2026年中考數學二輪復習講練測《一次函數與反比例函數圖象》含答案

初中熱點03一次函數與反比例函數圖象熱點聚焦方法精講能力突破第一部分熱點聚焦·析考情聚焦中考高頻熱點題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。第二部分題型引領·講方法歸納對應高頻熱點題型的解題策略與實戰方法技巧。題型01一次函數的圖象和性質題型02反比例函數的圖象和性質題型02反比例函數K值的幾何意義題型04一次函數與反比例函數圖象問題題型05一次函數與反比例函數交點問題題型06一次函數的實際應用問題題型07一次函數與反比例函數的應用題型08反比例函數與幾何圖形的綜合第三部分能力突破·限時練精選熱點經典題目，限時訓練，實現解題速度與準確率雙重躍升。近三年：根據近三年廣州中考試題，“一次函數與反比例函數圖象”部分的考試方向是突出數形結合與綜合應用。試題嚴格依據課標，高度關注兩種函數圖象的交點問題、位置關系以及函數值的大小比較，常結合幾何圖形或不等式綜合考查。在題型上，該板塊分布穩定：選擇題常考查根據一次函數圖象經過的象限判斷系數符號，或正比例函數與反比例函數圖象性質的綜合辨析；填空題偶有涉及；解答題往往在第21-23題位置，結合三角形、四邊形等幾何圖形，考查交點坐標、解析式求解及面積計算。特別值得注意的是，2024年第15題考查了反比例函數與分類討論的結合。預測2026年：2026年的考試方向將延續“素養立意”，更加注重在動態問題或跨學科情境中考查數形結合能力。試題可能進一步創新設問，例如將函數圖象與物理知識融合。考試題型預計保持穩定：選擇題中仍會出現兩種函數圖象共存或性質辨析題；解答題大概率以“一次函數與反比例函數綜合”形式呈現，考查交點坐標、不等式解集及幾何圖形面積，重在檢驗學生從圖象中獲取信息、解決綜合問題的能力。與式部分主要考察實數及其運算、數的開方與二次根式、整式與因式分解、分式及其運算；而這些考點中，對實數包含的各種概念的運用的考察占了大多數，但是試題難度設置的并不大，屬于中考中的基礎“送分題”，題目多以選擇題、填空題以及個別計算類簡單解答題的形式出現；但是，由于數學題目出題的多變性，雖然考點相同，并不表示出題方向也相同.題型01一次函數的圖象和性質解｜題｜策｜略1.根據系數判斷圖象：由k、b的符號決定圖象所經過的象限（k>0時圖象上升，k<0時下降；b>0時交y軸正半軸）。2.利用增減性比較：若k>0，y隨x增大而增大；k<0，y隨x增大而減小。據此比較函數值的大小。3.結合圖象求解析式：觀察圖象與坐標軸交點或已知點坐標，運用待定系數法求出函數解析式。例1（2025·廣東廣州·一模）下列函數中，值隨值的增大而減小的是（

）．A． B． C． D．例2（2025·廣東廣州·二模）下列函數中，值隨值的增大而增大的是（）A． B．C． D．【變式1】（2024·廣東廣州·三模）下列函數中：①；②；③；④，當時，隨的增大而增大的有（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【變式2】（2024·廣東廣州·一模）關于函數，下列結論成立的是（

）．A．函數圖象經過點 B．隨的增大而增大C．當時， D．函數圖象不經過第一象限【變式3】（2024·廣東廣州·模擬預測）關于一次函數，下列說法正確的是（

）A．圖象過點B．其圖象可由的圖象向下平移2個單位長度得到C．隨著的增大而增大D．圖象經過第一、二、四象限題型02反比例函數的圖象和性質解｜題｜策｜略1.根據k值判斷圖象：由k的符號決定圖象所在象限（k>0時在一、三象限；k<0時在二、四象限）。同時注意結合絕對值等條件確定k的符號。2.利用增減性比較大小：若k>0，在每個象限內y隨x增大而減小；k<0，在每個象限內y隨x增大而增大。比較函數值時需先判斷點是否在同一象限。3.結合數形結合解不等式：利用一次函數與反比例函數圖象的交點，根據圖象上下位置關系（上大下小）確定不等式的解集范圍。例1（2026·廣東廣州·一模）已知點，都在反比例函數的圖象上，且，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定例2（2025·廣東廣州·二模）已知反比例函數的圖象位于第一、三象限，則的取值可以是（

）A． B．1 C．3 D．4【變式1】（2025·廣東廣州·中考真題）若，反比例函數的圖象在（

）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【變式2】（2024·廣東廣州·二模）反比例函數的圖像的每一支上，y隨著x的減小而增大，那么m的取值范圍（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·廣東廣州·一模）已知反比例函數的圖象在第二、第四象限，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．題型03反比例函數K值的幾何意義解｜題｜策｜略1.牢記基本面積結論：過反比例函數圖像上任意一點作坐標軸的垂線，所得矩形面積為|k|，三角形面積為|k|/2。這是所有面積問題的根本依據。2.靈活轉化圖形面積：當遇到不規則圖形時，通過割補、平移等方法將其轉化為與坐標軸圍成的矩形或三角形，再借助|k|求解。3.注意符號判定：求k值時，需根據圖像所在象限確定k的符號（一三象限k>0，二四象限k<0）。例1（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，矩形的頂點A在反比例函數的圖象上，頂點B，C在第一象限，對角線軸，交y軸于點D．若矩形的面積是6，，則k的值為（

）A． B． C． D．例2（2023·廣東廣州·一模）在矩形中，頂點在第一象限且在反比例函數上，與軸交于點，且．與軸負半軸的夾角的正弦值為，連接，，則的值為（）A． B． C． D．【變式1】（2025·廣東肇慶·一模）如圖，矩形的頂點A，B分別在反比例函數和的圖象上，頂點E，F都在x軸上，交y軸于點D．若點C在y軸上，且，則（）A． B． C．4 D．【變式2】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應點為），交函數的圖象于點，過點作軸于點，則下列結論：①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；④．其中正確的結論有______．（填寫所有正確結論的序號）題型04一次函數與反比函數圖象問題解｜題｜策｜略1.假定一個判斷另一個：先假定其中一個函數的圖象正確，根據其系數符號（如k、b）推斷另一函數圖象應有的特征，逐一篩選選項。2.緊扣系數符號一致性：重點關注兩個函數中相同字母（如k）的符號必須一致，這是判斷圖象能否共存的關鍵依據。3.熟記函數性質：牢記一次函數（y=kx+b）的象限分布與k、b的關系，以及反比例函數（y=k/x）的象限分布與k的關系。例1（2025·廣東廣州·二模）若，則函數與在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（

）A．B．C．D．例2（2025·廣東廣州·一模）函數與函數在同一平面直角坐標系下的圖象可能是（

）A．B．C． D．【變式1】（2024·廣東廣州·二模）在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（）A．B． C． D．【變式2】（25-26九年級上·廣東清遠·期末）函數與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【變式3】（2006·廣東深圳·中考真題）反比例函數的圖像如圖所示，那么一次函數的圖像大致是（

）A．B．C． D．題型05一次函數與反比例函數交點問題解｜題｜策｜略1.聯立方程求交點坐標：將一次函數與反比例函數解析式聯立方程組，通過解方程（組）求出交點坐標，常用待定系數法先求解析式。2.利用圖象解不等式：根據兩個函數圖象的交點，結合圖象上下位置關系（圖象在上方則函數值大），確定不等式的解集范圍。3.結合幾何圖形求面積：常將交點問題與三角形面積結合，利用坐標軸上的邊作為底邊，通過點的坐標求得面積。例1（2024·廣東廣州·二模）如圖，一次函數的圖象交反比例函數的圖象于，兩點．(1)求一次函數與反比例函數的表達式；(2)點是軸上一點，若，求點的坐標；例2（2025·廣東廣州·一模）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點．(1)求的值和反比例函數的解析式；(2)點是直線上的一點，過點作平行于軸的直線交反比例函數的圖象于點，連接，，求的面積．【變式1】（2026·廣東廣州·一模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點和點．(1)求一次函數和反比例函數的解析式；(2)根據圖象，直接寫出不等式的解集；(3)設直線與x軸交于點C，求的面積【變式2】（2025·廣東廣州·一模）如圖，已知直線過點，且與直線相交于點．(1)求直線的解析式；(2)當且時，自變量的取值范圍是______；(3)若雙曲線與直線相交于兩點，求的面積．【變式2】（2025·廣東廣州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接，的面積為1．

