2025高考數學試題分類匯編-立體幾何（附解析）

2025立體幾何

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.（2025?天津高考）若“為直線，夕為兩個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若m/la,nua,plim//nB.若切_La,〃z_L/?,則al/?

C.若,則a_L戶D.若〃[ua,a_LQ,則/〃_!_夕

C解析：對于A,若m/fajiua,則〃?，〃可平行或異面，故A錯誤；

對于B,若則故B錯誤；

對于C,兩條平行線有一條垂直于一個平面，則另一個必定垂直這個平面，

現m〃a,m上0,故。_L^,故C正確；

對千D,mua,a_L/7,則加與￡可平行或相交或〃?u/?.故D錯誤.

故選C.

二、多選題

2.（2025?新高考I卷）在正三楂柱ABC—A4G中，。為8c中點，貝lj（）

A.AD1A.CB.8C_L平面AA。

C.CCJ/平面A4。D.AD"AB\

【醒析】在正三棱柱ABC-AJM；中.D為BC中點，

對于A，取BQ中點D,,連接AR,CD,,

因為AjDi±CDi,AtDiZ/AD.所以AQi與人。不垂直?即AQ與兒。不垂直，故人錯誤：

對于8.AD_LBC.AA】_LBC.ADHAA1=A,

所以BC_L平面AAQ,故3正確：

對于C,因為rg〃AA]J'C?平面AAQ,AA]U平面AAL>,所以平面AAJ）,故C正確:

對于D,因為ABCAD=A,AB〃A1外,

所以AD與AB不平行，故D錯誤.

故選：DC.

三、填空題

3.（2025?上海高考）如圖，在正四棱柱4BCD-4冏GA中，8￡）=4&,。4=9,則該正

四棱柱的體積為.

112解析：因為80=4五且四邊形ABCD為正方形，故胡=4,

而。4=9,故8解+802=81,故叫=7,

故所求體積為7x16=112.

4.（2025?北京高考）某科技興趣小組用3D打印機制作的一個零件可以抽象為如圖所示的

多面體，其中ABCQE/7是一個平面多邊形，平面AFR1平面ABC,平面。7_1_平面

ABC,ABLBC,ABIIEF'.IRSIICD,BC/IDEIIST//AF.若

AB=BC=S,AF=CD=4.RA=RF=TC=TD=-,則該多面體的體積為.

試卷第2頁，共16頁

60解析：先證明一個結論：如果平面c_L平面平面4_L平面了,平面。/3=1,則

/-L/.

證明：設ac/=a,0\\y=b,在平面/取一點。，O更a、O更b,

在平面7內過。作直線陽，使得，〃_La,作直線〃，使得〃_L6,

因為平面aJL平面7,“zu/,故〃z_La,而/ua,故〃?JL/,

同理〃而〃??〃加,〃uy,故/_Ly.

連接BE,因為A8_L8C且A/〃BC,故A/_LAB,同理8C_LC￡>,EF工ED,

而48=8C=8,AF=CZ）=4,故直角梯形43廝與直角梯形CBED全等，

故NBEF=NBED=45°,

在直角梯形中，過ZT作8TJ_即，垂足為7',

則四邊形AB7F為矩形，且二切化為以“7E為直角的等腰直角三角形，

故所=口+7￡=/18+87=45+人/=12,

平面R4/_L平面A3"'，平面R477〕平面=A尸，AF±AB,

A8u平面故A8_L平面砍/，

取Af的中點為M,踮的中點為U,CO的中點為V,連接RM,MaSU,UV,

則MU//RS,同理可證對1_1平面4彳射，而RWu平面RMUS,

故平面RWUSJL平面同理平面VUSJ?平面

而平面RMUSfl平面VUS=SU,故SU_L平面AB所，

故RMHSU,故四邊形RMUS為平行四邊形，故MU=RS=g（8+12）=10.

