高中數學 第八章 第1節 第2課時 圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體

第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體

【學習目標】I.通過感受大量的空間實物及模型，概括出圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征.（重點）2.在理解

掌握簡單幾何體的結構特征的基礎上，認見簡單組合體的形成及其結構特征.（難點）

【導語】

幾何之美，源于生活，同學們，當我們仰望高聳的煙囪、觀察冰淇淋甜筒或是把玩一顆光滑的玻璃彈珠

時，是否想過這些物體背后的幾何奧秘？圓柱、圓錐、圓臺和球——這些看似簡單的幾何體，通過巧妙的

組合，構成了我們生活中無數實用而優美的形態.從宏偉的建筑穹頂到精密的機械零件，從藝術雕塑到日常

用品，它們的組合無處不在.

今天，我們將開啟一段幾何探索之旅：

?如何計算一個“火箭模型"（圓柱+圓錐）的體積？

?若將圓臺與球嵌套組合，它們的表面積會發生怎樣的變化？

?當幾何體被切割、拼接或挖空時，如何靈活運用公式解決問題？

通過分析這些組合體，我們不僅能掌握數學公式的應用，更能培養空間想象力和實際問題的解決能力.讓我

們一起揭開幾何組合體的神秘面紗，感受數學與生活的完美交融！

一、旋轉體的概念與結構特征

圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征

類別定義圖形及記法軸截面

Wi

“底面

以矩形的一邊所在直線為旋轉軸,其人

1

余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋?,側面

圓柱,不矩形

轉體叫做圓柱件一母線

底面

棱柱與圓柱統稱為柱體

圖中圓柱記?F圓柱0'。

（軸

以直角三角形的一條直角邊所在直線側%/

為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的母線7等腰

圓錐

面所圍成的旋轉體叫做圓錐底面“三角形

棱錐與圓錐統稱為錐體

圖中圓錐記彳乍圓錐so

f岸\

?1

?1

/\

上底面《\

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,側面兩

等腰

圓臺底面與截面之間的部分叫做圓臺

梯形

棱臺與圓臺統稱為臺體

下底面

圖中圓臺記作圓臺O'O

半圓以它的宜徑所在宜線為旋轉軸,

球旋轉二a形成的曲面叫做球面，球面圓

所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球

圖中球記作球0

（1）圓柱的側面展開是矩形；圓錐的側面展開是扇形；圓臺的側面展開是扇環.

（2）用一個平面去截一個球，截面是一個圓面.如果截面經過球心，則稱截面為球的大圓面，且大圓面的半

徑等于球的半徑；如果截面不經過球心，則稱截面為球的小圓面，且小圓面的半徑小于球的半徑.

（3）若半徑為R的球的一個截面圓半徑為八球心與截面圓的圓心的距離為4,則啟4/?2一廠2

例1（多選）下列說法正確的是（）

A.以直角三角形的一條邊所在的直線為軸，其余兩邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐

B.以等腰三角形底邊上的中線所在的直線為軸，將三角形旋轉180。形成的曲面圍成的幾何體是圓錐

C.半圓弧以其直徑所在的直線為軸旋轉一周所形成的曲面叫作球

D.圓錐側面的母線長有可能大于圓錐底面圓的直徑

答案BD

解析以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周得到的旋轉體不是圓錐，故A錯誤；

以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉180。形成的曲面圍成的幾何體是圓錐，B正確;

半圓弧以其直徑所在的直線為抽旋轉一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的幾何體叫作球，C錯誤；

如圖所示，當圓錐的母線與圓錐的高的夾角小于30。時，印/>2小

所以圓錐側面的母線長/有可能大于圓錐底面圓半徑「的2倍（即直徑），D正確.

反思感悟（1）同一個平面圖形繞不同的軸旋轉，所得的旋轉體一般是不同的，所以確定旋轉體結構特征的

關鍵要素：

①注意旋轉體由哪個平面圖形旋轉而成.

②注意旋轉過程t的旋轉軸是哪條直線.

⑵處理旋轉體識圖問題時，要抓住圓柱和圓錐定義中的關鍵點：①矩形或直角三角形繞軸旋轉形成，其特

征是軸所在直線必須與底面垂直；②矩形或直角三角形旋轉到任何位置時其形狀不能發生變化.

跟蹤訓練1（多選）給出下列說法，其中正確的是（）

A.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體是圓臺

D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

答案AC

解析根據圓錐的母線的定義，可知A正確；

把各梯形的腰延長后有可能不交于一點，此時得到的幾何體就式是棱臺，故B錯誤；

根據國臺的定義，可知C正確；

當平面不與圓柱的底面平行且不垂直于底面時，得到的截面不是圓和矩形，故D錯誤.

二、簡單組合體的結構特征

I.概念：由簡單幾何體組合而成的幾何體稱作簡單組合體.常見的簡單組合體大多是由具有柱體、錐

體、臺體、球等結構特征的物體組合而成.

2.構成的兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成,一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.