(1)求反比例函數的解析式；(2)點P為第三象限內反比例函數圖象上一點，且位于直線下方，過點P作軸交直線于點D，作軸交y軸于點E，若，求點P的坐標；(3)若M是x軸負半軸上一點，N是反比例函數圖象上一點，當以A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．題型06一次函數的實際應用問題解｜題｜策｜略1.數形結合，獲取信息：對于分段函數圖象題，要準確讀取起點、折點、終點坐標，理解不同區間對應的實際意義（如階梯收費、優惠方案）。2.待定系數，建立模型：根據表格數據或圖象上的點，運用待定系數法求出函數解析式。注意自變量的取值范圍要符合實際情境。3.利用性質，比較決策：運用一次函數的增減性求最值，或通過建立方程與不等式比較不同方案的經濟效益。例1（2025·廣東廣州·三模）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量（千克）與銷售價格（元/千克）存在一次函數關系，部分數據如表所示：銷售價格（元/千克）3545日銷售量（千克）250150(1)試求出關于的函數表達式．(2)經過市場調查，經銷商發現每日該種魚銷售量不超過，請問該經銷商最低能將售價定為多少元？例2（2025·廣東廣州·三模）學校決定按年級開展師生研學活動，該校八年級師生共人將參加研學活動，計劃租用輛大客車，現有甲、乙兩種型號的大客車，它們的滿座載客量和租車費用如表：甲型號大客車乙型號大客車滿座載客量（人輛）租車費用（元輛）(1)若租用的輛大客車恰好能一次將八年級師生送到研學基地，求應分別租用甲、乙型號的大客車多少輛？(2)設租用甲型號大客車輛，租車總費用為元，當租用甲型號大客車多少輛時，租車的總費用最少，最少費用是多少？【變式1】（2025·廣東廣州·二模）某超市將購進的糯米咸鵝蛋和肉粽進行組合銷售，有、兩種組合方式，其中組合有枚糯米咸鵝蛋和個肉粽，組合有枚糯米咸鵝蛋和個肉粽，、兩種組合的進價和售價如表：價格進價（元件）售價（元件）(1)求每枚糯米咸鵝蛋和每個肉粽的進價分別為多少？(2)根據市場需求，超市準備的種組合數量是種組合數量的倍少件，且兩種組合的總件數不超過件，假設準備的兩種組合全部售出，為使利潤最大，該超市應準備多少件種組合？最大利潤為多少？【變式2】（2025·廣東廣州·二模）某校九年級物理探究小組在物理實驗室發現了一塊不知規格的滑動變阻器，為了以后方便使用，組長決定帶領小組成員測量它的最大電阻．他們將兩節的干電池（總電壓為3V），一個開關，一個電流表以及滑動變阻器串聯成如下電路（電池和電流表的內阻忽略不計）．若滑動變阻器滑動到距離B端處時的電流表的數值比滑動變阻器滑動到距離B端處時的電流表的數值減小了．知識小鏈接：①導體兩端的電壓U（），導體的電阻，通過導體的電流I（A），滿足關系式；②串聯電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓．(1)求滑動變阻器的最大電阻；(2)由于實驗室器材匱乏，學校擬購買電流表和滑動變阻器共50個，已知電流表每個10元，滑動變阻器每個15元，若滑動變阻器的數量不少于電流表數量的2倍，則學校買這批儀器至少要花多少錢？【變式3】（2025·廣東廣州·二模）2025年國家衛健委建議實施“體重管理年”三年行動．某校要組織學生外出研學，根據營養師的建議準備了兩種食品作為午餐．餐每包的熱量為700千焦，蛋白質為5克．餐每包熱量為800千焦，蛋白質為10克．(1)若要從這兩種食品中攝入3700千焦熱量和35克蛋白質，應選用兩種食品各多少包？(2)運動量大的人或青少年對蛋白質的攝入量應更多．若每份午?選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質含量不低于55克，且熱量最低，應如何選用這兩種食品？題型07一次函數與反比例函數的應用解｜題｜策｜略1.數形結合解不等式：利用兩函數圖象的交點，根據圖象上下位置關系（圖象在上方則函數值大），確定不等式的解集范圍。2.待定系數求解析式：將已知點坐標代入反比例函數先得表達式，再求另一交點，最后將兩點代入一次函數求出解析式。3.幾何圖形求面積：遇到三角形面積問題，可用“補全求差”（將三角形補成矩形或梯形再相減）或“分割求和”（利用坐標軸分割）的方法求解。例1（2025·廣東廣州·二模）如圖是某型號冷柜循環制冷過程中溫度隨時間變化的部分示意圖.該冷柜的工作過程是：當冷柜溫度達到時開始制冷，溫度開始逐漸下降；當溫度下降到時停止制冷，溫度開始逐漸上升；當溫度上升到時，再次開始制冷，按照以上方式循環工作.通過研究發現，當時，溫度是時間的一次函數；當時，溫度是時間的反比.(1)求當時的反比例函數關系式，并求出的值；(2)若規定溫度不高于的時間為有效制冷時間，那么在一次循環制冷過程中，有效制冷時間是多少？例2（2024·廣東廣州·三模）某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量與燃燒時間之間的關系如圖所示．根據圖象所示信息，解答下列問題：(1)求一次函數和反比例函數的解析式，并寫出自變量的取值范圍；(2)據測定，當室內空氣中每立方米的含藥量低于時，對人體無毒害作用．從消毒開始，至少在多少分鐘內，師生不能待在教室？【變式1】（2025·廣東廣州·一模）某商戶購進蘋果1575千克，為尋求合適的銷售價格，進行了5天試銷，試銷情況如下：第1天第2天第3天第4天第5天售價（元/千克）181512109銷售量（千克）50607590100(1)根據表中的數據，從一次函數和反比例函數中選擇一個函數模型，使得它能近似的反映試銷期間這批蘋果每天的銷售量（千克）與售價（元/千克）之間的函數關系，并求出這個函數關系式（不要求寫出的取值范圍）;(2)若在這批蘋果的后續銷售中，每天的銷售量（千克）與售價（元/千克）之間都滿足（1）中的函數關系．在試銷5天后，該商戶決定將這批蘋果的售價定為10元/千克，但銷售10天后，該商戶為清空庫存，計劃用不超過2天的時間全部售完，則新的售價最高定為多少元/千克，才能使后面2天都按新的售價銷售且能如期全部售完？【變式2】（2025·廣東廣州·一模）某款三明治機制作三明治的工作原理如下：①預熱階段：開機1分鐘空燒預熱至，機器溫度與時間成一次函數關系；②操作階段：操作3分鐘后機器溫度均衡升至最高溫度后保持恒溫狀態；③斷電階段：操作完成后進行斷電降溫，機器溫度與時間成反比例關系．如下圖所示為某次制作三明治時機器溫度與時間的函數圖象，請結合圖象回答下列問題：(1)預熱階段機器溫度上升的平均速度是_________，開機3分鐘時，溫度為____；(2)當時，求機器溫度與時間的函數關系式；(3)求三明治機工作溫度在以上持續時間．【變式3】（2025·廣東廣州·二模）如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的啟發，某數學興趣小組組裝了以下裝置，通過實驗收集了大量數據，對數據的整理和分析，發現的長度和重物的質量之間近似存在一個函數關系，部分數據如下表：…101620254050……8543.221.6…(1)在圖1中描出表中數據對應的點；(2)根據表中數據，從和中選擇一個函數模型，使它能近似的反映重物的質量為和的長度為的函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，若點的坐標為，點的坐標為，在（2）中所求函數的圖象上存在點，使得，請求出所有滿足條件的點的坐標．題型08反比例函數與幾何圖形的綜合解｜題｜策｜略1.利用"設參"表示坐標：設反比例函數圖象上點的坐標，通過幾何性質（如平行四邊形對邊相等、矩形對角線相等）建立方程求解參數。2.巧用k的幾何意義：將不規則圖形面積轉化為與坐標軸圍成的矩形或三角形面積，借助|k|求解。3.數形結合找等量關系：利用全等三角形、相似三角形或勾股定理建立等式，聯立反比例函數解析式求解。例1（2025·廣東廣州·二模）如圖，已知平行四邊形的頂點都在反比例函數的圖象上，已知點的坐標為，點的縱坐標為4，(1)求A點坐標；(2)連接，求平行四邊形的面積．例2（2025·廣東廣州·二模）如圖，四邊形為矩形，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點的坐標為，反比例函數的圖像與邊，分別交于點，（不與邊的端點重合），連接，，．(1)若為邊的中點，求的值及點的坐標；(2)若，求的面積．【變式1】（2025·廣東廣州·二模）已知．(1)化簡T；(2)如圖，若反比例函數的圖象經過點A，且矩形的面積為3，求T的值．【變式2】（2025·廣東廣州·二模）如圖，平行四邊形的頂點O與原點重合，邊在x軸的正半軸上，且點，，反比例函數的圖象經過對角線的中點D．(1)求反比例函數的表達式．(2)已知線段的垂直平分線分別交，于點M，N．求的值．【變式3】（2024·廣東廣州·一模）如圖，四邊形為正方形，點在軸上，點在軸上，且，，反比例函數在第一象限的圖象經過正方形的頂點．(1)求點的坐標和反比例函數的解析式；(2)若點為直線上的一動點（不與點重合），在軸上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（20分鐘限時練）1．（2025·廣東廣州·一模）反比例函數的圖象的每一支上，都隨的增大而增大，那么的取值范圍是（

