九年級上冊數學第四章《圖形的相似》主題復習導學案（北師大版）

九年級上冊數學第四章《圖形的相似》主題復習導學案（北師大版）

一、課標解讀與內容定位

本章內容屬于“圖形與幾何”領域的重要部分，是打通全等三角形與三角函數、函數綜合應用的關鍵橋梁。根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》，本章復習不僅要鞏固“對應角相等、對應邊成比例”的核心概念，更要在“圖形的變化”中理解“相似變換”的不變量與不變性。本導學案旨在通過大單元視角，將比例線段、相似三角形的判定與性質、位似圖形以及實際應用融為一體，構建結構化的知識體系，發展學生的幾何直觀、推理能力和模型觀念。【非常重要】【基礎】

二、復習目標鎖定

（一）知識與技能目標

1.系統梳理成比例線段、平行線分線段成比例、相似三角形的判定定理（兩角、兩邊夾角、三邊）與性質定理（對應線段比、周長比、面積比）。

2.精準識別“A型”、“X型”、“母子型”、“旋轉型”等基本相似圖形，并能從中抽象出數學模型。

3.理解位似圖形的概念與性質，掌握在坐標系中位似變換的坐標規律（k或-k）。【重要】

4.能運用相似三角形的知識解決測高、測寬等實際問題，體會數學建模過程。【高頻考點】

（二）核心素養目標

1.通過圖形構造與變換，培養邏輯推理能力（推理能力）。

2.通過動點問題與存在性問題的探究，滲透分類討論與方程思想（數學思想）。

3.通過對黃金分割、視點盲區等問題的分析，感受數學的文化價值與生活應用（應用意識）。

三、知識網絡構建（思維導圖式梳理）

請同學們在復習開始前，嘗試閉合書本，回憶本章脈絡，然后對照以下框架進行自我診斷：

（一）源頭：比例與比例線段

比例的基本性質（ad=bc）、合比性質、等比性質。

黃金分割（點、比、值0.618）。

平行線分線段成比例基本事實及推論（重點在于“對應線段”的識別）。【基礎】

（二）核心：相似三角形的判定

預備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或延長線），所構成的三角形與原三角形相似。【非常重要】

判定定理1：兩角分別相等。

判定定理2：兩邊成比例且夾角相等。（注意“夾角”陷阱）【高頻考點】【難點】

判定定理3：三邊成比例。

直角三角形的特殊判定方法（HL相似）。

（三）內核：相似三角形的性質

對應角相等，對應邊成比例。

對應高、中線、角平分線的比等于相似比。

周長比等于相似比。

面積比等于相似比的平方。【非常重要】

（四）延伸與拓展

相似多邊形（性質與判定）。

圖形的位似（位似中心、位似比、坐標系中的變換）。【熱點】

四、復習實施過程（核心環節）

本環節采用“問題鏈驅動+變式訓練”的模式，將知識點融會貫通。

（一）基礎通關：核心概念再確認

本環節旨在掃清知識盲區，確保基本結論的準確記憶與簡單應用。

1.比例線段的判斷：

已知線段a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=6cm。問它們是否成比例？此時若有a:b=c:d，則d叫做什么？

（設計意圖：復習“第四比例項”概念，強調單位統一與計算順序。）

2.黃金分割的應用：

電視節目主持人在主持節目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體。若舞臺AB長為20米，試計算主持人應離A點（或B點）至少多少米？

（設計意圖：聯系生活實際，鞏固黃金分割的計算，注意“較長段”與“較短段”的分類。）

3.平行線分線段成比例的直接運用：

如圖（1），直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1、l2、l3于A、B、C，直線DF分別交l1、l2、l3于D、E、F。已知AB=2，BC=3，DE=1.5，求EF的長。

（設計意圖：直接運用基本事實，強調“對應”關系。）

（二）判定突破：尋找相似的條件

本環節精選典型圖形，訓練學生從復雜圖形中剝離出基本模型的能力。

1.【重要模型·雙垂直】如圖（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D。

問題1：圖中有幾對相似三角形？請寫出來。（Rt△ACD∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC，Rt△ACD∽Rt△CBD）【非常重要】

問題2：若AD=4，BD=9，求CD和BC的長。

（分析：利用“射影定理”模型，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB。這是面積法與相似比的經典結合。）

2.【難點突破·動態相似】如圖（3），在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，點P從點A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向C以4cm/s的速度移動。如果P、Q同時出發，經過幾秒鐘后△PBQ與△ABC相似？

問題預設：學生容易忽略對應點的變化。

引導策略：設時間為t，則AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t。由于∠B是公共角，只需分兩種情況討論：

①當△PBQ∽△ABC時，對應邊為BP/BA=BQ/BC；

②當△QBP∽△ABC時，對應邊為BQ/BA=BP/BC。

（設計意圖：滲透分類討論思想，明確“夾角相等”條件下的兩種對應可能，這是中考的高頻易錯點。）【高頻考點】【難點】

（三）性質深研：比例與面積的轉化

本環節重點訓練相似三角形性質的綜合運用，特別是面積比與線段比的轉化。

1.【熱點題型】如圖（4），在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，DE:EC=2:1。

問題1：求證△ABF∽△EDF。

問題2：求△DEF與△ABF的周長比。

問題3：若△DEF的面積為4，求平行四邊形ABCD的面積。

解題路徑分析：

第1問：利用AB∥CD，得內錯角相等，即可得證。

第2問：相似比等于對應邊比，即DF/BF=DE/AB=2/3。

第3問：這是本環節的核心。由相似比2:3得面積比S△DEF:S△ABF=4:9，故S△ABF=9。注意到△ABF與△ADF等高（以A為頂點，底BF與FD共線），故S△ABF:S△ADF=BF:FD=3:2，可求S△ADF=6。因此△ABD面積為15，平行四邊形面積為30。