在平面AAHR中過3作4Z//AA,交R“于“，連接

則四邊形為平行四邊形，且故R"〃口,RH二口,

故四邊形RQH為平行四邊形，

而8"J.AB.BTA.AB,BTBH=B,BT,BHu平面BHT，

故A8JL平面BHT,故平面ARF〃平面BHT,

而AR=BH,RF=HT,AF=BT,數△ARF^ABHT，

故幾何體ARb-9"為直棱柱，

而S八"=gx4xJ-4=3,故VARF-8，T=8X3=24,

因為AB//EF,故石尸_L平面/WS,

而EFu平面RS無尸，故平面4?尸_1_平面RS'E廠,

在平面4/?廠中過A作AGLR/7,垂足為G,同理可證AG_L平面RSE尸，

而5AGXRF=3,故AG=7，故％_g=4X7X5（2+4）x；=6,

4JJJ44

由對稱性可得幾何體的體積為2X（24+6）=60,

故答案為：60.

5.（2025?新高考H卷）一個底面半徑為4cm,而為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽

略不計）內有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

2.5解析?：圓柱的底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器，如圖所示（1）,其截面

如圖（2）所示.

設鐵球的半徑為r,且，Y4,由圓柱與球的性質知鉆2=（2「）2=（8-2「）2+（9-2r）2,

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BP4r2-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0,r<4,

/.r=2.5.

四、解答題

6.（2025?上海高考）如圖，P是圓錐的頂點，O是底面圓心，A8是底面直徑，且AB=2.

⑴若直線PA與圓錐底面的所成角為三，求圓錐的側面積；

（2）已知。是母線網的中點，點C、。在底面圓周上，且弧AC的長為：，CD//AB.設

點M在線段OC上，證明：直線QM〃平面

解析：（1）由題知，/尸/$=方，即軸截面山的是等邊三角形，故EA=/W=2,

底面周長為27rxi=2兀，則側面積為：1x2x27i=2n;

（2）由題知WQ=QP,AO=O",則根據中位線性質，Q。〃PB,

又QO（Z平面尸80,P8u平面P8O,則QO〃平面P8D

由于AC=3,底面圓半徑是1,則/4OC=%又則N08=g,

又OC=OD,則OCD為等邊三角形,則。3=1,

丁?是且CO=OB,則四邊形O4QC是平行四邊形，故OC〃8O,

又OC<Z平面P3Q,BDu平面PBD,故0C//平面尸皮）.

又OCOQ=O,OC,OQu平面QOC,

根據面面平行的判定，于是平面QOC〃平面。8。，

又MwOC,則QMu平面。。。，則QM"平面P3D

7.(2025?天津高考)正方體/WCO-AACR的棱長為4,E、尸分別為人口,。肉中點,

CG=3GC,.

⑴求證：G尸"L平面廠跖；

(2)求平面。月與平面E8G夾角的余弦值;

(3)求三棱錐FBE的體積.

解析：(1)法一、在正方形3CG與中，

由條件易知lan/G尸G=H=〈=誓=lan/B內尸，所以/”“班,

Cj?2七從

則/BFB+/48產=T=NC/G+ZBpB,

故NBFG=7t-(NCiFG+ZB/B)=三,即FGJ"卸"

在正方體中，易知。GJ?平面BCC因，且EF//D￡,

所以平面BCCM，

又FGu平面BCC]B、,/.EF_LFG>

VEF\BF=F,EF.8尸u平面班?，，GFJL平面3EF；

法二、如圖以。為中心建立空間直角坐標系，

則8(4,4,0),七(2,0,4),尸(2,4,4),G(0,4,3),

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所以律=(0,4,0),￡6=(24,T),"G=(—2,0,—1),

設m=(a,Ac)是平面4EF的個法向量，

tn-EF=45=0

則〈>令4=2,則h=0,c=l,所以/〃=(2,0,1),

m?EB=2。+4萬-4c=0

易知FG=-m，則/G也是平面4所的一個法向量，平面6所；

(2)同上法二建立的空間直角坐標系，

所以EG=(-2,4,T),HG=(Y,0,3),

由(1)知尸G是平面座F的一個法向量，

n-EG=-2x+4v-z=0

設平面8石G的一個法向量為〃=(x,y,z),所以，

n-BG=-4x+3z=0

令工一6,則z=&y=5,即〃=(6,5,8),

設平面班廠與平面8EG的夾角為。，

則必。=松他,")|=扁=謁房/

(3)由(1)知￡F_L平面8CG4，FBu平面BCC禺，,EF1FB，

易知S防卜=3所.8尸=；乂4><142+22=4卮

\DEFG\X

又力E=(2,0,4),則。到平面BEF的距離為4=,

“G6，

V

1184石半

由棱錐的體積公式知:VDBEF=馬八5詆=丁香X

Zk

D\______________C)

________E/

彳"

8.(2025?北京高考)如圖，在四棱錐中，“DC與484c均為等腰直角三角

形，ZADC=90°,/6AC=90°,七為8C的中點.

