知識6 概率與統計-2026年高考數學二輪復習

6.概率與統計

囪回歸教材

1.分類加法計數原理、分步乘法計數原理

(1)分類加法計數原理：完成一件事共有〃類辦法，關鍵詞是“分類”.每類辦法中分別有如，〃”，…，加〃

種方法，且每種方法都能獨立地完成這件事，每種方法得到的都是最后結果，只需一種方法就可完成這件

事，那么完成這件事共有加1+加2+，-〃?”種方法：

(2)分步乘法計數原理：完成一件事共有〃個步驟，關鍵詞是“分步”.每個步驟中分別有加，〃。…，加〃

種方法，除最后一步外，其他每步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步

也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，那么完成這件事共有如?”/想種

方法.

2.排列與排列數

(1)排列：一般地，從〃個不同元素中取出加(〃?<〃)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同

元素中取出m個元素的一個排列.

(2)排列數：從〃個不同元素中取出加(加W〃)個元素的所有不同排列的個數，叫做從〃個不同元素中取出m

個元索的排列數，用符號表示.

(3)排列數公式：〃￡N*,且

(n—m)!

3.組合與組合數

(1)組合：一般地，從〃個不同元素中取出〃7(〃?<〃)個元素作為一組，叫做從〃個不同元素中取出〃?個元素

的一個組合；

(2)組合數：從〃個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從〃個不同元素中取出m

個元素的組合數，用符號表示；

(3)組合數公式：(￡](用,且

(4)組合數的性質:①F+Cp.

4.二項式定理

(。+匕片…+c〃"-%斗…+加以〃eN)

這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做伍+3"的二項展開式，其中各項的系數C<(QO,1,2,…，〃)

叫做二項式系數.式中的比貯”叫做二項展開式的通項，用A”表示，即展開式的第％+1項：7k尸〃一式.

5.二項式系數的性質

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即卯三就一嗎

(2)增減性與最大值：二項式系數先增后減，中間一項或兩項的二項式系數最大.二項式系數為C3當上等

時，隙隨/,的增加而增大；由對稱性知，二項式系數的后半部分，3隨A的增加而減小.

當〃是偶數時，中間的一項4取得最大值；

兀-1n+1

當〃是奇數時，中間的兩項cL和c1相等，且同時取得最大值.

(3)各二項式系數的和

(a+b)"的展開式的各二項式系數的和等于2〃，即墨+C升鬣+…+《+…+G；=￡.

二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即

%+舟舟…=C牡髭+第+…=紀.

6.概率的計算公式

(1)古典概型的概率計算公式

W八—事件4包含的樣本點個數

”(力)樣本空間包含的樣本點個數.

(2)互斥事件的概率計算公式

P(AUB)=P(4)+P(B).

(3)對立事件的概率計算公式

P(A)=]-P(/i).

(4)條件概率公式

尸30)=PSB)

P(A)

(5)概率的乘法公式

P(AB}=P(A}P(B\A}.

(6)事釁的相互獨立性

①兩個事件相互獨立：對任意事件4與&。力0=事力)尸(8)0事件/(與事件8相互獨立：

②相互獨立的性質：如果事件/與8相互獨立，那么彳與反N與B,彳與豆也都相互獨立.

(7)全暇率公式

n

P(B)=ZP(A"(BW1

i=1

(4,生,…,4是一組兩兩互斥的事件,JiUJ2U??-UAfl=Q).

?(8)貝葉斯公式

P(4)P(8|4)

P(4田尸

P(B)

丹再口片1,2,…，初

￡P(4)P(陰4)

k=l

7.統計中四個數據特征

⑴眾數：

①在樣本數據中，出現次數最多的那個數據.

②頻率分布直方圖中，眾數是最高矩形的底邊中點的橫坐標.

(2)中位數：在樣本數據中，將數據按從小到大(或從大到小)的順序排列，位于中間的那個數據.如果數據的

個數為偶數，就取中間兩個數據的平均數作為中位數.

(3)樣本均值與方差

n

均值：一個容量為〃的樣本，它的變量值分別為XI，X2,…，羽，則均值(平均數后燈+可…z方；

ni=1

n

方差：一個容量為〃的樣本，它的變量值分別為加，X2,…，X”,均值為K則方差s2q2(々一土)2,標

2

準差$=32(xt-X).

