汽車電子電工技術課件 項目三 交流電路的分析與測量

項目三交流電路的分析與測量項目二分析了直流電路。在很多實際應用中,電路中的電壓、電流并非恒定不變,而是隨時間的變化不斷改變大小和方向,這類電壓和電流稱為交變電壓和交變電流,相應的電路稱為交流電路。應用最廣泛的交流電路是正弦交流電路。正弦交流電路是指由正弦波電源激勵,電路中各部分電壓和電流的穩態響應均按同頻率正弦波規律變換的電路。處于這種穩定狀態的電路又稱為正弦穩態電路。研究正弦交流電路有極其重要的意義。首先,正弦波信號容易產生,應用廣泛。目前世界上電能的生產、傳輸和應用大多采用正弦交流形式,通信技術所采用的載波信號也是正弦波,這其中的大多數問題都可以按正弦交流電路來分析處理。其次,從信號分析的角度來看,正弦波信號進行的各種運算,如加、減、積分、微分后仍為同頻率正弦波信號。因此,當多個同頻率正弦波電源作用于線性電路時,根據線性電路的疊加性質,電路的全部穩態響應皆為同一頻率的正弦量。本項目介紹正弦量的基本概念、表示方法及運算,分析單相正弦交流電路中電壓與電流的關系及功率問題。任務一PARTONE正弦量的基本概念一、正弦量及正弦量的三要素電路中隨時間按照正弦波規律變化的電壓或電流,統稱為正弦量。正弦量可以用正弦函數表示,也可以用余弦函數表示,本書統一采用余弦函數。圖3-1(a)表示流過正弦電流i1的一條支路,在指定電流參考方向和坐標原點(計時起點)后,可畫出正弦量隨時間變化的波形,稱為正弦波,如圖3-1(b)所示。該電流瞬時值的表達式為式中,i(t)表示電流在任意時刻t的值,稱為電流的瞬時值。此正弦量的特征需用振幅Im、初相位φi和角頻率三個量來描述,這三個量稱為正弦量的三要素,由它們可以完全確定一個正弦量。1.振幅式(3-1)中,Im稱為正弦量的振幅或幅值,表示正弦量在整個變化過程中的最大值,它反映了正弦量的大小。通常用大寫英文字母帶小寫下標m表示,如用Um表示正弦電壓的振幅,Im表示正弦電流的振幅。2.初相式(3-1)中,φi稱為正弦量的初相位,簡稱初相。正弦量變化的進程取決于角度(ωt+φi),這個角度稱為正弦量的相位或相角。t=0時的相位為φi,故稱φi為初相,它反映正弦量的初始值,單位為弧度或度。初相的大小與計時起點的選擇有關,習慣上在主值范圍內取值,即|φi|≤180°。圖3-2表示正弦信號在三種典型初相情況下的波形,圖3-2(a)表示初相為0,圖3-2(b)表示初相小于0,圖3-2(c)表示初相大于0。3.角頻率式(3-1)中,稱為正弦量的角頻率,是單位時間內正弦量的相位(ωt+φi)變動的角度,又稱角速度,它反映了正弦量變化的快慢,單位為弧度/秒(rad/s)。與正弦量的頻率f和周期T有以下關系:頻率f和周期T互為倒數:f和T也可以表示正弦量變化的快慢。我國和大多數國家的電力系統所用的標準頻率為50Hz,稱為工頻,有些國家(如日本、美國等)采用60Hz。不同工程技術領域中使用各種不同的頻率,如收音機的波段的頻率通常是530Hz~1600kHz;短波段是2.3Hz~23MHz,我國GSM手機的頻率是900/1800MHz雙頻?！纠?-1】已知一正弦電流的Im=20A,頻率f=50Hz,初相φi=π4。求t=0時電流i的瞬時值、t=2ms時電流i的瞬時值。解：所以知識拓展二、有效值正弦量的瞬時值是隨時間變化的,工程上為了衡量其效應、表征其大小,引入有效值的概念。有效值是通過電流的熱效應來表述的。設一交流電流i和一直流電流I流過相同的電阻R,如果在交流電的一個周期時間內交流電和直流電產生的熱量相等,則交流電流的有效值就等于這個直流電流I,即 由此得出周期電流有效值(有效值均用大寫字母表示)的定義式為 由上式可知,周期量的有效值等于其瞬時值的平方在一個周期內的平均值再取平方根,因此有效值又稱為均方根值。對于正弦電流i(t)=Imcos(ωt+φi),其有效值為同理,可得正弦電壓的有效值為 因此,正弦量的有效值等于其振幅除以2,與角頻率和初相位無關,不隨時間變化。引入有效值的概念后,正弦量i的瞬時值表達式可寫成 幅值和有效值均可表征正弦量值的大小,但有效值的應用更加廣泛。在工程上,在未特別指明的情況下,一般所說的正弦電壓、電流的大小都是指有效值。例如,用萬用表等儀表測量交流電時所指示的讀數、交流電氣設備銘牌上的額定值都是有效值。我國所使用的單相正弦電源的電壓U=220V,就是正弦電壓的有效值,它的最大值Um=2U=1.414×220=311V。應當指出,在工程實踐中,并非在一切場合都按有效值來考慮。例如,在確定各種交流電氣設備的耐壓及絕緣值時,就應按電壓的最大值來考慮,否則會發生危及人身和設備的安全事故。【例3-2】某電容器的耐壓值為250V,能否用在220V的單相交流電源上?為什么?解不能。220V的電源,其最大值為311V,大于電容器的耐壓值?！纠?-3】若某電路的u=314cos314t+π4V,求其頻率、周期、角頻率、最大值、有效值及初相位。解由題意可知,ω=314rad/s,f=50Hz,T=0.02s,Um=314V,則有效值及初相位為三、相位差相位差就是兩個同頻率的正弦量的相位之差,它用來描述同頻率正弦量之間的相位關系。圖3-3所示為同頻率的正弦電壓u和正弦電流i的波形,計時起點選在位置①時,它們的瞬時表達式分別為用φ表示它們之間的相位差,即由上式可見:兩個同頻率的正弦量的相位差等于它們初相之差,是一個與時間無關的常數。如果改變計時起點,兩個正弦量的初相也會隨著改變,但它們的相位差始終是一恒定值?，F將圖3-3中計時起點選在位置②,則u和i的瞬時值表達式分別為