例2（課本例2）如圖所示，以直角梯形A4C。的下底A8所在直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍

成一個幾何體.說出這個幾何體的結構特征.

B

解幾何體如圖所示，其中垂足為E.

這個幾何體是由圓柱8E和圓錐AE組合而成的.其中圓柱8E的底面分別是08和OE,側面是由梯形的上底

CO繞軸A8旋轉形成的；圓錐AE的底面是OE,側面是由梯形的邊A。繞軸48旋轉加成的.

例2(1)請描述如圖所示的幾何體是如何形成的.

③

解①是由一個圓錐和一個圓臺拼接而成的組合體;

②是由一個長方體截去一個三棱錐后得到的幾何體;

③是由一個圓柱挖去一個三棱錐后得到的幾何體.

(2)如組①所示的幾何體是由圖②中的哪個平面圖形旋轉后得到的()

ABCD

①②

答案A

解析因為簡單組合體是由一個圓臺和一個圓錐所組成的，因此平面圖形應由一個直角三角形和一個直角

梯形構成，可排除B,D,再由圓臺上、下底面的大小比例關系可排除C.

反思感悟組合體是由簡單幾何體拼接或截去一部分構成的，在判定組合體是由哪些簡單幾何體構成的問

題時，首先要熟縛掌握簡羊幾何體的結構特征；其次要善于結合柱體、錐體、臺體、球的紀構特征，將復

雜的組合體“分割”為幾個簡單的幾何體，最后再臉證所得到的結論.

跟蹤訓練2(1)菱形A8C。繞對角線AC所在直線旋轉一周步得到的幾何體為()

A.由兩個圓臺組成

B.由一個圓錐和一個圓臺組成

C.由兩個圓錐組成

D.由兩個棱臺組成

答案C

解析將菱形繞對角線所在的直線旋轉一周，得到的組合體是兩個同底的圓錐.

(2)(多選)一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，則截面的圖形可能是()

◎二◎◎

ABCD

答案ABC

解析當截面平行于正方體的一個側面時得C,當截面過正方體的體對角度時得B,當截面不平行于任何

側面也不過體對角線時得A,但無論如何都不能截出D.

三、旋轉體的有關計算

例3一個圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4兀cnf和25兀cnf.求：

(1)圓臺的局；

⑵截得此圓臺的圓錐的母線長.

解(1)如圖，圓臺的軸截面是等腰梯形A8CO,由已知可得圓臺的上底面半徑QA=2cm,下底面半徑

OB=5cm,

又母線長AB=\2cm,

所以國臺的高為

AM=yl122-(5-2)2=3V15(cm).

(2)設載得此圓臺的圓錐的母線長為/,

則由ASAO'S加。可得巴盧二|，

所以.-20cm.

故截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.

反思感悟與旋轉體有關的計算問題中經常遇到的幾種類型：

(1)簡單旋轉體的軸極面及其應用

①簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量.

②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想.

(2)用平行于底面的平面去極柱體、錐體、臺體等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時

結合旋轉體中的經過旋轉軸的截面(軸截面)6勺性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方

程(組)而得解.

(3)球中的計算應注意一個重要的直角三角形，設球的半徑為R,截面圓的半徑為r,球心到我面的距離為

d,則/?2=法+/

(4)求圓柱、圓錐、圓臺側面上兩點間的最短距離都要轉化到側面展開圖中，“化曲為直”是求幾何體表而

上兩點間最短距離的好方法.

跟蹤訓練3(1)若一個圓錐的側面展開圖是面積為2兀的半圓面，則該圓錐的高為.

答案V3

解析設圓錐的母線長為/,則由題意得2乂2兀=",所以/=2,故半圓的弧長為冗/=2兀，設底面圓的半徑為

r,則圓錐的底面圓的周長為27n=2兀，所以尸1,,所以該圓錐的高為h=7R—丫-12二6.

⑵已知球的兩個平行截面的面積分別為5兀和8兀，它們位于球心的同側，且距離等于1,求這個球的半

徑.

解如圖，設這兩個截面圓的半徑分別為門，-2,

球心到截面的距離分別為4,4,

球的半徑為R,

則花療=5兀，兀域=8兀，

Ar=5,r>8,

又R2=rj+d：=r2+或,

.?.d］埠=8-5=3,

即314)31+4)=3,

又d\d*l,

?眄1+=3,

**Wi-d2=l,

d1=2,

解得

d2=1,

.??+域=后匚5=3,

即球的半徑為3.

■課堂小結口

1.知識清單：

(1)圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征.

(2)簡單組合體的結構特征.

(3)旋轉體的有關計算.

2.方法歸納：分類討論、轉化與化歸.

3.常見誤區：同一平面圖形繞不同的軸旋轉形成的旋轉體可能是不同的.

隨堂演練

1.下列幾何體是臺體的是()

ABCD

答案D

解析臺體包括棱臺和圓臺兩種，A的錯誤在于四條側棱沒有交于一點；B的錯誤在于截面與圓錐底面不

平行；C是棱錐；結合圓臺的定義可知D正確.

