中考數學一輪專項復習學案（人教版）-尺規作圖（含答案）

直接（指令性）基本作圖

例如圖，線段AC,BD相交于點O,且AB〃CD,AEJ_BD于點E.

（1）尺規作圖:過點C作BD的垂線，垂足為F,連接AF,CE.（不寫作法,保留作圖痕跡，并標叨相應的字

母）

⑵若AB=CD,請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.（若前問未完成，可畫草圖完成此問）

針對訓練

I.如圖，根據AABC中尺規作圖的痕跡，下列說法不一定正確的是)

A.AF=BFB.AE=^AC

C.ZDBF+ZDFB=90°D.ZBAF=ZEBC

針對訓練

2.如圖，在AABC中,NABC的平分線交AC于點F.

（1）用尺規作圖法在直線BC上求作點E,使AE〃BF,不寫作法，保留作圖痕跡.

⑵若AB=4,BC=5,AC=6,求AF的長.

針對訓練

3.如圖，在AABC中，點P,Q分別在邊BC及CB的延長線上，且BQ=CP.

A

QBPC

⑴實踐與探索:利用尺規按下列要求作圖(不寫作法，保留作圖痕跡).

①作NPQM=NCBA,且點M在QC的上方；

②在QM上截取QR=BA;

③連接PR.

(2)猜想與驗證:試猜想線段AC和RP的數量關系，并證明你的猜想.

類型二選擇規則性（理解性、應用性）尺規作圖

2如圖，在△ABC中，【是AABC的內心.

（1）求作過點1且平行于BC的直線，與AB,AC分別相交于點D,E.（要求:尺規作圖，不寫作法,保留作

圖痕跡）

⑵若AB=6,AC=8,DE號，求BC的長.

針對訓練

4.求證:三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

已知:如圖,D.E分別是AABC的邊AB,AC的中點，連接DE.

A

求證:DE〃BC,且DEWBC.

（要求:尺規作圖畫出點D和點E,只保留作圖痕跡，不寫作法）

針對訓練

5.如圖，已知RtAMON,ZMON=90°,OM=ON,A為斜邊MN上?點.

⑴求作:以點O為中心,A為一個頂點的正方形ABCD(點A,B,C,D按順時針排列).(要求:尺規作圖,

不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(I)的條件下，連接DN,求證:DN_LMN.

針對訓練

6.如圖，在AABC中，點D在邊AC上，且AD=AB.

(1)請用無刻度的直尺和圓規作出/A的平分線(保留作圖痕跡,不寫作法).

(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點E,連接DE.求證:DE=BE

類型三尺規作圖與證明(計算)

例3如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點,DC《BC,連接AD.

⑴在圖中求作四邊形BCEF,使得點F在邊AB上，且BF=2DC,點E與點D關于AC對稱.(要求:尺

規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件卜.，設EF與AD交于點G,求/DGE的度數.

針對訓練

7.如圖，在AABC中,NC=9C。.

(1)求作0O分別與AC,BC相切，使得圓心O落在AB上.(要求:尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，已知OA=I,OB=2,求tanB的值.

I針對訓練

8.（原創）如圖，在△ABC中,AB=AC,且AB>BC.

(1)求作△EDCgZXABC,使得點D在線段AB上，點E在直線AC右惻.(要求:尺規作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡)

(2)在⑴的條件下，延長CB至點P,使得BP=BC,連接DP,若AD=BD,求證:P,D,E三點共線.

針對訓練

9.如圖，已知NPAQ及AP邊上一點C.

(1)用無刻度直尺和圓規在射線AQ上求作點0,使得/C0Q=2NCAQ.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)的條件下，以點0為圓心，以0A的長為半徑的圓交射線AQ于點B,用無刻度直尺和圓規

在射線CP上求作點M,使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等.(保留作圖痕跡，不寫

作法)

⑶在⑴⑵的條件下，若sinAq,CM=12,求BM的長.

?針對訓練

10.如圖，在AABC中,AB=AC.

(1)在線段AC上求作點D,使點D到AB和BC的距離相等.(要求:尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕

跡)

(2)在(I)所作的圖形中，連接BD,若AD=BD,求NA的度數.

針對訓練

11.如圖，在RtAABC中,NBCA=90°,AD平分NBAC交BC于點D.

(1)尺規作圖:求作00,使得圓心O在AB上，且00經過A,D兩點.

(2)求證:直線BC是。。的切線.

參考答案

例1解析:(1)下圖即所求

⑵四邊形AECF是平行四邊形.理由如下:

VAB#CD,

???ZB=ZD,ZOAB=ZOCD.

又，.右菖口，

.,.△ABO^ACDO(ASA),

AOA=OC.

VAE1BD,CF1BD,

???AE〃CF,ZAEO=ZCFO=90°.

XVZAOE=ZCOF,

.,.△AOE^ACOF(AAS),

AAE=CF,

???四邊形AECF是平行四邊形.

針對訓練1.B

針對訓練2.解析:⑴如圖，點E即所求.

(2)??'BF〃AE,

,ZAEB=ZFBC,ZEAB=ZABF.

???BF是NABC的平分線，

AZFBC=ZABF,

AZAEB=ZEAB,

.\BE=AB=4.

根據平行線分線段成比例定理可知引魯懸w.

ACF.CKE4-K(.9

?.AF^ACV6=i.

針對訓練3.解析:(1)下圖即所求.

(2)AC=RP.

理由:「BQ=CP,，BQ+BP=CP+BP,.\QP=BC.

