江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學年高一年級下冊6月期末調研測試數(shù)學試卷（含答案）

江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學年高一下學期6月期末調研測試數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.

1.sinl60cos460—cosl60sin460=:)

A.一匹B.-1C.1D.在

2222

2.已知2=(1,6)，b=(2,0)，則五在E上的投影向量為()

A.(1,0)B.(>/3,0)。?住用D.停,電

3.公園內有一棵樹，A,B是與樹根處。點在同一水平面內的兩個觀測點，樹頂端為P.如圖，觀測得乙04B=

75°,Z.OBA=60°,/04P=60。，=10米，則該樹的高度OP為(）米.

C.15V2D.15V6

4.復數(shù)z在復平面內對應的點滿足|z—2|=1,則以下選項中的點在復數(shù)z所構成圖形上的是()

A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(0,1)

5.為了解某年級同學的體能情況，抽取100位同學進行一分鐘仰臥起坐次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，得

到如下頻率分布直方圖(一分鐘仰臥起坐次數(shù)60次以上的稱為體能優(yōu)秀)，則下列結論錯?誤?的是()

A.b=0.005

B.估計100位同學在一分鐘仰臥起坐次數(shù)的平均數(shù)低于70次

C.從這100位同學中隨機選取一位同學，則這位同學體能優(yōu)秀的概率約為彥

D.按照“體能優(yōu)秀”的學生與“體能不優(yōu)秀”的學生進行分層抽洋，從這10()位同學中抽取12人，則在體能

優(yōu)秀的同學中應抽取9人

6.將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于8的概率為()

A-IB.磊C-|D..

7.如圖所示，在正方體48。。一4916。1中，E,尸分別是力。的中點，則過點B作與異面直線81c與

第1頁

EF所成的角都是60。的直線條數(shù)（)

有兩條C.有三條D.有一條

8.公/8。中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足2bcos^=acos6B),若2cos/l—cos(C—存在

最小值，則實數(shù)入的取值范圍是（）

A.（0,2）B.（-2,0）C.（-4,4）D.（-4,2）

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的

得。分.

9.正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元索，加上它們的多種變體，一直是科學、藝術、哲學靈

感的源泉之一.如圖，一個正八面體八個面分別標有數(shù)字I到8,任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面

接觸的面上的數(shù)字，得至IJ樣本空間為0={1,2,3,456,7,8},記“得到的點數(shù)為奇數(shù)”為事件A,記“得到的點數(shù)

不大于4”為事件B,記“得到的點數(shù)為質數(shù)”為事件C,則下列說法正確的是（）

A.事件8與C互斥B.p（4+B）=*

C.事件人與C相互獨立D.P?瓦）=,

10.已知數(shù)據(jù)//2,%3,…，G的眾數(shù)、平均數(shù)、方差、第80百分位數(shù)分別是由，兒，臼，山，數(shù)據(jù)y：

丫2,心，…，兀的眾數(shù)、平均數(shù)、方差、第8（）百分位數(shù)分別是Q2,b2,C2,d2,且滿足匕=2々一l（t=

1,2,3,…，九），則下列結論正確的是?）

A.a2=2al—1B.b2=bxC.c2=4clD.d2=2dl—1

11.已知正方體A8C0-4]8]加。1的楂長為2,點P為線段々C上的動點，則（）

A.。4+。4的最小值為12+4\@

B.4P與8劣始終保持垂直

C.以4為球心，四為半徑的球面與平面/6。的交線長為雪

D.經過4Q的平面截正方體所得截面面積的最小值為歷

第2頁

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.

12.在正四棱臺4BC0-力避￡。1中，AB=4,4%=2,A4=百，則該棱臺的體積.

13.已知60個樣本數(shù)據(jù)與，孫…，&9/60的平均數(shù)為3,其中S蠟=1260,則這60個數(shù)據(jù)的方差

j=i

為.

14.已知同面=6，平面上動點P滿足|而-tAB\>4對任意￡€R恒成立，則兩?前的最小值為,

此時|而+PB\=.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說

明，證明過程或演算步驟.

15.已知復數(shù)z=m—i（m€R）,且於（l+3i）為純虛數(shù)（5是z的共規(guī)復數(shù)）.

