MAT軟件基礎及應用 5

第八章MATLAB在信號與系統中的應用8.1信號的產生和運算8.2線性系統的時域分析8.3傅立葉分析8.4離散系統的響應8.1信號的產生和運算

8.1.1信號的產生信號名函數名舉例方波square(t)%產生周期為2π的方波square(t,d)%產生占空比為d的方波x=square(0:0.1:4*pi,30);%占空比為30%的方波plot(0:0.1:4*pi,x)非周期方波y=recpuls(t,[w])%產生幅值為1，寬度為w的矩形波x=rectpuls(-1:0.1:1)%產生寬度為1的方波plot(x)抽樣信號sinc(x)%產生抽樣信號sin(πx)/πx

x=sinc(-5:0.1:5)%產生100HZ抽樣信號plot(x)三角波sawtooth(t)%產生周期為2π的三角波sawtooth(t,m)%產生周期為[02π*m]的三角波x=sawtooth(-10:0.1:10,0);%產生周期為2π的三角波plot(-10:0.1:10,x)非周期三角波tripuls(t[,w][,s])%產生最大幅度為1，以t=0為中心寬度為w的三角波x=tripuls(-10:0.1:10,6)%產生寬度為6三角波plot(-10:0.1:10,x)高斯噪聲信號wgn(m,n,p)%產生m*n的高斯噪聲信號，噪聲樣本功率電源為px=wgn(1000,1,0)%產生高斯白噪聲信號plot(x)掃頻信號chirp(t,to,t1,f1)%產生余弦掃頻信號，f0為初始頻率，f1為t1時刻的頻率x=chirp(0:0.001:1,1e-3,1,50);%t=0時初始頻率為1e-3，t1=1時頻率為50HZplot(0:0.001:1,x)

2.Simulink中的常用信號模塊模塊名功能Band-LimitedWhiteNoise產生連續系統中的寬帶限幅白噪聲信號ChirpSignal產生掃頻信號（chirp）PulseGenerator脈沖發生器可以產生不同頻率的一系列脈沖信號Ramp產生斜坡信號RepeatingSequence產生任意形狀的周期信號RepeatingSequenceInterpolated產生離散時間序列并重復SignalGenerate信號發生器產生正弦波、方波、鋸齒波和隨即波WaveformGenerator波形發生器產生包括常量、高斯噪聲、脈沖、鋸齒波、正弦波、方波、階躍等各種信號8.1.2信號的基本運算

1.信號的相加和相乘【例8_2】用波形顯示兩個信號的加法sin?(2πt)+sin?(8πt)和乘法sin?(2πt)?sin?(8πt)，波形圖如圖所示。>>t=0:0.01:1;>>y=sin(2*pi*t)+sin(2*pi*8*t);>>subplot(2,1,1)>>plot(t,y,t,sin(2*pi*t),t,sin(2*pi*8*t)) %畫三條曲線>>holdon>>plot(t,sin(2*pi*t)+1,'b:') %畫上包絡線>>plot(t,sin(2*pi*t)-1,'b:') %畫下包絡線>>subplot(2,1,2)>>plot(t,-sin(2*pi*t),'b:') %畫下包絡線>>y1=sin(2*pi*t).*sin(2*pi*8*t);>>holdon>>plot(t,y1,t,sin(2*pi*t),t,sin(2*pi*8*t))%畫三條曲線2.信號的反褶、尺度變換和平移【例8_3】將三角波信號f(t)進行運算，變換成f1(t)=f(3t-2)，曲線轉換過程如圖8_7所示。>>t=-3:0.001:3;>>f=tripuls(t,4,0.5); %產生三角波f(t)>>holdon>>subplot(3,1,1)>>plot(t,f);>>subplot(3,1,2)>>f0=tripuls(3*t,4,0.5); %產生尺度變換三角波f(3t)>>plot(t,f0)>>subplot(3,1,3)>>f1=tripuls(3*t-2,4,0.5); %產生尺度變換三角波f(3t-2)>>plot(t,f1)8.2線性系統的時域分析

