山東聊城市2026年高考模擬數學試題（二）+答案

山東聊城市2026年高考模擬試題數學(二)

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合力={-2,一112,3},8={%|優-1]<2},則4nB=()

A.{1,2}B.{-2,-1}C.{1,2,3}D.{-1,1,2,3)

:2026

2.設復數2=皆，貝Ij|z|=()

A.工B.三C.回D.辿

5555

3.已知直線L：x+ay+1=0,%：2%+4y+3=0,且I1/。，則匕與%的距離為()

A.匹B.匹C.匹D.V5

1052

4.已知正數。,/)工滿足1。％「>1。8”>0,則下列說法正確的是()

A.c>1B.a<b

C.ac>bcD.cb>ca

5.已知直線，過拋物線C:/=2py(p>0)的焦點凡與C交于力、B兩點,線段的中點為

48的垂直平分線交y軸于E(0,4),貝Up的值為()

A.1B.2C.1或2D.2或4

6.已知|南|==4,且滿足摩?浜=0,則萬2說的最大值為()

A.12B.16C.20D.24

7.已知3H0,函數/?(X)=2COS(MI+9在區間(0弓)內恰有三條對稱軸和兩個極大值點,

則()

.1913C1319

A.----<0)<------B.—<0)<—

3333

〃19一，13n17?,11

C.-------<,6)<---------D.-------<>M<-----

3333

8.數列{aj共有10項，其中%=2,a10=16,且2或+i-Sakak+1+2或=0(/c=1,2,3,…,9),

則滿足這種條件的不同數列{%J的個數為()

A.2B.20C.84D.120

二、多選題

9.杲醫學研究團隊為探究新型降壓藥的療效與患者年齡的關聯，將12()名高血壓患者按年

齡分為“中青年組（＜60歲）”和“老年組（N60歲）”,記錄用藥后的療效（“有效”“無效”）,

得到如下列聯表：

療效

患者總計

有效無效

中青年組104050

老年組403070

總計5070120

附：產二言罌擒麗其中"Q+b+c+d.

P（X2>k）0.100.050.0250.01

k2.7063.8415.0246.635

則下列說法中正確的有（）

A.若在“老年組”中按療效分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，則至少抽到

1名“無效”患者的概率為］

B.從所有患者中隨機抽取1人，設事件力=“該人在中青年組“，事件8="該藥對此人有

效”，則事件A與8相互獨立

C.根據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，認為“降壓藥療效與患者年齡有關”，且該推斷

犯錯誤的概率不超過5%

D.若將列聯表中“中青年組有效”的人數改為15,“中青年組無效”的人數改為35,則所

得f值比原公值大

10.設函數/（%）=cos（sinx）+訴gp則（）

A.函數/（均的最小正周期為2n

B.函數/'（X）的圖象關于直線％=71對稱

C.函數/（%）在區間圖上單調遞增

D.當2Vm＜苧時，方程/'（X）=m在區間［一口,2可上所有實根的和為3TT

11.已知棱長為2的正四面體4BCD,P為△BCD的中心，M為平面48c內的動點，N為梭AD

試卷第2頁，共4頁

上一動點，則下列說法正確的是()

A.若MN〃平面BCD,且霽=2,則4M的最小值為等

B.若MN1AD,且黑=1，則MN的最小值為企

ND

C.若4MJLPC,則DM的最小值為企

D.PM+MN+NP的最小值為9

三、填空題

12.函數/(%)=一-Inx的單調遞減區間為.

13.如圖，線段48=3,C和。為其三等分點，E為半圓。上一動點，ABEF為等邊三角形,

則4BEF面積之用的最大值為.

14.已知4(2,0)、8(—2,0),動點P滿足：以為直徑的圓與圓/+V=9相切，若△248的

外接圓的面積是其內切圓面積的16倍，則△248的面積為.

四、解答題

15.某夏令營在△4BC區域內活動，三個內角滿足2sia4+sinB=3sinC.

⑴求cos。的最小值；

(2)夏令營活動組織者要求在4點集合，設小明從8點出發淮時到達4點的概率為p,小紅從C點

出發準時到達4點的概率為q,兩人是否準時到達4點互不影響，已知兩人中有且僅有一人準

時到達4點的概率為0.52,至少有一人準時到達4點的概率為0.76,求|p—q|的值.