（1）設復數(shù)為=華衛(wèi)，求％|；

L—1

2025

（2）復數(shù)-在復平面內對應的點在第一象限，求實數(shù)Q的取值范圍.

16.如圖，在直三棱柱力〔中，已知力C1BC,BC=eg,設的中點為D,8G的中點為E.求

證：

(1)OE〃平面A&CiC；

（2）BC11g.

17.2025年六五環(huán)境日主題為“美麗中國我先行”，南京市某社區(qū)舉辦“環(huán)保我參與“有獎問答比賽活動.某場比

賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答這道題正確的概率是京甲、

乙兩個家庭都回答正確的概率是得，乙、丙兩個家庭至少一家回答正確的概率是巖.各家庭回答是否正確相互

獨立.

（1）求乙、內兩個家庭各自回答這道題正確的概率；

（2）求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答這道題正確的概率.

18.已知向量沅=（sin（今+x）,V5sinx）,五=（sin仔一x）,cosx）,設函數(shù)/（》）=沅?元.

（1）化簡/（幻并寫出/（幻的最小正周期；

（2）若/任+$=一孥，且普<”兀，求sina的值；

（3）在銳角△ABC中，若/'（3）=1,AC=2,求△4BC周長的取值范圍.

第3頁

19.如圖，在四棱錐P-4BC。中，AD1CD,ADLAB,乙BCD=45。，AD=1,BC=V2,PO14D.現(xiàn)設

PD=t,CD=4-t,0<t<3.

(1)求證：平面PCDJ?平面4BCO：

(2)當t=l時，側棱PC上點M滿足8M=VL乙48M=45。.證明：M是側棱PC的中點;

(3)當NPOC=120。時，求三棱錐P—BCD的外接球體積的最小值.

第4頁

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：sinl60cos460-cosl60sin46°

=—(sin46°cosl6°—cos46°sinl6°)

=-sin(46°-16°)

=-sin30°

1

一q

故選：B.

【分析】利用兩角差的正弦公式sin[4-B)=sin/lcosF-cosAsinB化簡求代數(shù)式的值.

2.【答案】A

5

n.h21

【解析】【解答】解：由題意，得出於EB上的投影向量為=今.今(2,0)=(1,0).

故答案為：A.

【分析】根據(jù)己知條件和數(shù)量積求投影向量的公式，從而得出行在5上的投影向量.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：在△048中，LAOB=180°-75°-60°=45°,

則由正弦定理可得品解，=/編，即粵=瞿，解得|。川=5通米，

sinz.c/D/1sinz./iC/D-j--2-

在直角△A。尸中，由tan4OAP=|^|,得|OP|二|。川?tan60。=5后x百=15魚米.

故選；C.

【分析】利用正弦定理島=點=缶，在△。48中求出|0川，再利用正切公式在直角△4。尸中求|OP|.

s1rijfioinD5inc>

4.【答案】B

【解析】【解答】解：復數(shù)z滿足|z-2|=l,表示復數(shù)z所構成圖形是以點(2,0)為圓心，半徑為1的圓.

A、對應復數(shù)z=0,代入得|z-2|=2,A不符合題意；

B、對應復數(shù)z=L代入得|z-2|=1,B符合題意；

C、對應復數(shù)z=2,代入得|z-2|=0,C不符合題意；

D、對應復數(shù)2=八代入得怙一2|二再，D不符合題意.

故選：B.

【分析】根據(jù)復數(shù)幾何意義依次代入計算判斷即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：A、根據(jù)頻率和為1,即(28+0.02+0.025+0.03+0.015)x10=1,求得b=0.005,

A正確；

第5頁

B、由A知b=0.005,根據(jù)頻率分布直方圖求得平均數(shù)為(45x0.005+55x0.02+65x0.025+75x

0.03+85x0.015+95x0.005)x10=69.5<70,D正確；

C、體能優(yōu)秀的頻率為(0為25+0.030+0.015+0.005)x10=0.75,則體能優(yōu)秀的頻率為0.75,

所以體能優(yōu)秀的概率約為確，C錯誤；

4

D、由C知體能優(yōu)秀的頻率為0.75,體能不優(yōu)秀的頻率為0.25,所以體能不優(yōu)秀和體能優(yōu)秀的頻率比為1:3,

所以12人中體能優(yōu)秀的同學中應抽取12x*=9人，D正確.