8.2.1線性時不變系統的零輸入響應線性時不變系統的零輸入響應計算步驟：（1）根據特征方程解方程的齊次解；（2）計算待定系數AMATLAB提供了vander函數，用來產生范德孟德矩陣，其語法格式為：A=vander(v)說明：產生范德孟德矩陣，每列按v的升冪排列，v是列向量，A矩陣的元素為A(i,j)=v(i)^(n-j)。8.1.3信號的分解與合成

【例8_4】將信號f(t)進行分解為偶分量和奇分量，f(t)的波形如圖所示，經過分解后的圖形如圖8-5所示，圖中下面兩個曲線fo(t)是奇分量fe(t)是偶分量。f(t)的表達式為：f(t)=[u(t)-u(t-1)]-1/2(t-3)[u(t-1)-u(t-3)]t=-4:0.01:4;%生成f(t)表達式fhnd1=@(t)(heaviside(t)-heaviside(t-1)+(-1/2)*(t-3).*(heaviside(t-1)-heaviside(t-3)));f_t=fhnd1(t);f_nt=fhnd1(-t); %f(t)和f(-t) fo=(1/2)*(f_t-f_nt); %計算奇分量fe=(1/2)*(f_t+f_nt); %計算偶分量subplot(3,1,1)plot(t,f_t);title('f(t)')axis([-4,4,min(f_t)-0.05*(max(f_t)-min(f_t)),max(f_t)+0.05*(max(f_t)-min(f_t))])subplot(3,1,2)plot(t,fo);title('fo(t)')

【例8_5】將各次諧波合成為周期矩形脈沖信號，采用Simulink仿真實現，觀測信號合成中的逼近和失真問題。8.2.1線性系統的時域響應（1）系統全響應可以分為齊次解與特解，按照線性定常系統微分方程的解法可以得出：全響應=齊次解（自由響應）+特解（強迫響應）。從系統分析的角度，線性定常系統的特征方程根決定了系統自由響應的形式，自由響應可以運用MATLAB解微分方程齊次解；強迫響應只與激勵函數的形式有關。（2）根據激勵信號和系統初始狀態可以得出：全響應=零輸入響應+零狀態響應。1.系統的零輸入響應線性時不變系統的零輸入響應是指輸入為0，而由系統的初始狀態（儲能）產生的響應。【例8_6】已知y(0)=2，y’(0)=-1，描述某線性系統的微分方程為：，求解零輸入響應。>>a=input('Inputcoefficient='); %輸入系統參數Inputdenominatorcoefficient=[156]>>n=length(a)-1;>>y0=input('InputInitialState='); %輸入初始狀態InputInitialState=[2-1]>>p=roots(a) %求特征根>>v=rot90(vander(p)); %得出范德孟德矩陣v=11-3-2>>A=v\y0' %計算待定系數A=-3.0005．000>>y=0;>>t=0:0.2:10;>>fork=1:n %繪制零輸入響應曲線y=A(k)*exp(p(k)*t)+y>>end>>clear>>symsy(t);Dy=diff(y,t);>>yt=dsolve(diff(y,t,2)+5*diff(y,t)+6*y(t)==2*exp(-t)) %非齊次方程通解yt=exp(-t)+C1*exp(-3*t)+C2*exp(-2*t)>>C2=0;C3=0;ypt=subs(yt) %特解即強迫響應>>y=dsolve(diff(y,t,2)+5*diff(y,t)+6*y(t)==2*exp(-t),y(0)==2,Dy(0)==-1) %系統的全響應y=exp(-3*t)*(exp(2*t)+3*exp(t)-2)>>yht=y-ypt %系統的自由響應yht=exp(-3*t)*(exp(2*t)+3*exp(t)-2)-exp(-t)>>figure(1);ezplot(y,[03]) %繪制全響應,強迫響應,自由響應>>holdon>>ezplot(ypt,[03]).ezplot(yht,[03])>>axis([0303])；title('全響應,強迫響應,自由響應')【例8_7】已知y(0)=2，y’(0)=-1，f(t)=e-t，描述某線性系統的微分方程為：。求該系統的零輸入響應、零狀態響應、自由響應、強迫響應和全響應。2.系統的全響應系統的全響應可以表示為零輸入響應+零狀態響應，也可以表示為自由響應+強迫響應。>>symsy(t);Dy=diff(y,t);>>yzi=dsolve(diff(y,t,2)+5*diff(y,t)+6*y(t)==2*exp(-t),y(0)==2,Dy(0)==-1)%系統零輸入響應yzi=exp(-3*t)*(exp(2*t)+3*exp(t)-2)>>yzs=dsolve(diff(y,t,2)+5*diff(y,t)+6*y(t)==2*exp(-t),y(0)==0,Dy(0)==0)%系統零狀態響應yzs=exp(-3*t)*(exp(2*t)-2*exp(t)+1)>>y=yzi+yzs%系統的全響應y=exp(-3*t)*(exp(2*t)-2*exp(t)+1)+exp(-3*t)*(exp(2*t)+3*exp(t)>>figure(2);ezplot(y,[03])>>holdon>>ezplot(yzi,[03]);ezplot(yzs,[03])>>axis([0303]);title('全響應,零輸入響應,零狀態響應')8.2.2用卷積計算線性時不變系統的時域響應

