平面向量的數量積及其應用-高考數學重難點題型專練（新高考地區專用）解析版

專題5.6平面向量的數量積及其應用.重難點題型精練

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2022?安徽?高三階段練習）已知向量沆=（2,-3）,n=（l,l）,若（A沆一元）1元，則實數/I的值

為（）

A.一；B.；C.2D.-2

【解題思路】根據（4沆-n）l記得到A的方程求解即可.

【解答過程】解：由題意得，Am-n=（2A-1,-3A-1）,

V（Am-n）In,

???2A-1-3/1-1=0,

/.X=-2,

故選：D.

2.（5分）設向量落石均為單位向量，則“五1戶是124-同=|4+2可”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】由數量積的運算性質與充分條件與必要條件的定義求解即可

【解答過程】向量五，E均為單位向量,由|2占一同=區+2同化簡可得

4a2-4a-b+b2=4d2-4a-b+b2,

所以4—4a-b+l=l+4a-b+4,

所以G-b=0,即五1b.

向量d,3均為單位向量，當G13時，

則6-b=0,

\2d-同=J4d2-4a-b+b2=V5?

|a+2b\=V4a2-4db+b2=V5,

所以12d_同=\a+2b\f

所以％1齊是12G-b\=\a+2可”的充要條件，

故選:B.

3.（5分）（2022?江蘇泰州?高三期中）己知向量不一（1,3）,b-（2,-4）,則下列結論正確的是（〉

A.(a+b)//a

B.|2a+S|=V10

C.向量G與向量3的夾角為f

4

D.3在d的投影向量是(1,3)

【解題思路】應用向量坐標的線性運算求五十族=(3,-1)、2a+5=(4,2),結合向量共線定理、模長的坐

標運算判斷A、B,根據向量夾角的坐標表示、投影向量的定義判斷C、D.

【解答過程】由1+族=(3,—1),不存在/IER使&+族=府，即與，不共線，A錯誤；

由浮+族=(4,2),故|22+司=2而，B錯誤;

由cosV五,B>=看東=一百總上行=一去又〈五石>￡[0,乃],a,b>=C正確；

由很在G的投影向量向cos>高=2向x(―當x焉=(-1,-3),D錯誤.

故選：C.

4.(5分)(2022?江西贛州,高三期中(理))已知非零向量入B滿足忻|=2遮同，且(五一“)1窗則五與B

的夾角為()

A.-B.-C.—D.—

3434

【解題思路】根據給定條件，利用垂直的向量表示求出日?木再利用夾角公式計算作答.

【解答過程】因非零向量2,B滿足悶=2夜同，由伍一4歷_12得：(a-4?)a=a2-4a-K=0,解得

a-b=-d2=2b2,

4

于是得cos〈a,B)=高》=而OW〈G,B&7I,則〈G,B)=+

所以,與萬的夾角為￡

4

故選：B.

5.(5分)(2022.江蘇南通.高三期中)已知△48C的外接圓的圓心為。，半徑為I,AO-^AB+^AC,瓦?在

府上的投影向量為:近，則65?就=()

4

A.-V3B.-1C.1D.V3

【解題思路】先根據條件得△AB。為直角三角形，再根據投影向量的公式可得cos8=j進而可得三角形中

每個角的大小，再通過計算.??瓦？瓦=而+下)(而-而)可得答案.

【解答過程】解：AO=\AB+\AC,則。為中點，。又是外接圓圓心,

則AA8C為直角三角形，:前為瓦?在近上的投影向量，

4

.廊|cosB—_1―?向|cos8_1

18cl418cl4

Acos2F=CQSB=:

42

7r

工Bn=C6=兀

36

.'.OA-BC=-AO-JC=-；（而+羽）函-通）=-X而2一而2）

△48C的外接圓半徑為1,：,BC=2,：.AB=1,AC=痘,

???溟?近=-*3-1）=-1,

故選:B.