16.已知雙曲線。:會《=1(。>03>0)的漸近線方程為、=±亨％,過點Q(4,0)且與諭

不重合的動直線I交C于4、B兩點,當，與％軸垂直時，|力B|=6.

⑴求雙曲線C的方程：

(2)在3軸I：是否存在一定點M,使初?而為定值，若存在，求出M的坐標及福的值;

若不存在，說明理由.

17.在梯形A8CD中，4B//CZ),71814D,E、尸分別是的中點，48=2,AD=CD=4,

如圖1所示.沿EF將梯形48FE折起，得到一個多面體AED-BNC,如圖2所示.

(I)求證：/I'B'L平面AOE；

(2)若二面角E-A'D-9的大小為60°,

①求多面體AED-夕尸C的體積；

②求直線AC與平面BCF所成角的止弦值.

18.記數列的前?I項和為Sn,若滿足2Sn=n(4+On),nGN\且=16.

(I)求證：｛aj是等差數列，并求｛4J的通項公式；

(2)設匕=I—:———,〃為數列｛匕八｝的前幾項和，若V。GnGN*,不等式〃<

anyjQn+i+an+iyan

t2+Q￡-|恒成立，求實數t的取值范圍.

19.設函數f(x)=x+alnx(aGR),

(I)若/(%)有極值點、無零點，求a的取值范圍；

(2)若/'(x)的圖象在區間弓,2)內存在兩條互相垂直的切線，求a的取值范圍；

(3)設0<bV1,若方程/(x)=bcosx有兩個實數根4、%2,且%1>不，求證：Q<0,且與不<

試卷第4頁，共4頁

《山東聊城市2026年高考模擬試題數學(二)》參考答案

題號1234567891()

答案ABADBDCCACBCD

題號11

答案ABD

I.A

【詳解】由反-1|<2得一2<x-A<2.兩邊同時加I,得一1VxV3.

所以8={%|-1<%V3}.

又4={-2,-1,1,2,3},

因此集合A中落在區間(-1,3)內的元素只有1,2.

故4rB={1,2}.

所以正確選項是A.

2.B

【詳解】2=警=9=票=^^=手=一：+!

|Z|=j(-1)2+GY=J卷+1=上洋

3.A

【分析】根據兩直線平行求出實數Q的值，再利用平行線間的距離公式可求得結果.

【詳解】因為。〃①則<工;，解得。=2,即直線。的方程為x+2y+l=0,可化為

2x+4y+2=0,

故小與，2的距離為d=^=*=春

4.D

【分析】由logaC>O,logdc>0可知a,瓦C要么都大于1,要么都在(0,1)內，再由logaC>log*

分類討論C>1和0VCV1兩種情況，分別比較a,b的大小，最后判斷c。與力的大小關系.

【詳解】因為logaC>0,log》c>0,所以：若a>1,則c>l；

若0<a<l,則0VcVI,同理由10gbe>0可知b與c要么都大于1,要么都在(0,1)內，

因此，a,b,c滿足以下兩種情況之一：a>l,b>1,01；0<a<1,0<b<1,0<c<1.

下面分類討論：

情況一：c>1,

答案第1頁，共18頁

此時a>l,b>1,所以Ina>O,\nb>O,Inc>0,

由嗨0SgbC得需）需

因為Inc>0,所以4>二.

Inahib

又因為lna,lnb>0,故Ina<Inb,從而a<b.

由于c>1時，函數y=c”單調遞增，所以a<b=>ca<cZ即c">ca.

情況二：0vcvL

此時0<a<l,0<b<l,所以Ina<0,lnZ?<0,lnc<0.

由】。gaC'ogbC得Q需.

因為Inc<0,兩邊同除以Inc時不等號方向改變，故出〈工

Ina\nb

又因為Inajnb<0,所以Ina>In瓦從而a>b.

由十0<cVl時，出數丫=戶單調遞減，所以a>b=c。Vd.即d>c。.

綜上，無論哪種情況，都有力>/.

所以正確選項是D.

5.B

【分析】設點力（//1）、8（%2，丫2），可得+x2=23yi+y2=4，利用點差法可求得直線

4B的斜率，根據%8/即=一1可得出口的值.