這樣,它們的相位差還是φu-φi。所以相位差與計時起點的選取、變動無關。同頻率正弦量的幾種相位關系如圖3-4所示。(1)超前關系,φ12=φ1-φ2>0且φ12≤π弧度,稱i1超前i2(2)同相關系,φ12=φ1-φ2=0,稱這兩個正弦量同相。(3)反相關系,φ12=φ1-φ2=π,稱這兩個正弦量反相。(4)正交關系,φ12=φ1-φ2=π2,稱這兩個正弦量正交。注意:對于不同頻率的正弦量,其相位差隨時間不斷變化。因此,“相位差”這一概念只對同頻率的正弦量才有意義?！纠?-4】現有兩個同頻率的正弦壓,u1=311cos(100πt+60°)V,u2=311cos(100πt-60°)V,求兩個正弦電壓的相位差。解已知φ1=60°,φ2=-60°,則即u1超前u2120°,或者u2滯后u1120°。【例3-5】已知u=2202cos(ωt+235°)V,i=102cos(ωt+45°)A,求u和i的初相及兩者間的相位關系。解因為u=2202cos(ωt+235°)V=2202cos(ωt-125°)V,故電壓u的初相為-125°,電流i的初相為45°。表明電壓u滯后于電流i170°?！纠?-6】已知u1=2202cos(ωt+120°)V,u2=2202cos(ωt-90°)V,試分析二者的相位關系。解u1的初相為φ1=120°,u2的初相為φ2=-90°,u1和u2的相位差為考慮到正弦量的一個周期為360,故可以將φ12=210°表示為φ12=-150°<0,表明u1滯后于u2150°。知識拓展任務二PARTTWO正弦量的相量表示法寫出正弦量的三角函數表達式或畫出波形圖,都可以將其三要素形象地表示出來,但以此進行正弦量的運算比較煩瑣。例如,在并聯的兩支路分別流過電流求總電流i。利用三角函數運算得到i=i1+i2=14.55cos(ωt+50.1°)A。可見,總電流i的頻率與i1、i2相同,但求得i的幅值及初相這兩個要素不是很方便。為了能快捷地計算出i的振幅及初相,引入正弦量的相量表示法。相量表示法的基礎是復數,就是采用數學中的復數來表示正弦電壓和電流,將三角函數運算變換為復數運算,這是分析正弦交流電路的一種簡便的計算方法。一、復數及運算一個復數F可用下面四種形式來表示。復數F的代數形式為F=a+jb式中,a為復數F的實部;b為虛部;j=-1稱為虛數單位,因為在電路中i表示電流,故虛數單位用j表示,以防混淆。在實際應用中,有時只需取復數的實部或只需取虛部,這時可采用如下表示方法。取實部ReF=Rea+jb=a取虛部lmF=lma+jb=b復數F在復數平面上可以用F對應坐標的點表示,也可以用從坐標原點O指向該點的有向線段表示,如圖3-5所示。有向線段的長度|F|稱為復數的模;線段與實軸的夾角θ稱為復數的輻角。它們分別為復數的模|F|和輻角θ與其實部a和虛部b的關系為這樣得到復數F的三角函數形式為根據歐拉公式可以將復數F的三角函數形式變換為指數形式。一個復數F的指數形式為在電路理論中,復數的指數形式常寫為極坐標形式,即在對相量進行運算時,采用不同的表達方式會更方便,因此復數的以上幾種表示形式希望同學們都能夠熟悉并能相互轉換。最常用的復數運算是復數的加減和乘除運算。復數的加減運算一般用代數形式進行。例如,兩個復數F1=a1+jb1與F2=a2+jb2,則即兩個復數相加或相減等于將其實部和虛部分別相加或相減。復數的加減運算也可以在復平面上采用平行四邊形法則來進行,如圖3-6所示。復數的乘除運算在工程上通常是采用其指數或極坐標形式進行。例如,有兩個復數F1=|F1|ejθ1=|F1|∠θ1,F2=|F2|ejθ2=|F2|∠θ2。這兩個復數相乘,有即復數相乘時,模相乘,輻角相加。這兩個復數相除,有即復數相除時,模相除,輻角相減。復數ejθ稱為旋轉因子,它的模為1,輻角為θ。任一復數乘以ejθ,等于該復數在復平面上逆時針方向旋轉一個θ角度,而其模保持不變。例如,復數F1=|F1|ejθ1,乘以旋轉因子ejθ后得到了新復數F'1=|F1|ej(θ1+θ),模仍然是|F1|,輻角變為(θ1+θ)。由歐拉公式可知,ejπ2=j,e-jπ2=-j,ejπ=-1。±j和-1也可看成旋轉因子。例如,一個復數乘以j,等于把這個復數在復平面上逆時針旋轉π2;一個復數乘以-1,則等于把這個復數在復平面上順(逆)時針旋轉π。二、正弦量的相量表示設復指數函數F=Fmej(ωt+φ),根據歐拉公式,有可見,一個正弦量可以與一個復指數函數的實部一一對應起來,即這樣,正弦量就可以用對應的復指數函數來描述。根據復變函數的運算規律,可以先對復指數函數進行數學運算,再對運算結果取實部,就可以得到正弦量的計算結果。設正弦電壓u=Umcos(ωt+φu),則式中,Uejψu是一個與時間無關的復常數,其模為正弦電壓的有效值,輻角為正弦電壓的初相。它包含正弦電壓三要素中的兩個要素。在正弦交流電路中,Uejφu足以表征正弦電壓。為了與一般的復數相區別,把這個表示正弦量的復常數稱為相量,用上面帶點的大寫字母表示,于是表示正弦電壓u=Umcos(ωt+φu)的相量為

或式中,U·稱為電壓的有效值相量;U·m稱為電壓的振幅相量。同一正弦量的振幅相量和有效值相量之間亦為2倍的關系,如U·m=2U·。在實際應用中,可以直接根據正弦量確定與之對應的相量。相反,若已知相量和角頻率ω,也可以確定該相量所表示的正弦量。例如,已知正弦電流i=1002cos(ωt-30°)A,該電流的有效值相量就是I·m=100∠-30°A。注意:正弦量不是復數,相量只是用于表示正弦量,而不是等于正弦量。如果用中學解三角函數的方法對正弦量進行計算,將十分煩瑣。因此,借用相量表示正弦量僅僅是為了對正弦量進行計算時更加方便和快捷。相量作為一個復數,也可以在復平面上用有向線段來表示。圖3-7中,復平面上的有向線段就是用來表示電流相量I·=I∠φi的,它的長度等于相量的模,它與實軸正方向的夾角等于相量的輻角。