故選：C.

【分析】根據(jù)頻率和為1求乩再代入平均數(shù)公式，以及頻率公式，即可判斷選項.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，基本事件共有62個，

其中點數(shù)和大于8的事件有(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共10個,

所以出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于8的概率為茅=

故選：B.

【分析】利用列舉法求古典概型事件概率.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：將EF平移到BD,81c平移到a0,

???過點8作與異面直線々C與所成的角都是60。的直線，即過點B作與直線8。與公。所成的角都是60。的直

線，

???異面直線80與所成的角為60。，

???直線80與公。所成角的角平分線平分角為60。或30。，

若角平分線平分直線80與40所成角為60。，則角平分線與直線BD與4。所成的角都是60。，

此時將過。點的角平分線平移使其經過點B,故有一條；

/&DE的角平分線平分角為30。，即角平分線與異面直線與40所成的角都是30。，

則將過。點的直線繞。點向上轉動到與平面&垂直的過程中，存在兩條與異面直線8。與AW所成的角都是

60。的直線，

此時將過。點的直線平移使其經過點8,故有兩條；

綜上，過點B作與異面直線與EF所成的角都是60。的直線條數(shù)有三條.

第6頁

故選：c.

【分析】將EF平移到3D,。平移到結合角平分線性質考慮問題，過點B作與異面直線3D與所成的

角都是60。的直線，一條在平面408內，兩條在平面為08外.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：由2bcos^=QCOS?-8),得2sin8cos^=sirh4cosc-B),

即.AA(A\

2sinBcos?=2nsin-2cos工cos—Bnj,

??4、c

?cos2>0，

sinB=sincos(亍一，

即sE佚一停一B)]=sin?cos?-B),

化簡得一cos或sin?—B)=0,

?'?sin?—B)=0,即4=2B,

則C="一4-8=加一38c(O,TT),AO<B

o

AcosA-cos(C-B)=Acos2B+cos4S=2cos22f?4-Acos25-1=2cos24+AcosA-1,

V/l=2B,0V8<掾，?'?0vAv等—i<cos/1<1?

；?若入cos力-cos(C-8)存在最小值，則一寺V-1<1,

解得：-4V2<2.

故選：D.

【分析】先根據(jù)三角恒等變換，化簡求得力=28,再統(tǒng)一角，將肌054一85(。-8)轉化為關于8$4的二次

函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質，求實數(shù)A的取值范圍.

9【答案】B,D

【解析】【解答】解：事件A為“得到的點數(shù)為奇數(shù)”，即得到的點數(shù)為1,357,

事件B為“得到的點數(shù)不大于4”，即得到的點數(shù)為1,2,3,4,

事件C為“得到的點數(shù)為質數(shù)”，即得到的點數(shù)為2,3,5,7,

A、得到點數(shù)為2,3時，事件B與事件C同時發(fā)生，所以事件B與C不互斥，A錯誤；

B、事件力+B發(fā)生，得到點數(shù)為1,2,3,4,5,7,表示發(fā)生，所以P(4+B)=W，B正確；

C、由題意知P(A)=J,P(C)=i,

事件AC發(fā)生,得到點數(shù)為3,5,7,即P(AC)=J

此時P(47)WPQ4)P(C),所以事件4與事件C不相互獨立，C錯誤；

第7頁

D、事件48發(fā)生，得到點數(shù)為1,3,表示即P(48)=W，

o4

所以P(而)=1一PG4B)=1—/=率D正確，

故選：BD.

【分析】利用古典概型計算事件概率，再利用獨立事件的定義，對立事件概念判斷各選項.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：因為兩組數(shù)據(jù)滿足線性關系%二2々-

結合眾數(shù)、平均數(shù)、方差、第8()百分位數(shù)求法知組=-1,b2=2/7]-1,c?=4ct,d2=2dx-1,

所以A正確，B錯誤，C正確，D正確.

故選：ACD.

【分析】利用線性關系的性質判斷各選項.

