2020 年考研數學三真題及答案

2020年考研數學三真題及答案一、選擇題（1-8小題，每小題4分，共32分）若函數\(f(x)=\frac{\sinx}{x(1-e^{\frac{x}{1-x}})}\)在\(x=0\)處連續(xù)，則\(a=\)（）（A）\(1\)（B）\(0\)（C）\(-1\)（D）\(-2\)答案：（A）解析：\(\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x(1-e^{\frac{x}{1-x}})}\)，因為\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，對于\(\lim_{x\to0}(1-e^{\frac{x}{1-x}})\)，當\(x\to0\)時，\(\frac{x}{1-x}\to0\)，\(\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1\)，令\(u=\frac{x}{1-x}\)，則\(\lim_{x\to0}(1-e^{\frac{x}{1-x}})=-\lim_{x\to0}e^{\frac{x}{1-x}}\cdot\frac{\frac{x}{1-x}}{\frac{x}{1-x}}=-1\)，所以\(\lim_{x\to0}f(x)=-1\)，要使函數在\(x=0\)處連續(xù)，則\(a=1\)。二元函數\(f(x,y)=x^{3}-y^{3}+3x^{2}+3y^{2}-9x\)的極值點是（）（A）\((1,0)\)（B）\((1,2)\)（C）\((-3,0)\)（D）\((-3,2)\)答案：（D）解析：先求偏導數，\(f_{x}=3x^{2}+6x-9\)，\(f_{y}=-3y^{2}+6y\)。令\(f_{x}=0\)，即\(3x^{2}+6x-9=0\)，因式分解得\(3(x-1)(x+3)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=-3\)；令\(f_{y}=0\)，即\(-3y^{2}+6y=0\)，因式分解得\(-3y(y-2)=0\)，解得\(y=0\)或\(y=2\)，得到四個駐點\((1,0)\)，\((1,2)\)，\((-3,0)\)，\((-3,2)\)。再求二階偏導數，\(f_{xx}=6x+6\)，\(f_{xy}=0\)，\(f_{yy}=-6y+6\)。對于點\((1,0)\)，\(A=f_{xx}(1,0)=12\)，\(B=f_{xy}(1,0)=0\)，\(C=f_{yy}(1,0)=6\)，\(AC-B^{2}=72\gt0\)且\(A\gt0\)，是極小值點；對于點\((1,2)\)，\(A=f_{xx}(1,2)=12\)，\(B=f_{xy}(1,2)=0\)，\(C=f_{yy}(1,2)=-6\)，\(AC-B^{2}=-72\lt0\)，不是極值點；對于點\((-3,0)\)，\(A=f_{xx}(-3,0)=-12\)，\(B=f_{xy}(-3,0)=0\)，\(C=f_{yy}(-3,0)=6\)，\(AC-B^{2}=-72\lt0\)，不是極值點；對于點\((-3,2)\)，\(A=f_{xx}(-3,2)=-12\)，\(B=f_{xy}(-3,2)=0\)，\(C=f_{yy}(-3,2)=-6\)，\(AC-B^{2}=72\gt0\)且\(A\lt0\)，是極大值點。所以極值點是\((-3,2)\)。設函數\(f(x)\)是可導函數，且滿足\(f(x)f^\prime(x)\gt0\)，則（）（A）\(f(1)\gtf(-1)\)（B）\(f(1)\ltf(-1)\)（C）\(\vertf(1)\vert\gt\vertf(-1)\vert\)（D）\(\vertf(1)\vert\lt\vertf(-1)\vert\)答案：（C）解析：令\(g(x)=f^{2}(x)\)，則\(g^\prime(x)=2f(x)f^\prime(x)\gt0\)，所以\(g(x)\)單調遞增。那么\(g(1)\gtg(-1)\)，即\(f^{2}(1)\gtf^{2}(-1)\)，所以\(\vertf(1)\vert\gt\vertf(-1)\vert\)。若級數\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)收斂，則（）（A）\(\sum_{n=1}^{\infty}\verta_{n}\vert\)收斂（B）\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}\)收斂（C）\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}a_{n+1}\)收斂（D）\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}\)收斂答案：（D）解析：因為\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)收斂，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}\)也收斂（只是項的順序改變，收斂性不變）。根據收斂級數的性質，兩個收斂級數相加所得級數收斂，所以\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}\)收斂。對于選項A，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)收斂不能推出\(\sum_{n=1}^{\infty}\verta_{n}\vert\)收斂，例如\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\)收斂，但\(\sum_{n=1}^{\infty}\vert\frac{(-1)^{n}}{n}\vert=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；對于選項B，\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}\)不一定收斂，例如\(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\)，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)收斂，但\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)發(fā)散；對于選項C，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}a_{n+1}\)不一定收斂，例如\(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\)，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)收斂，但\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}a_{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{\sqrt{n(n+1)}}\)，其一般項極限不為\(0\)，發(fā)散。