=ZDEB=3Q°,

:?BD=DE.

12.如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，N84C=90°,AB=AC.

(1)若。為BC的中點(diǎn)，過。作。M_LQN分別交AB、AC于M、N,求證：DM=DN；

(2)若。M_L/)N分別和84、4c延長線交于M、N,問0M和ON有何數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）連接AO,可得NADM=NCDN,可證△人用。絲△CN。，可得DM=DN；

（2）連接4。，可得N4QM=NC￡W,可證△4MOg△CNQ,可得QM=QM

【答案】解：（1）連接AQ，

???。為8C中點(diǎn)，

：,AD=BD,ZBAD=ZC,

VZADM+ZADN=90°,ZADN+ZCDN=90°,

???ZADM=NSV,

在△AM。和△CNQ中，

[ZADM=ZCDN

AD=CD，

|ZBAD=ZC

:?4AMD學(xué)4CND(ASA),

:?DM=DN.

(2)連接4Q.?.,。為AC中點(diǎn)，：.AD=BD.NBAD=NC,

VZADM+ZMDC=9()°,NMDC+NCDN=90",

，ZADM=NCDN,

VZMAD=MAC+DAC=\35°,NNCO=1800-ZACD=135°

在△AMO和△CNO中,

rZADM=ZCDN

AD=CD，

ZMAD=ZNCD

:.△AMgACND(ASA),

:,DM=DN.

考點(diǎn)4等邊三角形的判定與性質(zhì)

【方法點(diǎn)撥】等邊三角形的性質(zhì)：

（1）等邊三角形是軸對稱圖形，并且具有3條對?稱軸；

（2）等邊三角形的每個(gè)角都等于60。。

等邊三角形的判定：

（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。

（2）二個(gè)角都相等的二角形是等邊二角形。

（3）有兩個(gè)角是60。的三角形是等邊三角形。

（4）有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

13.如圖，在邊長為2的等邊三角形48c中，D為邊BC上一點(diǎn),且3。=,。。.點(diǎn)石，尸分別在邊

2

AC上，且N功/=90°,M為邊防的中點(diǎn)，連接CM交"'于點(diǎn)N.若DFNAB,則CM的長為（

）

A.-V3B.-V3C.-V5D.G

346

【分析】根據(jù)等邊三角形邊長為2,在RtABDE中求得小的長，再根據(jù)CM垂直丫:分。尸，在RSCDN中

求得CN,最后根據(jù)線段和可得CM的長.

【解答】解：?.?等邊三角形邊長為2,BD=-CD,

2

BD=-,CD=-,

33

?.?等邊三角形A8C中，DF//AB,

N/7?C==

-.-Z￡DF=90°.

充=30。，

:.DELBE,

.”￡D=90°，

???N3=60。，

."￡>￡=30。?

:.BE=-BD=~,

23

DE=yJlU)2-BE2=—，

3

如圖，連接QM,則RtADEF中，DM=-EF=FM.

2

NFDC=ZFCD=60°，

尸是等邊二角形，

4

,\CD=CF=-,

3

二.CM垂直平分￡)/，

:"DCN=30。,DN=FN,

.?.RtACDN中，DN=~,CN=—,

33

???M為“'的中點(diǎn)，

:.MN，DE=2,

26

?...r2x/3J55、B

366

故選：C.

14.己知：如圖，AABC和ADEC都是等邊三角形，。是8c延長線上一點(diǎn)，4）與的相交于點(diǎn)P,AC.

跖相交于點(diǎn)M,4）、CE相交于點(diǎn)N,則下列五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②NBMC=ZANC；

③NAAM=60。：?AN=BM⑤△。網(wǎng)是等邊三角形.其中，正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】根據(jù)先證明MCE二AAC。，得出=根據(jù)已知給出的條件即可得出答案；

【解答】解：?.?AA8C和AD￡C都是等邊三角形，

：.AC=BC^CD=CE,ZAC8=ZECD=60°,

;.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,BPZBCE=ZACD,

:.ABCE^^ACD(SAS),

:.AD=BE,故選項(xiàng)①正確；

vZACB=Z4CE=60°,由MCEMAACD得：ZCBE=ZCAD,

:"BMC=ZANC,故選項(xiàng)②正確；

由MCE二AAC。得：NC3E=NCAD,

?.?Z4C8是A4C。的外角，

/.ZACB=ZCAD+ZADC=ZCBE+ZADC=6(r,

又ZAPM是"BD的夕卜角，

ZAPM=ZCBE+ZADC=60°.故選項(xiàng)③正確：

在MCN和ABCM中，

ZCAN=KBM

AC=BC,

NACN=NBCM=60°

：2CNw耶CM，

AN=BM,故選項(xiàng)④1E確；

:.CM=CN,

ACW7V為等腰三角形，?「NMCV=60。，

」.△CWV是等邊三角形，故選項(xiàng)⑤正確；

故選：。.

