（2026年秋）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)大全（2024修訂版）

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)大全（2024年修訂審定版）顏色標(biāo)注說(shuō)明：●紅色＝核心定義/概念●藍(lán)色＝重要公式/定理●綠色＝重要性質(zhì)/法則●紫色＝易錯(cuò)點(diǎn)/注意事項(xiàng)第25章一元二次方程25.1一元二次方程1.一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程。2.一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)?！咀⒁狻縜≠0是必要條件，否則就不是二次方程。25.2解一元二次方程1.直接開(kāi)平方法：形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，直接開(kāi)平方求解。x2=p→x=±√p2.配方法：通過(guò)配方將方程化為(x+m)2=n的形式再開(kāi)方。配方步驟：移項(xiàng)→二次項(xiàng)系數(shù)化為1→兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方→開(kāi)方3.公式法：求根公式：x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)（a≠0）4.判別式：Δ=b2-4ac①Δ>0→方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根②Δ=0→方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根③Δ<0→方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根5.因式分解法：將方程一邊化為0，另一邊因式分解，利用ab=0→a=0或b=0求解。【注意】選擇解法時(shí)優(yōu)先考慮因式分解法和直接開(kāi)平方法，其次配方法，最后公式法（萬(wàn)能法）。25.3根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）1.韋達(dá)定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為x?、x?，則：x?+x?=-b/ax?·x?=c/a【注意】韋達(dá)定理前提是Δ≥0（方程有實(shí)數(shù)根）。25.4實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程1.常見(jiàn)應(yīng)用題型：①面積問(wèn)題（如矩形面積、花壇設(shè)計(jì)）②增長(zhǎng)率問(wèn)題：(1+x)2=最終值/初始值③利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷量④數(shù)字問(wèn)題：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字【注意】解出的答案要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義，如邊長(zhǎng)不能為負(fù)。第26章二次函數(shù)26.1二次函數(shù)1.二次函數(shù)：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)。2.a、b、c的作用：a決定開(kāi)口方向和大??；b與a共同決定對(duì)稱軸位置；c決定與y軸交點(diǎn)。26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象：拋物線。2.頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))3.對(duì)稱軸：直線x=-b/(2a)4.開(kāi)口方向：①a>0時(shí)，開(kāi)口向上，有最小值②a<0時(shí)，開(kāi)口向下，有最大值5.增減性：①a>0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)y隨x增大而減小，右側(cè)y隨x增大而增大②a<0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)y隨x增大而增大，右側(cè)y隨x增大而減小6.最值：當(dāng)x=-b/(2a)時(shí)，a>0時(shí)，最小值y=(4ac-b2)/(4a)a<0時(shí)，最大值y=(4ac-b2)/(4a)7.三種形式：①一般式：y=ax2+bx+c②頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（頂點(diǎn)為(h,k)）③交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)（x?、x?為與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)）26.3二次函數(shù)與一元二次方程1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)：令y=0，得方程ax2+bx+c=0。Δ>0：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)Δ=0：拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（相切）Δ<0：拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)2.二次函數(shù)不等式：y>0即ax2+bx+c>0，看圖象在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x范圍。第27章反比例函數(shù)27.1反比例函數(shù)1.反比例函數(shù)：形如y=k/x（k≠0）的函數(shù)（也可寫(xiě)成y=kx?1）。2.自變量取值范圍：x≠0。3.圖象：雙曲線，位于一、三象限（k>0）或二、四象限（k<0）。27.2反比例函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)k>0時(shí)：圖象在一、三象限在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而減小2.當(dāng)k<0時(shí)：圖象在二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而增大3.|k|的幾何意義：圖象上任意一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸作垂線，圍成的矩形面積S=|k|?！咀⒁狻?在每個(gè)象限內(nèi)"很重要，不能籠統(tǒng)說(shuō)"y隨x增大而減小/增大"。綜合與實(shí)踐：高鐵列車(chē)運(yùn)行中的數(shù)量關(guān)系1.用函數(shù)模型描述高鐵運(yùn)行中的數(shù)量關(guān)系（速度、時(shí)間、距離等）。2.分析函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。第28章旋轉(zhuǎn)28.1圖形的旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換。點(diǎn)O叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫旋轉(zhuǎn)角。2.旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角③旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。ㄐD(zhuǎn)前后圖形全等）28.2中心對(duì)稱1.中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。2.中心對(duì)稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心平分3.中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原圖形重合，這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。常見(jiàn)中心對(duì)稱圖形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等第29章圓29.1圓的有關(guān)性質(zhì)1.圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形。定點(diǎn)叫圓心，定長(zhǎng)叫半徑。2.弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。直徑是圓中最長(zhǎng)的弦。3.?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分。大于半圓的弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧叫劣弧。4.圓的對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形（任何過(guò)圓心的直線都是對(duì)稱軸），也是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱中心是圓心）。5.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。6.垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。7.圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。8.圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧上的圓心角度數(shù)的一半?！螦CB=(1/2)∠AOB（同弧所對(duì)）9.圓周角定理推論：①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等②半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角（90°）③90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑【注意】垂徑定理使用時(shí)常作輔助線：連接圓心與弦的端點(diǎn)構(gòu)造直角三角形。29.2點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1.設(shè)圓半徑為r，點(diǎn)到圓心距離為d：①點(diǎn)在圓外：d>r②點(diǎn)在圓上：d=r③點(diǎn)在圓內(nèi)：d<r2.三點(diǎn)定圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3.三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓。外接圓的圓心叫三角形的外心（三邊垂直平分線的交點(diǎn)）。第30章直線和圓的位置關(guān)系30.1直線和圓的位置關(guān)系1.設(shè)圓半徑為r，圓心到直線的距離為d：①相離：d>r（無(wú)交點(diǎn)）②相切：d=r（有一個(gè)交點(diǎn)，叫切點(diǎn)）③相交：d<r（有兩個(gè)交點(diǎn)）30.2切線的判定與性質(zhì)1.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。3.切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度。4.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。30.3三角形的內(nèi)切圓1.內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓。2.內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心