2025-2026學年上海普陀高三一模實心試題數學試題 附答案

/普陀區2025-2026學年第一學期高三年級數學一模一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）每個空格填對前6題得4分、后6題得5分.1．已知集合，，則.2.不等式的解集為________.3.若復數是純虛數，且，則的實部為.4.若，則的最小值是________.5.設，，是等差數列的前項和，若，，則該等差數列的公差為.6.的展開式中含項的系數是_______.第8題圖7.設，同時拋擲兩枚質地均勻的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的點數為奇數”，事件表示“兩枚骰子向上的點數之和為”，若事件與事件相互獨立，則的一個可取值為_______.第8題圖8.在中，，，，為邊上的一點，且，現將沿邊折起，使得點至點的位置，且滿足平面平面，如圖所示，則直線與平面所成的角的正弦值為________.9.設，直線經過點，若向量，則點到直線的距離為________.10.某人工智能模型在自然語言處理中，使用位置編碼表示詞序，每個位置編碼需用一個維向量表示.若某位置編碼可以寫成的形式，其中、、，則在僅考慮前個位置的情況下，、、恰好取個不同值的編碼共有_______個.11.設是邊長為的正六邊形所在平面上的一點，若點、、滿足，則的最小值是________.12.設，函數和的表達式分別為，，若對任意的實數，皆有成立，則的取值范圍是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）.13.下列函數中，周期為的奇函數是（）.14.已知直線、和平面、，且，，則下列命題中正確的是（）.若，則若，則若，則若，則15.設點是拋物線的焦點，點是雙曲線的左焦點，點是上在第一象限內的一動點，則下列結論中正確的是（）.的最大值是的最小值是的最大值是的最小值是16.設，，數列和滿足，且，，現有如下兩個命題：=1\*GB3①若數列是等比數列，則數列是常數列；=2\*GB3②設是數列的前項和，若取得最大值時，則能被整除.則下列結論中正確的是（）.①為真②為真①為真②為假①為假②為真①為假②為假三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分第17題圖如圖所示，過圓柱的軸的平面與該圓柱相截所形成的截面是邊長為的正方形，是該圓柱底面圓周上異于、兩點的點.第17題圖（1）設平面平面，求證：；（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，.（1）求角的大小；（2）設，，函數的表達式為，且，若在區間上恰有次使得函數的值能取遍區間內的所有值，求的取值范圍.19.（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分6分人工智能生成內容（AIGC）是引領未來的新興戰略性產業.根據國家工信部發布的《人工智能產業發展年報（）》及國家統計局相關數據顯示，中國AIGC產業已形成完整產業鏈結構，截至年月,產業鏈核心層企業分布及核心市場規模分別如表一、表二所示.表一表二產業鏈層級企業數量（家）年份市場規模（億元）第一層基礎第二層模型框架第三層應用（1）根據表二所提供的數據，請判斷“年我國AIGC市場規模年增長率持續提高”這一說法是否正確，并基于你對整體變化趨勢的分析，試選用平均增長率模型預測年我國AIGC的市場規模（結果精確到億元）；（2）赫希曼指數（HHI）是衡量產業集中程度的綜合指標，計算公式為，其中為第個層級的企業數量，為企業總數.請根據表一所提供的數據，計算我國AIGC產業鏈的HHI指數（結果保留整數），并參照“為競爭型，為低集中寡占型，為高集中寡占型”的標準，判斷其產業分布結構類型；（3）為制定產業支持政策，現計劃從表一所提供的AIGC核心企業中隨機抽取家進行深度調研，求抽到的這家企業中來自第二層和第三層的企業總數之和不少于家的概率（結果精確到）.20.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.設，，、是不全為零的實數，橢圓，、分別為的左、右兩個焦點，直線與交于、兩點，為坐標原點.（1）若，，且四邊形為矩形，求的離心率；（2）若，且的周長的最大值為，求的方程；（3）若，，，直線與的斜率之積為，為上的一點，且，直線與橢圓交于點，且，求的值以及的面積的值.21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.設函數的定義域為，導函數為，對于實數，若存在，使得成立，則稱函數具有性質.（1）若函數，請判斷該函數是否具有性質，并說明理由；（2）設，若函數具有性質，且的值恰有三個，求的取值范圍；（3）若函數，求證：該函數具有性質的充要條件是.普陀區2025-2026學年第一學期高三年級數學一模一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）每個空格填對前6題得4分、后6題得5分.1．2.3.4.5.6.7.（或5、7、9、11其中之一）8.9.10.11.12.