15.如圖，已知AABC中高仞恰好平分邊4C,4=30°,點(diǎn)?是胡延長線上一—點(diǎn)，點(diǎn)O是線段4)上

一點(diǎn)且OP=OC,下面的結(jié)論；①NACO+NDCO=30。；②△OPC是等邊三角形；@AC=AO-t-AP；

④5必席=4忸形Ag,.其中正價(jià)的為①②?④.（填序號）

【分析】①連接03,根據(jù)垂直平分線性質(zhì)即可求得O3=OC=OP，即可解題；

②根據(jù)周角等于360。和三角形內(nèi)角和為180。即可求得NPOC=2NABD=60。，即可解題；

③在AC上截取AE=P4,易證AO/%二△CPE，可得AO=CE，即可解題；

④作C”_L8P，可證AC/X?三△CH/5和RtAABDwRlAACH,根據(jù)全等三角形面積相等即可解題.

【解答】解：①連接OB,如圖1,

AA8C中高4)恰好平分邊BC，即A。是AC垂直平分線，

:.AB=AC,BD=CD,

:.OB=(X：=OP,

：.ZAPO=ZABOADBO=NDCO,

ZABC=ZABO+ZDBO=30°，

/.ZAPO+ZDCO=3(T.故①正確；

②AO3P中，ZLBOP=180°-ZOPB-zLOBP,

A5OC中，ZBOC=180°-Z.OBC-ZOCB.

/.ZPOC=360°-/BOP-NBOC=40PB+NOBP+Z.OBC+NOCB,

?:NOPB=NOBP、NOBC=/OCB,

:"POC=2ZABD=60°,

\'PO=OC,

.?.△OPC是等邊三角形，故②正確；

③3圖2,在AC上截取隹二%,

ZME=180。-Z^AC=60。，

.,.A4PE是等邊三角形，

.-.ZPE4=ZAPE=60°,PE=PA,

NAPO+NO尸石=60。，

NOPE+NCPE=ZCPO=60°,

:.ZAPO=^CPE,

,;OP=CP、

在AOPA和ACPE中,

PA=PE

<Z4Po=NCPE,

OP=CP

..AOPA^^CPE(SAS),

/.AO—CE?

:.AC=AE+CE=AO+AP；

故③正確：

④如圖3,作CH_L8P，

?.?"6=60°，ZPCO=60°.

:."CH=NOCD、

在ACDO和?中，

/ODC=ZPHC=90。

?Z.0CD=4PCH,

OC=PC

.;ACDO三ACHP(AAS),

,?S&OCD=S&CHP

CH=CD,

?；CD=BD,

:.BD=CH,

在RtAABD和RtAACH中,

Ali=AC

BD=CH'

RtAABD三RtAACH(HL),

,?,^A4BD=^AAHC

?.?四邊形04尸C面積=SA°AC+S&OCD

/.四邊形OAPC面積=S-故④正確.

故答案為：①②③

圖2

16.如圖，等邊AABC的邊長為6,ZABC,NACK的角平分線交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作E尸//AC,交AB、CD

于點(diǎn)E、F,則E尸的長度為4.

【分析】根據(jù)四和C。分別平分乙43c和NAC8,和EFNBC，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等量代換,

求證出席=。￡,DF=FC.然后即可得出答案.

【解答】解：如圖，連接AD，

AEBD=QBC,Z.FCD=乙DCB，

?:EFMBC，

ZEBD=Z.DBC=Z.EDB,4FCD=ZDCB=/FDC,

:.BE=DE,DF=FC，

BD和CO分別平分ZABC和ZACB,

.?.4）平分NB4C,

/84O=NC4D=30°，

又?.?AB=AC,

/.ADA.BC,

?;EFi/BC,

.\ADVEF,

:.AE=2ED,AF=2DF,

?.?48=AC=6,

:.BE+AE=6,AF+CF=6,

；.BE=CF=2,

:.DE=DF=2,

.\EF=DE+DF=4,

故答案為：4

考點(diǎn)5直角三角形全等的判定

【方法點(diǎn)撥】對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一

條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）

17.使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）

A.一個(gè)銳角對應(yīng)相等B.兩個(gè)銳角對應(yīng)相等

C.一條邊對應(yīng)相等D.斜邊及一條直角邊對應(yīng)相等

【分析】要判斷能使兩個(gè)直角三角形全等的條件首先要看現(xiàn)在有的條件：一對直角對應(yīng)相等，還需要兩個(gè)

條件，而也是不能判定三角形全等的，所以正確的答案只有選項(xiàng)。了.

