人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè) 古典概型【原卷+答案】

第十章10.1.3古典概型

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

1.標(biāo)有數(shù)字12345的卡片各一張，從這5張卡片中隨機(jī)抽取1張,不放回地再隨機(jī)抽取

1張，則抽取的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）

2.下列試驗(yàn)是古典概型的是（）

A.種下一粒大豆觀察它是否發(fā)芽

B.從規(guī)格直徑為（250±0.6）mm的一批產(chǎn)品中任意抽一根，測(cè)量其直徑

C.拋一枚硬幣，觀察其正面或反面出現(xiàn)的情況

D.某人射擊中靶或不中靶

3.在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,345的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全

相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是（）

4.從1,234中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是（）

5.在246,8四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為4,再在剩余的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)

記為仇則R是整數(shù)”的概率為（）

0

6.算盤起源于中國(guó)，迄今已有2600多年的歷史，是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具現(xiàn)有一種算盤（如

圖1）,共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5,梁下

五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）.如果撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠,

則表示的數(shù)字大于50的概率為（）

7.有5張卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,345,從中任取2張，則

（1）卡片上數(shù)字全是奇數(shù)的概率為;

（2）卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為.

8.將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為〃?,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為

〃，向量p=（/〃,〃）,q=（2,6）,求向量p與q共線的概率.

9.現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位:m）分別為2.5,2.6,2.7,2.829,若從中一次隨機(jī)抽取2根

竹竿，求它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率.

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

10.（多選題）下列試驗(yàn)是古典概型的是（）

A.在適宜的條件下種一粒種子，種子發(fā)芽的概率

B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球?yàn)榘浊虻母?/p>

率

C.向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn),該點(diǎn)落在圓心的概率

D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言.甲被選中的概率

11.（多選題）已知某養(yǎng)老院75歲及以上的老人占60%,75歲以下的老人中,需要有人全天

候陪同的占10%；75歲及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%.如果從該養(yǎng)老院

隨機(jī)抽取一位老人,則以下結(jié)論中，正確的是（）

A.抽到的老人年齡在75歲以下的概率為35%

B.抽到的老人需要有人全天候陪同的概率為22%

C.抽到的老人年齡在75歲以下且需要有人全天候陪同的概率為4%

D.抽到的老人年齡大于等于75歲且不需要有人全天候陪同的概率為40%

12.在123,4四個(gè)數(shù)中,可重復(fù)地選取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍的概率

是.

13.數(shù)字人民幣在數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代中體現(xiàn)價(jià)值、交易媒介和支付手段職能，為各地?cái)?shù)字經(jīng)濟(jì)

建設(shè)提供了安全、便捷的支付方式,同時(shí)也為金融監(jiān)管、金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供更多選擇性

和可能性.現(xiàn)從某市使用數(shù)字人民幣的市民中隨機(jī)選巴200人，并將他們按年齡(單位:歲)

進(jìn)行分組:第1組［15,25),第2組［25,35),第3組［35,45)涕4組［45,55),第5組［55,65］.

⑴求直方圖中。的值和第25百分位數(shù)；

⑵在這200名市民中用分層隨機(jī)抽樣的方法從年齡在［25,35)和［45,55)內(nèi)抽取6名市民

做問卷調(diào)查,并從中隨機(jī)抽2名幸運(yùn)市民，求2名幸運(yùn)市民年齡都在［25,35)內(nèi)的概率.

14.某校以課程建設(shè)為核心，建立了學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐基地，開發(fā)了農(nóng)事勞作課程，開展課外種

植、養(yǎng)殖活動(dòng)，打算引進(jìn)小動(dòng)物甲以及成立養(yǎng)殖小組.為了解學(xué)生的養(yǎng)殖意愿，該校在一

年級(jí)的100名學(xué)生中進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表：

養(yǎng)殖意愿

性別

喜歡不喜歡

男生2030

女生4010

⑴分別估計(jì)該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的概率；

(2)學(xué)校決定由一年級(jí)負(fù)責(zé)養(yǎng)殖小動(dòng)物甲，現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法從一年級(jí)喜歡小動(dòng)物

甲的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生組成養(yǎng)殖小組，再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任養(yǎng)殖

小組主要負(fù)責(zé)人，求這2人恰好都是女生的概率.

15.某藥廠測(cè)試一種新藥的療效，隨機(jī)選擇120()名志愿者服用此藥，結(jié)果如下:

治療效果病情好轉(zhuǎn)療效不明顯病情惡化

人數(shù)/人80()20020()

現(xiàn)擬采用分層隨機(jī)抽樣的方法從服用此藥的120()名志愿者中抽取6人組成樣本，并從

這抽出的6人中任意選取3人參加藥品發(fā)布會(huì)，求抽取的3人病情都未惡化的概率.

答案：

1.A解析根據(jù)題意列出樹形圖如下：

12345

八八八/A\

23451345124512351234

樣本點(diǎn)的總數(shù)為20,其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包括的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是

10,故所求概率P=—=

202

2.C

3.A解析從這5個(gè)小球中任取2個(gè)，樣本空間

。二{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)個(gè)="取出的

小球標(biāo)注數(shù)字之和為3或6",則A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3個(gè),所以所求概率尸(4)="=

陽(yáng)0

工故選A.