【例8_10】計算兩個函數f1(t)和f2(t)的卷積，其中f1(t)和f2(t)的波形圖如圖所示。>>clear>>dt=0.01;>>t=-1:dt:5; %橫坐標t范圍>>L=length(t);>>f1=2*rectpuls(t-0.25,3/2); %產生矩形波f1(t)>>subplot(3,1,1)>>plot(t,f1)>>axis([-1503])>>subplot(3,1,2)>>f2=t.*rectpuls(t-0.5,2).*(t>0&t<2); %產生f2(t)>>plot(t,f2)>>f=conv(f1,f2); %計算卷積>>subplot(3,1,3)>>tf=[2*t(1):dt:2*t(L)] %橫坐標范圍擴大一倍>>plot(tf,f)

8.2.3電網絡的時域分析

8.3.1信號的合成

周期函數都是由三角函數的線性組合來表示，周期信號可以表示為：偶函數的傅立葉級數中不會含有正弦項b_nsin?(nω_1t)，只有直流項a_0和余弦項a_ncos?(nω_1t)。奇函數的傅立葉級數中不會含有余弦項a_ncos?(nω_1t)，只可能包含正弦項b_nsin?(nω_1t)。奇諧函數的傅立葉級數中只會含有基波和奇次諧波的正弦項、余弦項，而不會含有偶次諧波項。方波信號可以分解成奇次正弦信號之和，方波信號如圖8_13所示，可以表示為：【例8_12】根據各次諧波合成方波信號，觀察不同信號合成的結果，并使用三維曲面繪制合成的信號，各諧波疊加波形圖如圖所示。>>t=0:0.01:3*pi;>>subplot(2,3,1)>>y1=sin(t);>>y3=sin(3*t);>>plot(t,y1+1/3*y3) %1,3次諧波疊加>>subplot(2,3,2)>>y5=sin(5*t);>>plot(t,y1+1/3*y3+1/5*y5) %1,3,5次諧波疊加>>subplot(2,3,3)>>y7=sin(7*t);>>plot(t,y1+1/3*y3+1/5*y5+1/7*y7) %1,3,5,7次諧波疊加>>subplot(2,3,4)>>plot(t,y1+1/5*y5+1/7*y7) %1,5,7次諧波疊加>>subplot(2,3,5)>>plot(t,y1-1/3*y3+1/5*y5+1/7*y7) %1,5,7次諧波與反相的3次諧波疊加>>subplot(2,3,6)>>mesh(t,1:4,[y1;y1+1/3*y3;y1+1/3*y3+1/5*y5;y1+1/3*y3+1/5*y5+1/7*y7])8.3傅立葉分析

8.3.1非周期信號的傅立葉變換【例8_11】矩形信號的傅立葉變換是抽樣函數，矩形信號為：y(t)=E[u(t+τ/2)-u(t+τ/2)]其傅立葉表達式為F(ω)=EτSa(ωτ/2)，矩形信號與抽樣函數的波形如圖8_15（a）和（b）所示。Sa(ωτ/2)=(sin?(ωτ/2))/(ωτ/2)=(2sin?(ωτ/2))/ωτ>>symsttaoyE>>y=E*(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2)); %矩形信號>>F=fourier(y) %傅立葉變換F=E*((cos((tao*w)/2)*i+sin((tao*w)/2))/w-(cos((tao*w)/2)*i-sin((tao*w)/2))/w)>>F=simple(F) %簡化表達式F=(2*E*sin((tao*w)/2))/w>>F=subs(F,tao,2); %將tao用2代替>>F=subs(F,E,1) %將E用1代替F=(2*sin(w))/w8.3.1周期信號的傅立葉級數