1L【答案】B,C

【解析】【解答】解：對于A：4PAi分別在平面48傳，平面4181co內，把這兩個平面展開為一個平

面，可得：PA+PA1>AAlf

22

由余弦定理，可得：AAt=2+(2⑨2-2x2x2V2xcos?=12+4倔

；?A4i=J12+4倔故A錯誤；

為j于B：VAC1BD,AC1DDlf^.BDClDDX=D,BD,DD1

：.AC1平面BDDiBi，

又?：BD、u平面BDDiBi，

：.AC1BD

第8頁

同理可證ABi1BDi，

又「佃nAC=A,AB1,ACu平面4?百

：.BD1工平面力BiC,

又?.?4Pu平面4BiC,

：?BDi工AP,故B正確；

對于c：連接AGn平面力道。=。，且。為等邊三角形&BZ)的中心，

由選項B可得AC11平面4B0,

在三棱錐A1-716。中，

利用等體積法,得：!x義x(2近/x苧x40=qx義xx2=>40=

以A為球心，魚為半徑的球面與平面4BO的交線為圓，設該圓的半徑為r,

對于D、設M,N為力31，BC兩邊中點，

當經過4G的平面截正方體所得截面為4MGN時,

此時菱形人時購可的面積為幻企X273=2A/6=V24<顧，故D錯誤.

故答案為：BC.

【分析】利用兩平面展開圖和等邊三角形的性質以及余弦定理，則得出的長，則得出PA+P4的最小

值，則判斷出選項A：利用已知條件和線面乖直的定義得出線線垂直，則判斷出選項B；根據(jù)球的幾何性質

判斷出選項C；根據(jù)正方體的特殊截面求解，則判斷出選項D,從而找出正確的選項.

12.【答案】學

第9頁

【解析】【解答】解：為正四棱臺，，四邊形ACG必為等腰梯形,

又AC=\f2AB=4V2?A1C1=V2AlBi=2魚，

???。呀./_(5￥=J商一吟叼=i.

???四棱臺的體積V巖?0。1?(S+S，+Vss7)=ix1x[42+22+V42X22]=學.

故填：學.

【分析】根據(jù)正四極臺性質求出樓臺的高，進而求極臺的體積.

13.【答案】12

【解析】【解答】解：市題意可得±二3,X1+.Y2+...+.X60=180.

-J，&F

1_

=gg[(^1+WH----^60)一2%(%1+切"*%60)+60%]

=言(￡谷1xf-2x3x180+60x32).

1

=(1260-2x3x180+60x372)

=12

故填：12.

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式，計算求解.

14.【答案】7；8

【解析】【解答】解：設直線48上有一動點C,滿足「通=前,

貝忸-tAB\=\AP-AC\=\CP\>4,

???點P到直線48的距離大于等于4,

一2一2一2

取中點為0,可得R4-PB=(PO+04)?(PD-04)=PD-DA=PD-32>42-32=7?

當P0J.4B時，和?的取得最小值7,

第10頁

p

，廊+函=\2PD\=8.

故填：①7,②8.

【分析】根據(jù)向量的線性運算可得動點P到定直線AB的距離大于等于4,再利用極化恒等式求解后.而的最

小值，進而求仍力+PB|.

15.【答案】(1)z=m—i,/.z=m+i,

.*.z-(1+3i)=(m+t)(l+3i)=m-3+(3m+l)i,

Vz-(1+3i)是純虛數(shù)，m-3=0且3m.+1H0,解得m=3,

3+2i(3+2i)(l+i)15..[73—卻幅

AZi=^=WW=2+2^-1^1=②+?=苧；

(2)Vf2025=(.4^.z=

._ci-i_(Q-i)(3+i)_3a+lG—3.

??Z2=后=(3—以3+0=F-十芯1，

???Z2在復平面對應的點在第一象限，誓>0,若>0,解得Q>3,

實數(shù)a的取值范圍是(3,+8).

【解析】【分析】(1)先化簡子(1+3。，根據(jù)純虛數(shù)定義求出m,求出租=3,再利用除法法則化簡zi，進

而求模長；

(2)化簡Z2,根據(jù)其所在象限得到不等式，求出實數(shù)Q的取值范圍.

(1)2?(1+3i)=(m+i)(l+3。=m-3+(3m+l)i,

Vz-(1+3i)是純虛數(shù)，m-3=0,3m+1H0,解得m=3,

_3+2i_(3+2i)(l+i)_l5?儂

+1>

??句一]_j-(i-i)(i+i)-22川1句1=工；

(2)?2025=。4)506j=j,

行和7--(aT)(3+i)_3a+la—3.