）．A． B． C． D．2．（2023·廣東廣州·一模）對于一次函數，下列說法錯誤的是（

）A．隨的增大而減小 B．圖象與軸交點為C．圖象經過第一、二、四象限 D．圖象經過點3．（2023·廣東廣州·一模）對于反比例函數，下列說法錯誤的是(

)A．圖象經過點 B．圖象位于第二、第四象限C．當時，y隨x的增大而減小 D．當時，4．（2025·廣東廣州·二模）如圖，直線與相交于點，則不等式的解集是（）A． B． C． D．5．（23-24九年級上·湖南張家界·期末）關于x的函數和在同一坐標系中的圖象大致是(

)A．B．C． D．6．（2025·廣東廣州·二模）一次函數圖象上有兩點，，則______（填，，）7．（2025·廣東廣州·模擬預測）若一次函數的圖象經過點，當x增加1個單位長度時，y減少3個單位長度，則此函數的圖象所對應的函數表達式是________．8．（2024·廣東廣州·模擬預測）一次函數與反比例函數有且僅有一個交點，則的值為______．9．（2024·廣東廣州·一模）如圖，已知在直角三角形中，點B的坐標為，將繞點O旋轉至的位置，使點落在邊上，點落在反比例函數的圖象上，則k的值為_______．10．（2025·廣東廣州·二模）如圖，為雙曲線上一點，過點作軸、軸的垂線，分別交直線于點、兩點，若直線與軸交于點、與軸交于點，則值為______．11．（2025·廣東廣州·二模）如圖，一次函數與反比例函數交于A，B兩點，與兩坐標軸分別交于C，D兩點，其中A的坐標為，且滿足．(1)求，的表達式；(2)反比例函數圖象上是否存在一點P，使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；12．（2024·廣東廣州·模擬預測）年4月日點分，神舟十八號載人飛船在酒泉發射中心發射升空，某中學組織畢業班的同學到當地電視臺演播大廳觀看現場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元購進A款和用元購進B款的文化衫的數量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知畢業班的同學一共有人，要求購買的A款文化衫的數量不少于B款文化衫數量的兩倍，學校應如何設計采購方案才能使得購買費用最低，最低費用為多少？13．（2025·廣東廣州·二模）如圖，雙曲線與直線在第一象限交于點，直線與軸交于點，過作軸于點，．(1)當，時，求的值；(2)連接，若時，求的值．14．（2025·廣東廣州·中考真題）如圖，曲線過點．(1)求t的值；(2)直線也經過點P，求l與y軸交點的坐標，并在圖中畫出直線l；(3)在（2）的條件下，若在l與兩坐標軸圍成的三角形內部（不包含邊界）隨機取一個格點（橫、縱坐標都是整數的點），求該格點在曲線G上的概率．15．（2025·廣東廣州·一模）在氣象觀測實踐課中，同學們利用AI控制器精準地將甲和乙兩個智能探空氣球按照設定的速度勻速豎直升降．氣球甲從地面以m米/秒的速度上升，氣球乙從距離地面高10米的觀測臺同時上升，9秒時氣球乙到達預定高度并暫停上升，開始采集大氣數據（持續一定時間），完成后按原速繼續上升．最終兩氣球同時到達距離地面100米的空中進行了n秒的聯合觀測，觀測完畢后兩氣球釋放部分氣體，以相同速度降落至地面．甲，乙兩探空氣球所在的位置距離地面的高度y（米）與氣球飛行的時間x（秒）之間的函數關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：(1)__________米/秒，__________秒；(2)求線段所在直線的函數解析式（不要求寫出x的取值范圍）；(3)甲，乙兩個智能探空氣球飛行到多少秒時，它們之間的豎直高度的差為16米？（直接寫出答案即可）16．（2025·廣東廣州·二模）已知點在反比例函數的圖象上．(1)中，，，，求的面積；(2)拋物線與軸交于兩點（在的左邊），與軸交于點．①求點坐標；②求拋物線頂點縱坐標取得最大值時的值，并求出此時的頂點坐標．

