2026年人教版八年級數學：三角形的概念（暑假預習講義）

第01講三角形的概念

也預習航標

關鍵詞學習目標導航

等腰三角形的定義1.理解三角形的定義，認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三

力、角、頂點角形。

三角形的分類2.能按邊或角對三角形進行分類，掌握各類三角形的特征。

三角形的個數3.準確的數出一個復雜圖形中含有多少個三角形，不重復，不漏數。

學習重點：三角形的概念與表示方法、三角形的分類、三角形的個數，等腰三角形的定義。

學習難點：掌握三角形的分類以及準確輸出復雜圖形中有幾個三角形。

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定義:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形：

三

角

形

的

概

組成三角形的線段叫作三角形的邊，

念相鄰兩邊的公共端點叫作三角形的頂點，

相鄰兩邊所組成的角叫作三角形的內角，簡稱三角形的角,

匚一頂點是A,B,C的三角形，記作^ABC-

三角形的概念

二邊都不相等的「角形

三角形底邊和腰不相等的三角形

三按邊分等腰三角形

等邊三用形

角

形

的

分

類

O知|識|精|講

知識點魚_三角形的概念

1.定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作一角形.

2.基本元素：組成三角形的線段叫作三角形的邊,相鄰兩邊的公共端點叫作三用形的頂點,相鄰兩邊所組成

的角叫作三角形的內角,簡稱三角形的角,例如，在圖中，線段AB,BC,CA是三角形的邊;點4,B,C

是三角形的頂點；NA,NB,NC是三角形的角.

3.表示：頂點是A,B,C的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABCn,△ABC的三邊有時也用a,b,

c來表示：如圖，頂點A所對的邊8c用。表示，頂點8所對的邊AC用。表示，頂點C所對的邊A8用c

表示.

I即時即練I觀察下列圖形,其中是三角形的是（）

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【答案】B

【詳解】

解：圖形中是三角形的是八\

故選:B.

【易錯提醒】

1.三條線段在同一直線上，無法構成三角形。

2.不是首尾順次相接、圖形不封閉，也不是三角形。

知識點02三角形的分類

1.按角分類

銳角三角形：三個角都是銳角

直角三角形：有一個角是直角（記作RtZ\）

鈍角三角形：有一個角是鈍角

｛直角三角形

三角形J［銳角三角形

］斜三角形〈

【鈍角三角形

2.按邊分類

不等邊三角形：三條邊都不相等

等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外?邊叫做底也，兩腰的

夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角；

等邊三角形（正三角形）：三條邊都相等（特殊的等腰三角形）

.三邊都不相等的三角形

二角形］等腰三角形＜‘底邊和腰不相等的等腰三角形

三角形

|即時即練顏圖是三角形按邊分類的關系圖,則圖中的A表示（)

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（A邊）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【分析】根據二角形的分類可直接得到答案.

【詳解】解：三角形按邊分類應分為等腰三角形和不等邊三角形，等腰三角形又分為腰與底不相等的等腰

三角形和等邊三角形，

則圖中的A表示等腰三角形.

【易錯提醒】

1.一個三角形最多1個直角/I個飩角，不可能同時有直角和鈍角。

2.有兩個銳角X銳角三角形，還要看第三個角。

3.認為等腰三角形只是“只有兩邊相等”，等邊三角形也是等腰三角形。

4,筆腰三角形兩底角相等，不要混淆頂角、底角、腰、底邊。

知識點03三角形的個數

1.基礎題型：單條線段上數三角形（最常考）

圖形特征：同一個頂點，對邊被多條線段分割（底邊有若干分點）

公式

設底邊被分成n條小線段

總三角形個數=1+2+3+…+n

舉例

底邊分成2條小線段：1+2=3個

底邊分成3條小線段：1+2+3=6個

底邊分成4條小線段：1+2+3+4=10個

口訣：從I依次加到小線段的總條數

2.復雜分割圖形（通用原則）

分類數：單個小三角形-2個組合-3個組合……不里不漏

標記法：給每個小區域編號，逐個列舉，避免漏數、重復數

不跨區域、不跳著數，按從小到大順序統計

即時即練圖中共有（）個三角形.

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【答案】B

【分析】本題考查三角形的定義，熟練掌握相關知識是關鍵.

不在同一直線上的三個點可以確定一個三角形，使用列舉法即可.