其數(shù)Z2一后一(3_奴3+,-r-十R-i，

???在復平面對應的點在第一象限，，臀>0,得>0,

解得a>3,

實數(shù)a的取值范圍是(3,+8).

16.【答案】(1)連接4道，可得。為4%的中點，又E為8cl的中點，「.。。/力?.

第11頁

又?：DEC平面441GC,41clu平面力41cl血

：.DE||平面7MleiC.

（2）:棱柱ABC—AiBiG是直三棱柱，???CG1平面48c.

〈ACu平面ABC,：.AC1CCV

又〈AC1BC,CCltBCu平面8CC\8i，BCnCCr=C,

：.AC_L平面8CG%

又,：BCiu平面BCGBi，???BCi1AC.

?：BC=Cg,???矩形BCG/是正方形，???BGlBiC.

???4C,BiCu平面ACCiB^C=C,??.BG1平面BJC.

又〈ABiu平面々AC,：,BCXLABr

【解析】【分析】（1）利用中位線證明線線平行，再證明線面平行即可;

（2）利用線線垂直證明線面垂直，再利用線面垂直可得線線垂直.

在直棱柱48c-4181cl中，E為BC1t勺中點,則E為86的中點,

連接AB,可得。為4凡的中點,因此0E〃4C〔.

又因為DEC平面441GC，41clu平面/MiG。，

所以0E||平面A&C1C.

（2）因為棱柱是直三棱柱，所以CG1平面4BC.

因為4Cu平面4BC,所以AC_LCCi.

又因為/IC1BC,CGu平面BCC$i，BCu平面BCC$i，BCACCX=C,

所以AC1平面BCG/.

又因為8Qu平面BCCiBi，所以8G14C.

因為8C=CG，所以矩形BCQ%是止方形，因此8C1J.81C.

因為71。,8傳u平面8i4C,AC（yBlC=C,所以8cli平面814c.

第12頁

又因為他u平面BMC,所以8cli

17?【答案】(1)記事件A“甲家庭回答正確這道題”，事件B“乙家庭回答正確這道題”，事件C“丙家庭回答正

確這道題”，

由題意知PG4)=*,P(4B)=各l-P匹)=/，

5

-

由P(AB)=P(4)?P(8),解得P(B)=(所以P(瓦)=18

由1一P(畫=1-P⑻.P?=界解得P(C=所以P(C)=|

所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率為房和|.

(2)3個家庭回答正確的概率P3=P(ABC)=P(4)?P(B)?P(C)=|x|x|=X

有2個家庭問答正確的概率為

33135213215

-X-X-+-X-X+X-X--

P=P(ABC+ABC+ABC)=48348832

2---

343

所以不少于個家庭回答正確這道題的概率

2p=P3+P2=A+I|=|I.

【解析】【分析】(1)利用相互獨立事件概率乘法公式來計算求解;

(2)求出有3個家庭利2個家庭回答正確的概率，相加即可.

(1)記“甲家庭回答正確這道題'“'乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件48,C,

由甲家庭回答這道題正確的概率是去甲、乙兩個家庭都回答正確的概率是熹

QQ

則PQ4)=*,P(4B)=P(A)?P(B)=&

解得P(B)=1

o

由乙、丙兩個家庭至少一家回答正確的概率是黑，

則1-P(BC)=1-P(萬).P?=笠,

即1_(14.p?=弟nP?=4=P(C)=1

所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率為看和卷

oJ

(2)有0個家庭回答正確的概率P°=P(ABC)=P(A)-P(B)-P(C)=5X|X|=^?

有1個家庭回答正確的概率為

3511311527

Pi=P(ABC+ABC+ABC)=4X8X3+4X8X3+4X8X3=24

所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率p=i-p0-P]=i一1一￡=||.

第13頁

18.【答案】(1)/(x)=m-n=sin+x)sin—+y/3sinxcosx

/3

-^-sinlx

1

=2smsin2x

1V3

=2cos2x+-^-sinlx

71

=sin+6

/(x)的最小正周期為T=冬=m

(2)八條+9=sE(a+9=2/2

嗯〈”誓得普Va+X等

(,n1

所以cos(a+@---,

3

所以sina=sin[(a+5)-5

"si"(a+5cos”s(a+71TC

s叱

3.