按照一定的大小比例和相位關系在復平面上畫出若干相量的圖,稱為相量圖。在相量圖上能夠形象地看出各個正弦量的大小和相互之間的相位關系。注意:只有同頻率的正弦量才能畫在同一個相量圖上。下面討論正弦量與相量關系的幾何意義。式(3-3)所表示的復指數函數2Uej(ωt+φu)=2Uejφu中,2Uejφu是電壓的振幅相量,在復平面上可以用一個有向線段來表示,如圖3-7所示。而ejωt是一個模為1、輻角為ωt的旋轉因子,隨時間變化,以原點為中心、以角速度ω沿逆時針方向旋轉。因此,復指數函數2Uej(ωt+φu)實際上是一個以角速度ω逆時針方向旋轉的相量,稱之為旋轉相量。旋轉相量與正弦量波形的對應關系如圖3-8所示。對于任一時刻t,旋轉相量與實軸的夾角為(ωt+φu),該時刻旋轉相量與正弦量在實軸上的投影等于與其對應的正弦量在同一時刻的瞬時值,這就是式(3-3)中對應關系的幾何意義。旋轉相量旋轉一周,正弦波也變化一個周期。為了便于繪制正弦波形,圖3-8中將復平面的坐標逆時針旋轉了90°?！纠?-7】已知u1(t)=62cos(314t+30°)V,u2(t)=42cos(314t+60°)V,試求u=u1+u2,并繪出相量圖。解相量圖如圖3-9所示?！纠?-8】已知u1=42cos(ωt)V,u2=5cos(ωt-150°)V,i1=62sin(ωt+30°)A,i2=-2202cos(ωt-80°)A,分別寫出以上各正弦電壓和電流的相量。解根據相量的定義,可直接寫出u1、u2的有效值相量為【例3-9】已知i1=52cos(100t+30°)A,i2=102cos(100t+60°)A,電流i=i1+i2,求電流i。解將正弦量的運算轉化為相量運算,首先求得則上述計算也可以根據平行四邊形法則在相量圖上進行。任務三PARTTHREER、L、C元件的交流電特性在一般實際電路中,無源元件電阻、電感(包括互感)和電容同時存在。在直流穩態電路中,電感相當于短路,電容相當于斷路,只有電阻R一種元件模型。在正弦穩態電路中,電壓、電流隨時間變化,無源元件除電阻R外,還有電感L(包括互感)和電容C。分析電路的正弦穩態響應,必須掌握這些元件的交流電特性。一、電阻元件的交流電特性1.電阻元件在交流電路中的伏安特性如圖3-10所示,對于線性電阻元件,它的伏安特性表述為歐姆定律,即uR=Ri,圖3-10(a)中,設電阻R中的電流為 則電阻兩端的電壓為 上式表明,正弦電流流過電阻R,在R上產生一個與電流同頻率、同相位的正弦電壓,且有效值之間的關系為UR=RI電阻元件歐姆定律的相量形式為U·R=RI·電阻元件的相量模型如圖3-10(b)所示,圖3-10(c)是電阻中正弦電流和正弦電壓的相量圖。2.電阻的功率下面討論正弦交流電路中電阻元件的功率問題。在任一瞬間,電壓u與電流i瞬時值的乘積,表示電路在該瞬間吸收或發出的功率,稱為瞬時功率,通常用小寫字母p表示,即p=ui對于圖3-10(a)所示的線性電阻元件R,其電壓u、電流i取關聯參考方向,則R吸收的瞬時功率為pR由兩部分構成:一部分是與時間無關的常數,另一部分是隨時間做兩倍頻率變化的周期量。pR隨時間變化的曲線如圖3-11所示,由于電壓和電流同相,瞬時功率恒為正值,這說明電阻元件總是吸收(消耗)能量的,同時電阻吸收的功率是隨時間變化的。瞬時功率不能反映電路中總的功率情況,在交流電路中,功率通常指的是平均功率。平均功率是瞬時功率在一個周期內的平均值,用大寫字母P表示,即將式(3-4)代入式(3-5),得電阻元件吸收的平均功率為由此可見,如果用電阻元件上的電壓、電流的有效值來計算它的平均功率,則計算公式與直流電路完全一樣,單位為瓦特(W)。因為平均功率表現了元件實際消耗電能的情況,所以又稱為有功功率,簡稱功率。在日常工作和生活中所說的功率,未特別指明都是指平均功率,即有功功率。常用電器設備銘牌上的額定功率,如教室日光燈的功率通常為40W、電飯煲的功率通常為700W、電梯的功率通常為20kW等,都是指平均功率(有功功率)。【例3-10】將阻值為100Ω的電阻接在電壓為u=2002cos(ωt+60°)V的電源上,求:(1)通過電阻的電流iR和其有效值IR;(2)消耗的功率P。解(1)u=2002cos(ωt+60°)V,其相量為而所以(2)P=UIR=200×2W=400W。二、電感元件的交流電特性電感元件是一種通過磁場儲能的元件。電感元件的原始模型為導線繞成的圓柱線圈,當線圈中通以電流i,在線圈中就會產生磁通量Φ,并儲存能量。如果一個二端元件在任一時刻,其磁通量與電流之間的關系由i-φ平面上的一條曲線所確定,則稱此二端元件為電感元件。電感元件的符號如圖3-12(a)所示,特性曲線如圖3-12(b)所示。我們將特性曲線是通過坐標原點的一條直線的電感元件稱為線性電感元件,否則稱為非線性電感元件。線性時不變電感元件的符號如圖3-13(a)所示,特性曲線如圖3-13(b)所示,它的特性曲線是一條通過原點不隨時間變化的直線,其數學表達式為φ=Li式中,系數L為常量,與直線的斜率成正比,稱為電感。電感單位為亨利,簡稱亨,符號為H,1μH=1Wb/A。通常還用毫亨(mH)和微亨(μH),它們的換算關系為1.電感元件的伏安特性圖3-14(a)所示為線性電感元件L,在電壓、電流取關聯參考方向時,其伏安特性為當通過電感L的電流為時,則上式表明,正弦電流流過電感L,在L上產生一同頻率的正弦電壓,此電壓的相位超前電流90°,且有效值之間關系為式中,XL=ULILωL=2πfL,稱為感抗,單位為Ω。XL與工作頻率f成正比,頻率越高,則感抗越大。直流電可以看成頻率f=0的正弦電流,即XL=2πfL=0,電感元件相當于短路。注意:根據以上推導,如果一個電阻很小的線圈接入直流電路中將產生很大的電流,可能將線圈燒毀。