熱點03一次函數與反比例函數圖象熱點聚焦方法精講能力突破第一部分熱點聚焦·析考情聚焦中考高頻熱點題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。第二部分題型引領·講方法歸納對應高頻熱點題型的解題策略與實戰方法技巧。題型01一次函數的圖象和性質題型02反比例函數的圖象和性質題型02反比例函數K值的幾何意義題型04一次函數與反比例函數圖象問題題型05一次函數與反比例函數交點問題題型06一次函數的實際應用問題題型07一次函數與反比例函數的應用題型08反比例函數與幾何圖形的綜合第三部分能力突破·限時練精選熱點經典題目，限時訓練，實現解題速度與準確率雙重躍升。近三年：根據近三年廣州中考試題，“一次函數與反比例函數圖象”部分的考試方向是突出數形結合與綜合應用。試題嚴格依據課標，高度關注兩種函數圖象的交點問題、位置關系以及函數值的大小比較，常結合幾何圖形或不等式綜合考查。在題型上，該板塊分布穩定：選擇題常考查根據一次函數圖象經過的象限判斷系數符號，或正比例函數與反比例函數圖象性質的綜合辨析；填空題偶有涉及；解答題往往在第21-23題位置，結合三角形、四邊形等幾何圖形，考查交點坐標、解析式求解及面積計算。特別值得注意的是，2024年第15題考查了反比例函數與分類討論的結合。預測2026年：2026年的考試方向將延續“素養立意”，更加注重在動態問題或跨學科情境中考查數形結合能力。試題可能進一步創新設問，例如將函數圖象與物理知識融合。考試題型預計保持穩定：選擇題中仍會出現兩種函數圖象共存或性質辨析題；解答題大概率以“一次函數與反比例函數綜合”形式呈現，考查交點坐標、不等式解集及幾何圖形面積，重在檢驗學生從圖象中獲取信息、解決綜合問題的能力。與式部分主要考察實數及其運算、數的開方與二次根式、整式與因式分解、分式及其運算；而這些考點中，對實數包含的各種概念的運用的考察占了大多數，但是試題難度設置的并不大，屬于中考中的基礎“送分題”，題目多以選擇題、填空題以及個別計算類簡單解答題的形式出現；但是，由于數學題目出題的多變性，雖然考點相同，并不表示出題方向也相同.題型01一次函數的圖象和性質解｜題｜策｜略1.根據系數判斷圖象：由k、b的符號決定圖象所經過的象限（k>0時圖象上升，k<0時下降；b>0時交y軸正半軸）。2.利用增減性比較：若k>0，y隨x增大而增大；k<0，y隨x增大而減小。據此比較函數值的大小。3.結合圖象求解析式：觀察圖象與坐標軸交點或已知點坐標，運用待定系數法求出函數解析式。例1（2025·廣東廣州·一模）下列函數中，值隨值的增大而減小的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數，反比例函數以及二次函數的增減性，熟練掌握這些函數的增減性與系數的關系是解題的關鍵．【詳解】解：A、，對稱軸為直線，當時，的值隨值的增大而增大，當時，的值隨值的增大而減小，故本選項不符合題意；B、，在每一象限內，隨的增大而增大，故本選項不符合題意；C、，，隨的增大而增大，故本選項不符合題意；D、，，，的值隨值的增大而減小，故本選項符合題意；故選：D．例2（2025·廣東廣州·二模）下列函數中，值隨值的增大而增大的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數，反比例函數以及二次函數的增減性，熟練掌握這些函數的增減性與系數的關系是解題的關鍵．【詳解】解：A、，拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時，的值隨值的增大而增大，∴當時，的值隨值的增大而增大，故本選項符合題意；B、，在每一象限內，隨的增大而增大，故本選項不符合題意；C、，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，，故本選項不符合題意；D、，，的值隨值的增大而減小，故本選項不符合題意；故選：A．【變式1】（2024·廣東廣州·三模）下列函數中：①；②；③；④，當時，隨的增大而增大的有（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【分析】本題綜合考查二次函數、一次函數、反比例函數的增減性（單調性），充分運用一次函數、反比例函數、二次函數的增減性，結合自變量的取值范圍，逐一判斷．【詳解】解：①，y隨x的增大而減小，不符合題意；②，當時，y隨x的增大而增大，符合題意；③，當時，隨的增大而增大，符合題意；④，當時，隨的增大而增大，不符合題意，當時，隨的增大先減小后增大，不符合題意，綜上所述符合題意的有：②③，故選：B．【變式2】（2024·廣東廣州·一模）關于函數，下列結論成立的是（

）．A．函數圖象經過點 B．隨的增大而增大C．當時， D．函數圖象不經過第一象限【答案】C【分析】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．將代入解析式求出函數值，即可判斷A選項；根據一次函數的增減性，即可判斷B選項；根據一次函數與坐標軸的交點坐標，即可判斷C選項；根據一次函數的系數，即可判斷D選項．【詳解】解：A．當時，，即函數圖象經過點，原結論錯誤，不符合題意；B．，即隨的增大而減小，原結論錯誤，不符合題意；C．函數過點，即當時，，原結論正確，符合題意D．函數圖象經過一、二、四象限，原結論錯誤，不符合題意；故選：C．【變式3】（2024·廣東廣州·模擬預測）關于一次函數，下列說法正確的是（

）A．圖象過點B．其圖象可由的圖象向下平移2個單位長度得到C．隨著的增大而增大D．圖象經過第一、二、四象限【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象與幾何變換，一次函數的性質以及一次函數圖象與系數的關系，根據一次函數圖象上點的坐標特征，平移的規律以及一次函數的性質逐個判斷即可．【詳解】A、當時，，一次函數的圖象經過點，選項A錯誤，不符合題意；B、由的圖象向下平移2個單位長度得到，故選項B錯誤，不合題意C、，隨的增大而減小，選項C錯誤，不符合題意；D、，，一次函數的圖象經過第一、二、四象限，選項D正確，符合題意；故選：D．題型02反比例函數的圖象和性質解｜題｜策｜略1.根據k值判斷圖象：由k的符號決定圖象所在象限（k>0時在一、三象限；k<0時在二、四象限）。同時注意結合絕對值等條件確定k的符號。2.利用增減性比較大小：若k>0，在每個象限內y隨x增大而減小；k<0，在每個象限內y隨x增大而增大。比較函數值時需先判斷點是否在同一象限。3.結合數形結合解不等式：利用一次函數與反比例函數圖象的交點，根據圖象上下位置關系（上大下小）確定不等式的解集范圍。例1（2026·廣東廣州·一模）已知點，都在反比例函數的圖象上，且，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】本題利用反比例函數的性質解題，先根據函數解析式判斷比例系數的符號，得到函數在第三象限的增減性，再結合的大小關系比較的大小．【詳解】解：反比例函數中，，函數圖象位于第一、三象限，且在每個象限內，隨的增大而減小，，點、都在第三象限的函數圖象上，．例2（2025·廣東廣州·二模）已知反比例函數的圖象位于第一、三象限，則的取值可以是（

）A． B．1 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的性質，根據當時，反比例函數的圖象位于第一、三象限求解即可．【詳解】解：∵反比例函數的圖象位于第一、三象限，∴，∴，觀察各選項，只有選項D符合題意，故選：D．【變式1】（2025·廣東廣州·中考真題）若，反比例函數的圖象在（