【詳解】設點A（%i，%）、8（%2，丫2），易知直線AB的斜率存在，且%1+x2=23yi+y2=4,

若直線48_Ly軸，則線段A8的垂直平分線為y軸，不符合題意，

所以直線48的斜率存在且不為零，

則X\]:P%，作差得（與一工2）（工1+%2）=2P（、1一丫2），

1%2=。丫2

故直線”的斜率為嘮=合=J

答案第2頁，共18頁

因為k0E=W=-；，且DE14B,所以心8岫￡=一三二一1,解得p=2.

C-ucp

6.D

［分析】利用向量的線性運算及向量數量積的運算律求解即可.

【詳解】設4B的中點為M,如圖

則刀+而=2而，且|而|二：廊|=1

因為萬J=~f)C.+~CA,~DR=T)C.+

所以說D^=(fiC+CA)-(pC+CB>)=DC2+~DC?(CA+CB)+CA-'CB

=16+2CM-DC+0=16+2xlx4cos<CM,DC><24,

當反，而同向共線時，等號成立.

7.C

【分析】對稱軸對應相位cox+m=kn(keZ),極大值點對應相位3%+3=2kMlc￡Z),因

此只需研究當時，相位t=3%+：所掃過的區間內，落入多少個kTT和多少個2km

【詳解】令t=

6

當XE(0,3時，￡的取值范圍取決于3的符號，

當G>0時，te/=Q,y+^),

當3<0時，?/=(3+沃)，

1.對稱軸與極大值點的判定：

函數/(x)=2cos(a)x+己)轉化為y=2cos3

y=2cost的對稱軸對應￡=Zar(keZ),

y=2cost的極大值點對應t=2kir(keZ)

題意即為：區間/內恰有3個形如kn的點，且恰有2個形如2/GT的點.

答案第3頁，共18頁

2.先判斷3的符號：

若3>0,則/=苫+)

由于左端點大于0,若區間內恰有三條對稱軸，

則只能是w2n,3n這三個點落在區間內，

這時極大值點只可能有2n這一個，不可能有兩個極大值點，與題意矛盾,故必有eV0.

于是/=(m+39,記左端點為m=m+?

\Z66/26

3.利用“三條對稱軸”和“兩個極大值點”列條件：

因為(0m),要使區間/內恰有三條對稱軸，只能對應-2冗,一、0，

這三個點在區間內，而-311不在區間內，

所以-V-2m這時區間內的極大值點對應-2砥0恰好有兩個，也滿足題意.

因此只需求解—3n<7C<2n,

26

兩邊同除以m得一33巴+工〈一2,

26

即一12工”〈一三，再乘以2,得一空43〈一空.

62633

8.C

【分析】分析可得以+i或以+i=2ak,記qi=?q2=2,設a］。=&?■

求出m的值，再利用組合計數原理可得結果.

【詳解】由2或+i-5akak+1+2或=0(fc=1,2,3,「,9)可得(2%+1-afc)(afc+1-2clic)=0,

所以Q/c+i=或Q/c+i=2縱，記%=:，q2=2,

因為%=2,a10=16,設a］。=%?q9?勺廠m06N,m<9),

/八抽

即16=2-(m?29-m,整理可得21°-2m=16,所以10—2m=4,解得m=3,

所以從%變化到%。的過程中，需要乘3個點6個2,

由組合計數原理可知，滿足這種條件的不同數列｛a“｝的個數為量=84.

9.AC

【分析】選項A,用分層抽樣先確定抽出的“有效”和“無效”人數，再做組合概率；選項B,

用獨立事件定義檢驗PQ48)是否等于PG4)P(B)；選項C,計算列聯表的％2值，與臨界值3.841

比較；選項D分別計算修改前后的公值大小.

答案第4頁，共18頁

【詳解】選項A,老年組中有效與無效的人數比為40:30=4:3.

按療效分層抽樣抽取7人，則應抽到：4人有效，3人無效，

再從這7人中隨機抽取2人，至少抽到1名無效患者的概率為1-醇=1-5=：.所以A

正確；

選項B,設事件4表示“該人在中青年組”，事件8：表示“該藥對此人有效”，

則PG4)=言=。P⑻=言=/而P(4B)=我二2

JLX

若4,8相互獨立，則應有P(AB)=P(A)P(B)=一三=與

1212144

顯然於中多所以事件4與8不相互獨立，B錯誤;

12144

選項C,由題中列聯表，Q=10"=40,c=40,d=30,n=120.