(1)若F,G分別為尸D,產E的中點,求證：尸G//平面辦6：

⑵若小，平面A3CD,PA=AC,求直線43與平面PCQ所成角的正弦值.

解：(1)取出的中點N,PB的中點M,連接FN、MN,

.ACO與V/WC為等腰直角三角形且/4。。=90。，ABAC=900,

不妨設AO=C0=2,.?.人C=AB=2&.「.BC=4.

E、尸分別為5C、尸。的中點，

:.FN=-AD=KGM=-BE=\豆FN/1AD,GM/1BC.

22t

QZDAC=45°,ZACB=45°,..AD//BC,

.?./W〃GM,???四邊形FGMN為平行四邊形，

:.FG//MN,

/Ga平面以從仞7匚平面必從.?.歹6〃平面以8；

(2)PA_L平面A〃C。，.?.以A為原點，AC、AB、A戶所在直線分別為x、y、z軸建立如

圖所示的空間直角坐標系，

設4O=CO=2,則4（0,0,（））,網0,2夜,0）,。（20,0,0｝。（右,一虛,0）,40。2&b

AB=（0,2x/2,0）,DC=（虛,72,0）,CP=（-2虛,0,2&）.

設平面PCO的一個法向量為〃=*,），,z）,

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DCn=O172x+V2y=0

CPn=0-2\/2x+25/2z=0

取x=l,?.y=-l,z=l,

設人8與平面PC。所成角為6,

ABn_|0xl2V2x(-l)0xl|_2應—石

貝ijsin0=cos<AB,n>|=++

AB?同2&x/2+㈠)2+]2-2后石一?'

即AB與平面PCD所成角的正弦值為立.

3

9.(2025?新高考I卷)如圖所示的四棱錐夕-八4a＞中，PA_L平面A3C。,

BC//AD,ABIAD.

(I)證明：平面小AJ_平面PV)：

Q)PA=AB=?,AD=\+0BC=2,P,B,C,。在同一個球面上，設該球面的球心

為0.

(i)證明：。在平面ABCZ)上；

(ii)求直線AC與直線P0所成角的余弦值.

如圖所示的四楂錐P-A8c。中，以1.平面45CQ,BC//AD,AB±AD.

(1)證明：平面％B_L平面附。；

(2)若必=48=/，人。=V5+1,BC=2,P,B,C,。在同一個球面上，設該球面的

球心為0.

(/)證明：。在平面4BC。上：

(”)求直線AC與直線尸。所成角的余弦值.

p

(2)(/)建立空間直角坐標系，設球心0(-)，，z),半徑上利用空間中兩點的距離公

式建立方程組，解方程組可得。點坐標和R,進而可得結論:

(//)利用空間向量法求異面直線所成角的余弦值即可.

【解答】解：(1)證明：平面ABC。，A8u平面A8CQ,

：.PA±AB,

???4814。，ADQR\=A,AD,%u平面以D,

，A8J_平面PAD,

???A8u平面PAB,

J平面附8_L平面PAD.

(2)(/)證明：由題意，AB,AD,AP兩兩垂直，分別以A8,AD,A尸為工)，，z軸，建

立空間直角坐標系A-x)z

因為PA=44=>/5,40=1+退，則以魚，0,0),?(含，2,0),。(0,K+1,0),

P(0,0,V2),

設球心O(x,y,z),半徑R,因為P，B,C,。在同一個球面上,

試卷第10頁，共16頁

Jx2+y2+(z-V2)2=R

OP=Rl(x-V2)2+y2+z2=R(j二：

I----------------------，哪］

即，

HJ(x—&)2+(y—2)2+z2=RUV3

(OD=R=

Jx24-(y-V3-l)2+z2=/?