【詳解】解：如圖，

圖中三角形為△AB。、ABE、VABC>7ADE、△A。。、△?EC共6

個.故選：B.

【易錯提醒】

1.不要把大三角形漏掉：

2.區分三角形和四邊形、梯形，只數三條邊的封閉圖形;

3.有平行線、交叉線的圖形，優先分類枚舉，慎用公式。

題型突破

題型1判斷是否為三角形

［例1］下列由三條線段組成的圖形是三角形的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的定義，掌握“在同一平面內,由三條線段首尾順次連接形成的封閉圖形叫做三

角形”是解題關鍵.

【詳解】解：由三角形的定義可知，只有C選項的圖形是三角形,

故選:C.

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［ftlj2］下列圖形中，是三角形的是（）

【分析】本題主要考查了三角形的定義，三角形是由同一平面內，不在同一條直線上的三條線段首尾順次

相接所成的圖形，據此可得答案.

【詳解，解：由三角形的定義可知，四個選項中，只有B選項中的圖形是三角形，

故選:B.

【技巧歸納】

1.核心抓定義三要素：三條線段、不在同?直線、首尾順次相接、封閉圖形

2.識別步驟①看組成：必須是三條線段，排除曲線、折線圖形；②看位置：三條線段不能共線；③看

連接：首尾順次相接，整體為封閉圖形。

3.快速排除：線段共線、圖形開口不封閉、線段未首尾相接，直接判定不是三角形。

【變式1-1］下列由三條線段組成的圖形是三角形的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的定義，掌握“在同一平面內，由三條線段首尾順次連接形成的封閉圖形叫做三

角形”是解題關鍵.

【詳解】解：由三角形的定義可知，只有C選項的圖形是三角形，

故選:C.

【變式1?2】小華用三根火柴搭成下列圖形，其中是三角形的是（）

【分析】此題考查了三角形的定義.三角形的定義為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成

的圖形.據此求解即可

【詳解】解：因為三角形是由不在同一條直線上的三條線段苜尾順次相接所成的圖

形.用三根火柴搭成下列圖形，其中是三角形的是

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A

故選：c.

題型2三角形概念的識別

【例1】在A8E中，/W邊所對的角是（）

A.ZADBB.ZAEBC.ZACBD.ZAEC

【答案】B

【分析】本題考查“三角形的基本概念“，了解三角形中的相關概念是解題關

鍵.根據圖形和三角形的邊所對角的概念進行判斷即可.

【詳解】解：根據三角形的邊所對角的概念，

在人8E中，A3邊所對的角是NAE5,

故選：B

【例2】如圖，在VA4C中，點￡是垂足，點。是邊BC上的一點，連接AQ.

（1）寫出A8E的三個內角；

⑵在△A8。中，N8的對邊是；在V48C中，NB的對邊是.

（3）圖中共有個三角形，ZADC是哪幾個三角形的公共角？

【答案】（1）的三個內角是：N84E，NB,ZAEB

⑵A。；AC

（3）6，Z.ADC是VADE，△4OC的公共角

【分析】本題考查了三角形的基本概念（內角、對邊、公共角）及圖形中三角形的識別，解題的關鍵是結

合圖形明確三角形的組成元素及相互關系.

（1）根據三角形內角的定義，直接從A8E中找出三個內角.

（2）依據“角的對邊是角對面的邊”，分別在△A8。、/XABC中確定N8的對邊.

（3）先逐一數出圖中三角形的數量，再根據公共角的定義，找出包含/AQC的三角形.

【詳解】（I）八8月的三個內角是：//ME./AER：

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（2）在△A3。中，N8的對邊是A3:在VABC中，的對邊是

AC.故答案為：AD;AC；

（3）圖中共有6個三角形，分別是：△AB。，ABE,VABC.VAOE,△AOC,

△AEC.故答案為：6；

/ADC是△AQC的公共角；

【變式2?1】下列關于三角形的描述，正確的是（）

A.由三條線段組成的圖形叫做三角形

B.三角形的內角和為180。,外角和為180。

C.銳角三角形的三個外角都是鈍角

D.直角三角形只有一條高

【答案】C

【分析】本題考杳三角形的性質，熟練掌握三角形的性質是解題的關鍵.

根據三角形的定義、三角形內角和定理.、直角三角形的性質進行逐項判斷即可.