所以公=120(10X30-40X40)2

(10+40)(40+30)(104-40)(40+30),

120X13002

即/=?16.555.

50x70x50x70

因為16.555>3.841,所以艱據小概率值a=0.05的獨立性檢驗,

可以認為“降壓藥療效與患者年齡有關“，目該推斷犯錯誤的概率不超過5%,所以C正確;

選項D,若將“中青年組有效”改為15,“中青年組無效”改為35,

則新列聯表中a=15,b=35,c=40,d=30,n=120.

此Mi?=120115X30-35X40)2

(15+35)(40+30)(15+40)(35+30)，

120X9S02

即f=8.65,而原來的%2X16.56.

50X70X55X65

所以修改后的f值比原來的小，D錯誤.

10.BCD

【分析】先利用sin(x+n)=-sinx以及余弦函數的偶函數的性質判斷周期和對稱性，再求

導討論單調性.最后把方程/(無)=m轉化為關于sinx的方程，再列出區間［-殖2m內的全部根

并求和.

【詳解】因為/(幻=如(5加)+忌荷且cost,士都是偶函數，

所以/(、+n)=cos(sin(x+n))+皿回屋))

=cos(sinx)+8s(；nx)=/(無)?故n是函數的一個周期.

又/'(0)=2,fC)=coslI二產2,

答案第5頁，共18頁

所以/(X)的最小正周期不是211,而是7L因此A錯誤.

對于B,任取tER,

+t)=cos(sin(n+t))H-----rA_7：=cos(-sint)+-，

八,、、〃cos(sin(n+t))''cos(J-si,nt、)

-t)=cos(sin(n-t))H-----；~\---------r=cos(sint)4"——~r.

k7

八cos(sin(ir-1))cos(sint)

由余弦函數的性質可得/(IT+t)=/(n一t),所以函數f(x)的圖象關于直線x=TT對稱，B正

確.

對于C,因為/Q)=cos(sin%)+忌孩

所以廣(幻=卜sin(sin幻+黑黑|cosx

=8S"sm(sinx)(晨^-1)=cosx.sin(sinx)(:露鬻)

sin2(sinx)

=cosx?sin(sinx)——丁不一r

cosz(sinx)

=cosx?sin(sinx)tan2(sinx).

當工€[o,；]時，cosx>0,sinx6[0,1],

從而sin(sinx)>0,tan2(sinx)>0.

于是/''(%)>0.故函數/(%)在區間[。身上單調遞增，C正確.

對于D,令t=cos(sinx),則方程r(x)=m化為t+:=m,即產-mt+1=0.

因為t=cos(sinx)G[cosl,l],且2<7九<乎，

所以在區間(0,1]上，方程t+3=m只有唯一解

設a=arccost。,則0VaV：V1.

于是cos(sinx)==sinx=±a.

在區間[-ii,2ii]內，方程sin人=以的解為八=arcsiiiaji-arcbiiia;

方程sinx=一。的解為x=—arcsina,n+arcsina,2n—arcsina,—n+arcsina.

故區間內全部實根為

aresina,TT—arcsina,—arcsina,n+arcsina,2ir—arcsina,—K+arcsina.

這些根的和為

arcsina+(TT-arcsina)+(-arcsina)+(ir+arcsina)+(2TT-arcsina)+(—IT+arcsina)=

3TT,

答案第6頁，共18頁

所以D正確.

綜上，正確選項為BCD.

11.ABD

【分析】過點N作NE〃8D交715于點E,過點N作N/7/C0交力。于點尸，連接推導出平面

NEF〃平面BCD,推導出E/為點M的軌跡，可求出/1M的最小值，可判斷A選項；推導出401

平面8CN,則點M的軌跡為線段8C,可求出MN長的最小值，可判斷B選項；過點P作G〃//B0

分別交BC、CD于點G、H,連接AG、AH.DG,推導出PC1平面力GH,可知點M的軌跡為

線段4G,當DM14G時，DM的長取最小值，可判斷C選項；延長DP交線段BC于點T,推

導出平面4)71平面力BC,可知點P關于平面ABC、關于直線力。的對稱點都在平面4"內，

結合“將軍飲馬''思想求出PM+MN+NP長的最小值，可判斷D選項.