6.（5分）（2022?全國?高三專題練習）設銳角△A8C內部的一點。滿足|0川=|08|=|。。|,且士?西+

2COS-4

黑.亞+篝.小人則角A的大小可能為（）

A.-B.-C.-D.—

46312

【解題思路】根據三角恒等變換和外心的向量性質，將原式化簡，即可求得角A的大小.

【解答過程】由于銳角△ABC內部的一點。滿足|CM|=|OB|=|OC1，

所以點。為aABC外接圓的圓心，外接圓的半徑為R；

所以，?耐+竺￡?而+竺￡.配二丁

2cosAsinCsinF

整理得二一-OA+--(O§-0A)+^-(OC-OA)=0,

2COSASine''sinfi'7

所以2+四.(麗?布一耐2)+*.(沅?福一褊2)=o,

2cos4sinC''sinB''

故-^―-/?2+--/?2-(cos2C-1)+—?/?2-(cos2B-1)=0,

2cos4sinC'7sinF))

則-^―+—?(cos2c-1)4--?(cos2J?-1)=0,

2cosAsinC''sinB''

所以---=2sinCcosB+2sin8cosc=2sin(B+C)=2sinA,

2cos4''

故sin2A=I，

由于0VA〈%

所以24或萼，

66

解得代杯或票

故選：D.

7.(5分)(2022?江蘇鹽城?高三期中)B^n^(2cosl5°,2sinl5°),B(2cos75°,2sin75°),及圓/+y2=4上

的兩個動點C、。，且|CD|=2,則石？?麗+E??麗的最大值是()

A.6B.12C.24D.32

【解題思路】求出48兩點坐標，設。(右,月),0(孫,丫2)，計算后？?麗+畫?麗，由弦CD的中點在以原點為

圓心3為半徑的圓上，求得圓方程，然后用三角換元法化為三角函數式，利用和與差的正弦公式化簡后可

得最大值.

【解答過程】cosl5°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=yXy+yx1=sinl5°=

sin(45。-30。)=sin45Fs3。。-8s45osin3。。=4x"十『

v,6—V2

sin75°=cosl5°=cos75°=sinl5°=

4

4(后+、歷v石一茂)B(&-\歷v石+企)

1

X=>同理為犯=1，xA+xB=V6,yA+yB=V6,

設。(%1，%)，。(%2，%)，

CA-CB+DADB=(xA-xltyA-%)(&-xlfyB-yj+(xA-x2,yA-y2)(xB-x2,yB-y2)

=(xA-%)OB-xt)+(%-y^(yB-%)+(以-x2)(xB-x2)+(yA-y2)(yB-y2)

=xAxB-x^xA+xB)+yAyB-yfyA+yB)+4+xAxB-x2(xA+xe)+yAyB

一，2(%+%)+4=2XAXB+2yAyB-(x1+x2XxA+4)一仇+力)5+%)+8

=-V6(Xi+x2)-V6(yi+y2)+12,

\CD\=2,則G)中點到圓心的距離為物口二百，中點的軌跡方程為/+y=3,

CD中點M當"）在/+y2=3±,

2

（Xi+x2）+（%+丫2）2=12,令%i+x2=275cosayi+力=2V3sin0（0G[0,2TT））>

CA-CB+DA-DB=-6V2cos0-6&sin。+12=-12（條os。+卷sin。）+12

=-12sin(0+^)+12<24,”乎時等號成立，

故選：C.

8.(5分)(2022?北京?高三階段練習)在△48。中，4C=3,8C=4/C=90°.P為△/18C所在平面內的動點，且PC=2,

^CP=ACA+fiCB,則給出下面四個結論：

①左〃的最小值為-$②而?麗的最小值為-6；

③的最大值為京④麗?麗的最大值為8.

其中，正確結論的個數是()

A.IB.2C.3D.4

【解題思路】如圖，以C為原點，C4C8所在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標系，設尸(2cose,2sin￡),

(2

_,_?,_,:C0SJ=4

然后表示出CP,C4cB的坐標，由題意可得”，再逐個分析判斷即可.