電感元件的相量模型如圖3-14(b)所示,圖3-14(c)是電感中正弦電流和電壓的相量圖。2.電感元件的功率及儲存的磁場能量為了簡化分析,設流過圖3-14(a)所示電感L的電流為iL=ILmcosωt,則電感兩端的電壓為uL=ULmcosωt+π2。電感L是一個儲能元件,它的儲能與電流之間的關系為其瞬時功率為由上式可知,瞬時功率pL以2ω角頻率隨時間按正弦規律變化,其波形如圖3-15所示。瞬時功率做正、負交替變化。這是因為電感是儲能元件,其儲存的磁場能量為LI2Lcos2(ωt)。當電流的絕對值|iL|增大時,電流建立的磁場增強,電感吸收能量,pL>0;而|iL|減小時,電感釋放出原先儲存的能量,pL<0。電感周期性地從外部電路吸取能量繼而又將能量送回電路,這說明在交流電路中,電感與外電路不斷地交換能量。瞬時功率的最大值反映了電感元件與外界進行能量交換的最大規模,稱為電感元件的無功功率(QL=PLm),用QL表示,單位為乏(var),工程中還常用千乏(kvar)。電感元件吸收的平均功率為從pL的波形圖中也容易看出,電感元件的功率平均值為零,這說明線性電感元件并不消耗功率,而是起著儲存和釋放能量的作用,即不斷與外電路(或電源)進行能量交換。其能量為把uL=Ldildt代入上式,得磁場能量的單位為焦耳(J)。實際的電感線圈是用導線繞制成的,由于導線存在電阻,當電流通過時,有一定損耗(發熱)。所以一個實際電感元件的電路模型由一個電感L和一個電阻R串聯組成(低頻,不考慮匝間電阻)。【例3-11】iL=102cos(314t+30°)A為流過電感元件中的電流,無功功率QL=500var。求:(1)XL和L;(2)電感元件中儲存的最大磁場能量WLm。解【例3-12】已知一個電感L=2H,接在uL=2202cos(314t-60°)的電源上。求:(1)XL;(2)通過電感的電流iL;(3)電感上的無功功率QL。解三、電容元件的交流電特性電容元件是一種通過電荷儲存能量的元件,其原始模型為中間用絕緣介質隔開的兩塊金屬極板。當在兩極板上加上電壓后,極板上分別積聚等量的正、負電荷,在兩個極板之間產生電場。積聚的電荷越多,所形成的電場就越強,電容元件所儲存的電場能也就越大。如果一個二端元件在任一時刻,其電荷與電壓之間的關系由u-q平面上的一條曲線所確定,則稱此二端元件為電容元件。電容元件的符號及特性曲線如圖3-16所示。若特性曲線是通過坐標原點一條直線的電容元件,稱為線性電容元件,否則稱為非線性電容元件。線性時不變電容元件的符號及特性曲線如圖3-17所示。它的特性曲線是一條通過原點不隨時間變化的直線,其數學表達式為q=Cu(3-7)式中,系數C為常量,與直線的斜率成正比,稱為電容,單位是法拉,簡稱法,符號為F。常用單位還用毫法(mF)和微法(μF)。1.電容元件的伏安特性如圖3-18所示,對于線性電容元件C,在電壓、電流取關聯參考方向時,其伏安特性為圖3-18(a)中,設加在電容C兩端的電壓為則上式表明,電容元件在外加正弦交流電壓的作用下產生同頻率的正弦交流電流,此電流的相位超前電壓90°,且有效值之間的關系為得電容元件伏安特性的相量形式為式中,XC=UCIC=1ωC=12πfC,稱為容抗,單位為Ω。XC與工作頻率成反比,頻率越高,容抗越小。在直流工作條件下,f=0,XC→∞,電容元件相當于開路。電容元件的相量模型如圖3-18(b)所示。圖3-18(c)是電容中正弦電流和電壓的相量圖。2.電容元件的功率及儲存的電場能量正弦交流電路中,電容元件的功率、能量關系與電感元件相似。為了簡化分析,設加在圖3-18(a)所示電容C兩端的電壓為uC=UCmcosωt,則流過電容元件的電流為iC=ICmcosωt+π2。電容元件也是一個儲能元件,它的儲能與電流之間的關系為其瞬時功率為由上式可知,瞬時功率pC也是以2ω的角頻率隨時間按正弦規律變化,其波形如圖3-19所示。瞬時功率做正、負交替變化。當|uC|增大時,瞬時功率為正,表示電容吸收功率,其儲能增加;當|uC|減小時,瞬時功率為負,則表示電容發出功率,其儲能減少。電容元件也與外部電路不斷進行能量交換。電容元件上盡管平均功率為零,但瞬時功率并不為零。將電容元件的瞬時功率的最大值定義為無功功率,它表示電源能量與電場能量交換的最大程度,用符號QC表示,即QC=PCm,單位為乏(var)。電容元件吸收的平均功率PC也為零,說明電容元件和電感元件一樣,是一個儲能元件,不消耗能量,只是與外部電路(或電源)交換能量。注意:雖然電感和電容都幾乎不消耗電網的能量(一個周期內平均功率為零),但由于它們要不斷地與電源進行能量交換(消耗無功功率),因此它們仍然會增加電網的負擔。在選擇電網的變壓器、輸電線、開關等器材的大小時不僅要考慮有功功率,同時還必須考慮無功功率。當電容元件上的電壓從零上升到某個數值uC時,電容元件從電源吸取的能量為電場能量的單位為焦耳(J)。實際的電容元件在交流電的作用下也是有損耗的(主要時介質損耗),它的電路模型可以用電阻R和電容C并聯組成,也可以采用R與C串聯的形式,一般常采用前一種形式?！纠?-13】設一電容C=100F,接在u=2202cos(314t+45°)V的電源上。求iC、QC,并作相量圖。 相量圖如圖3-20所示。解則電阻、電感和電容是交流電路中最基本的無源元件,它們的交流電特性是分析正弦電流電路的基本依據,是學習后續課程的理論基礎,同時能為工作中分析及解決工程實際問題提供重要的理論依據及方法思路,是每個從事電類工作人員必備的知識。為了便于記憶和比較,將它們的交流電特性列于表3-1中。任務四PARTFOUR電路定律的相量形式前面介紹的基爾霍夫定律和各種元件的特性方程是分析電路問題的基本依據。這些方程中的變量一般都是時間t的函數,故稱為時域形式的方程。正弦交流電路中也必須遵循這種時域形式的方程。