浙江省Z20名校聯(lián)盟高二創(chuàng)新班聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷+答案

絕密★考試結(jié)束前

浙江省Z20名校聯(lián)盟2025學(xué)年第二學(xué)期創(chuàng)新班聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試題卷

命題學(xué)校：三門中學(xué)

考生須知：

1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。

2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上。

3.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如要改動，需將原填涂

處用橡皮擦凈。

4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答寫在本試題卷上

無效。

第I卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.若則α的取值可以為

B.C.D.

2.已知向量a,b,c滿足，若c為6在a上的投影向量，則向量a,b夾角的余弦值為

A.B.C.D.

3.設(shè)α,β是兩個不同的平面，a,b是兩條不同的直線，且a⊥a,bcβ則“a//b”,是“α⊥β”

的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知圓C:(x-2)2+(y-2)2=8,直線l:x+y-2=0,則圓C上到直線1的距離等于√2的點(diǎn)的個

數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a,}的前n項(xiàng)和為S,若S?=4,S??=28,則S??=

A.8B.12C.14D.16

6.已知雙曲線,C的兩條漸近線分別為↓,l?,點(diǎn)P為C右支上任意一點(diǎn)，它到，I?

的距離分別為d,d?,到右焦點(diǎn)的距離為d?,則

A.d?的取值范圍為B.d?的取值范圍為[2,+0]

的取值范圍為

C.d?+d?D.?+d?的取值范圍為[2√3,+○]

高二數(shù)學(xué)試題卷第1頁共4頁

7.一個幾何體T垂直投影到平面α上，形成圖形S,我們就稱S為T在平面α上的正投影.在長方體

ABCD-A?B?C?D?中，AA?=AD=1,AB=2,AA,AD,A?B?的中點(diǎn)分別是E,F,G,則長方

體ABCD-A?B?C?D?在平面EFG上的正投影的面積為

A.B.2C.D.3

8.已知,則

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某同學(xué)擲骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)平均數(shù)為2,方差為0.8,則

A.一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6B.中位數(shù)可能為2

C.眾數(shù)可以是1和3D.可能出現(xiàn)4點(diǎn)

10.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,若C上存在n個互不重合的點(diǎn)P,P?,?,…,P滿足

,下列結(jié)論中正確的有

A.若n=2,則|PP?|的最小值為4B.若n=2,則

C.若n=4,則D.若n=4,則|PP|+|P?P?|的最小值為16

11.莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用.所有大于1的正整數(shù)n都可以被唯一表示為有限個質(zhì)

數(shù)(質(zhì)數(shù)是指大于1的自然數(shù)中，只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù))的乘積形式：n=p{P2…Pk

(k為n的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，pi為質(zhì)數(shù)，r≥1,i=1,2,…,k),例如：90=2×32×5,對應(yīng)

k=3,p?=2,p?=3,p?=5,r=1,r?=2,r?=1.現(xiàn)對任意n∈N,定義莫比烏斯函數(shù)

,記n的所有真因數(shù)(除了1和n以外的因數(shù))依次為a,a?,…,am.

則下列說法正確的是

A.μ(78)=-1

B.對正整數(shù)a,b,μ(ab)=μ(a)μ(b)

C.Iμ(1)I+|μ(a?)I+|μ(a?)|+…+|μ(am)|=2

D.若n>1且μ(n)=1,μ(a?)+μ(a?)+…+μ(am)=-2.

高二數(shù)學(xué)試題卷第2頁共4頁

第Ⅱ卷

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知則f(f(1))=

▲

14.設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b=√ab+9,b+c=√16+bc,c+a=√25+ca,則ab+bc+ca=▲

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本題滿分13分)為了解觀看“浙BA”聯(lián)賽與性別是否有關(guān)系，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了部分市民，

調(diào)查他們對賽事的關(guān)注情況，得到如下表格：

性別不關(guān)注賽事關(guān)注賽事合計(jì)

男性25150175

.女性5075125

合計(jì)75225300

(1)對照2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析關(guān)注“浙BA”賽事是否與性

別有關(guān).

(2)現(xiàn)從被調(diào)查的關(guān)注賽事的市民中，按照性別比例采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6名市民

參加“浙BA”賽事知識問答，再從這6名市民中抽取3人參加抽獎活動，記這3人中女性

人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

附：,n=a+b+c+d.

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

16.(本題滿分15分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

BD=λDC.

(1)若λ=1,AD=√6,求△ABC面積的最大值；

(2)若,求tan∠BAD.

高二數(shù)學(xué)試題卷第3頁共4頁

17.(本題滿分15分)如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面為正方形，平面SAC⊥底面ABCD.

(1)若側(cè)面SAB為正三角形，求二面角B-SA-C的余弦值；

(2)若SA=AB,以正方形ABCD為底面作正方體ABCD-A?B?C?D?,

求直線A?C與平面SAB所成角的正弦值的最大值.

18.(本題滿分17分)已知函數(shù)f(x)=e-1-x-ax2.

(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個數(shù)；

(2)當(dāng)x≥0時，若不等式f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若x>0,證明(e?-1)ln(x+1)>x2.

19.(本題滿分17分)已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為F?,F?分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A

為橢圓上一動點(diǎn)，且在x軸上方，延長AF?,AF?分別交橢圓于點(diǎn)B,C.