：.O(0,1,0),???。6平面ABCD.

(，)由(i)得病=(VL2,0),PO=(0,1,一匹)，

設直線AC與直線PO所成角為e,

,小,"7\ACPO\2v2

貝nllIJcos0=cos<AC,PO>\=---zr-=-7=~~7==f.

\AC\-\PO\V6XV33

（2）（i）由題意及（1）證明如下,

法一：

在四棱錐。中，AP±AB,A尸_LAT>,ABLAD,BCHAD,

PA=AB=42?AO=l+5

建立空間直角坐標系如下圖所示,

.?M(0,0,0),^(X/2,0,0),C(X/2,2,0),Z)(0,14-^,0),P(0,0,>/2),

若尸，B,C,。在同一個球面上，

則QH=|O8|=|OC|=|8|,

在平面xAy中,

AA(0,0),5(V2,0),C(V2,2),D(0,l+x/3)

???線段C。中點坐標廠整，誓^

1+后-2_1

直線。。的斜率：4=

0-x/2x/2

直線c。的垂直平分線儀斜率；匕一事-一息也

x/3-l2

???0(0,1)

在立體幾何中，。(0,1,0).

\OP\=^02+12+(0-N/2)2

|OB|-^(oV2)21121o2

10cl='(0_可+(1_2)2+()2

|<9D|=^02+(l-l-^j?+02

解得：\OF\=\OB\=\OC\=\OD\=yf3t

，點。在平面ABC。上.

法二:

試卷第12頁，共16頁

,:P,B,C,。在同一個球面上，

，球心到四個點的距離相等

在△BC0中，到三角形三點距離相等的點是該三角形的外心,

作出8c和CO的垂直平分線，如下圖所示，

______n

B\EC

由幾何知識得，

O\E=AB=叵,BE=CE=AOi=GOi=；BC=l,OlD=AD-AOl=x/3

BO.=8、=小十(夜『,

：?O】D=BO1=COi,

，點。是△38的外心，

在RtAOP中，APJLAD,AP=?，

由勾股定理得，

/K;\PO\=JAP2+AO；=L+產=g

Bc

：.PO\=BO\=co{=O\D=M，

，點。即為點尸，B,c,。所在球的球心0,

此時點0在線段A。上，AOu平面ABC。，

，點0在平面488上.

(ii)由題意,(I)(2)(ii)及圖得，

z,

/：\AC=（72,2,0）,PO=（0,1,-x/2）,

/:\、O一

XrC

設直線AC與直線?。所成角為e,

.8SO」A°P°LlI。上"。I

?,|AC||PO|J曲+22+OXJO+『十（—可3-

法2：

由幾何知識得，PO=&、

AB1AD,BC//AD,

：.ABIBC,

在R【VA8C中，AB=g，BC=2,由勾股定理得，

則OC、=AC=瓜,直線AC與直線PO所成角即為△POG中NPOG或其補角.

VPA，平面ABCD,4Gu平面ABCD,PAACf=A,

?,.PA1AG,

在RtABC1中，AB=近，BQ=BC+CCj=2+1=3,由勾股定理得,

AC,=4AB?+BC；=J（可+3?=E，

在RtAPG中，PA=五,由勾股定理得，

試卷第14頁，共16頁

PG=4PA2+AC；=J（可+（布）=V13?

在△POG中，由余弦定理得，

PC；=PO2+OC：-2POOC,cos/POC\,

即：（=（6『+（而'j-26x#cosNPOG

/o

解得：cosZPOC,=-^

:.直線AC與直線PO所成角的余弦值為：|cosNPOG|=#.

10.（15分）（2025?新高考II）如圖，四邊形4BCO中，AB//CD,ZDAB=9Q°,F為CD

中點，點E在AB上，EF//AD,AB=3A。，CD=2AD.將四邊形EFD4沿E尸翻折至四

邊形EFD'A1,使得面4'與面EFC3所成的二面角為60°.

（1）訐明：儲5〃平面CD'Ft

（2）求面8C。'與面石F。'/V所成二面角的正弦值.

解：（1）證明：因為在四邊形ABCQ中，AB〃C