當采用相量法來分析正弦電路時,必須將時域形式的方程轉換成相量形式,即電壓相量和電流相量所遵循的方程?；鶢柣舴螂娏鞫煞匠痰臅r域形式為∑nk=1ik(t)=0,在正弦穩態電路中,所有支路電流都是同頻率的正弦量,可以將其轉換為相量形式,即∑nk=1I·k=0文字表述為:在集中參數正弦穩態電路中,流出(或流入)任一節點(或閉合面)的各支路電流相量的代數和為零。同理,基爾霍夫電壓定律方程的時域形式為∑nk=1uk(t)=0,在正弦穩態電路中,所有支路電壓都是同頻率的正弦量,可以將其轉換為相量形式,即∑nk=1U·k=0文字表述為:在集中參數正弦穩態電路中,沿任一回路的所有支路電壓相量的代數和為零?！纠?-14】圖3-21所示為正弦交流電路,已知u1=52cos(ωt-120°)V,u2=82cos(ωt+45°)V,求節點②、④之間的電壓u24。解設表示電壓u1、u2的相量分別為U·1、U·2,由已知得對支路1、2、3、4構成的回路,按順時針方向列寫相量形式的KVL方程為可得

既知識拓展知識拓展知識拓展知識拓展知識拓展知識拓展知識拓展知識拓展任務五PARTFIVE阻抗與導納一、阻抗與導納的概念歐姆定律是用來表示線性電阻元件上的電壓、電流關系的,對于電感和電容元件上的瞬時電壓、電流,也存在類似于線性電阻元件歐姆定律的關系。在電壓、電流為正弦量的情況下,R、L、C元件伏安特性的相量形式分別為可見,這三種元件伏安特性的相量形式可統一表示為該式稱為歐姆定律的相量形式,其中把元件兩端的電壓相量與流過元件的電流相量之比Z定義為元件的復阻抗,簡稱阻抗,單位為歐姆(Ω)。根據阻抗的定義,R、L、C元件的阻抗分別為在正弦交流電路中,電路的相量模型可以看成是R、L、C這三個基本元件相量模型的串、并聯組合。圖3-22(a)所示為一個不含獨立源的一端口網絡,在外施加正弦電源的激勵下,端口的電壓和電流為同頻率的正弦量。設端口電壓相量和電流相量分別為U·=U∠φu和I·=I∠φi,它們的比值定義為該一端口網絡的阻抗Z,即式中,Z為阻抗模,它等于端口電壓有效值和電流有效值之比;φZ為阻抗角,它等于電壓和電流的初相之差,即電壓超前(或滯后)電流的相位?？梢?歐姆定律的相量形式以一個復數方程同時給出了阻抗端口的電壓與電流的大小關系和相位關系。阻抗Z只是一個為方便計算而使用的復數,并不代表阻抗是正弦量,也不可將阻抗視為相量。阻抗Z用代數形式表示為其實部ReZ=ZcosφZ=R稱為電阻,虛部ImZ=X=ZsinφZ稱為電抗。從電路構成來看,阻抗由電阻和電抗串聯組成,可看成一個電路元件,其參數為復數Z,電路符號如圖3-22(b)所示。阻抗Z的實部R、虛部X和阻抗模Z之間的關系可以用一個直角三角形表示,如圖3-23所示,這個三角形稱為阻抗三角形,圖中各參數的計算遵循中學數學解三角函數的方法。如同在電阻電路中,電阻R的電特性可以用它的倒數———電導G來表示一樣,在正弦交流電路中,一個交流電路元件的電特性也可以用阻抗Z的倒數來表示。阻抗的倒數稱為導納,用符號Y表示,單位為西門子。R、L、C元件的導納分別為二、阻抗與導納的串聯和并聯阻抗的串、并聯電路的計算,在形式上與電阻的串、并聯電路相似。1.阻抗串聯的電路對于n個阻抗串聯的電路,其等效阻抗為Z=∑nk=1Zk各串聯阻抗流過相同的電流相量,串聯支路的總電壓相量等于各串聯阻抗的電壓相量之和,各個阻抗上的電壓分配為U·k=ZkZU·(k=1,2,3,…,n)式中,U·為串聯阻抗的總電壓;U·k為第k個阻抗Zk的電壓。圖3-24(a)所示的RLC串聯電路的相量模型如圖3-24(b)所示。電路的等效阻抗Z為Z的模和阻抗角分別為當XL>XC時,阻抗角φZ>0,電壓U·超前電流I·,阻抗Z呈感性;當XL<XC時,阻抗角φZ<0,電壓U·滯后電流I·,阻抗Z呈容性;當XL=XC時,電壓U·和電流I·同相,阻抗Z呈純電阻性。RLC串聯電路的相量圖如圖3-25所示,其中設XL=XC,即為阻性電路。從相量圖中可以直觀地看出各相量間的相位和大小關系。相量在相量圖上的位置是根據各相量的相位相對確定的,由于各相量間的相位差與計時起點的選擇無關,通常選擇某一相量作為參考相量,其他相量根據與參考相量的相位關系畫出,并按比例反映出各相量的模。一般設參考相量的初相為零,把它畫在水平方向上,如果參考相量的初相已經確定,可按其初相畫出。為了簡化,相量圖中可以不畫出實軸和虛軸,以參考相量為坐標軸,畫在水平位置或豎直位置。在串聯電路中,因為各元件流過同一電流,經常取電流相量I·為參考相量。圖3-25(a)中,將I·畫在水平方向,U·R=RI·與I·同相,也畫在水平方向,U·L=jωLI·L畫在比I·超前90°的位置,U·C=-jI·CωC畫在比I·滯后90°的位置。根據串聯回路的KVL方程,U·=U·R+U·L+U·C,應用求相量和的多邊形法則畫出回路上的電壓相量圖,從相量圖上可以求出各電壓有效值的關系,即2.導納并聯的電路同理,對于n個導納并聯的電路,其等效導納為Y=∑nk=1Yk各并聯導納具有相同的電壓相量,并聯支路的總電流相量等于各并聯導納的電流相量之和,各個導納上的電流分配為I·k=YkYI·(k=1,2,3,…,n)式中,I·為并聯導納的總電流;I·k為第k個導納Yk的電流。圖3-26(a)所示RLC并聯電路的相量模型如圖3-26(b)所示,電路的等效導納Y為導納Y的模和導納角分別為當BC>BL時,導納角φY>0,電壓U·滯后電流I·,導納Y呈容性;當BC<BL時,導納角φY<0,電壓U·超前電流I·,導納Y呈感性;當BC=BL時,電壓U·與電流I·同相,導納Y呈純電阻性。根據KCL方程,I·=I·R+I·L+I·C,畫出電路的相量圖如圖3-26(c)所示,其中設BC>BL,即容性電路,故電流I·超前電壓U·。