【解答】解：A、一個(gè)銳角對應(yīng)相等，利用已知的直角相等，可得出另一組銳角相等，但不能證明兩三角

形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、兩個(gè)銳角相等，那么也就是三個(gè)對應(yīng)角相等，但不能證明兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、一條邊對應(yīng)相等，再加一組銳角相等才能得出兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)兩個(gè)直角三角形的兩直角邊對應(yīng)相等時(shí)，由ASA可以判定它們?nèi)龋划?dāng)一直角邊與一斜邊對應(yīng)相等

時(shí)，由兒判定它們?nèi)龋时具x項(xiàng)正確；

故選：D.

18.如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是（）

A.ASAB.AASC.SASD.HL

【分析】根據(jù)ASLAi正明全等解答即可.

【解答】解：由圖可得，三角形已知一個(gè)銳角和一個(gè)直角，以及兩角的夾邊，

所以根據(jù)ASA證明三角形全等，

故選：A.

19.下列條件，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）

A.斜邊和一直角邊對應(yīng)相等B.兩個(gè)銳角對應(yīng)相等

C.一銳角和斜邊對應(yīng)相等D.兩條直角邊對應(yīng)相等

【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS,ASA,SSS,MS,做題時(shí)要結(jié)合已知條件與全等的

判定方法逐一驗(yàn)證.

【解答】解：A、符合判定“L，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

8、全等三角形的判定必須有邊的參與，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C、符合判定A4S,故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、符合判定WS，故本選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：B.

20.如圖所示，已知在AABC中，ZC=9O°,AD=AC,DE工AB交BC于點(diǎn)、E,若N8=28。，則4fC=（

A.28°B.59°C.60°D.62°

A

【分析】根據(jù)NC=90。，AD=AC,求證△C4￡MS4E,Z.CAE=/DAE=-4CAB再由ZC=9O°.

2

/8=28。，求出NC48的度數(shù)，然后即可求出NAEC的度數(shù).

【解答】解：?.?在AABC中，ZC=90°.AD=AC,DE工AB交.BC于點(diǎn)、E,

'.ACAE^^DAE,ZCAE=ZDAE=-Z.CAB,

2

VZB4-ZCAB=90°,ZB=28°,

ZC4B=90o-28o=62°,

/.ZAEC=90o--ZC4B=90°-3io=59°.

2

故選：B.

考點(diǎn)6直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【方法點(diǎn)撥】掌握直角二角形兩條重要的性質(zhì)：（1）斜邊上的中線為斜邊的一半。

（2）30。角所對直角邊為斜邊一半。且兩直角邊成百倍關(guān)系。

21.如圖，直線a//"RtAABC如圖放置，若Nl=28。，Z2=8O°,則的度數(shù)為（）

A.62°B.52°C.38°D.28°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到Nl+N84c=N2,進(jìn)而求得44C,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出々即

可.

【解答】解：?:cd1b,

Zl+Zfi4C=Z2.

ZBAC=Z2-Z1=80°-28°=52°,

NAC/=90。，

/.ZB+ZZMC=90°,

/.ZB=900-52o=38o.

故答案為：C.

22.如圖，AA8C沿直線MN折疊，使點(diǎn)A與AB邊上的點(diǎn)E重合，若4=54。，ZC=90°,則NEVC等

于（）

A.54°B.62°C.72°D.76°

B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NA，再根據(jù)折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：?,?N8=54。，ZC=90°.

.?.ZA=90°-54°=36°,

由折疊的性質(zhì)可知，ZAE4=ZA=36°,

ZfiVC=N/VE4+NA=72。，

故選：C.

23.如圖，從旗桿旦的頂端人向地面拉一條繩子，繩子底端恰好在地面夕處，若旗桿的高度為3.2米，則

繩子”的長度不可能是（）

A.3B.3.3C.4D.5

【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)斜邊大于直角邊進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?.?旗桿的高度為AB=3.2米，

.??繩子”的長度不可能是：3米.