10

4.B解析從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，樣本空間

。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}，設(shè)A="滿足取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2”,則

A={(1,3),(2,4)},故所求概率P言=\

OD

5.A解析在2,4,6,8四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為“再在剩余的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽

取一個(gè)數(shù)記為〃，基本事件總數(shù)九二12於是整數(shù)包含的樣本點(diǎn)有:(4,2),(6,2),(8,2),(8,4),夫4

b

個(gè)，則哼是整數(shù)"的概率P=-=之故選A.

b123

6.B解析撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠,有兩類辦法：

第一類，只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法，表示的數(shù)字分別為2,6,20,60;

第二類，在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法，表示的數(shù)字分別為11,15,51,55.

所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8,其中表示的數(shù)字大于50的有51,55,60洪3個(gè)，所以表示

的數(shù)字大于50的概率為J.故選B.

8

7.(1+(2)總從標(biāo)有數(shù)字1,2,345的5張卡片中任取2張，樣本空間

。二{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10個(gè)樣本點(diǎn),且每個(gè)樣本點(diǎn)

是等可能發(fā)生的.設(shè)4二“2張卡片上數(shù)字全是奇數(shù)”,8二”2張卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)

(1)人={(1,3),(1,5),(3,5)},共3個(gè)樣本點(diǎn)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得尸(4)=。.

(2)(方法一>={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)},共7個(gè)樣本點(diǎn),由古典概型的概率計(jì)

算公式可得P(8)W.

(方法二)從5張卡片中任取2張，“卡片上數(shù)字全是奇數(shù)”與“卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)”是對(duì)

立事件，由(1)可知汽⑻=1高=A

8.解8試驗(yàn)的樣本空間。={(皿〃)|九〃￡1,2,3,4,5,6},

/?(。)=36,滿足條件的事件是使向量p=(〃7,〃)與q=(2,6)共線，即6/77-2/2=0,H=3/H,

滿足這種條件的有(1,3),(2,6),共有2種結(jié)果，

???向量p與q共線的概率P=-=

3618

9.解從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根有10種等可能結(jié)果陀們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的

可能結(jié)果有兩種,分別是:2.5和2.826和2.9,所求榻率為卷=

10.BD

11.BC解析不妨設(shè)共有100名老人，則根據(jù)題意可作出如下表格：

是否需要全天候陪同

年齡合計(jì)

是否

75歲及以上184260

75歲以下43640

合計(jì)2278100

所以如果從該養(yǎng)老院隨機(jī)抽取一位老人，抽到的老人年齡在75歲以下的概率為40%,故

A錯(cuò)誤；

抽到的老人需要有人全天候陪同的概率為22%,故B正確；

抽到的老人年齡在75歲以下且需要有人全天候陪同的概率為4%,故C正確；

抽到的老人年齡大于等于75歲且不需要有人全天候陪同的概率為42%,故D錯(cuò)誤.

12.7在四個(gè)數(shù)中重笈地選取兩個(gè)數(shù)共有16種可能.其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍的有

4

1,2;2,1;2,4;4,2，共4種，故所求的概率為&=

164

13.解(1)3+0.03+0.015+0.01x2)x10=1,解得4=0.035.

因?yàn)榈?組的頻率為0.01x10=0.1,0.1VQ25,

第2組的頻率為0.03x10=03,0.1+0.3>0.25,

所以第25百分位數(shù)在第2組，設(shè)為x,

則0.14^x0.3=0.25,解得x=30,

所以第25百分位數(shù)為30.

(2)年齡在［25,35)的市民人數(shù)為200x().3=60,

年齡在［45,55)的市民人數(shù)為200x0.15=30,

用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取年齡在［25,35)的人數(shù)為6X^^=4人，

年齡在［45,55)的人數(shù)為6x蜷需=2人，

設(shè)年齡在［25,35)的4人為A,8,CD年齡在［45,55)的2人為E,F,

從這6名市民中隨機(jī)抽取2名的樣本空間為

O={(48),(A,0,(4,D),(4,E),(AR,(8,C),(3,D),(8,E),(BR,(CQ),(C,E),(C,B,(AE)0,B,(E

下)}，共15個(gè)樣本點(diǎn)，

其中2名年齡都在［25,35)內(nèi)的樣本點(diǎn)有{(A,B),(4,O,(AQ),(&C),(BQ),(C,￡))},共6個(gè)樣本

八占，、，

所以2名幸運(yùn)市民年齡都在［25,35)內(nèi)的概率為2=1

14.解(1)由題意知男生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的頻率為上一二2

20+305

女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的頻率為」一=3所以估A該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物

40+105

甲的概率分別為然.

⑵抽取的這6人中男生人數(shù)為6x就而=2,分另“記為4員女生人數(shù)為6乂庶而=4,分別記

為a,b,c,d.

設(shè)抽取的2人分別為〃2,〃,用數(shù)組(〃H?)表示這個(gè)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，因此該試臉的樣本空

間。={(4,8),(A,〃),&/?),(Ac),(A,d),(B,4),(3,6),(8,c),(3/Z),(〃力),(〃,<?),(a,d),(/?,c),3M,(c,d)},

共15個(gè)樣本點(diǎn).

設(shè)事件E="抽取的2人恰好都是女生''，則E={(48),(4C),