>1i=1

(4)百分位數

計算一組.〃個數據的第p百分位數的步驟

①按從小到大排列原始數據.

②計算i=nXp%.

若，不是整數，大于，的比鄰整數為則第〃百分位數為第./項數據;

若，?是整數，則第p百分位數為第，項與第/+1項數據的平均數.

8.頻率分布表、頻率分布直方圖及其相關的計算

由頻率分布表或頻率分布直方圖進行有關計算時，要掌握下列結論

①小長方形的面積=組距X,頻塞.

②各小長方形的面積之和等于1.

③7整=頻率，可變形為粵樣本量，樣本量X頻率=頻數.

④頻率分布直方圖中第2白分位數的計算方法

而閔蘇[(h+九)(b-a)Vp%,

Tr

劃因'l(h+n+m)(b-a)>p%,

則第〃百分位數落在區間口，與內，且第p百分位數為“%-(?)嶺)

9.離散型隨機變量的均值和方差

(1)均值和方差的定義：

若離散型隨機變量X的分布列如表所示，

???

XX\X2Xn

???

pPiP2P〃

nn

則隨機變量X的均值現￥)=E秘,，方差。(㈤=E(H)-(現￥)產￡[(々-9⑶產外

i=1i=1

(2)均值和方差的性質：E(aX+b]=aE(X)+b,D(aX+b]=a2D(X).

10.兩點分布

若一次試驗只有兩個可能結果，分別稱為“成功”（概率為P）、“失敗”（概率為1-P）,這樣的試驗稱為伯

努利試驗，用隨機變量X表示試驗的結果，則X服從參數為〃的兩點分布，其分布列為

X10

PPl?p

其仇v）=0

11.二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設每次試驗中事件力發生的概也為〃（0加1）,用X表示事件力發生的次數,

則X服從參數為〃，p的二項分布，記為X?p）,P（六〃）=C"（l-〃）M（Q0,1,2,…，〃），其分布列為

X01???k???n

加c)C)c豺

P??????

(1-獷(1-P嚴'(10。

其E(X)=n]),D(X)=n/)(1-7?).

12.超幾何分布

假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取〃件（不放回），用X表示抽取的〃件產

品中的次品數，則X服從參數為M〃，〃的超幾何分布，且尸0=〃）=%2，

max[0,n—(/V—M)}W4Wmin{幾M],其分布列為

X01???k???

pnplpn-1pkpn-k

P??????

其歐耳.

13.正態分布

（1）正態曲線的定義

函數遂x尸島eF-，x*R（其中/PR,80為參數），其圖象為正態密度曲線'簡稱正態曲線.

Q）正杰曲線的特點

①曲線位于x軸上方與x軸不相交；

②曲線是單峰的，它關于直線曰對稱；

③曲線在3處達到峰值島；

④曲線與X軸之間的區域的面積為1；

⑤當L定時，曲線的位置由〃確定，曲線隨著良的變化而沿X軸平移;

⑥當4一定時，曲線的形狀由O確定，

。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中;

。越人，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

(3)正態分布

若隨機變量X的概率分布密度函數為/(x),則稱隨機變量X服從

定義

正態分布，記為X~N(ju,標).

①尸(〃-0WXW〃+°)P0.6827；

三個常

②尸0-2bWXW〃+2)K0.9545；

用數據

③PQ/-3bWX0/+3n戶0.9973.

14.一元線性回歸模型

(1)經臉回歸方程(經驗回歸函數或經驗回歸公式)信瓜+2一定過點叵，y),

<nn

s

A(x-x)(y-y)Zxiy-ixxy

h—i=l________________

u-n-—n/

其中《s(Xi-x)2sx^-rix2

i=lJ5I

A_A_

a=y—bx.

(2)樣本相關系數,?具有如下性質：

①I仔1；

②M越接近于1,成對樣本數據的線性相關程度越強；

③，|越接近于0,成對樣本數據的線性相關程度越弱.

15.獨立性檢驗

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利用隨機變量犬=n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(〃="b+c+d)的取值推斷分類變量丫和丫是否獨立的方法稱為好獨立性檢驗

囪易錯提醒

1.關于兩個計數原理應用的注意事項

分類加法計數原理和分步乘法計數原理，都是關于做一件事的大同方法的種數的問題的計算方法，區別在

于：分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件

事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.

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