(1)證明：△ABC的周長大于8;

(2)若3|AF|=5|AF?|,求直線BC的方程；

(3)求△ABC面積的最大值.

數(shù)學(xué)試題老頁片4頁

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高二數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的。

題號12345678

答案ABACBCDA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

題號91011

答案ABCACDAD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.213.14.8√3

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

【解析】

(1)零假設(shè)H?:關(guān)注“浙BA”賽事與性別無關(guān)，

根據(jù)小概率值α=0.001的x2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H?不成立，即認(rèn)為關(guān)注“浙BA”賽事

與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001……………6分

(2)關(guān)注賽事的市民中，男性150人，女性75人，

由分層抽樣知，抽取男性市民4人，女性市民2人，

X的取值為0,1,2,

P(x=0)=G-40-號，P(x=1)=cC-2-3,P(X=2)=GC205

X012

P

所

16.(本小題滿分15分)

【解析】

(1)當(dāng)λ=1時，D是BC的中點(diǎn)，所以

高二數(shù)學(xué)參考答案第1頁共5頁

兩邊同時平方，

即,即b2+c2+bc=24·……………4分

又由基本不等式可得24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2√2時等號成立，所以bc≤8.

所以,即△ABC面積的最大值為2√3·…………7分

(2)設(shè)∠BAD=θ,則

在△ABD中，由正弦定理得

即BDsin∠ADB=csinθ.①…………9分

在△ACD中，由正弦定理得

②……………11分

當(dāng)時，CD=2BD,

又sin∠ADB=sin∠ADC,代入①②中，化簡得

所以2√3cosθ-2sinθ=3sinθ,得

即.…………15分

17.【解析】

(1)取SA中點(diǎn)E,記AC,BD的交點(diǎn)為0,連接OE.

因?yàn)锳BCD為正方形，所以AC⊥BD;

又因?yàn)槠矫鍿AC⊥底面ABCD,平面SAC⊥底面ABCD=AC,所以BD1平面SAC,

所以AS⊥BD.因?yàn)镾AB為正三角形，所以AS⊥BE,

且BE∩BD=B

所以AS⊥平面BDE,OE平面BDE

所以O(shè)E⊥SA而AS⊥BE,所以二面角B-SA-C的平面

角為∠BEO,

所以

(2)以AB為x軸，AD為y軸，過點(diǎn)A的平面ABCD的垂線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)AB=1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).

設(shè)S(a,b,c)(c>0),則AS=(a,b,c),BD=(-1,1,0).

因?yàn)镾A=AB=1,所以a2+b2+c2=1.①

高二數(shù)學(xué)參考答案第2頁共5頁

由(1)可知，SA⊥BD,所以AS·BD=-a+b=0,即a=b.②…………9分

以正方形ABCD為底面作正方體ABCD-A?B?C?D?,

不妨取A?(0,0,1),則A?C=(1,1,-1).設(shè)平面SAB的法向量為m=(p,q,r),

因?yàn)锳B=(1,0,0),AS=(a,b,c),

所以,取m=(0,-c,b).………1分

設(shè)直線A?C與平面SAB所成的角為θ,

則平方

又因?yàn)?b+c)2≤2(b2+c2),所以

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，此時可取符合題意，

故sinθ的最大值為.…………15分

18.【解析】

(1)由條件得f'(x)=e×-1-2ax,令h(x)=e-1-2ax,則h'(x)=e-2a.

①當(dāng)a≤0時，h'(x)≥0,h(x)單調(diào)遞增，且h(0)=0,∴x=0是f(x)的極小值點(diǎn)，無極

大值點(diǎn).

②當(dāng)a>0時，令h'(x)=0,則x=In(2a),h(x)在(-∞,In(2a))單調(diào)遞減，在(ln(2a),+∞)單

調(diào)遞增

(i)當(dāng)時，In(2a)>0,∴h(ln(2a))<0而x→+∞,h(x)→+00,∴h(x)在(In(2a),+∞)有

唯一零點(diǎn)x?,∴x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，x=x?是f(x)的極小值點(diǎn).

(ii)當(dāng)時，h(x)≥h(0),即f'(x)≥f'(0)=0恒成立，∴f(x)無極值點(diǎn)；

(iii)當(dāng)∴h(ln(2a))<0,而x→-∞,h(x)→+∞0,∴h(x)在(-∞,In(2a))有

唯一零點(diǎn)x?,∴x=0是f(x)的極小值點(diǎn)，x=x?是f(x)的極大值點(diǎn)……7分

(2)由(1)得①當(dāng)2a≤1時，在[0,+]上，h'(x)≥0,h(x)單調(diào)遞增

∴h(x)≥h(0),即f'(x)≥f'(0)=0,

∴f(x)在[0,+∞]上為增函數(shù)，時滿足條件.

②當(dāng)2a>1時，在[0,In2a]上，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x∈(0,In2a)時，有h(x)<h(0)=0,即f'(x)<f'(0)=0,

f(x)在(0,In2a)上為減函數(shù)，∴f(x)<f(0)=0,不合題意.

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為.……12分

高二數(shù)學(xué)參考答案第3頁共5頁

(3)由(1)得，當(dāng),x>0時，

要證不等式(e-1)In(x+1)>x2,只需證明,只需證明

只需證

則

∴當(dāng)x>0時，F(xiàn)'(x)>0恒成立，故F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

又F(0)=0,∴F(x)>0恒成立.∴原不等式成立.