專題04 一次函數定義與圖象的學習秘籍（解析版）-初中數學一次函數專題精.編講義

專題04一次函數定義與圖象的“學習秘籍”一、知識點綜述與剖析1.定義一般地，形如y=kx+b（k≠0）的函數是一次函數.注意：①k是不為0的常數；②x的指數為1；③b值為任意實數，b=0時，為正比例函數.2.圖象及性質性質：①k>0時，y隨x的增大而增大，圖象從左到右是上升的；②k<0時，y隨x的增大而減小，圖象從左到右是下降的.3.如何快速畫圖根據一次函數圖象的形狀（一條直線），確定兩點點連線即可（兩點確定一條直線），通常選取(0，b)點和點.4.k值的意義k值決定著正比例函數的傾斜程度，|k|越大，圖象越靠近y軸，即傾斜程度越大.5.b值的意義b值是一次函數與y軸交點的縱坐標，b>0時，一次函數與y軸交于正半軸；b<0，一次函數與y軸交于負半軸；b=0，一次函數與y軸交于坐標原點.6.特殊的k值k值圖象－1－1－7.特殊的位置關系一次函數、（1）若；（2）若；（3）若；（4）若.8.一次函數平移規律“左加右減，上加下減”例：y=kx+b，向左平移a個單位（a>0），得到y=k（x+a）+b；向右平移a個單位（a>0），得到y=k（x－a）+b；向上平移a個單位（a>0），得到y=kx+b+a；向下平移a個單位（a>0），得到y=kx+b－a.二、典型習題解析題1.（1）若式子eq\r(,k－1)＋(k－1)0有意義，則一次函數y＝(k－1)x＋1－k的圖象可能是()（2）若直線y＝kx＋k＋1經過點(m，n＋3)和(m＋1，2n－1)，且0＜k＜2，則n的值可以是()A．3 B．4 C．5 D．6（3）把直線y＝－x－3向上平移m個單位后，與直線y＝2x＋4的交點在第二象限，則m的取值范圍是()A．1<m<7 B．3<m<4 C．m>1 D．m<4（4）設點(－1，m)和點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n))是直線y＝(k2－1)x＋b(0＜k＜1)上的兩個點，則m、n的大小關系為________．（5）已知點(－1，y1)，(4，y2)在一次函數y＝3x－2的圖象上，則y1，y2，0的大小關系是()A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1（6）如果通過平移直線得到的圖象，那么直線必須（）．A．向上平移5個單位 B．向下平移5個單位C．向上平移個單位D．向下平移個單位（7）如果點P（a，b）關于x軸的對稱點在第三象限，那么直線的圖象不經過（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】(1)A；(2)C；（3）A；（4）m>n；（5）B；（6）C；（7）C.【解析】解：（1）由題意知：，解得：k>1，所以一次函數y＝(k－1)x＋1－k中，k－1>0，1－k<0，函數圖象經過一、三、四象限，故答案為A.(2)因為直線y＝kx＋k＋1經過點(m，n＋3)和(m＋1，2n－1)所以，解得：因為0＜k＜2，所以0＜n－4＜2，即4<n<6，所以答案為：C.(3)直線y＝－x－3向上平移m個單位后的解析式為y＝－x－3+m，聯立y＝－x－3+m，y＝2x＋4，解得：，因為交點在第二象限，所以，解得：1<m<7，故答案為:A.(4)因為0＜k＜1，所以k2－1<0，所以y隨x的增大而減小，因為點(－1，m)和點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n))是直線y＝(k2－1)x＋b上的兩個點，所以m>n.（5）因為點(－1，y1)，(4，y2)在一次函數y＝3x－2的圖象上，所以y1=－5，y2=10，故答案為：B.(6)因為，是由的圖象向上平移個單位得到，所以選C.（7）因為點P（a，b）關于x軸的對稱點在第三象限，所以a<0，b>0，所以直線的圖象過一、二、四象限，不經過第三象限，故答案為：C.題2.已知函數y＝(2m＋1)x＋m＋2.(1)若函數圖象經過原點，求m的值；(2)若該一次函數中y隨著x的增大而減小，且它的圖象與y軸的交點在x軸的上方，求整數m的值．【答案】見解析.【解析】解：(1)∵函數圖象經過原點，∴m＋2＝0，∴m＝－2.(2)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋1<0，,m＋2>0，))解得－2<m<－eq\f(1,2)，∵m為整數，∴m＝－1.題3.李老師開車從甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y(升)與行駛里程x(千米)是一次函數關系,其圖象如圖3-1所示,那么到達乙地時油箱剩余油量是升.