故選：A.

24.如圖，在A4BC中，ZC=60°,ZB=50°,D是BC上一點(diǎn),DE上AB于點(diǎn)E,力/_LAC于點(diǎn)

F,則NED廠的度數(shù)為（）

A.90°B.KX）°C.110°D.120°

【分析】由三角形內(nèi)角和定理求得NA=70。；由垂直的定義得到NAED=NAFD=90。；然后根據(jù)四邊形

內(nèi)角和是360度進(jìn)行求解.

【解答】解：如圖，?.?在AABC中，ZC=60°,NB=50。,

/.Z4=70°.

???。￡，48于點(diǎn)后，J.ACJ點(diǎn)產(chǎn)，

ZAED=ZA/7）=90°,

.-.ZEDF=360o-ZA-ZAED-ZAFD=1l0°.

故選：C.

考點(diǎn)7角平分線性質(zhì)的應(yīng)用

【方法點(diǎn)撥】掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個(gè)比較簡單的方法；

（2）當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問題時(shí)，通常過用平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段。

25.如圖，N/UM=15O。，OP平分N/UM,PD工OB于點(diǎn)、D,PC"OB交OA于點(diǎn)C,若PQ=3,則OC

的長為（）

【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???NAQA=150°,PCUOB交.OA干點(diǎn)、C,

.\ZPCO=30°,

過P作PE_LO4于E,

?;PD1OB，OP平分ZAO8

；.PE=PD=3,：.ZAOP=ZPOD=75°,

.-.ZCPO=75%

.,.OC=PC=6,

故選：

26.如圖，AP平分NC4B,PD_LAC于點(diǎn)。，若PD=6,點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),關(guān)于線段正敘述正確

的是（）

A.PE=6B.PE>6C.PR,6D.PE..6

【分析】過尸點(diǎn)作尸〃J_A3于〃，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到尸〃=叨=6,然后根據(jù)垂線段最短可

對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：過尸點(diǎn)作于H,如圖，

?.?"平分NC48,PDYAC,PH1AB,

：.PH=PD=6,

點(diǎn)￡■是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，

/.PE..6.

故選：D.

27.如圖，在A48C中，A￡>為NR4C的平分線，。石_LAB于石，_LAC于/，AA8C的面積是30。川,

AB=13c/n，AC=1cm,則DE的長（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6c7〃

A

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。七=根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：:AD為44C的平分線，DEVAB,DF±AC,

:.DE=DF,

??S^BC=^ABXDE+^XACXDF=30(c/n2),即gxl3xOE+；x7x￡＞尸=30，

解得DE=DF=3cm,

故選：A.

28.如圖，PMLOA,PNLOB,垂足分別為M、N.PM=PN,若NHOC=30。，則NAO8=_60。

【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出OC平:分NAOB,再根據(jù)角平分線的定義可得

ZAOB=2/BOC.

【解答】解：?.,尸"_1_。4,PN1OB,PM=PN,

?.OC平分NAOB，

Z4OT=2ZBOC=2x30=60°.

故答案為：60°.

考點(diǎn)8線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用

【方法點(diǎn)撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等

注意：（1）這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間線段的長度。

（2）在使用該定理時(shí)必須保證兩個(gè)前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。

29.如圖，在AA5C中，的垂直平分線DE與邊Afi,AC分別交于點(diǎn)。，E.已知AA8C與ABCE的

周長分別為22c/〃和14cm，則BD的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

A

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到￡4=碩，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.■。石是的垂直平分線，

：.EA=EB,AD=BD=—AB.

2

?.?ABCE的周長是14。〃，

8C+BE+EC=14（777,BPAC+BC=\4cm.

?.?A48C的周長是22<?〃，

/.AB+AC+BC=22cm，

.?.48=22-14=8（。〃），

...HD=-AB=-x^=4（cm）.

22

故選：B.

30.如圖，在AA8C中，力石是AC的垂直平分線，且分別交3C、AC于點(diǎn)O和石，ZB=70°,ZC=25°,

則/44）為（）

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB4C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。4=衣，得到

〃4C=NC=25。，計(jì)算即可.

【解答】解：在AA8C中，ZB=70°,ZC=25°,

則Z.BAC=180°-ZB-ZC=180°-70°-25°=85°,

?「￡歸是AC的垂直平分線，

DA=DC，

/.zmc=zc=25°,

...NBAD=85°-25°=60°,

故選；B.