；sin8=〃

-

【解答過程】如圖，以C為原點，C4CB所在的直線分別為工)軸，建立平面直角坐標系，

則C(0,0)/(3,0),B(0,4),

因為PC=2,所以設PQcos仇2s設J),則

C?=(2cos0,2sin0),CA=(3,0),而=。,4),

所以麗=4亦〃而=(3兀40，

所以f2cc圖W=既32，即|7，COS0?=1,為任意角)，

<2

2I

所以4+〃=jCOS0+；sin。

5/43\

=-(-cos0+-sin^I

6\55/

='sin(e+9)(其中sing=g,cos0=》，

所以4+〃的最大值為最小值為I，

65

所以①③錯誤，

因為西=(3-2cos0,-2sin。),而=(-2cos04-2sin0),

所以西?麗=?2cos6(3-2cos6)-2sin8(4-2sin。)

=4-(8sin8+6cos。)

=4-10sin(6+a)(其中sina=q,cosa=?

因為-lUW-IOsin("+a)Wl。，

所以_6a-10sin(6+a)S14,

所以西?麗￡[-6,14],

所以麗?麗的最小值為-6,最大值為14.

所以②正確，④錯誤，

故選:A.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2022?福建省高三期中）已知向量G=（2,1）1=（-3,1）,則（）

A.3二（個,一等），則B.（a+5）IIa

C.G與五一3的夾角正弦值為亭D.向量d在向量石上的投影向量為一;B

【解題思路】求出五々即可判斷A；根據平面向量共線的坐標表示即可判斷B；求出兩向量夾角的余弦值,

從而可判斷C,根據投影向量的計算公式計算即可判斷D.

【解答過程】解：對于A,因為d?1=等一等=0,

所以五1乙故A正確；

對于B,d+b=（-1,2）,

因為一lx1-2x2=-5HO,所以0+9）與G不平行，故B錯誤；

對于C,a-b=（5,0）,

貝i即㈱*咨

所以d與d—3的夾角正弦值為?，故c正確；

對于D,向量,在向量B上的投影向量為胃哈=器乂得=一?，故D正確.

故選:ACD.

10.（5分）（2022.湖北黃岡?高三階段練習）在平面四邊形48CD中，而?前二O,AD-CD=O,\AB\=\AD\=

1,而?瓦？=5若點E為線段CD上的動點，則通?說的值可能為（）

A.1B.-C.2D.

162

【解題思路】由數量積的定義及性質，得出彳后1近，ADLCD,^DAB=p由余弦定理求得&）,進一步

根據幾何關系得△BCD為正三角形，DC=BD.

2

即可以。為原點,OC為x軸,OA為），軸建立平面直角坐標系,利用向量坐標法可表示出麗?麗+

泉XG[0,V3],討論值域即可

【解答過程】由題而?前=0=而_L而，AD-CD=O<=>ADJ.CD,

cos乙DAB=?竺n竺?=言匕=一二,又4048￡%,兀],則乙。=?，

\AB\\AD\\AB\\AD\21J3

則"D8=乙ABD=7,乙BDC=LDBC=；,△BCD為正三角形，DC=BD=

63

\!AB2+AD2-2AB-AD-cos/LDAB=V3,

故以力為原點，。。為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示,

B

則4(0,1),c(V3,o),設E(%,0)xe[o,網,則荏=?_1),屁=(%—當,-9,

則版.而=%2+|=(%—曰)+*

則當*=烏時，荏?而取最小值3：當X=V5H寸，通?而取最大值3,故而?而件,31.

415116J

故選：BC.

11.(5分)(2023?浙江溫州?模擬預測)已知向量65=(1,3),OB=(-2,4),OC=AOA+(1-其

中；IWR,則下列命題正確的是()

A.6?在抽上的投影向量為(-1,2)B.|瓦|的最小值是

C.若麗?沆>0,則2(1—2)>0D.若麗?沆V0,則;1(1-2)<0

【解題思路】根據投影向量的定義求得函在而上的投影向量判斷A,求出向量的模|詼由函數性質得最

小值判斷B,計算麗?沅，根據其正負確定；I的范圍，然后判斷入(1-2)的正負，從而判斷CD.