由作圖過程可知NPQM=NCBA,QR=AB,

/.△PQR^ACBA(SAS),:.AC=RP.

例2解析:⑴如圖，連接BI,作NDIB=NIBC,直線ID交AC于點E,則直線DE為所求.

(2)如圖，連接CL

VI是△ABC的內心，

ABI平分NABCCI平分/ACB,

,ZDBI=ZCBI,ZECI=ZBCI.

丁DE//BC,JZDIB=ZCBI,ZEIC=ZBCI,

/.ZDIB=ZDBI,ZEIC=ZECI,

.\DB=DI,EI=EC.

設BD=x，則DI=x,CE=EI=y-x.

VDE/7BC,ABD：BA=CE：CA,即x：6=y-x：8,解得x=2,

AAD-AB-BD-4.

VDE/7BC,A△ADE<^AABC,ADE：BC=AD:AB,即弓：BC=4:6,

解得BC=7,即BC的長為7.

針對訓練4.解析:分別作線段AB和線段AC的垂直平分線，交點分別為D和E,延長DE到

點F,使EF=DE,連接FC,如圖所示.

A

D/

???D,E分別是AB,AC的中點，

???AD=BD,AE=CE.

在AADE和ACFE中，

(AE=CE,

zAED=zCEF,

(DE=EF,

???△ADEg△CFE(SAS),

，NADE=NF,AD=CF,

???CF〃AB,CF=BD,

???四邊形BCFD是平行四邊形，

???DF=BC,DF〃BC,

ADE=4DF4BC.

22

針對訓練5.解析:⑴如圖,四邊形ABCD即所作.

(2)證明:=ZMON=90°,OM=ON,

ZOMN=ZONM=45°.

由作圖可得OA=OD,ZAOD=90°=ZMON,

AZMOA=ZNOD,

AAOAM^AODN,

AZOND=ZOMA=45O,

ZAND=ZOND+ZONM=450+45°=90°,

ADNIMN.

針對訓練6.解析:(1)如圖,AE即所求.

B

(2)證明:TAE平分/BAC,

.\ZBAE=ZDAE.

VAB=AD,AE=AE,

,△BAE絲△DAE(SAS),

ADE=BE.

例3解析:⑴如圖1,四邊形BCEF即所求.

(2)如圖2,取BF的中點T,連接CT,TE,設AD交CT于點J.

ZACB=ZACE=ZCAB=60°,CD=CE,

，AB〃CE.

VFT=CD,

.\EC=FT,

???四邊形ECTF是平行四:S形,

，EF〃CT,

AZDGE-ZCJD.

???△ABC是等邊三角形,

AC=BC,ZB=ZACD=60°.

VBF=2CD,BT=TF,

.\BT=CD.

在AACD和ACBT中,

AC=CB,

ZACD=ZCBT,

CD=BT,

/.△ACD^ACBT(SAS),

AZCAD=ZBCT,

ZCJD=ZCAD+ZACJ=ZBCT+ZACJ=60°,

ZDGE=ZCJD=60°.

針對訓練7.解析:(1)如圖，作NACB的平分線CO,交AB于點O,過點0作BC的垂線，垂足

為N,以點0為圓心QN的長為半徑畫圓，作OM_LAC于點M,

由作圖可得BC是。0的切線,

由角平分線的性質可得OM=ON,

???AC是。0的切線,

???。0即所求.

(2)由(1)得OM±AC,ON±BC,OM=ON.

,/NACB=90°,

又?.?OA=1,OB=2,

.SAAOCA°AC1

SABOCBOBC2’

?，

.?tanBD=—AC="1.

BC2

針對訓練8.解析:⑴如圖1,AEDC即所求.

圖I

(2)證明:如圖2,連接AE,PE,設PE與AB交于點D'.

VAABC^AEDC,

AAC=EC,ZACB=ZECD,

AZBCD=ZACE.

VAB=AC,AZABC=ZACB,AB=EC,

.,.ZBAC=180°-2ZABC.

VCB=CD,AZCBD=ZCDB,

/.NBCD=18(r-2/CBD,，ZBAC=ZBCD,

/.ZBAC=ZACE.

又AC=CA,ABAC^AECA(SAS),

/.ZACB=ZCAE,BC=AE,AAE/7BC,

/AED，=NP,NEAD』NPBD.

?/BP=BC,BC=AE,/.AE=BP,

???AAD^^ABD'PCASA),???AD'=BD',

是線段AB的中點.

:D是線段AB的中點，

???D：D為同一個點，

??.P,D,E三點共線.

針對訓練9.解析:(1)(作法不唯一)如圖1,

/.ZC0Q=2ZCAQ;

點0即所求

(2)如圖2,連接BC,以點B為圓心，以BC的長為半徑畫弧交AQ于點Bi,以點Bi為圓心，以任

意長為半徑畫弧交AQ于點G,Di,分別以點G,Di為圓心，以大于的長為半徑畫弧.交于

點Fi,連接BiFi并延長交AP于點M.

VAB是直徑,

/.ZACB=90°,BPBC1AP,

根據作圖可得BC產BQi,CFi=DR,

.?.MB」AQ即NMBiB=90°,MB1是點M到AQ的距離.

VBC=BBi,

/.RlABCM^RtABBiM(HL),

ACM=BiM,

點M即所求.

(3)如圖3,根據作圖可得NCOQ=2NCAQ,MC=MW=12,MW_LAQ,連接BC,