31.如圖，DE,。b分別是線段AB,6C的垂直平分線，連接D4,￡心，則（）

A.ZA=ZCB.ZB=ZADCC.DA=DCI1.DE=DF

BFL

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解判斷即可.

【解答】解：如圖，連接80，

二

Bc

；DE,OF分別是線段/W,8C的垂直平分線，

:.DA=DB,DB=DC,

:.DA=IXJ,

故選：c.

32.如圖，在AA5C中，8C的垂直平分線分別交AC,BC于點(diǎn)D,1￡.若AA3C的周長為22,BE=4,

則A44O的周長為（）

A.26B.20C.18ID.14

二

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到。3=DC,BC=2BE=8,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可.

【解答】解：是5C的垂直平分線,

：.DB=DC,BC=2BE=8,

?.?AA8C的周長為22,

.\AB+BC+AC=22,

:.AB+AC=\4,

A/WO的周長=AO+A/）+AB=A7）+CD+AB=AB+4C=14,

故選：D.

考點(diǎn)9等腰三角形與全等三角形的綜合

33.如圖，AABC+，AB=BC,/43C=45°,4E_LAC于點(diǎn)E,4Q_L4C于點(diǎn)。，BE與AD相交于立

(1)求證：BF=AC；

(2)若CO=3,求A/的長.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形腰長相等性質(zhì)可得人。=8。，即可求證△BDFgZLAC。，即可解題；

(2)連接CR根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到。尸=OC,得到△/)人?是等腰直角三角形.推出AK=EC,

BE是AC的垂直平分線.于是得到結(jié)論.

【答案】解：(1)AD±BD,ZDAD=45°，

：.AD=BD,

?:/BFD=/AFE,NAFE+NC4￡)=90°,NC4D+NAC￡>=90°,

:?NBFD=/ACD,

在△B。尸和△AC。中，

'NBFD二NACD

ZBDF=ZADC.

BD=AD

：?4BDF出XACD(A4S),

：.BF=AC；

(2)連接CF,

'：^BDF^/\ADC,

：.DF=DC,

???△OFC是等腰直角三角形.

VCD=3,CF=y/2CD=342,

*：AB=BC,BE±AC,

??.A￡=EC,/汨是AC的垂直平分線.

：.AF=CF,

???4F=3&.

A

34.如圖，在等腰RtZ\48C中，ZACB=90°,。為8c的中點(diǎn)，OE_LA8,垂足為E,過點(diǎn)8作8尸〃AC

交QE的延長線于點(diǎn)F,連接CF.

(1)求證：CD=BF；

(2)求證：ADA.CF-,

(3)連接人尸，試判斷△4C尸的形狀.

【分析】(1)由平行可求得NC8r=90°,再結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)可求得可得8尸=

CD；

(2)結(jié)合(I)的結(jié)論，可證明△人CO0△C8A可得NQCG=NC4。，可證明NCGO=9()°,可得結(jié)

論；

(3)由(2)可得。/=AQ,又A3垂直平分。凡可得4Q=AF,可證明Cb=AP,可知ZkACF為等腰

三角形.

【答案】(1)證明：

?：AC//BF,且NAC8=90°,

:?NCBF=90°,

又4C=BC,

???NOH4=45°,

*：DELAB,

/.NDEB=ZBEF=ADBF=W,

:./BDE=/BFE=45°,

???BD=BF,

又。為3C中點(diǎn),

:?CD=BD,

:.CD=BFx

(2)證明：

由(1)可知CO=8凡且CA=CB,/ACB=/CBF=90°,

在△4CD和△CBf'中

fCD=BF

NACD二NCBF

IAC=BC

:.XNCD9XCFB(SAS),

：.ZCAD=ZBCF,

VZACB=90°,

：.ZCAD+ZCDA=90°,

：,ZBCF+ZCDA=90°,

AZCGD=90°,

：.ADLCF；

(3)解：

由(2)可知△ACOgACBF,

：,AD=CF,

由(1)可知A8垂直平分OF,

：.AD=AF,

：.AF=CFf

???△ACT為等腰三角形.

35.如圖，在△ABC中，AB=AC,N8AC=45°，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE_LA8,垂足為點(diǎn)E,

交4D于點(diǎn)F.

(1)求證：AE=CE；

(2)求證：/^AEF^ACEH.

【分析】（1）求出NACE=45°,證明NEAC=N4CE,即可解答；

（2）利用同角的余角相等，證明NB4D=N8CE,利用AS4證明即可解答.