(解答過程】cos^AOB=黑普=關半=包,

|0A||08|S^10XV202

麗既瓦t的投影向量為奧cos乙4。8?赤=受?冷?(-2,4)=1-1,2),A正確；

|2V52

OC=WA+(1-X)OB=(1,31)+(-2+21,4-41)=(-2+3九4-1),

|UC|=J(-2+3/l)2+(4-Q2=40(4-+1。,

所以；1=1時，|沅|取得最小值”S,B正確；

05-0?=4-6A4-16-4A=20-10A>0,A<2,無法判斷4(1一2)的符號，C錯誤；

OBOC<0,A>2,則；1(1一2)<0,D正確.

故選：ABD.

12.(5分)(2022?安徽?高三階段練習)正方形ABCD的邊長為4,E是8c中點，如圖，點P是以AB為

直徑的半圓上任意點，而=2同+〃而，則()

A.〃最大值為1B.a最大值為2

C.而?而最大值是8D.而?荏最大值是8+4通

【解題思路】如圖，以線段43所在直線為工軸，線段43的垂直平分線為)，軸建立平面直角坐標系，

設P(2cos0,2sin。)，8W[0向又A(-2,0),B(2,0),E又2),D(-2,4),C(2,4),利用向量的坐標運算,結合三角函

數的性質逐一求解即可.

【解答過程】如圖，以線段A8所在直線為工軸，線段A8的垂直平分線為)，軸建立平面直角坐標系，

設P(2cosa2sin。)，0e[0,K],

乂爪-2,0),8(2,0),E(2,2),D(-2,4),C(2,4),

則而=(2cos0+2,2siiW),而=(0,4),族=(4,2),

???AP=AAD+〃荏，即(2cos。+2,2sin。)=1(0,4)+〃(4,2),

12cos8+2=4〃

"(2sin。=4A卜2〃’

COS0+1

〃=-------

解得22sin0-cos0-l'

A=-------

4

因為ee[0,7t],則一1<cos。<1,0<sinO<1,

COS0+1

-G[0,1],

y2sin。-cos。-1^5sin(0—<z>)—1".卜1-12ZA

A=---------=-----產一，其中sin。=房,cosw=菠，3為銳角，

當sin(8—w)=l,即。9時，入取最大值與1,故A正確，B錯誤；

AP-AD=(2cos0+2,2sin6)-(0,4)=8sin0G[0,8],C正確；

AP-AE=(2cos。+2,2sin。)?(4,2)=4sin6+ScosO+8=4而sin(6+e)+8,

其中sine=磊，8s6=靠，巾為銳角

當Sin(6+6)=1,即?一6時，麗?麗取最大值8+4傷，D正確

故選:ACD.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)(2022?上海楊浦?高三期中)已知&=(2,1),B在d上的投影向量為一2d,則/不=-10.

【解題思路】根據投影向最可得需=-2,結合向量模長公式得模長即可求解..

【解答過程】由五=(2,1)得同=次,

加在d上的投影向量為Bcos值㈤高=需?五=-2d=需=-2,

所以G?b=-2|a|2=-10,

故答案為:-10.

14.(5分)向量心?滿足伍-5)-(2a+S)=-4,且同=2,\b\=4,則，與3夾角的余弦值等于-0.5.

【解題思路】利用向量數量積公式得到(G-5)-(2d4-5)=2a2-b2-ab=8-16-8cos夕=-4,解出

即可.

［解答過程］(d—5)?(2d+b)=2d2-b2-a-b

=2\d\2-\b\2—|a||5|cos0

=2.22-42-2?4?cos。

=8-16-8cos8

=-4,

解得cos。=

故答案為:

15.(5分)(2022?安徽?高三階段練習)△力8c中，AB=2,^ACB=。是△ABC外接圓的圓心，則瓦?

4

彳值+ZSN片的最大值為6

【解題思路】首先根據平面圖形的幾何性質求出外接圓半徑長度與2408=各然后將向量近，CA,而用

向量57,08,沆線性表示.

再根據數量積運算得浙AB+CA-CB=|0C|2-2\OA\\OC\COSLAOC,最后根據乙4。。的取值范圍求得前?