）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】C【分析】本題考查的是絕對值的化簡，反比例函數圖象的性質，由絕對值的性質得出k的符號，再根據反比例函數的圖象性質確定其所在象限．【詳解】解：確定k的符號：由題設條件且，根據絕對值的非負性，右邊，即．又因，故為負數．∵反比例函數的圖象位置由的符號決定：當時，圖象位于第一、三象限；當時，圖象位于第二、四象限．因為負數，故圖象在第二、四象限．綜上，正確答案為選項C．故選：C【變式2】（2024·廣東廣州·二模）反比例函數的圖像的每一支上，y隨著x的減小而增大，那么m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數圖象的性質，根據題意得出，解不等式即可求解．【詳解】解：∵在反比例函數圖象的每一支上，都隨的減小而增大，∴反比例函數圖象在第一、三象限，∴，∴，故選：B．【變式3】（2023·廣東廣州·一模）已知反比例函數的圖象在第二、第四象限，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查反比例函數圖象的性質．根據反比例函數的圖象位于二、四象限，則，解不等式即可得到a的取值范圍．【詳解】解：∵反比例函數的圖象在第二、第四象限，，．故選：C．題型03反比例函數K值的幾何意義解｜題｜策｜略1.牢記基本面積結論：過反比例函數圖像上任意一點作坐標軸的垂線，所得矩形面積為|k|，三角形面積為|k|/2。這是所有面積問題的根本依據。2.靈活轉化圖形面積：當遇到不規則圖形時，通過割補、平移等方法將其轉化為與坐標軸圍成的矩形或三角形，再借助|k|求解。3.注意符號判定：求k值時，需根據圖像所在象限確定k的符號（一三象限k>0，二四象限k<0）。例1（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，矩形的頂點A在反比例函數的圖象上，頂點B，C在第一象限，對角線軸，交y軸于點D．若矩形的面積是6，，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的比例系數的幾何意義，矩形的性質，相似三角形的性質與判定，根據條件易證，利用面積比等于相似比平方可得，繼而可求出k值．【詳解】解：∵矩形的面積是6，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵點A在反比例函數圖象上，∴．故選：D．例2（2023·廣東廣州·一模）在矩形中，頂點在第一象限且在反比例函數上，與軸交于點，且．與軸負半軸的夾角的正弦值為，連接，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作軸于點，由題意可知，由，可知，設，則，利用三角函數求得，利用，求得的值，在中利用三角函數求得和的長，從而求得點的坐標，即可求得的值．【詳解】過點作軸于點，四邊形是矩形，，，軸，，軸，，，，，設，則，，，，，，，（負值舍去），，，，，，，，，故選：B．【變式1】（2025·廣東肇慶·一模）如圖，矩形的頂點A，B分別在反比例函數和的圖象上，頂點E，F都在x軸上，交y軸于點D．若點C在y軸上，且，則（）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的比例系數的幾何意義，反比例函數圖像上點的坐標特征，矩形的性質，熟練掌握反比例函數中k的幾何意義，是解答本題的關鍵．根據k值的幾何意義得出，，根據，得出，從而得出，最后求出k值即可．【詳解】解：∵矩形的頂點A，B分別在反比例函數和的圖象上，∴，，∵，∴，∴，∴，解得：．故選：D．【變式2】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應點為），交函數的圖象于點，過點作軸于點，則下列結論：①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；④．其中正確的結論有______．（填寫所有正確結論的序號）【答案】①②④【分析】由，可得，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點為，利用的幾何意義可得的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，證明四邊形為矩形，可得當最小，則最小，設，可得的最小值為，故③不符合題意；如圖，設平移距離為，可得，證明，可得，再進一步可得答案．【詳解】解：∵，，四邊形是矩形；∴，∴，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點為，∵，∴，∴，∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，∵軸，，∴四邊形為矩形，∴，∴當最小，則最小，設，∴，∴，∴的最小值為，故③不符合題意；如圖，設平移距離為，∴，∵反比例函數為，四邊形為矩形，∴，，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故④符合題意；故答案為：①②④題型04一次函數與反比函數圖象問題解｜題｜策｜略1.假定一個判斷另一個：先假定其中一個函數的圖象正確，根據其系數符號（如k、b）推斷另一函數圖象應有的特征，逐一篩選選項。2.緊扣系數符號一致性：重點關注兩個函數中相同字母（如k）的符號必須一致，這是判斷圖象能否共存的關鍵依據。3.熟記函數性質：牢記一次函數（y=kx+b）的象限分布與k、b的關系，以及反比例函數（y=k/x）的象限分布與k的關系。例1（2025·廣東廣州·二模）若，則函數與在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數圖象與反比例函數圖象綜合，根據題意可得，再根據一次函數和反比例函數經過的象限分別求出對應選項中的符號，看是否一致即可得到答案．【詳解】解：∵，∴；A、反比例函數圖象經過第一、三象限，則，一次函數經過第二、三、四象限，則，不符合題意；B、反比例函數圖象經過第一、三象限，則，一次函數經過第一、二、四象限，則，符合題意；C、反比例函數圖象經過第二、四象限，則，一次函數經過第一、二、四象限，則，不符合題意；D、反比例函數圖象經過第二、四象限，則，一次函數經過第一、二、三象限，則，不符合題意；故選：B．例2（2025·廣東廣州·一模）函數與函數在同一平面直角坐標系下的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】此題考查的是反比例函數和一次函數的綜合題型，掌握反比例函數和一次函數的圖象所經過的象限與各項系數的關系是解決此題的關鍵．分和兩種情況討論，然后根據一次函數和反比例函數所經過的象限逐一判斷即可．【詳解】解：當時，一次函數經過第一、三、四象限，反比例函數經過第一、三象限，無符合的圖象；當時，一次函數經過第一、二、四象限，反比例函數經過第二、四象限，符合此種條件的圖象只有B選項，故選：B．【變式1】（2024·廣東廣州·二模）在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（）A．B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了反比例函數的圖象、一次函數的圖象等知識，分和兩種情況討論即可．靈活應用反比例函數及一次函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解：當時，函數的圖象經過一、二、三象限，反比例函數的圖象分布在一、三象限，選項A符合題意；當時，函數的圖象經過一、二、四象限，反比例函數的圖象分布在二、四象限，沒有正確選項．故選：A．【變式2】（25-26九年級上·廣東清遠·期末）函數與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查一次函數、反比例函數圖象與系數的關系，掌握相關知識是解決問題的關鍵．根據一次函數、反比例函數圖象與系數的關系逐項判斷即可．【詳解】解：若，反比例函數過一、三象限，一次函數過一、三、四象限；若，反比例函數過二、四象限，一次函數過一、二、四象限．故選：A．【變式3】（2006·廣東深圳·中考真題）反比例函數的圖像如圖所示，那么一次函數的圖像大致是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數和一次函數的圖像所在的象限與系數的關系，關鍵在于熟練掌握兩種函數的性質．首先由反比例函數y＝的圖像位于第二、四象限，得出，則，得到一次函數圖像經過第二，四象限且與y軸正半軸相交．【詳解】解：∵反比例函數的圖像位于第二、四象限，∴，∴，∴函數的圖像過二、四象限，與y軸相交于正半軸，∴一次函數的圖像過一、二、四象限．故選：C．題型05一次函數與反比例函數交點問題解｜題｜策｜略1.聯立方程求交點坐標：將一次函數與反比例函數解析式聯立方程組，通過解方程（組）求出交點坐標，常用待定系數法先求解析式。2.利用圖象解不等式：根據兩個函數圖象的交點，結合圖象上下位置關系（圖象在上方則函數值大），確定不等式的解集范圍。3.結合幾何圖形求面積：常將交點問題與三角形面積結合，利用坐標軸上的邊作為底邊，通過點的坐標求得面積。例1（2024·廣東廣州·二模）如圖，一次函數的圖象交反比例函數的圖象于，兩點．(1)求一次函數與反比例函數的表達式；(2)點是軸上一點，若，求點的坐標；【答案】(1)，；(2)或．【分析】本題考查了一次函數與反比例函數綜合．（1）待定系數法求解析式，即可求解；（2）先求得點D的坐標，進而根據列出方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：將代入解得：，∴將代入得∴，將，代入∴解得：∴（2）解：連接設，對于，當，∴∵即解得：或∴或例2（2025·廣東廣州·一模）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點．(1)求的值和反比例函數的解析式；(2)點是直線上的一點，過點作平行于軸的直線交反比例函數的圖象于點，連接，，求的面積．【答案】(1)1；(2)4或14【分析】本題考查一次函數與反比例函數交點問題，反比例函數與幾何綜合，三角形相似的判定與性質：（1）先求出m的值，利用待定系數法即可求解；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，證明，分點在線段上，點在線段的延長線上，兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵直線經過點∴∴∴∵反比例函數經過∴∴反比例函數的解析式為；（2）解：過點作軸于點，過點作軸于點，令，解得：，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，即，①點在線段上，∵，∴，∴，∵，∴，∴與重合，如圖，∴點N在軸上，即點N為與軸交點重合，將代入，則，∴，在反比例函數中，當時，，∴，∴，②點在線段的延長線上，同理得：，，∴，在反比例函數中，當時，，∴，，綜上所述，或14．【變式1】（2026·廣東廣州·一模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點和點．(1)求一次函數和反比例函數的解析式；(2)根據圖象，直接寫出不等式的解集；(3)設直線與x軸交于點C，求的面積【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）由待定系數法即可求出反比例函數解析式，再求出點坐標，利用待定系數法求得一次函數解析式即可；（2）由圖象觀察函數y=的圖象在一次函數y=kx+b圖象的上方對應的x的取值范圍；（3）求出C點的坐標，從而求出的面積．【詳解】（1）解：把代入得：，∴反比例函數的解析式為，，將點，代入直線中得，，解得∴一次函數的解析式為；（2）解：由圖象可知，不等式的解集是或；（3）解：設與x軸交于點C，令，得，解得，，，．【變式2】（2025·廣東廣州·一模）如圖，已知直線過點，且與直線相交于點．(1)求直線的解析式；(2)當且時，自變量的取值范圍是______；(3)若雙曲線與直線相交于兩點，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，待定系數法求解析式，一次函數與不等式，掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）先求出，然后利用待定系數法即可求解；（）由題意得，然后解出不等式組即可；（）聯立方程組，求出另一個交點B的坐標為，作軸于點E，軸于點，然后通過即可求解．【詳解】（1）解：把代入得，，∴，把和點代入，得，解得，∴直線的解析式為；（2）解：∵且，∴，解得：，故答案為：；（3）解：聯立方程組，得，解得（舍去）或，∴另一個交點B的坐標為，如圖，作軸于點E，軸于點，∴，，，，∴．【變式2】（2025·廣東廣州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接，的面積為1．