【答案】解：⑴-：CE±ABt

???NAEC=90°,

???/B4C=45°,

AZACE=90°-45°=45°,

???ZEAC=ZACE,

：.AE=CE.

（2）<AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),

：.ADLBC,

ZADB=90°,

??.NB+NB人0=90°,

TN“+N8CE=90°,

:?NBAD=NBCE,

在ZkAEr和△C￡3中，

fZAEF=ZCEB

AE=CE

l/EAF二NBCE

???△AEFe^CEB.

36.如圖，已知等腰三角形A6c中，A8=AC,點(diǎn)。、石分別在邊A6、AC上，且AD=AE,連接6E、CD,

交于點(diǎn)F.

（1）判斷NABE與NACQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）求證：過點(diǎn)A、”的直線垂直平分線段4C

A

【分析】（1）證得后利用全等三角形的對應(yīng)角相等即可證得結(jié)論;

（2）利用垂直平分線段的性質(zhì)即可證得結(jié)論.

【答案】解：（1）ZABE=ZACD；

在△A8E和△AC。中，

'AB二AC

ZA=ZA-

AE=AD

/.△ABE經(jīng)△AC。，

???/ABE=/ACD；

（2）連接AF.

,：AB=AC.

???^ABC=NACB,

由（I）可知N4BE=NAC。，

:?NFBC=NFCB,

:.FB=FC,

*：AB=AC,

工點(diǎn)A、〃均在線段8C的垂直平分線上，

即直線A尸垂直平分線段BC.

考點(diǎn)10與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

37.如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊

運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為點(diǎn)N的速度為2。加s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、2同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng).

（1）點(diǎn)加、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，加、N兩點(diǎn)重合？

（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN?

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN?如存在，請求出此時(shí)M、

N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)朋、N運(yùn)動(dòng)工秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M,N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比

Z的運(yùn)動(dòng)路程多\2crn,列出方程求解即可：

（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)，秒后，可得到等邊三角形△AMN,然后表示出AM,4N的長，由于NA

等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；

（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出可得CM=BN,設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出

CM,NB,NM的長，列出方.程，可解出未知數(shù)的值.

【答案】解：（I）設(shè)點(diǎn)A/、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，

.rXl+12=2v,

解得：x=12；

（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)，秒后，可得到等邊三角形△AMM如圖①，

4M=，Xl=f,AN=AB-BN=\2-2t,

???三角形是等邊三角形，

/.r=12-2r,

解得r=4,

???點(diǎn)/、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN.

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在3C邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形，

由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，

如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，

：.AN=AM,

/.ZAMN=NANM,

/.ZAMC=NANB,

,：AB=BC=AC,

???△4C8是等邊三角形,

AZC=ZB,

在△ACM和aABN中，

'AC=AB

;ZC=ZB，

ZAMC=ZANB

XhCM烏tsABN,

/.CM=BN,

設(shè)當(dāng)點(diǎn)V、N在8C邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間），秒時(shí)，△AMN是等腰二角形，

：,CM=y-12,NB=36-2y,CM=NB,

y-12=36-2y,

解得：），=16.故假設(shè)成立.

???當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMM此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16

秒.

38.已知△A8C中，AC=BC,ZC=120°，點(diǎn)。為A8邊的中點(diǎn)，NEDF=60。,DE、。廠分別交4C、

BC于E、F點(diǎn).

（1）如圖1,EF//AB.求證：DE=DF.

（2）如圖2,若即與A8不平行.則問題（1）的結(jié)論是否成立？說明理由.

【分析】（1）根據(jù)SAS證明△AQEgZXBQF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得。七=。尸；

（2）過。作QM_LAC交AC于M,再作ON_L8C交8C于M可證明QM=QN.再分一、當(dāng)M與七重

合時(shí)，N就一定與尸重合.二、當(dāng)M落在。、E之間時(shí)，N就一定落在3、尸之間.三、當(dāng)M落在A、E

之間時(shí)，N就一定落在C、尸之間.三種情況討論即可求解.

【答案】解：(1)*：EF//AB.

???NFEC=NA=300.

NEFC=N8=30°

：.EC=CF.

又???AC=8C

：.AE=BF

D是AB中點(diǎn).

：,DB=AD

：.△NDE9RBDF.

：.DE=DF

(2)過。作。M_LAC交AC于M,再作。N_L3C交于M

,:AC=BC,

JNA=NB,

又???NAC8=120°,

???N4=N