四川省字節精準教育聯盟2026屆高三下學期4月期中考試數學試卷（含答案）

四川省字節精準教育聯盟2025-2026學年高三下學期4月期中數學試卷一、單選題1．已知全集，集合，，（

）A． B． C． D．2．復數滿足（為虛數單位），則的共軛復數的虛部是（

）A． B． C．1 D．3．已知圓錐的底面半徑為3，且圓錐的底面積是側面積的一半，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．4．已知向量，若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．25．已知拋物線的焦點為，點在上，，則點到直線的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．66．已知隨機變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．7．函數，是（

）A．最小正周期為的偶函數 B．最小正周期為的奇函數C．最小正周期為的偶函數 D．最小正周期為的奇函數8．已知是R上的奇函數，當時，，函數，若，則實數x的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題9．2026年是“十四五”環境治理規劃的關鍵驗收年.某市生態環境局為評估AI輔助預測模型的準確性，記錄了某月連續7天的PM2.5預測誤差（預測誤差＝實際濃度－預測濃度，單位：）.如下表：日期1234567預測誤差1033下列關于這7天預測誤差的描述中，正確的有（

）A．這組數據的眾數是3B．這組數據的60%分位數是0.5C．這組數據的方差大于5D．若第8天該模型預測誤差為，則加入第8天數據后，新數據組的平均數將變小10．已知函數，則（

）A．當時，有3個零點B．當時，有兩個極值C．當時，在上單調遞減D．圖象對稱中心的橫坐標不變11．已知曲線為上一點，為坐標原點，則（

）A．C關于軸對稱B．關于軸對稱C．的取值范圍分別為D．的最大值為2三、填空題12．在數列中，，其前n項和為，則＝______13．直線與軸交于點，與軸交于點，與交于C、D兩點，，則__________．14．在中，記角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，面積為S，則的最大值為______四、解答題15．已知數列的首項，前項和為，且滿足．(1)求證：數列為等比數列；(2)若，求數列的前項和．16．某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語；2人只會英語，3人既會法語又會英語，現選派3人到法國的學校交流訪問．(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數X的分布列和數學期望．17．把一副三角板按如圖所示的方式拼接，其中，．將沿翻折至，使得二面角為直二面角．(1)證明：平面；(2)若在同一個球面上，求該球的半徑；(3)求平面與平面所成角的余弦值．18．已知函數，其中.(1)若，求的單調區間；(2)若，（i）證明：在區間內有且僅有1個零點；（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明：.19．已知雙曲線左右焦點分別為，且，在上，為坐標原點．(1)求的方程；(2)設直線與右支交于兩點，且直線傾斜角互補，記中點為．（i）判斷直線斜率是否為定值，請說明理由；（ii）若不在上，記，，求的最大值．參考答案1．D【詳解】由，可得，又，所以.2．C【詳解】由題意可得：，所以，所以復數的共軛復數的虛部為1.3．A【詳解】設圓錐的體高為，母線長為，底面半徑，則底面積，側面積，解得，易知，所以體積.故選：A.4．A【詳解】因為，則，則，所以，解得.5．C【詳解】拋物線，其準線方程為：，因為，且點在上，由拋物線定義可知，點到直線的距離為3，因為與平行，且距離為2，所以點到直線的距離為5.故選：C6．A【詳解】依題意，分布列概率之和為1，則，解得.即，所以.