【詳解】解：選項A、三角形是由三條小在同一直線的線段首尾順次連接組成的圖形，則A錯誤；

選項B、根據三角形內角和定理得，三角形的內角和為180。，外角和為360。，則B錯誤；

選項C、銳角三角形的每個內角小于90。，每個外角=180。-內角＞90。，則三個外角都是鈍角，C正確;

選項D、直角三角形有兩條直角邊作為高，還有從直角頂點向斜邊所作的高，有三條高，則D錯誤；

故選:C.

【變式2?2】如圖,在VA8C中，點。在邊3C上，BD=AD=DC=AC.

（1）寫出以點C為頂點的三角形；

⑵寫出以A8為邊的三角形；

⑶找出圖中的等腰三角形和等邊-:角形.

【答案】（l）VAB。，△AOC

（2）7ABC,AABD

⑶等腰三角形是△ABD,AADC；等邊三角形是△ADC

【分析】本題考查三角形的定義、三角形的分類：

（1）根據三角形的定義，找出以點C為頂點的三角形即可；

（2）根據三角形的定義，找出以A8為邊的三角形即可：

（3）根據題中邊長關系，找出有兩條邊相等的三角形為等腰三角形，三邊均相等的三角形為等邊三角形.

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【詳解】（1）解：以點C為頂點的三角形有V48C,ZUOC；

（2）解：以人8為邊的三角形有VABC,ZXAB。：

（3）解：???BD=AD=DC=AC,

；?等腰三角形有△A3。，△AQCi

等邊三角形有△AQC.

題型3三角形的分類

[ffij1]如圖，某一個三角形被長方形紙板遮住一部分，只露出一個角，你能判斷它是什么三角形嗎？你的

判斷是（）

K

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】本題考查了三角形內角和定理的運用以及圖形的識別能力和推理能力，三角形按角分類，可以分

為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.有一個角是直角的三角形是直角三角形；有一個角是鈍角的三

角形是鈍角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形.

【詳解】解：從圖中，只能看到一個角是銳角，其它的兩個角中，可以都是銳角或有一個鈍角或有一個銳

角.

【例2】若一個三角形三條邊的長度比是1:1:1,則這個三角形是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】本題考查的是三角形形狀判定，由于三角形三邊長度比為1:1:1,即三邊相等，因此該三角形是等

邊三角形.

【詳解】解：???一個三角形三條邊的長度比是1:1:1,即三邊長度相等，

???此三角形為等邊三角

形.故選：C.

【技巧歸納】

1.按角分類的判斷技巧二個角都是銳角一銳角二角形；有一個直角一直角二角形；有一個鈍角一鈍

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角三角形

規律：任意三角形至少有2個銳隹，最多1個直角/鈍角。

2.按邊分類的判斷技巧：「邊全不相等T不等邊三角形；至少兩邊相等T等腰三角形；三邊都相等一等

邊三角形（特殊等腰三角形）

易錯點：牢記等邊三角形屬于等腰三角形，分類時不單獨割裂。

【變式3，】已知小b,。是VA8C的三邊，旦滿足卜一耳+切-4=0,則VA8C是三角形.

【答案】等邊

【分析】本題考查絕對值的非負性，三角形的分類，根據絕對值的非負性，兩個非負數的和為零，則每個

數都為零，得到a=/?=c,進而得到VABC是等邊三角形.

【詳解】解：+=

/.a-c=O,b-c=O,

a=c,b=c,

:.a=b=c,

Vc,b,c是VA8C的三邊,

???VABC是等邊三角

形.故答案為：等邊.

【變式3?2】下列關于三角形按邊分類的圖示中，正確的是（）

【分析】本題主要考查了三角形按邊分類，根據分類情況分為三邊不相等的三角形和等腰三角形，而等腰

三角形分為腰和底不相等的三角形、等邊三角形，根據分類的情況即可得到答案.

【詳解】解：根據三角形按邊分類情況：等邊三角形應該分在等腰三角形里，故選項A錯誤，不符合題意;

分類正確，故選項B正確，符合題意；

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等腰三角形包含等邊三角形，故選項C錯誤，不符合題意;

分類不完整，故選項D錯誤，不符合題意；

故選：B

題型4三角形的個數

【例1】已知，如圖，以48為邊的三角形的個數是（）

C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題考杳了三角形的認識，不重不漏的寫出所有的三角形是解題的關

鍵.根據三角形的概念、結合圖形寫出以為邊的三角形.

【詳解】解：由圖可得，以A3為邊的三角形有YABC,4ABD，ABE,一共有4個.