（設計意圖：通過面積比的層層遞進，綜合運用相似性質與等高模型，打破學生“只知相似面積比，不知轉化”的思維定勢。）【非常重要】

（四）位似拓展：坐標與變換

本環節聚焦“圖形與坐標”的關聯。

1.基礎回顧：

在平面直角坐標系中，已知點A(2,3)，如果以原點O為位似中心，相似比為2，將△AOB放大，那么點A的對應點A‘的坐標是什么？（注意：答案是(4,6)或(-4,-6)，強調同側與異側兩種情況。）【熱點】

2.應用提升：

如圖（5），已知△ABC的三個頂點坐標，以點P(1,1)為位似中心，畫一個△A1B1C1，使它與△ABC的位似比為2，且與△ABC在位似中心同側。

（設計意圖：突破“以原點為中心”的常規，訓練學生對任意點位似中心的理解，通過“加減平移”思想轉化為坐標運算，提升綜合素養。）

（五）建模應用：測量與生活

本環節通過經典問題，訓練學生將實際問題抽象為相似模型的能力。

1.標桿法測高：如圖（6），為了測量一棵樹CD的高度，小明在距樹24米處立了一根高為2米的標桿EF，然后小明前后調整位置，當他站在B處時，眼睛A、標桿頂E、樹頂C恰好在一條直線上。已知AB=1.6米，BF=2米，求樹高。

建模分析：過A作水平線，構造包含兩個相似三角形的圖形（通常利用人與標桿、樹之間的平行關系構造“A型”相似）。這是中考解答題的標準模板。【高頻考點】

2.視點與盲區：一輛汽車在隧道前勻速行駛，其車頭B處有一盞燈，發出的光線經過隧道口C點照射到正前方A處的地面。請結合相似三角形解釋“盲區”的形成。

（設計意圖：跨學科融合，將物理的光學直線傳播與數學相似結合，體現知識的綜合應用價值。）

五、核心思想方法提煉

（一）轉化思想

將多邊形問題轉化為三角形問題；將復雜的圖形分解為幾個基本相似模型（如“K型圖”、“一線三等角”）。【重要】

（二）方程思想

在已知比例關系求線段長時，通常設未知數，利用比例式或面積關系建立方程求解。如測高問題中的等量關系。

（三）分類討論

1.在沒有明確對應關系時，三角形相似需要分類（如動點問題）。

2.位似中心在圖形同側或異側的分類。

3.比例線段的順序分類。

六、易錯點與難點突破專項

【易錯點1】“兩邊成比例且夾角相等”中的“夾角”必須是兩邊的公共角。例如在△ABC和△DEF中，如果AB/DE=AC/DF，而∠B=∠E，這兩個三角形不一定相似，因為∠B不是AB和AC的夾角。

【易錯點2】面積比等于相似比的平方，而不是等于相似比。

【易錯點3】位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形，它們必須滿足“對應點連線交于一點”。

【難點攻關】“一線三等角”模型的構建與識別。例如在矩形或等邊三角形背景下的動點問題，當出現三個相等的角時，往往隱藏著三角形相似，從而得到比例式，為函數解析式的建立提供依據。

七、分層達標檢測

（一）基礎鞏固（面向全體）

1.已知x/2=y/3，則(x+y)/y=_______。

2.兩個相似三角形的相似比為2:3，它們的周長之差為5cm，則較大的三角形的周長為_______。

3.如圖，D是△ABC邊AB上一點，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，則AC的長為_______。

（二）能力提升（面向中等）

1.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且CF=(1/4)CD。求證：△ABE∽△ECF。

2.陽光明媚的一天，數學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺、標桿、平面鏡。請你設計一種方案，畫出圖形，并說明測量原理（用相似三角形的知識解釋）。

（三）綜合拓展（面向優秀）

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點P在邊BC上運動（不與B、C重合），連接AP，過點P作PQ⊥AP，交CD于點Q。

（1）求證：△ABP∽△PCQ；

（2）設BP=x，CQ=y，求y與x的函數關系式，并求y的最大值；

（3）當點P運動到何處時，△ABP與△PCQ的面積相等？

2.（跨學科融合）物理中的凸透鏡成像規律：當物距u大于像距v時，成倒立縮小的實像。其光路圖遵循相似三角形的原理。已知蠟燭高度AB為10cm，火焰到凸透鏡中心O的距離（物距）u=30cm，光屏到透鏡中心O的距離（像距）v=15cm，且主光軸與AB垂直，與像A‘B’也垂直。請在腦海中構建圖形，計算火焰像的高度。

八、課堂小結與反思

請同學們課后從以下三個維度進行復盤：

知識維度：我是否完整地構建了本章的知識樹？對于“A型”、“X型”、“母子型”這些基本圖形，我是否一眼就能認出來？

方法維度：在面對一道相似綜合題時