(1)求反比例函數的解析式；(2)點P為第三象限內反比例函數圖象上一點，且位于直線下方，過點P作軸交直線于點D，作軸交y軸于點E，若，求點P的坐標；(3)若M是x軸負半軸上一點，N是反比例函數圖象上一點，當以A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題是反比例函數綜合題，主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，坐標與圖形的性質，平行四邊形的性質等知識，熟練掌握中點坐標公式是解題的關鍵．（1）過點作軸于，由的面積為1，可得的長，從而得出點的坐標，即可得出答案；（2）設，則，，利用坐標與圖形的性質表示出和的長，從而列出方程解決問題；（3）首先求出點的坐標，設，，再利用中點坐標公式可得點的橫坐標，從而解決問題．【詳解】（1）解：過點作軸于，

對于一次函數，當時，，，的面積為1．，，當時，，，將點代入反比例函數得：，反比例函數解析式為；（2）解：設，則，，，，，解得，點在直線下方的雙曲線上，，當時，，；（3）解：所有符合條件的點的坐標為或；理由如下：當時，解得或，經檢驗，或都是方程的根，，設，，其中，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，，，當、為對角線時，由中點坐標公式得：，解得，；當為對角線時，由中點坐標公式得：，解得，；當為對角線時，由中點坐標公式得：，解得：（舍去）；綜上所述，點的坐標為或．題型06一次函數的實際應用問題解｜題｜策｜略1.數形結合，獲取信息：對于分段函數圖象題，要準確讀取起點、折點、終點坐標，理解不同區間對應的實際意義（如階梯收費、優惠方案）。2.待定系數，建立模型：根據表格數據或圖象上的點，運用待定系數法求出函數解析式。注意自變量的取值范圍要符合實際情境。3.利用性質，比較決策：運用一次函數的增減性求最值，或通過建立方程與不等式比較不同方案的經濟效益。例1（2025·廣東廣州·三模）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量（千克）與銷售價格（元/千克）存在一次函數關系，部分數據如表所示：銷售價格（元/千克）3545日銷售量（千克）250150(1)試求出關于的函數表達式．(2)經過市場調查，經銷商發現每日該種魚銷售量不超過，請問該經銷商最低能將售價定為多少元？【答案】(1)(2)經銷商最低能將售價定為40元【分析】本題考查了一次函數的應用以及一元一次不等式的應用，讀懂題意找到關系式是解題的關鍵．（1）根據表格中的數據，利用待定系數法，即可求出y關于x的函數表達式；（2）代入，可得出關于x的一元一次不等式，求解取其中的最小值，即可得出結論．【詳解】（1）解：設y關于x的函數表達式為，將，代入得：，解得：，∴y關于x的函數表達式為（2）當時，，解得：，∴x的最小值為40．答：該經銷商最低能將售價定為40元．例2（2025·廣東廣州·三模）學校決定按年級開展師生研學活動，該校八年級師生共人將參加研學活動，計劃租用輛大客車，現有甲、乙兩種型號的大客車，它們的滿座載客量和租車費用如表：甲型號大客車乙型號大客車滿座載客量（人輛）租車費用（元輛）(1)若租用的輛大客車恰好能一次將八年級師生送到研學基地，求應分別租用甲、乙型號的大客車多少輛？(2)設租用甲型號大客車輛，租車總費用為元，當租用甲型號大客車多少輛時，租車的總費用最少，最少費用是多少？【答案】(1)租用甲型號大客車輛，租用乙型號大客車輛；(2)租用甲型號大客車輛時，租車的總費用最少，最少費用是元．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，一元一次不等式的應用，掌握相關知識的應用是解題的關鍵．（）設租用甲型號大客車輛，租用乙型號大客車輛，根據題意得，然后解方程即可；（）根據題意列關于的一元一次不等式并求其解集，寫出關于的函數關系式，根據一次函數的增減性和的取值范圍，確定當取何值時值最小，求出其最小值即可．【詳解】（1）解：設租用甲型號大客車輛，租用乙型號大客車輛，根據題意，得，解得，答：租用甲型號大客車輛，租用乙型號大客車輛；（2）解：租用乙型號大客車輛，根據題意，得，解得，∴，，∵，∴隨的增大而增大，∴當時，值最小，為，答：當租用甲型號大客車輛時，租車的總費用最少，最少費用是元．【變式1】（2025·廣東廣州·二模）某超市將購進的糯米咸鵝蛋和肉粽進行組合銷售，有、兩種組合方式，其中組合有枚糯米咸鵝蛋和個肉粽，組合有枚糯米咸鵝蛋和個肉粽，、兩種組合的進價和售價如表：價格進價（元件）售價（元件）(1)求每枚糯米咸鵝蛋和每個肉粽的進價分別為多少？(2)根據市場需求，超市準備的種組合數量是種組合數量的倍少件，且兩種組合的總件數不超過件，假設準備的兩種組合全部售出，為使利潤最大，該超市應準備多少件種組合？最大利潤為多少？【答案】(1)每枚糯米咸鵝蛋的進價是元，每個肉粽的進價是元(2)為使利潤最大，該超市應準備件種組合，最大利潤為元【分析】設每枚糯米咸鵝蛋的進價為元，每個肉粽的進價為元，根據，兩種組合的進價，列出二元一次方程組，解之即可得出結論；設該超市準備件種組合，則該超市準備件種組合，根據準備的兩種組合的總件數不超過件，列出關于的一元一次不等式，解之得出的取值范圍，再設該超市準備的兩種組合全部售出后獲得的總利潤為元，利用總利潤每件組合的銷售利潤準備數量每件組合的銷售利潤準備數量，列出關于的函數關系式，然后利用一次函數的性質，即可解決最值問題．【詳解】（1）解：設每枚糯米咸鵝蛋的進價為元，每個肉粽的進價為元，根據題意得：，解得：，答：每枚糯米咸鵝蛋的進價為元，每個肉粽的進價為元；（2）設該超市準備件種組合，則該超市準備件種組合，根據題意得：，解得：，設該超市準備的兩種組合全部售出后獲得的總利潤為元，則，，隨的增大而增大，當時，取得最大值，最大值．答：為使利潤最大，該超市應準備件種組合，最大利潤為元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組；找出數量關系，正確列出一元一次不等式和一次函數關系式．【變式2】（2025·廣東廣州·二模）某校九年級物理探究小組在物理實驗室發現了一塊不知規格的滑動變阻器，為了以后方便使用，組長決定帶領小組成員測量它的最大電阻．他們將兩節的干電池（總電壓為3V），一個開關，一個電流表以及滑動變阻器串聯成如下電路（電池和電流表的內阻忽略不計）．若滑動變阻器滑動到距離B端處時的電流表的數值比滑動變阻器滑動到距離B端處時的電流表的數值減小了．知識小鏈接：①導體兩端的電壓U（），導體的電阻，通過導體的電流I（A），滿足關系式；②串聯電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓．(1)求滑動變阻器的最大電阻；(2)由于實驗室器材匱乏，學校擬購買電流表和滑動變阻器共50個，已知電流表每個10元，滑動變阻器每個15元，若滑動變阻器的數量不少于電流表數量的2倍，則學校買這批儀器至少要花多少錢？【答案】(1)．(2)學校買這批儀器至少要花費670元．【分析】本題主要考查歐姆定律、分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的性質．解題關鍵在于理解電路中電阻與電流的關系，利用條件準確列出分式方程求解電阻值；通過設未知數建立函數和不等式模型，結合函數性質求出費用最小值．（1）設滑動變阻器最大電阻為，分別表示出滑動變阻器滑片在不同位置時的電阻，再結合兩種情況下電流的差值為列出分式方程，求解并檢驗得到滑動變阻器的最大電阻．（2）通過設未知數建立函數關系來求解費用最小值．設購買電流表個，總花費為元，則購買滑動變阻器個．根據滑動變阻器數量不少于電流表數量的倍列出不等式，確定的取值范圍．再根據單價列出總費用關于的一次函數表達式，利用一次函數的性質（當時，隨的增大而減小），在的取值范圍內找到使最小的值，進而求出最小花費．【詳解】（1）解：設滑動變阻器的最大電阻是．由題意可列方程：，解得：，經檢驗，是原方程的根．答：滑動變阻器的最大電阻為．