周期信號的傅立葉級數可以用指數形式來表示，其幅度譜和相位譜是相對于縱軸左右對稱的。【例8_12】繪制一個對稱方波的三角函數頻譜，已知其周期T=1，幅值E=1，方波信號的時域圖如圖8_17(a)所示。>>T=1;E=1;>>w1=2*pi/T;>>N=1000;>>t=linspace(-T/2,T/2-T/N,N)';>>f=-E/2*ones(1,N);>>f(t>-T/4&t<T/4)=E/2; %產生方波信號(-T/4,T/4)之間為1/2>>n=10;>>k=[-n:n]'; %取21個點>>F=1/N*exp(-j*kron(k*w1,t.'))*f'; %計算F>>stem(k,F) %繪制離散火柴桿圖8.3.3調制與解調1.調制調制作用的實質是把各種信號的頻譜搬移，使它們互不重疊地占據不同的頻率范圍，即信號分別依托于不同頻率的載波上，解決一個信道中傳輸多對通話，實現“多路復用”。調制即兩個信號相乘，g(t)稱為基帶信號，cos?(ω_0t)是高頻載波信號：

根據卷積定理，得出調制后的信號f(t)的頻譜F(ω)為：

8.3.4濾波器濾波器有模擬濾波器和數字濾波器兩種。濾波器按頻率通過的范圍可以分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器、全通濾波器等。1.模擬濾波器常用的模擬低通濾波器有巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)等類型。【例8-13】設計一個模擬切比雪夫(Chebyshev)Ⅰ型低通濾波器，要求滿足這些指標：通帶截止頻率ωc=50rad/s，阻帶截止頻率??s=100rad/s，通帶幅值最大衰減Ap=1dB，阻帶幅值最大衰減As=20dB。>>wc=50;ws=100;Ap=1;As=20;>>[n,wc]=cheb1ord(wc,ws,Ap,As,'s'); %設計低通濾波器階次及截止頻率>>[num,den]=cheby1(n,Ap,wc,'s')num=1.0e+04*0006.1413den=1.0e+04*0.00010.00490.30966.1413>>bode(num,den);title('LowpassFilter') %繪制低通濾波器bode圖【例8-14】將例8-13中的切比雪夫Ⅰ型低通濾波器用Simulink有源電網絡實現，電路由一階濾波器、放大增益和二階濾波器三部分組成。

（2）IIR數字濾波器的設計【例8_16】設計滿足指標的IIR低通濾波器，??p=0.1πrad/s，??s=0.4πrad/s，通帶幅值最大衰減Ap=1dB，阻帶幅值最大衰減As=20dB，采用脈沖響應不變法來設計IIR低通濾波器。>>Wp=0.1*pi;Ws=0.4*pi;Ap=1;As=20;fs=1; %數字濾波器性能指標和抽樣頻率>>wp1=Wp*fs;ws1=Ws*fs; %脈沖響應不變法的模擬濾波器指標>>[n1,wc1]=cheb1ord(wp1,ws1,Ap,As,'s'); %設計濾波器的階次及截止頻率>>[num1,den1]=cheby1(n1,Ap,wc1,'s'); %設計切比雪夫Ⅰ型模擬濾波器num1=000.0970den1=1.00000.34490.1088>>[numd1,dend1]=impinvar(num1,den1,fs); %用脈沖響應不變法轉換為數字濾波器numd1=00.08050dend1=1.0000-1.61710.7083>>w=linspace(0,0.5*pi,512); >>h1=freqz(numd1,dend1,w); %濾波器的頻率特性>>norm1=max(abs(h1)); %幅值歸一化參數>>plot(w,20*log10(abs(h1)/norm1)),title('幅頻特性') %繪制頻率特性曲線3.濾波器可視化工具>>h=designfilt %打開濾波器可視化工具窗口8.4離散系統的響應1.求解差分方程MATLA