2.如圖所示的平面中陰影部分繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體為（）

A.一個球

B.?個球挖去?個圓柱

C.一個圓柱

D.一個球挖去一個長方體

答案B

3.下列說法正確的是（）

A.過圓錐側面上?點有無數條母線

B.圓錐的母線互相平行

C.圓錐的軸棧面是所有過頂點的截面中面積最大的一個

D.圓錐的所有平行于底面的截面（不過頂點）都是圓面

答案D

解析過圓錐側面上一點只有一條母線，即為圓錐的頂點與該點連線并延長至底面的線段，A不正確；圓

錐的母線交于一點，B不正確；當圓錐的軸截面的頂角大于90。時，其面積不是所有過頂點的截面中面積

最大的，C不正確；D顯然正確.

4.某地球儀上北緯30。緯線圈的長度為12兀cm,如圖所示，則該地球儀的半徑是cm.

北緯3。。

答案4\/3

解析如圖所示，由題意知,

北緯30。緯線所在小圓的周長為12兀cm,

則該小圓的半徑i-6cm,

其中乙48。=30°,

所以該地球儀的半徑R=——=4V3（cm）.

cos300

課時對點練

［分值：80分］

一、單項選擇題（每小題5分，共30分）

1.下列幾何體中不是旋轉體的是（）

ABCD

答案D

解析由旋轉體的概念知A,B,C是旋轉體，D不是旋轉體.

2.一個等腰三角形繞它的底邊所在直線旋轉360。形成的曲面所圍成的幾何體是（）

A.球體

B.圓柱

C.圓臺

D.兩個共底面的圓錐的組合體

答案D

解析過等腰三角形的頂點向底邊作垂線，得到兩個有一條公共邊的全等直角三角形，而直角三角形以一

條直角邊所在直線為軸旋轉一周得到的幾何體是圓錐.

3.圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是（）

①②

A.圓錐、棱柱B.圓錐、棱錐

C.球、棱錐D.圓錐、圓柱

答案B

解析易知①為圓錐，②為三棱錐.

4.過球面上任意兩點A,8作大圓（經過球心的截面圓），可能的個數是（）

A.有且只有一個B.一個或無數個

C.無數個D.以上均不正確

答案B

解析當過A,8的直線經過球心時，經過A,8的截面圓都是球的大圓，這時過A,8作球的大圓有無數

個；當直線48不經過球心。時，經過A,&。的截面就是一個大圓，這時只能作出一個大圓.

5.下列說法中正確的是（）

A.將正方形旋轉不可能形成圓柱

氏夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體

C.圓錢截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺

D.通過圓臺側面上一點，有無數條母線

答案C

解析將正方形繞其一邊所在直線旋轉可以形成圓柱，所以A錯誤；當這兩個平行截面與底面不平行時，

兩個平行截面間的幾何體不是旋轉體，所以B錯誤；通過圓臺側面上一點，只有一條母線，所以D錯誤.

6.美味的火鍋中也充滿了有趣的數學知識，如圖將火鍋抽象為乙圖的兩個同心圓柱，大、小圓柱的半徑分

別為25cm與5cm,湯料只放在兩圓柱之間，將湯勺視為一條線段，若將湯鍋裝滿，將湯勺置于兩圓柱之

間，無論如何放置湯料都不會將湯勺淹沒，則湯勺的長度最短為（）

A.103cmB.10V30cm

CIO聞cmD.10V37cm

答案C

解析將4投影至底面為4',/VB是底面大圓的一條弦且A5與小圓相切（切點為M）時最長，所以

A,I3=2RM=2>J252-52=20>/6,

所以AB=J（20巫7+302=10夜，即湯勺的長度最短為10V33cm.

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是四邊形，這個幾何體可能是（）

A.圓錐B.圓柱

C.球體D.圓臺

答案BD

解析用一個平面去截一個圓錐，得到的截面不可能是四邊形，故A不滿足要求；用一個平面去截一個圓

柱，得到的截面有可能是四邊形，故B滿足要求；用一個平面去截一個球體，得到的截面只能是圓，故C

不滿足要求；用一個平面去截一個圓臺，得到的截面有可能是四邊形，故D滿足要求.

8.半徑為10cm的球被兩個平行平面所截，兩個截面圓的面積分別為36兀cnR64hcm2,則這兩個平行平

面的距離為（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.14cm

答案AD

解析設兩個截面圓的半徑分別為〃，r2,球心。到兩個截面的距離分別為4,ch,球的半徑為R.

由*=36兀，得，1=6cm,小7R2一*=8（cm）,

由泥=64兀，得/*2=8cm,d2=V^^rJ=6(cm),

如圖所不，當兩個平行平面在球心的同側時，

這兩個平面間的距離為di/2=2(cm).

如圖所示，當兩個平行平面在球心的兩側時，

這兩個平面間的距離為i/iW2=14(cm).

三、填空題(每小題5分，共10分)

9.已知圓柱的側面展開圖是正方形，其面積為Q,則該圓柱個底面的面積為.

答案9

4n

解析圓柱的側面展