（2）解：設購買電流表m個，總花費為y元，則購買滑動變阻器個．由題意知：，解得：，總費用，即，∵，∴y隨m的增大而減小．∵m是整數，∴當時，y最小，此時，（元），答：學校買這批儀器至少要花費670元．【變式3】（2025·廣東廣州·二模）2025年國家衛健委建議實施“體重管理年”三年行動．某校要組織學生外出研學，根據營養師的建議準備了兩種食品作為午餐．餐每包的熱量為700千焦，蛋白質為5克．餐每包熱量為800千焦，蛋白質為10克．(1)若要從這兩種食品中攝入3700千焦熱量和35克蛋白質，應選用兩種食品各多少包？(2)運動量大的人或青少年對蛋白質的攝入量應更多．若每份午?選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質含量不低于55克，且熱量最低，應如何選用這兩種食品？【答案】(1)選用A種食品3包，B種食品2包(2)選用A種食品3包，B種食品4包【分析】本題考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）設選用A種食品x包，B種食品y包，根據“從這兩種食品中攝入熱量和蛋白質”列方程組求解即可；（2）設選用A種食品包，則選用B種食品包，根據“每份午餐中的蛋白質含量不低于”列不等式求出，再設總熱量為，得到關于的一次函數關系式，再由一次函數的性質求解．【詳解】（1）解：設選用A種食品x包，B種食品y包，根據題意，得，解方程組，得，答：選用A種食品3包，B種食品2包．（2）解：設選用A種食品包，則選用B種食品包，根據題意，得，∴，設總熱量為，則，∵，∴w隨a的增大而減小，∴當時，w最小，∴，答：選用A種食品3包，B種食品4包．題型07一次函數與反比例函數的應用解｜題｜策｜略1.數形結合解不等式：利用兩函數圖象的交點，根據圖象上下位置關系（圖象在上方則函數值大），確定不等式的解集范圍。2.待定系數求解析式：將已知點坐標代入反比例函數先得表達式，再求另一交點，最后將兩點代入一次函數求出解析式。3.幾何圖形求面積：遇到三角形面積問題，可用“補全求差”（將三角形補成矩形或梯形再相減）或“分割求和”（利用坐標軸分割）的方法求解。例1（2025·廣東廣州·二模）如圖是某型號冷柜循環制冷過程中溫度隨時間變化的部分示意圖.該冷柜的工作過程是：當冷柜溫度達到時開始制冷，溫度開始逐漸下降；當溫度下降到時停止制冷，溫度開始逐漸上升；當溫度上升到時，再次開始制冷，按照以上方式循環工作.通過研究發現，當時，溫度是時間的一次函數；當時，溫度是時間的反比.(1)求當時的反比例函數關系式，并求出的值；(2)若規定溫度不高于的時間為有效制冷時間，那么在一次循環制冷過程中，有效制冷時間是多少？【答案】(1)，(2)有效制冷時間是9分鐘【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合運用，熟練掌握待定系數法求函數解析式，反比例函數與一次函數的圖象和性質，函數與方程的關系，是解題的關鍵．（1）由函數圖象可知當時間為時，溫度與時間之間是反比例函數關系，由圖象上點求出反比例函數的關系式，再由反比例函數關系式求出當時的t的值即可；（2）求出一次函數的解析式，分別求出時一次函數中與反比例函數中的x值，即可求解．【詳解】（1）解：設當時的反比例函數關系式為，由圖象可知，點在函數圖象上，，解得，，當時的反比例函數關系式為．當時，，解得，；（2）解：當時，，解得：，設當時的一次函數關系式為，由圖象可知，點，點在函數圖象上，則，解得：當時的一次函數關系式為，當時，，解得，，（分鐘）．答：在一次循環制冷過程中，有效制冷時間是9分鐘．例2（2024·廣東廣州·三模）某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量與燃燒時間之間的關系如圖所示．根據圖象所示信息，解答下列問題：(1)求一次函數和反比例函數的解析式，并寫出自變量的取值范圍；(2)據測定，當室內空氣中每立方米的含藥量低于時，對人體無毒害作用．從消毒開始，至少在多少分鐘內，師生不能待在教室？【答案】(1)一次函數解析式為，反比例函數的解析式為；(2)從消毒開始，至少在分鐘內，師生不能待在教室．【分析】（）利用待定系數法解答即可求解；（）把分別代入（）中所得的函數解析式，求出的值，再結合函數圖象解答即可求解；本題考查了一次函數與反比例函數的應用，利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設反比例函數解析式為，把代入得，，∴，∴反比例函數的解析式為，把代入得，，∴，∴，∴反比例函數的解析式為，設正比例函數解析式為，把代入得，，∴，∴一次函數解析式為；（2）解：由可得，當時，，由可得，當時，，由函數圖象可得，當時，，∵，∴從消毒開始，至少在分鐘內，師生不能待在教室．【變式1】（2025·廣東廣州·一模）某商戶購進蘋果1575千克，為尋求合適的銷售價格，進行了5天試銷，試銷情況如下：第1天第2天第3天第4天第5天售價（元/千克）181512109銷售量（千克）50607590100(1)根據表中的數據，從一次函數和反比例函數中選擇一個函數模型，使得它能近似的反映試銷期間這批蘋果每天的銷售量（千克）與售價（元/千克）之間的函數關系，并求出這個函數關系式（不要求寫出的取值范圍）;(2)若在這批蘋果的后續銷售中，每天的銷售量（千克）與售價（元/千克）之間都滿足（1）中的函數關系．在試銷5天后，該商戶決定將這批蘋果的售價定為10元/千克，但銷售10天后，該商戶為清空庫存，計劃用不超過2天的時間全部售完，則新的售價最高定為多少元/千克，才能使后面2天都按新的售價銷售且能如期全部售完？【答案】(1)(2)新的售價最高定為6元/千克，才能使后面2天都按新的售價銷售且能如期全部售完【分析】本題考查了反比例函數的性質、一元一次方程的應用，熟練掌握以上知識點是關鍵．（1）根據表格數據可知乘積恒為900，說明y與x成反比例函數，再利用待定系數法求出反比例函數解析式即可；（2）根據題意，先求出新售價前的剩余量300千克，再設新售價為a元/千克，則每天的銷量為千克，根據題意列出方程求出a值即可．【詳解】（1）與之間滿足反比例函數關系，設解析式為．把代入，得．關于的函數表達式為．（2）試銷6天共銷售蘋果千克蘋果的售價定為10元/千克時，每天的銷售量為90千克，銷售10天后，還剩下蘋果（千克）．由，得．把代入中得，，隨的增大而減小，當時，，新的售價最高可以定為6元/千克，答：新的售價最高定為6元/千克，才能使后面2天都按新的售價銷售且能如期全部售完．【變式2】（2025·廣東廣州·一模）某款三明治機制作三明治的工作原理如下：①預熱階段：開機1分鐘空燒預熱至，機器溫度與時間成一次函數關系；②操作階段：操作3分鐘后機器溫度均衡升至最高溫度后保持恒溫狀態；③斷電階段：操作完成后進行斷電降溫，機器溫度與時間成反比例關系．如下圖所示為某次制作三明治時機器溫度與時間的函數圖象，請結合圖象回答下列問題：(1)預熱階段機器溫度上升的平均速度是_________，開機3分鐘時，溫度為____；(2)當時，求機器溫度與時間的函數關系式；(3)求三明治機工作溫度在以上持續時間．【答案】(1)60、140(2)(3)12分鐘【分析】本題考查一次函數與反比例函數的實際應用，從圖象獲取信息，正確的求出函數解析式是解題的關鍵：（1）根據圖象，列出算式進行計算即可；（2）分和兩種情況，待定系數法求出解析式即可；（3）求出反比例函數的解析式，將為，依次代入及中，求出對應的的值，作差即可．【詳解】（1）解：，；故答案為：60、140；（2）由圖象可知：當時，；當時，設函數解析式為：，把，代入得：，解得：，∴；綜上：；（3）當時，設將代入得：當機器溫度為，依次代入及中，分別解得、；答：三明治機工作溫度在以上持續12分鐘．