設\(\alpha\)為\(n\)維單位列向量，\(E\)為\(n\)階單位矩陣，則（）（A）\(E-\alpha\alpha^{T}\)不可逆（B）\(E+\alpha\alpha^{T}\)不可逆（C）\(E+2\alpha\alpha^{T}\)不可逆（D）\(E-2\alpha\alpha^{T}\)不可逆答案：（A）解析：設\(A=\alpha\alpha^{T}\)，\(A\)的特征值為\(\lambda_{1}=\alpha^{T}\alpha=1\)（因為\(\alpha\)是單位列向量），\(\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0\)。那么\(E-\alpha\alpha^{T}=E-A\)的特征值為\(1-1=0\)，\(1-0=\cdots=1-0=1\)，因為有零特征值，所以\(E-\alpha\alpha^{T}\)不可逆。\(E+\alpha\alpha^{T}=E+A\)的特征值為\(1+1=2\)，\(1+0=\cdots=1+0=1\)，沒有零特征值，可逆；\(E+2\alpha\alpha^{T}=E+2A\)的特征值為\(1+2=3\)，\(1+0=\cdots=1+0=1\)，沒有零特征值，可逆；\(E-2\alpha\alpha^{T}=E-2A\)的特征值為\(1-2=-1\)，\(1-0=\cdots=1-0=1\)，沒有零特征值，可逆。已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}\)，\(C=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\)，則（）（A）\(A\)與\(C\)相似，\(B\)與\(C\)相似（B）\(A\)與\(C\)相似，\(B\)與\(C\)不相似（C）\(A\)與\(C\)不相似，\(B\)與\(C\)相似（D）\(A\)與\(C\)不相似，\(B\)與\(C\)不相似答案：（B）解析：先求矩陣\(A\)的特征值，\(\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&0\\-1&\lambda&-1\\0&-1&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-2)\lambda(\lambda+1)=0\)，解得特征值為\(\lambda_{1}=2\)，\(\lambda_{2}=0\)，\(\lambda_{3}=-1\)。對于\(\lambda=2\)，\((2E-A)X=0\)，\(2E-A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}\)，對其進行初等行變換，\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\)，基礎解系有\(zhòng)(1\)個線性無關的解向量，所以\(A\)可相似對角化，且與\(C\)相似。再求矩陣\(B\)的特征值，\(\vert\lambdaE-B\vert=\begin{vmatrix}\lambda-1&1&0\\1&\lambda&1\\0&1&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-2)\lambda(\lambda+1)=0\)，特征值也為\(\lambda_{1}=2\)，\(\lambda_{2}=0\)，\(\lambda_{3}=-1\)。對于\(\lambda=2\)，\((2E-B)X=0\)，\(2E-B=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}\)，對其進行初等行變換，\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\)，基礎解系有\(zhòng)(1\)個線性無關的解向量；對于\(\lambda=0\)，\((0E-B)X=0\)，\(-B=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\)，對其進行初等行變換，\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\)，基礎解系有\(zhòng)(1\)個線性無關的解向量；對于\(\lambda=-1\)，\((-E-B)X=0\)，\(-E-B=\begin{pmatrix}-2&1&0\\1&-1&1\\0&1&-2\end{pmatrix}\)，對其進行初等行變換，\(\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}\)，基礎解系有\(zhòng)(1\)個線性無關的解向量。\(B\)的\(n-r(\lambda_{i}E-B)\)（\(i=1,2,3\)）都為\(1\)，\(B\)不可相似對角化，所以\(B\)與\(C\)不相似。設\(A,B,C\)是三個隨機事件，且\(A\)與\(B\)相互獨立，\(A\)與\(C\)相互獨立，\(B\)與\(C\)互不相容，則下列命題中不正確的是（）（A）\(A\)與\(BC\)相互獨立（B）\(A\)與\(B\cupC\)相互獨立（C）\(A\)與\(B-C\)相互獨立（D）\(\overline{A}\)與\(\overline{B}\overline{C}\)相互獨立答案：（A）解析：因為\