從相量圖中可以直觀地看出電流有效值的計算式為I=I2R+(IC-IL)2?！纠?-15】設圖3-24(a)中正弦電壓U=141V,ω=103rad/s,R=50Ω,L=50mH,C=10μF。試求此RLC串聯電路的阻抗、電流和各元件的電壓,并畫出相量圖。解采用相量法,電路的相量模型如圖3-24(b)所示。設電壓相量為參考相量,即U·=141∠0°V,RLC串聯電路的阻抗為電流為各元件的電壓相量分別為各元件的電壓瞬時值分別為根據U·=U·R+U·L+U·C,畫出相量圖如圖3-27所示?！纠?-16】已知圖3-28中,iS=600cos100tA,R=2Ω,L=50mH,試求電壓u和電流iR、iL。解電源電流的振幅相量為U·,I·sm=6∠0°A,R、L并聯的等效導納為電壓為流過R、L的電流相量分別為故電流iR、iL為任務六PARTSIX正弦穩態電路的功率知識拓展前面討論了單個元件的功率問題,本節討論由它們組成的正弦穩態電路的功率。一、有功功率、無功功率和視在功率1.有功功率設圖3-29(a)所示一端口網絡的端口電壓、電流分別為電壓u和電流i為關聯參考方向,則輸入一端口網絡的瞬時功率為根據2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β),將上式改寫成式中,φ=φu-φi,即端口電壓u和電流i的相位差。由式(3-9)可見,瞬時功率由兩個分量組成,一個是恒定分量,一個是兩倍于電壓(或電流)頻率的正弦量。瞬時功率的波形如圖3-29(b)所示,可以看出,瞬時功率有時正、有時負,正值表示一端口網絡從外電路吸收功率,負值表示一端口網絡向外電路釋放功率,這表明一端口和外電路之間有能量交換,顯然是一端口網絡中有儲能元件L或C存在的原因。式(3-9)等號右端第二項中余弦函數可進一步展開為再代入式(3-9),得上式等號右端第二項是正弦量,反映一端口網絡與外部電路交換的能量,這一項在一個周期內的平均值等于零;第一項是非負的,反映一端口網絡吸收功率的能力,一端口網絡吸收的平均功率取決于這一項,即平均功率又稱有功功率,代表一端口實際消耗的功率。由式(3-11)可見,有功功率就等于瞬時功率p中的恒定分量,它不僅與端口電壓、電流有效值的大小有關,而且和它們的相位差有關。式(3-11)中λ=cosφ,稱為一端口網絡的功率因數,φ稱為功率因數角。對于純電阻網絡,電壓和電流同相,cosφ=1,PR=URI;對于純電感或電容網絡,電壓和電流的相位差為±π/2,cosφ=0,P=0,即電感元件或電容元件不消耗能量,這與前面的分析是一致的。2.無功功率為了描述一端口網路與外部電路能量交換的情況,引入無功功率的概念。無功功率用大寫字母Q表示,其定義為Q=UIsinφ無功功率的量綱與有功功率的量綱相同,但是因為它不表示實際吸收或發出的功率,為區別,它的單位為無功伏安或乏(var),有時也用千乏(kvar)。理想電阻元件只消耗能量,不能儲存能量,它的無功功率為0,也可由電阻的交流電特性得出。電感元件的無功功率為電容元件的無功功率為對于不含獨立電源的一端口網絡,其等效阻抗可以用Zeq=R+jX表示,阻抗角就是功率因數角。式(3-11)表明,Zeq吸收的平均功率不等于該阻抗上的電壓、電流有效值的乘積,而是要乘以功率因數λ。這是因為,Zeq中只有電阻消耗功率,而端口電壓是阻抗兩端的電壓,并非電阻電壓。假設等效阻抗為感性,如圖3-30(a)所示,取電流I·為參考相量,根據U·=U·R+U·X畫出電路的相量圖如圖3-30(b)所示,此直角三角形稱為電壓三角形。U·R和U·X是U·的兩個分量。U·R和I·同相,稱為U·的有功分量。將UR=Ucosφ代入式(3-11),得到Zeq吸收的平均功率,即一端口網絡吸收的有功功率,P=UIcosφ=URI=I2R,恰好是電阻吸收的有功功率。U·X與I·正交,稱為U·的無功分量,將UX=Usinφ代入式(3-12),得到Zeq吸收的無功功率,即一端口網絡吸收的無功功率Q=UIsinφ=UXI,恰好是電抗吸收的無功功率。因為電感和電容不消耗功率,所以一端口吸收的有功功率等于端口內部各電阻吸收的有功功率之和。而電阻元件的無功功率為零,所以一端口吸收的無功功率等于端口內部電感和電容元件吸收的無功功率之和?？梢宰C明,正弦穩態電路中總的有功功率是電路各部分有功功率之和,總的無功功率是電路各部分無功功率之和,即有功功率和無功功率分別守恒。3.視在功率一般電氣設備都要規定額定電壓和額定電流,工程上用它們的乘積來表示電氣設備的容量,因此引入視在功率的概念。視在功率又稱表觀功率,用大寫字母S表示,其定義為S=UI(3-13)為了將其與有功功率相區別,視在功率用伏安(V·A)作單位,有時也用千伏安(kV·A)。由式(3-11)、式(3-12)和式(3-13)可知,P、Q、S之間存在下列關系。可見,P、Q、S之間的關系可以用一個直角三角形表示,如圖3-31所示,這個三角形稱為功率三角形,圖中P、Q、S、φ的計算遵循中學數學解三角函數的方法。【例3-17】已知圖3-32所示電路中負載1和負載2的平均功率和功率因數分別為P1=80W,λ1=0.8(感性),P2=30W,λ2=0.6(容性)。試求各負載的無功功率、視在功率及兩并聯負載的總的有功功率、無功功率、視在功率和功率因數。解依題意,對于負載1,有對于負載2,有兩并聯負載總的有功功率、無功功率、視在功率分別為Q>0,可知電路呈感性,功率因數和功率分別為【例3-18】圖3-33(a)所示正弦交流電路中,已知R=100Ω,U1=UR=100V,U·R滯后U·I60°,求一端口網絡N吸收的平均功率。解由已知條件取電流I·為參考量,即令I·=1∠0°A,作相量圖如圖3-33(b)所示。