2V21,18/3-2s/2

■—X2+3Xl-=-6-；

(3)因為fG)=shi(4+/)=1,又△ABC為銳角二角形,

所以人+看吟則4嗎

由正弦定理得直二2c

sinB-sin(F+5)*

所以「篇，_2sin(B+"_sinB+百cosBx/3cosF

1+

sinBsinB^B~

可得三角形A8C的周長'=Q+b+c=b.有祟+3=遮?(焉+焉)+3,

B6(°4),解得Be(巴里)

由△ABC為銳的三角形，得

c=7T_^.Be(0,5)解得B氣6,2>

因為y=sinB,y=taziB都在86傳用上單調遞增,

所以丫=嬴+焉在武管③上單調遞減，

所以以%++E(1，2+遍)

所以Q+b+c的取值范圍為(3+V3,6+2A/3).

第14頁

【解析】【分析】(1)利用向量積的坐標運算，結合三角恒等變換化簡/(x)，再求出周期;

(2)利用變換角a=(a+學一副冉由兩角差止弦公式化簡求值；

(3)利用正弦定理化邊為角，借助函數(shù)的單調性求取值范圍.

(1)/W=m-n=siin+%)sin(?一%)+y/3sinxcosx=cose—%)sin(今一%)+sin2x=

2

^sin(3-2x)+^-sin2x

1/3/7T\

=2cos2x+sin2x=sin\2x+6)

故最小正周期為了=爭=兀.

(2)因為f哈+?=sin(a+Q)=—挈，由猾va＜普，則＞＜a+^＜竽,

所以cos(a+學=—J1—(—竽?=.,

則si〃a=sin[(a+-即=sina+5)cos—cus(a+號)

2V21,1點q一2夜

=--rX2+3XT=―6-'

(3)因為/?)=5E(4+勻=1,又4力80為銳角三角形,

所以A+z=亍則A=??

OL3

a2c

由正弦定理/礙=sin^=sin(B+5),

可得三角形ABC的周長|=。+力+。=名+2+媽普=￡+包旺普+2

sinBsmBsinBsinB

=行1+.,7+3==存(-^+J^)+3,

sinB\sinBtanBJ

由△ABC為銳角三角形，可得BEG分

因為y=sinB,y=tanB都在Be管為上單調遞增，

所以y=d%+焉在/上單調遞減，

即嬴+焉￡。,2+⑹

所以a+b+c的取值范圍為(3+y/3,6+26).

19.【答案】(1)\'AD1CD,PDlAD.CDdPD=D,u平面PCO,

：.AD，平面PCD,

又???//)u平面4/7C/),?二平面PCOI平面4ACO.

(2)作MN〃PD交CD于N,作NE//4O交48于E,連ME.

第15頁

當亡=1時.，有PD=1,CD=3,設MN=x,由相似得NC=3%.

VPD1AD,:.MN工NE,

則在△"可￡■中，由勾股定理得ME=+*.

在AMEB中，EB=3x-l,4ABM=45。,BM=&,

2?

2

由余弦定理得：“1+=(3x-I)+(V2)-2xV2x(3x-l)cos45°?

解得％=;或1(舍)，

1

??MN=3P。,

M為刎棱PC的中點M.

（3）設^PCDft△BCD的外接圓圓心分別E和凡三棱錐P—8。）的外接球半徑為R

則球心為過點E和F且分別垂直于平面PCD、平面8C0的兩直線的交點G,

在^中，由余弦定理得PC=吊尸-4t+16,

再由正弦定理得△PC。的外接圓半徑八=PE=1._%_=產_4t+16,

廠1尸乙2sinl20°J3

在ABCO中，由余弦定理得舊。=或2一6t+10,

再由正弦定理得^8c。的夕卜接圓半徑%=CFJBJ—t+lO.

丁2“2s山45°J2

過點尸作"H_LCO于“，連接E”，顯然四邊形G/HE為矩形，

2

：.GE2=PG2-PE2=FH2=CF2-CH2,即R2_4=棧_（挈）,

???R2=r””_律f

產―4t+16產