圖3-1【答案】20.【解析】解：設函數解析式為y=kx+b(k≠0).將(0,35),(160,25)代入得：，解得，所以，當x=240時，y=20，即到達乙地時油箱剩余油量是20升.故答案為：20.題4.下圖中表示一次函數y=mx+n與正比例函數y=mnx(m、n是常數,且mn≠0)的圖象的是()【答案】C.【解析】解：一次函數y=mx+n的圖象不過原點，正比例函數y=mnx的圖象過原點.當m>0，n>0時，mn>0，y=mnx的圖象經過一、三象限，A錯誤；當m>0，n<0時，mn<0，y=mnx的圖象經過二、四象限，B錯誤；當m<0，n>0時，mn<0，y=mnx的圖象經過二、四象限，C正確、D錯誤.故答案為：C.題5.一次函數y=3x+b的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積是24，求b.【答案】見解析.【解析】解：一次函數y=3x+b的圖象與y軸的交點坐標為(0,b)，與x軸的交點坐標為，則一次函數圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積是：，即：得b=±12.即b的值為12或－12.題6.在平面直角坐標系xOy中,點A、B的坐標分別為(3,n),(3,n+2),直線y=2x+b與線段AB有公共點,則b的取值范圍為(用含m的代數式表示).

【答案】n－6≤b≤n－4.【解析】解：將A(3,n)、(3,n+2)分別代入y=2x+b中,得：b=n－6和b=n－4，則b的值就在這兩個值之間，因為n－6<n－4，故答案為：n-6≤b≤n-4.題7.一次函數y=(m－2)x+m2－1的圖象經過點A(0，3).(1)求m的值，并寫出函數解析式;(2)若(1)中的函數圖象與x軸交于點B,直線y=(n+2)x+n2－1也經過點A(0,3)，且與x軸交于點C,求線段BC的長.【答案】見解析.【解析】解：(1)由題意得m2-1=3，所以m=±2.又m-2≠0,即m≠2,所以m=-2,所以y=-4x+3.(2)由y=－4x+3可得B點坐標為，因為直線y=(n+2)x+n2－1經過點A(0，3)，所以n2－1=3，所以n=±2.又n+2≠0，即n≠－2，所以n=2.所以y=4x+3，所以C點坐標為.所以BC=.題8.一輛慢車與一輛快車分別從甲、乙兩地同時出發，勻速相向而行，兩車在途中相遇后都停留一段時間，然后分別按原速一同駛往甲地后停車．設慢車行駛的時間為x小時，兩車之間的距離為y千米，圖8-1中折線表示y與x之間的函數圖象，請根據圖象解決下列問題：（1）甲乙兩地之間的距離為千米；（2）求快車和慢車的速度；（3）求線段DE所表示的y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）560；（2）（3）問見解析.【解析】解：(1)由題意及圖象可以得知：甲乙兩地之間的距離為560千米（2）由題意可得出：慢車往返分別用了4小時，慢車行駛4小時的距離，快車3小時即可行駛完，∴設慢車速度為3xkm/h，則快車速度為4xkm/h，∵由題意可得出：快車行駛全程用了7小時，∴快車速度為：560÷7=80（km/h），∴慢車速度為：80×=60（km/h）.（3）由題意可得出：當行駛7小時后，慢車距離甲地60km∴D（8，60），∵慢車往返各需4小時，∴E（9，0），設DE的解析式為：y=kx+b，∴，解得：．∴線段DE所表示的y與x之間的函數關系式為：y=﹣60x+540（8≤x≤9）．題9.在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx＋b(k，b都是常數，且k≠0)的圖象經過點(1，0)和(0，2)．(1)當－2＜x≤3時，求y的取值范圍；(2)已知點P(m，n)在該函數的圖象上，且m－n＝4，求點P的坐標.【答案】見解析.【解析】解：因為一次函數y＝kx＋b的圖象經過點(1，0)和(0，2)，所以，解得：，一次函數的解析式為：y=－2x+2.（1）在y=－2x+2中，因為－2<0，所以y隨x的增大而減小，當－2＜x≤3時，－4≤y<6.（2）由題意得：，解得：即P點坐標為（2，－2）.題10.如圖10-1所示,直線與x軸,y軸分別交于點A和點B,點C,D分別為線段AB,OB的中點,點P為OA上一動點,當PC+PD最小時,求點P的坐標.圖10-1【答案】見解析.【解析】解：作點D關于x軸的對稱點D'，連接CD'交x軸于點P，此時PC+PD值最小，如圖10-2所示.圖10-2在中,令x=0,則y=4,∴點B的坐標為(0,4).在中,令y=0,則x=-6,∴點A的坐標為(-6,0).∵點C、D分別為線段AB、OB的中點，∴點C(-3，2)，點D(0，2).∵點D'和點D關于x軸對稱，∴點D'的坐標為(0，-2).設直線CD'的解析式為y=kx+b，∵直線CD'過點C(-3，2)，D'(0，-2)，∴，解得，∴直線CD'的解析式為.在中,令y=0,則x=,∴點P的坐標為.題11.如圖是一種斜挎包,其挎帶由雙層部分、單層部分和調節扣構成.小敏用后發現,通過調節扣加長或縮短單層部分的長度,可以使挎帶的長度(單層部分與雙層部分的長度的和,其中調節扣所占的長度忽略不計)加長或縮短.設單層部分的長度為xcm,雙層部分的長度為ycm,經測量,得到如下數據:(8分)單層部分的長度x(cm)…46810…150雙層部分的長度y(cm)…737271…(1)根據表中數據的規律，完成以上表格，并直接寫出y關于x的函數解析式;(2)根據小敏的身高和習慣，挎帶的長度為120cm時，背起來正合適