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）.13.D14.C15.D16.A三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分如圖所示，過圓柱的軸的平面與該圓柱相截所形成的截面是邊長為的正方形，是該圓柱底面圓周上異于、兩點的點.（1）設平面平面，求證：；（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（1）由已知得，又平面，在平面外，則平面，………4分又平面平面，平面，則.………6分（2）設的邊上的高為，則，當三棱錐的體積最大時，，即為的中點，………2分又平面，是在平面上的投影，，由三垂線定理得，，則是二面角的平面角，………6分在直角三角形中，，，則，即所求的二面角的余弦值為.……………8分18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，.（1）求角的大?。唬?）設，，函數的表達式為，且，若在區間上恰有次使得函數的值能取遍區間內的所有值，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（1）由已知條件得，，………2分由正弦定理得，，………4分又，則，則.………6分（2）由得，，又，則，………2分又，則，………4分要在區間上恰有三次使得函數的值能取遍內的所有值，則，即，則所求的的取值范圍是.………………8分19.（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分6分人工智能生成內容（AIGC）是引領未來的新興戰略性產業.根據國家工信部發布的《人工智能產業發展年報（）》及國家統計局相關數據顯示，中國AIGC產業已形成完整產業鏈結構，截至年月,產業鏈核心層企業分布及核心市場規模分別如表一、表二所示.表一表二產業鏈層級企業數量（家）年份市場規模（億元）第一層基礎第二層模型框架第三層應用（1）根據表二所提供的數據，請判斷“年我國AIGC市場規模年增長率持續提高”這一說法是否正確，并基于你對整體變化趨勢的分析，試選用平均增長率模型預測年我國AIGC的市場規模（結果精確到億元）；（2）赫希曼指數（HHI）是衡量產業集中程度的綜合指標，計算公式為，其中為第個層級的企業數量，為企業總數.請根據表一所提供的數據，計算我國AIGC產業鏈的HHI指數（結果保留整數），并參照“為競爭型，為低集中寡占型，為高集中寡占型”的標準，判斷其產業分布結構類型；（3）為制定產業支持政策，現計劃從表一所提供的AIGC核心企業中隨機抽取家進行深度調研，求抽到的這家企業中來自第二層和第三層的企業總數之和不少于家的概率（結果精確到）.【正確答案】（1）約億元.（2）高集中寡占型.（3）（1）此說法不正確.2021-2025年市場規模逐年增長率分別為：、、、，由此可看出：2021-2023年增長率加快，2023-2025年市場規模增長逐年放緩；…1分五年的平均增長率為，則按照該模型預測2026年我國AIGC市場規模約億元.…………4分（2）由表一中的數據以及赫希曼指數的計算公式得，我國AIGC產業鏈的赫希曼指數為：，…………3分則目前我國AIGC產業分布結構為高集中寡占型.…………4分（3）抽到的這家企業全來自第一層的概率為：，…………2分抽到的這家企業中來自第一層的有家，來自第二或第三層的有家的概率為：，…………4分則抽到的這家企業中來自第二層和第三層的企業總數之和不少于家的概率為：.……………6分20.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.設，，、是不全為零的實數，橢圓，、分別為的左、右兩個焦點，直線與交于、兩點，為坐標原點.（1）若，，且四邊形為矩形，求的離心率；（2）若，且的周長的最大值為，求的方程；（3）若，，，直線與的斜率之積為，為上的一點，且，直線與橢圓交于點，且，求的值以及的面積的值.【正確答案】（1）（2）（3）（1）由，得，，由，解得，……2分又四邊形是矩形，則，即離心率.…………4分（2）由得，，即軸，…………1分則，…………4分且等號當且僅當過右焦點時取得，即的周長的最大值為，即，即，則所求的.…………6分（3）設，，，由得，點,又，則，因為點在上，所以則，又點、均在上，則，，由得，，即，則，又，即.…………3分由，得，，…………4分又，，即直線，

由得，，則，，則由得，，即，即，化簡整理得，，則，…………6分又原點到直線的距離為，

則.則.……………8分21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.設函數的定義域為，導函數為，對于實數，若存在，使得成立，則稱函數具有性質.（1）若函數，請判斷該函數是否具有性質，并說明理由；（2）設，若函數具有性質，且的值恰有三個，求的取值范圍；（3）若函數，求證：該函數具有性質的充要條件是.【正確答案】（1）具有（2）（3）證明見解析（1）由得，設，，當時，，………2分又，則存在，使得，即，故函數具有性質.……………4分（2）由得，，因為函數具有性質，所以存在實數，使得，即，即，……………2分設，則，令，解得或，列表如下：……4分因為函數具有性質時，的值恰有三個，所以滿足條件的的取值范圍是.………6分（3）由得，，由得，，設，先證充分性：當時，，考慮函數，則，當時，；當時，；當時，，則函數在上是嚴格減函