U·R、U·1和U·N構成等邊三角形,U·A超前I·的相角為120°,則網絡N吸收的平均功率為二、功率因數的提高下面討論在電力系統中非常有意義的一個實際問題———功率因數的提高。如前所述,交流電路的有功功率P不但與電壓和電流的有效值相關,還要考慮它們的相位差。只有在純電阻負載(如白熾燈、電爐)的情況下,電壓和電流才同相,功率因數為1。對其他負載來說,功率因數一般均介于0與1之間,電路中發生能量交換,出現無功功率Q,這會增加電源的負擔和輸電線路的損耗。各種電源設備,如交流發電機或變壓器都標有額定工作電壓和額定工作電流,它們的乘積稱為額定視在功率。額定視在功率表示電源設備的功率容量。然而,在使用時,能否充分發揮它的功率容量,還與它所接負載的性質有關。例如,某臺變壓器的額定功率容量為12kV·A,當負載的功率因數cosφ=1時,則變壓器輸出的有功功率最大,即12kW;若負載的功率因數cosφ=0.85,此時變壓器輸出的有功功率只能達到12×0.85kW=10.2kW。一般來說,實際負載多為電感性的,感性負載的功率因數小于1,這樣負載所得到的有功功率只是電源視在功率的一部分。因此,從充分利用電源設備的功率容量來看,應當盡量提高功率因數。不僅如此,提高功率因數還意味著以同樣的電壓傳輸同樣的功率,線路傳輸電流可以減小,這對減少輸電線的損耗、提高傳輸效率是有利的。因此,提高功率因數在電力系統中具有重要的經濟意義。要提高功率因數,就要減少電壓、電流的相位差。對于無源網絡來說,就要減小其阻抗角,即減小φ。我們很容易想到,為減小φ,應采取措施使網絡性質向相反的方向轉化。因此,對于目前生產和生活中廣泛應用的動力設備———各種電動機等感性負載,通常采用并聯(并聯不改變負載的工作狀態)容性設備的方法來提高電路的功率因數。其原理可用圖3-34所示的電路和相量圖加以說明。圖中,RL串聯支路代表感性負載,如電動機,假設其功率因數為cosφ,在相量圖中,負載電流I·1滯后電壓U·的相位差為φ。并聯電容后,負載支路電流I·1保持不變,但電容支路將產生一相位超前電源電壓90°的電流I·C,此時電源提供的電流變為I·=I·1+I·C。由相量圖可以看出,若電容取值適當,可使電源提供的電流減少,即I·<I·1,并使電源電壓U·與總電流I·的相位差減小為φ',于是電路功率因數變為cosφ',較原來負載的功率因數cosφ提高了。從理論上講,用這種方法可使功率因數提高到1?！纠?-19】圖3-35(a)所示電路中有一電感性負載,其功率P=10kW,功率因數λ=0.6,外加電壓U=220V,工作頻率f=50Hz。求:(1)工作時電源供給的電流I。(2)為使功率因數提高到0.95,需并聯的電容值及此時電源供給的電流。解(1)由有功功率定義得PL=UILλL,則(2)并聯電容后,電容的無功功率“補償”了感性負載的無功功率,減少了電源與負載之間的能量互換,電容本身無損耗,電源提供的有功功率不變。電容與負載并聯,負載的工作狀態不受影響,即PL、U、λL均不變。方法一:電路的功率三角形如圖3-35(b)所示,并聯電容前有并聯電容后,cosφ=0.95,有電容的無功功率為所以方法二:取U·為參考相量,畫相量圖如圖3-35(c)所示。由圖中相量關系可得又因為所以代入數據得由于并聯電容后P1不變,所以I1和I的有功分量相等,即從本例可以看出,并聯適當的電容后,電源提供的電流減小了,從而減小了輸電線路上的損耗,提高了電源的傳輸效率。在工程實際中,提高功率因數通常是提高一個電力用戶(如一個學校、一家企業、一個住宅小區等)的總功率因數。供電局要求每個電力用戶的功率因數應達到0.9以上,否則會加收電費。由于大量用電設備都是感性負載,功率因數達不到0.9,因此,通常每個電力用戶都必須采取措施提高功率因數。提高功率因數最常用的方法是在變電所內加裝一定容量的電容,這樣就減少了電網與負載之間的能量交換。任務七PARTSEVEN正弦電路中的諧振諧振是指含有電感線圈和電容器的電路在某個特定頻率的外加電源作用下,容抗與感抗相等,電路對外呈純電阻性質的現象(即電壓與電流同相)。這一特定頻率即為該電路的諧振頻率。以諧振為主要工作狀態的電路稱為諧振電路。無線電設備往往應用諧振電路完成調諧、濾波等功能,電力系統則需防止諧振以免引起過電流、過電壓。一、串聯諧振電路由電感線圈和電容器串聯可組成串聯諧振電路,如圖3-36所示。在角頻率為ω的正弦電壓下,該電路的復阻抗為1.串聯電路諧振的條件如前所述,發生諧振時電路容抗與感抗相等,即諧振時應滿足(1)當電源角頻率ω=ω0(或f=f0)時,電路產生諧振,由式(3-14)可得即式(3-15)說明,電路發生諧振時的ω0(或f0)僅取決于參數L和C,與電流和電壓的大小無關,所以稱ω0(f0)為電路的固有角頻率(頻率)。當電源角頻率等于電路固有角頻率時,電路產生諧振。(2)當電源角頻率ω一定,通過改變L或C的參數使式(3-14)成立時,電路也會產生諧振。通過調節L或C使電路產生諧振的過程稱為調諧。由諧振條件可知,調節電感或電容使電路產生諧振的條件為【例3-20】收音機接收信號部分的等效電路如圖3-37所示,已知R=20Ω,L=300H,調節電容C收聽中波630kHz電臺的節目,此時的電容值為多少?解根據式(3-15)可得【例3-20】收音機接收信號部分的等效電路如圖3-37所示,已知R=20Ω,L=300H,調節電容C收聽中波630kHz電臺的節目,此時的電容值為多少?解根據式(3-15)可得2.串聯電路諧振的特征1)諧振時的阻抗為純電阻諧振時電路的電抗X=0,所以此時電路的復阻抗為Z=Z0=R+jX=R因此,電路諧振時,阻抗最小且為純電阻。諧振時,感抗和容抗分別為ρ稱為電路的特性阻抗,單位為Ω。ρ的大小僅由L和C決定。式(3-18)表明,諧振時感抗和容抗相等,并且等于電路的特性阻抗ρ。