故選：A.7．C【詳解】由周期公式可得的最小正周期是，又，是偶函數.故選：C8．D【詳解】函數在上單調遞減，則函數在上單調遞增，而是R上的奇函數，則函數在上單調遞增，因此函數在上單調遞增，當時，，則，所以時，，則，故時，，當時，在上單調遞增，此時，綜上，函數在上單調遞增，由，得，解得，所以實數x的取值范圍是.9．ACD【詳解】將數據從小到大排序得：，，，0，1，3，3.對于A，3出現兩次，其余一次，眾數為3，故A正確；對于B，，不是整數，故取第5個數，第5個數為1，故60%分位數為1，故B錯誤；對于C，平均數，方差，故C正確；對于D，原平均數為0，新數據小于0，加入后平均數變為，確實變小，故D正確.10．ABD【詳解】對于A，當時，，則，所以當或時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，又，，所以有3個零點，故A正確；對于B，由，當時，方程的，設其兩根為，易得在和上單調遞減，在上單調遞增，故在和處分別取到極小值和極大值，所以有兩個極值，故B正確；對于C，由B，當時，在和上單調遞減，在上單調遞增，故C錯誤；對于D，因為，

所以圖象對稱中心坐標為，，圖象對稱中心的橫坐標不變，故D正確.故選：ABD.11．ABC【詳解】用換方程中的，化簡后方程不變，故關于軸對稱，同理可得，關于軸對稱，故AB均正確；由，得，解得，同理可得，故C正確；在曲線上，所以，所以，當時，取得最大值，故D錯誤.故選：ABC.12．【詳解】由可得數列為等比數列，公比為，首項為,所以13．【詳解】令，得，即,令，得，即,圓心，，所以，直線經過圓心，,所以,.14．【詳解】（當且僅當時取等號）.令，故，因為，且，故可得點表示的平面區域是半圓弧上的點，如下圖所示：目標函數上，表示圓弧上一點到點點的斜率，由數形結合可知，當且僅當目標函數過點，即時，取得最小值，故可得，又，故可得，當且僅當，即三角形為等邊三角形時，取得最大值.故答案為：.15．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由，①當時，，由，解得，當時，，②①-②得：，即，從而，又因為，且也滿足上式，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列．（2）由（1）得，則，從而，所以，，令，①則，②①-②得：，所以，又，所以．16．(1)(2)的分布列為【詳解】（1）名同學中，會法語的人數為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會法語共有種選法；所以選派的人中恰有人會法語的概率．（2）由題意可知，所有可能的取值為，，，，，所以的分布列為數學期望為．17．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）二面角為直二面角，即平面平面，又因為平面，平面平面，所以平面．又因為平面，所以．由題意平面，所以平面．（2）取中點中點，連接，則，因為平面，平面，所以，所以，在中，為中點，所以.以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系，則．設該球的球心坐標為，則解得.所以該球的半徑為.（3）法一：取中點，在中，過作，垂足為，連接，平面平面平面，平面平面，所以平面．而平面，故，又因為，平面，故平面，而平面，所以，則為平面與平面的所成角.直角三角形中，，所以平面與平面所成角的余弦值為.法二：平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則即取，得平面的一個法向量為.所以平面與平面所成角的余弦值為.18．(1)的單調遞減區間為，無單調遞增區間；(2)證明見解析【詳解】（1）求導得：，因為，對任意，都有，所以的單調遞減區間為，無單調遞增區間；（2）（i）由（1）知，當時，令，當時，，故在上單調遞減，因為，所以，又因為，所以在區間內存在零點，即結合在上單調遞減，可得在區間內有且僅有1個零點，且；則當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，又因為，所以根據單調性可知：，又因為當，，所以根據零點存在性定理結合函數單調遞減，可知：在區間內有且僅有1個零點，又因為時，結合在單調遞增，所以，即在區間函數沒有零點，所以在區間內有且僅有1個零點，（ii）由題意可知：，即，消可得：，當時，構造函數，求導得，則在時單調遞增，即，所以，即可知，則，兩邊取對數得：，即.19．(1)(2)（i）直線斜率為定值，理由見解析；（ii）．【詳解】（1）方法①：由題意，則，解得，故雙曲線方程為．方法②：由題意，則，利用定義：，，故雙曲線方程為．（2）（i）結論：直線斜率為定值，理由如下討論：若直線斜率不存在，記，則，記直線斜率分別為，，不符合題意，舍去．故直線斜率