而+而?麗的最大值即可

【解答過程】△/BC中，Z-ACB=-,。是△力BC外接圓圓心，如圖所示：

4

貝2Z,ACB=又因為力

IJ/40B=2B=2,

所以。4=0B=&,即外接圓的半徑r=&.

痔麗+方?而=沆?觸-網+例-硝?（麗-硝

=OCOB-OC-OA+OA?OB-OA-OC-OC-OB+OC2=OA-OB+OC2-20A?0C,

vZ.A0B=p04108,即?而=0.

故得沆AB^CA-CB=OC2-2dAOC=\0C（-2\0A\?\OC\cos^AOC=2-4cos/-AOC,

因為4、C不重合，所以向量力?與沅的夾角范圍為（0,同，

所以一1<cosZ-AOC<1,

所以COSN20C=-1,即。為4C的中點時，

0C-AB+CA-而取得最大值為2-4x（-1）=6.

故答案為：6.

16.（5分）（2022,北京通州?高三期中）已知△力BC滿足前0.給出下列四個結論：

①A48。為銳角三角形；

②sin/l<cosB；

@AB2>CB2+CA2；

?cosAcosB>sinAsinB.

其中所有正確結論的序號是②③④.

【解題思路】根據平面向量數量積的定義，結合余弦定理、兩角和的余弦公式、正弦型函數的單調性逐

判斷即可.

【解答過程】由麗?譚〉0=>CB-CA<0^\CB\^\CA\-COSC<0=cosC<0=CW或兀），

所以A/WC是鈍角三角形，因此①不正確；

因為。￡（右兀），所以4+B<；=A

因為都是銳角，所以可得sin力Vsin（T-8）=COS8,因此②正確；

由cosC=V0=a?+匕2_c2Vo=BC2+AC2<AB2.

""2二ab'

因此③正確；

由cosC<0=>cos（7t-A—B）<0=cos（4+8）>0=cosAcosB-sinAsinB>0

=cosAcosB>sinAsinB,因此④正確，

故答案為：②③④.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2021?遼寧?高二期末）已知向量d=（1,0）1=（m,l）,且，與方的夾角為:.

⑴求|五一2瓦；

（2）若G+痛與B垂直，求實數4的值.

【解題思路】（I）根據向最夾角的坐標運算，結合已知條件，列出方程即可求得參數；再結合平面向最的

運算求模長即可：

（2）根據（1）中所求，結合向量垂直的坐標運算，即可求得參數4.

【解答過程】（1）因為d=（1,0）石=（m,1）,且五與9的夾角為%所以d?寸=m,|d|=L|同=（蘇+1.

因為cos<d,b>=黑p故下之：=cos；,解得m=1或m=-1（舍）.

|a||d|vm2+l4

所以G-2族=（-1,一2）,則|G-2加=J（-1）2+（-2）2=通.

（2）因為d+aB=（l+九1）,d+高與B垂直，

所以（G+昉）.3=0,即1+24=0,解得4=—g.

18.（12分）（2022.浙江嘉興.高一期末）已知平面向量露族滿足團=1,a-5=1,（a+2b）.（a-5）=一（

（1）求同的值;

（2）設B在G上的投影向最為發，求實數2的值.

【解題思路】（1）根據向量計算的相關公式解方程；

（2）根據向量的投影的概念及公式直接計算.

【解答過程】（1）

2

由（d+2族）.（G—族）=-1,即方+；?b-2b2=1+[-2b=-p

解得問=g；

（2）

訪G上的投影向量為普3=先，

同|a|2

故，=2,

19.（12分）（2022?湖北?高三期中）已知△ABC的內角4,8,C所對的邊分別是a,b,c

向量沆=（a,ga），n=（cosC.sinC）,且訪?元=8+c.

⑴求角A；

（2）若a=2V3,△ABC的面積為28，求b、c.

【解題思路】（1）由向量數量積的坐標運算代入記?元=b+c中，利用正弦定理邊化角的轉化及Sin8=

sin缶+C）進行化簡得到gsi"-cosA=1,再利用輔助角公式得sin（力一?=5根據條件求出4

（2）由SMBC=2V5及（1）求出be的值，在利用余弦定理及a=2B，求出b+c的值，聯立方程組解出結

果.