2.串聯電路諧振的特征1)諧振時的阻抗為純電阻諧振時電路的電抗X=0,所以此時電路的復阻抗為Z=Z0=R+jX=R因此,電路諧振時,阻抗最小且為純電阻。諧振時,感抗和容抗分別為ρ稱為電路的特性阻抗,單位為Ω。ρ的大小僅由L和C決定。式(3-18)表明,諧振時感抗和容抗相等,并且等于電路的特性阻抗ρ。2)諧振時的電流最大諧振時,由于阻抗最小且為純電阻,因此電路中的電流與電壓同向,并且I0為最大,即3)諧振時電感和電容兩端的電壓是電源電壓的Q倍諧振時,L和C上的電壓大小分別記為UL0和UC0,則其中Q稱為電路的品質因數。在實際電路中,Q的取值范圍為幾十至幾百。由上述推導可知,諧振時,電感兩端和電容兩端的電壓大小相等、相位相反,其大小為電源電壓的Q倍,即由于Q值一般較大,因此串聯諧振時,電感和電容上的電壓往往高出電源電壓很多倍,因此串聯諧振稱為電壓諧振。在實際電路中,應特別注意電感、電容元件的耐壓問題。在電力系統中,發生諧振時,將出現意料不到的超高電壓,所以應盡力避免發生諧振。但在電子線路中正是利用這一特點,在激勵信號Us很弱時,可以在電容上獲得較強的信號電壓UCo。為了達到這一目的,希望品質因數Q大些,所以,收音機磁性天線上線圈所用導線線徑不宜過小,以免R太大,降低了品質因數。3.串聯電路諧振時的功率串聯電路諧振時,因為φ=0,所以電路的無功功率為0,即上式說明,諧振時電感和電容之間進行著能量的相互交換,而與電源之間無能量交換,電源只向電阻提供有功功率P?！纠?-21】已知RLC串聯電路中R=1kΩ,L=1mH,C=0.4μF,求諧振時的頻率f0、回路特性阻抗ρ和品質因數Q。解根據式(3-15),可得根據式(3-20),可得根據式(3-18),可得【例3-22】RLC串聯諧振電路如圖3-37所示,已知輸入電壓Us=100mV,角頻率ω=105rad/s,調節C的值,使其電路處于諧振狀態時,諧振回路電流I0=10mA,UC0=-10V,求電路元件參數R、C、L的值,以及回路的品質因數Q。解根據式(3-21),可得根據式(3-22),可得因為所以故二、并聯諧振電路并聯諧振電路是由電感線圈和電容器并聯組成的,如圖3-38所示,其中R和L分別是電感線圈的電阻和電感,電容器損耗較小,故認為電容支路是純電容。為便于與串聯諧振電路比較,對并聯諧振電路中的特性阻抗、品質因數的定義如下。1.并聯電路諧振的條件由圖3-38所示電路可得電路的復導納為并聯諧振時,電壓和電流應同相,此時電路為純阻性,電路中的電納為零,即復導納的虛部為零,則諧振的條件為即在實際電路中,由于均滿足Q>>1的條件,則ω0L>>R,式(3-24)可以簡化為所以,當Q>>1時,并聯諧振電路發生諧振時的角頻率和頻率分別為調節L、C的值,或者改變電源頻率,均可使并聯電路發生諧振。2.并聯電路諧振的特征1)諧振時的阻抗很大諧振時,回路阻抗為純電阻,回路端電壓與總電流同相,在Q>>1時,回路阻抗為最大值,回路導納為最小值。諧振阻抗的模值記作|Z0|,即在實際電路中,因為Q>>1,所以并聯諧振阻抗都很大,一般在幾十千歐至幾百千歐。2)諧振時電路的端電壓最大若并聯諧振電路外接電流源,由于諧振時阻抗的模值最大,因此電路的端電壓也最大。3)諧振時電容支路和電感支路電流是總電流I0的Q倍圖3-38所示電路,設諧振時回路的端電壓為U·0,則所以,電感支路和電容支路的電流分別為式(3-27)表明,并聯諧振時,在Q>>1的條件下,電容支路電流和電感支路電流的大小近似相等,是總電流I0的Q倍,所以并聯諧振又稱為電流諧振,兩條支路的電流的相位近似相反,即【例3-23】圖3-38所示電路,已知R=10Ω,L=0.1mH,C=100μF,求諧振頻率f0和諧振阻抗Z0。解由于Q>>1,則知識拓展看懂了嗎？習題1.簡述正弦量的三要素。2.負載的功率因數低會引起哪些不良后果?3.簡述提高功率因數的意義。4.利用相量圖說明為什么在感性負載兩端并聯適當電容就可以提高整個電路的功率因數。5.已知i1=5cos314tA,i2=15cos(942t+90°)A,能說明i2超前i190°嗎?為什么?6.正弦量的最大值和有效值是否隨時間變化?它們的大小與頻率、相位有沒有關系?7.將通常在交流電路中使用的220V、100W白熾燈接在220V的直流電源上,試問發光亮度是否相同?為什么?習題8.有一只耐壓為220V的交/直流通用電容器,能否把它接在220V交流電源上使用?為什么?9.如圖3-39所示,求曲線的頻率、初相角、最大值,并寫出其瞬時值表達式。10.有一正弦交流電源,已知其頻率f=1000Hz。則該交流電源的周期、角頻率各為多少?習題11.已知正弦交流電壓和電流分別為u=2×220cos(ωt+30°)V,i=8cos(ωt-20°)A,試求:(1)電流、電壓的最大值(Im和Um)。(2)電流、電壓的初相(φi和φu)。(3)電流、電壓的相位差是多少?哪個超前?哪個滯后?(4)電流、電壓的波形圖。12.若正弦電壓u=220cos(ωt+60°)V,則該電壓最大值和平均值各為多少?習題13.已知兩個正弦電壓信號u1=52cos(1000t-30°)V,u2=102cos(1000t+75°)V。試求:(1)u1和u2相對應的最大值相量和有效值相量(2)電壓u=u1+u2。(3)電壓u1和u2的有效值相量圖。14.若已知兩個同頻正弦電壓的相量分別為U·1=80∠60°V,U·2=-100∠-150°V,其頻率f=100Hz。求:(1)u1和u2的時域形式。(2)u1和u2的相位差。習題15.寫出下列正弦量對應的相量:(1)i1=2×10cos(ωt-20°)A(2)u1=250cos(ωt+30°)V(3)i2=14.1cos(ωt-120°)A(4)u2=2×300cos(ω