【變式3】（2025·廣東廣州·二模）如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的啟發，某數學興趣小組組裝了以下裝置，通過實驗收集了大量數據，對數據的整理和分析，發現的長度和重物的質量之間近似存在一個函數關系，部分數據如下表：…101620254050……8543.221.6…(1)在圖1中描出表中數據對應的點；(2)根據表中數據，從和中選擇一個函數模型，使它能近似的反映重物的質量為和的長度為的函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，若點的坐標為，點的坐標為，在（2）中所求函數的圖象上存在點，使得，請求出所有滿足條件的點的坐標．【答案】(1)見解析(2)(3)滿足條件的點的坐標為或【分析】本題主要考查了反比例函數的實際運用，正確理解題意是解題的關鍵．（1）在坐標系中描出表中數據對應的點即可；（2）將代入得，求出，得到函數的解析式為；（3）設，連接，得到，求出，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，（2）解：將代入得，，函數的解析式為；（3）解：點的坐標為，點的坐標為，為反比例函數上一點，設，如圖，連接，，，，解得，經檢驗是原方程的根，當時，，，當時，，，綜上所述，滿足條件的點的坐標為或．題型08反比例函數與幾何圖形的綜合解｜題｜策｜略1.利用"設參"表示坐標：設反比例函數圖象上點的坐標，通過幾何性質（如平行四邊形對邊相等、矩形對角線相等）建立方程求解參數。2.巧用k的幾何意義：將不規則圖形面積轉化為與坐標軸圍成的矩形或三角形面積，借助|k|求解。3.數形結合找等量關系：利用全等三角形、相似三角形或勾股定理建立等式，聯立反比例函數解析式求解。例1（2025·廣東廣州·二模）如圖，已知平行四邊形的頂點都在反比例函數的圖象上，已知點的坐標為，點的縱坐標為4，(1)求A點坐標；(2)連接，求平行四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）將點C的坐標代入反比例函數解析式求出，根據平行四邊形的性質結合點的縱坐標為4，可得點A的縱坐標為1，代入反比例函數解析式即可解答；（2）作軸于D，軸于E，軸于F，則，利用即可求得．【詳解】（1）解：根據題意：，解得：，∴反比例函數的解析式為，∵平行四邊形中，點的縱坐標為4，∴點A的縱坐標為1，∴，∴；（2）解：作軸于D，軸于E，軸于F，則，∵，∴，∴，∴．例2（2025·廣東廣州·二模）如圖，四邊形為矩形，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點的坐標為，反比例函數的圖像與邊，分別交于點，（不與邊的端點重合），連接，，．(1)若為邊的中點，求的值及點的坐標；(2)若，求的面積．【答案】(1)，點E坐標為(2)15【分析】本題考查了反比例函數圖象的性質與矩形的性質，解題關鍵是根據點的坐標求出反比例函數解析式，再利用反比例函數圖象的性質求解；（1）先根據為邊的中點求出點D的坐標，再根據待定系數法求出解析式，求出點E坐標即可；（2）設點D的坐標為，點E坐標為，證明，可得，即，求出或32（不合題意，舍去），則點D的坐標為，點E坐標為，求出，，即可解答．【詳解】（1）解：∵點的坐標為，為邊的中點，∴點的坐標為，代入得，，解得，，把代入得，，解得，，點E坐標為．（2）∵點的坐標為，反比例函數的圖像與邊分別交于點，設點D的坐標為，點E坐標為，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，解得，或32（不合題意，舍去），則點D的坐標為，點E坐標為，∴，∴，，∴．【變式1】（2025·廣東廣州·二模）已知．(1)化簡T；(2)如圖，若反比例函數的圖象經過點A，且矩形的面積為3，求T的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查分式的化簡求值以及反比例函數（）中的幾何意義．解題關鍵在于熟練運用分式運算規則進行化簡，準確利用反比例函數的性質確定的值，再代入求值．（1）先對進行通分計算，再根據除法運算法則，將除法轉化為乘法進行化簡．這一步主要依據分式的基本運算規則，通分是為了將兩個分式化為同分母分式進行減法運算，除法變乘法是利用除以一個數等于乘以它的倒數這一規則．（2）利用反比例函數中的幾何意義，由矩形的面積得出的值，再結合函數圖象所在象限確定的值，最后代入化簡后的表達式求值．這里反比例函數（為常數，）中，過雙曲線上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形面積為是關鍵知識點．【詳解】（1）解：（2）解：∵反比例函數的圖象經過點，矩形的面積為．∴，即．∵反比例函數圖象在第二、四象限，∴，則．把代入，得．【變式2】（2025·廣東廣州·二模）如圖，平行四邊形的頂點O與原點重合，邊在x軸的正半軸上，且點，，反比例函數的圖象經過對角線的中點D．(1)求反比例函數的表達式．(2)已知線段的垂直平分線分別交，于點M，N．求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查作圖基本作圖、待定系數法求反比例函數解析式、平行四邊形的性質、線段垂直平分線的作法，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．（1）由，可得，結合平行四邊形的性質可得，進而可得，將的坐標代入反比例函數解析式求出的值，即可得出答案．（2）由勾股定理及線段垂直平分線的定義可得，再結合已知條件證明，可得，求出的長，根據可得答案．【詳解】（1）解：，，四邊形為平行四邊形，，，，點為的中點，，反比例函數的圖象經過點，．反比例函數的表達式為；（2）如圖，連接，，，軸，，由勾股定理得，，為線段的垂直平分線，，，，，，，即，解得，．【變式3】（2024·廣東廣州·一模）如圖，四邊形為正方形，點在軸上，點在軸上，且，，反比例函數在第一象限的圖象經過正方形的頂點．(1)求點的坐標和反比例函數的解析式；(2)若點為直線上的一動點（不與點重合），在軸上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，或或【分析】本題考查了反比例函數綜合應用，熟練掌握平行四邊形的存在性求法是解答本題的關鍵．（1）利用三角形全等求出點坐標，由點坐標求出反比例函數解析式即可；（2）根據點為定點，分三種情況討論：當為平行四邊形的對角線時，當為平行四邊形的對角線時，當為平行四邊形的對角線時即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作軸，垂足為，是正方形，，，，，，，在和中，，，，，，，在反比例函數圖象上，，反比例函數解析式為：；（2）解：存在，理由如下：根據（1）中求點坐標，同理可得點坐標，設直線解析式為，代入點坐標得：，解得：，直線解析式為：，設，，當為平行四邊形的對角線時，得：，即：，解得：，；當為平行四邊形的對角線時，得：，即：，解得：，；當為平行四邊形的對角線時，得：，即：，解得：，；綜上所述，符合條件的點有3個，坐標為或或．（20分鐘限時練）1．（2025·廣東廣州·一模）反比例函數的圖象的每一支上，都隨的增大而增大，那么的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意得出，解不等式即可求解．【詳解】解：∵在反比例函數圖象的每一支上，都隨的增大而增大．∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數圖象的性質，掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．2．（2023·廣東廣州·一模）對于一次函數，下列說法錯誤的是（

）A．隨的增大而減小 B．圖象與軸交點為C．圖象經過第一、二、四象限 D．圖象經過點【答案】D【分析】根據一次函數的性質，與坐標軸的交點，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：中，，A.，隨的增大而減小，故該選項正確，不符合題意；

B.當時，，則圖象與軸交點為，故該選項正確，不符合