【解答過程】（1）沆?五=acosC+百asinC=b+c,

根據正弦定理,即sin24cosc+VSsinAsinC=sinB+sinf,

因為sinB=sinQ4+C）,得sinAccsC+百sinAsinC=sin（A+C）+sinC,由sinC>0,

整理得，V3sin/I-cos/1=1,即2sin（4—t）=1,sin（/l—

力?屋或也得A4或兀（舍去），即A=全

（2）ShABC=^besinA=^-bc=2Vbe=8,

根據余弦定理，得彥=/）2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA,

則12=（b+c）?-24,（b+c）2=36,b+c=6,

又be=8,則憶：或憶；.

20.（12分）（2022?河南安陽?高三階段練習（理））已知G=（sinx+cos%,2cos6）,b=（2sin0,1sin2x）.

（）若（）且。€（）時，與的夾角為鈍角，求。的取值范圍；

1[=-3,4,x=%40,"d5cos

(2)若。=g,函數/(x)=d?B,求/(%)的最小值.

?5

【解題思路】(1)若五與［的夾角為鈍角，則di<0且五與了不能共線.

⑵化簡得f(x)=V3sinx+V3cosx+sinxcosx,利用(sm+cosx)=i_sinxcosx轉化為關「sinx-COST的二次

函數求值域問題.

【解答過程】(1)

當x時，d=(V2,2cos0),若d與^的夾角為鈍角，

則d-IVO且五與3不能共線,

d-c=(yf2,2cos。)?(―3,4)=-342+8cos8<0,所以cos。<

又eW(0,7T),所以COS。W

當值與［共線時，4a+6cos0=0,故cos。=一零，所以cos。學一號,

JJ

綜上：cosee(-l,一憐u(一苧，平)

(2)

(6,gsin2x

/(%)=ab=(sinx+cos%,1)?

l/-1

=V3sinx+V3cosx4--sin2x

乙

=x^sinx+A/3COSX4-sinxcosx,

令t=sinx+cosx=x/2sin(x+^)G[—A/2,A/2],貝！Isinxcosx=彳^

/W=b士+子=；(t+75)2-2

而函數y=1(t+V3)2-2在te[-&，e]上為增函數，故當t=一/時有最小值T一V6.

故/(%)的最小值為［一遍.

21.(12分)(2022.江蘇無錫.高三期中)已知向量落?滿足悶=&,同=2,ab=-2.

(1)求向量B和&+B的夾角；

(2)設向量M=&+?2-3)九歹二一kd+(￡+2行，是否存在正實數,和人,使得￡1歹？如果存在，求出/

的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

【解題思路】(1)用Jm+1)2計算歸+砧求向量夾角公式為cose鬻，代入計算即可.

2

(2)由￡1夕整理々"的關系式k=7-2t,由上＞0得/的取值范圍.

t-2

【解答過程】(I)忖+3？=2+4+2X(—2)=2,

\d+b\=>/2?5-(a4-5)=a-5+52=-2+4=2

設向量3和d+3的夾角為。，

cosO=集駕=^==—,0G[Ci,n]

|b||5+b|2>/22I，」

?,?石與日+石夾角為1

4

(2)假設存在正實數/和2,使得則+9=0,

=[五+(t2-3)b]?[-ka+(t+2)b]

=-ka2+[t+2—k(t2—3)]a-5+(t2—3)(t4-2)-S2

=-2k-2[t+2-k(t2-3)]+4(t+2)(產-3)=0,

：.2k(t2-4)+(￡+2)(4t2-14)=0,

Vt>0,.*.2/c(t-2)+4t2-14=0,

—2)=7—2t2,k=I；；>0,

故,7-2：2>。或[7-2：2<。,解得等vt<2,

即存在且，的取值范圍為(當,2).

22.(12分)(2022?湖北?高一期末)如圖，設△四。中角所對的邊分別為a,b,