故選：D.

【例2】如圖中三角形的個數是（）

【答案】D

【分析】本題考查三角形的概念.三角形是由三條線段順次首尾相連，組成的一個閉合的平面圖形；觀察

所給圖形，先數出單個的三角形，再數出組成的三角形，然后求和可得答案.

【詳解】解：圖中的單個三角形有ACD,MADE,VBDE,共3個，

由2個三角形組成的三角形有△人朋），共1個，

由3個三角形組成的三角形有VABC,共1個，

所以共有3+1+1=5（個）三角形.

故選:D.

【變式4?1】如圖，以N/3E為公共角的三角形有（）

BDEC

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A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的概念，根據三角形的概念即可求解，正確理解三角形的概念是解題的關鍵.

【詳解】解：以NAOE為公共角的三角形有VAQE,△AOC，共2個，

故選：B.

【變式4?2】如圖，在VA8C中，ZBAC=90%A。是8c邊上的高，后是8C的中點，連接AE，則圖中

的直角二角形有()

【答案】C

【分析】本題主要考查直角三角形的概念.根據直角三角形的概念可以直接判斷.

【詳解】解：二?在VABC中，ZBAC=90°,AD是8c邊上的高，

AAABD,VABC,AADC,VADE為直角三角形，

共有4個直角三角形.

故選:C.

過關檢測

1.如圖，在VA8C中，8c=12,若8CE的周長為30,則3E+CE=

【答案】18

【分析】本題考查三角形的周K，根據8CE的周長減去8C可得結論.

【詳解】解：根據題意得BE+CE+BC=30,

?/BC=12,

???BE+CE=30-BC=30-12=18,

故答案為：18.

2.VA8C的三邊為〃、b、c,且滿足關系?-/0S-c)(c-a)=0,則VABC是三角形.

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【答案】等腰

【分析】題目主要考查乘法的性質，等腰三角形的定義，熟練掌握是解題關鍵.

根據乘積為零的性質，至少有一個因子為零，從而得到至少有兩邊相等，因此三角形為等腰三角形.

【詳解】解：=

.?.4-〃=0或〃一。=0或。-4=0,即或〃=仁或。=〃，

.??YA8C至少有兩邊相等，是等腰三角形，

故答案為；等腰.

3.如圖，已知點A,8在直線〃上，點C,D,E在直線〃上.以點A,B,C,D,E中的任意三點作為三

角形的頂點，可以組成的三角形共有（）

A.3個B.4個C.6個D.9個

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的定義，掌握不在同一直線上的三點才能組成三角形是解題的關鍵.

三角形的三個頂點不能共線，因此從直線“和直線。中交叉選取三點，分①從a選1個、b選2個：②從。

選2個、〃選1個兩種情況，計算可組成的三角形數最.

【詳解】解：可以組成的三角形有：

ACD,XACE,VADE,ABCD,BCE,VBDE,/\CAB,DAB,EAB,共9

個.故選：D.

4.如圖，在VABC中，D,E分別為BC,A8上的點，則以點。為頂點的三角形的個數為（）

【答案】D

【分析】此題考查了學生對三角形的認識.注意要審清題意，按題目要求解題是關

鍵.根據三角形的定義即可得到結論.

【詳解】解：???以。為頂點的三角形有人80,EBD、EDA,ADC,

???以。為頂點的三角形的個數是4

個.故選：D.

5.觀察下列圖形，其中符合三角形概念的圖形是（）

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A.B.

【分析】本題考查三角形的定義，由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做三角

形.據此即可解答.

【詳解】解：A、三條線段沒有首尾順次相接，不符合三角形概念；

B、三條線段沒有首尾順次相接，不符合三角形概念；

C、三條線段沒有首尾順次相接，不符合三角形概念；

D、符合三角形的概念.

故選：D.

6.如圖為一張藏寶圖，有一人想出發尋寶，已知秘密寶藏藏在圖中的某個黑點標示的位置.經過調查，秘

密寶藏的位置。滿足條件：PA8為直角三角形，符合條件的P點的個數為個.

【答案】6

【分析】分三種情況，當/”4=90。時，當/尸相=90。時，當NA8P=90。時，分別找出符合條件的。點

的個數，即可解決問題.

本題考查了直角三角形的性質，正確作出圖形是解題的關鍵.

【洋解】解：如圖，分三種情況：

02

當/AP8=90。時，符合條件的尸點的個