【詳解”寸于A選項，過點N作NE〃BD交AB干點E,過點N作N/7/C0交4c于點F,連接EG

因為NE//BD,NEC平面BCD,所以NE〃平面BCD,同理可證N/〃平面BCD,

又因為NECNF=N,NE、NFu平面NEF,所以平面A，EF〃平面BCD,

因為EFu平面NEF,所以￡/7/平面BCD,

當MWEF時，MNu平面N￡F,則MN〃平面8C0,故點M的軌跡為線段EF,

因為NE//BD,所以若二黑=：則力E同理可得"二：

/\D?KUSJ3J

又因為4比4尸=60°,AE=EF=則ZiAE尸是邊長為卯等邊三角形，

?5J

當點M為Er的中點時，AMLEF,此時4M的長取最小值，

此時AM=>/AE2-EM2=J(?2_6)2=等，人對;

對于B選項，如下圖所示，連接BN、CN,

答案第7頁，共18頁

易知△48D、△4CD都是邊長為2的等邊三角形，且N為4D的中點，

所以AD1BN,ADA.CN.

又因為8N、CNu平面BCN,BNCCN=N,所以力。，平面BCN,

當M68。時，MNu平面BCN,則MN1AD,故點用的軌跡為線段8C,

由勾股定理可得BN=一AN2=<4-1=板,同理可得CN=V5,

故當M為PC的中點時，MNIRC,此時MN的長取最小值，且MN=7RN?一RM2==

V2,B對；

對于C選項，過點P作GH//80分別交8C、CO于點G、H,連接力G、AH.DG,

因為P為正△8CD的中心，則PC180,因為G"〃班），則PC1GH,

因為三楂錐4-3CD為正四面體，則力P_L平面BCD,

因為PCu平面BCD,所以PC_L/IP,

因為4PnG〃=P,AP.G〃u平面4GH,所以PCL平面4GH,

當MW4G時，則AMu平面AG，，所以/MlPC,故點M的軌跡為線段4G,

延長CP交8。于點Q,則Q為8C的中點，因為P為正△BCD的中心，則第=j

因為GH〃BD,所以黑=累=也故8G=?C8=g

由余弦定理可得力G2=AB2+BG2-2AB-BGcos60。=4+g—2x2x：x；=g,

答案第8頁，共18頁

故AG=^,同理可得0G=^,

一2828「

A力2+AG2-DG24+不二_他

由余弦定理可得cosz_￡MG=2X2X千"百'

2ADAG

2

所以sinN/X4G=V1-cosAG=Jl-（兼j=焉,

當OMJ.4G時，DM的長取最小值，此時DM=40"in/O/lG=2乂可=衛

2V77

故DM氏的最小值為第，C錯;

對于D選項，如下圖所示：

延長。P交線段8c于點T,則點7為線段8c的中點,

因為△ABC、△BCD均為等邊三角形，所以AT13C,DT1.BC,

因為力TnOT=T,AT、DTu平面/IOT,所以BC_L平面力07,

因為BCu平面ABC,所以平面407_L平面ABC,

故點P關于平面ABC、關于直線AD的對稱點都在平面4DT內，

因為API平面BCD,D7u平面BCD,所以力P1DT,

易知DP==^BD2-BT2=1V4^1=言,

AP=y/AD2-DP2=J2?一（乎J=乎,

設點P關于直線AT、40的對稱點分別為2、七，

由對稱性可知4Pl=力。=力「2=詈，NPi力F=NP47，^P2AD=^PAD,

答案第9頁，共18頁

所以4=NP14P+4P2Ap=2(Z.TAP+ADAP)=2^AD,

在A/IDT中，AT=DT=6,AD=2,

/產+心一”23+4-3_V3

由余弦定理可?得cosz7\4D=

2ATAD2X4X2-3

所以cos乙=COS2/.DAT=2cos2Z-DAT-1=2x(9)-1=

2

由余弦定理可得PiP/=4號+API_2APX-AP2COS^P1AP2=1+1-2X(竽)x(-1)=

64

9

故PIP2=p

由對稱性知PM=PiM,FN=P2N,

所以PM+MN+NP=PiM+MN+PN>PP=

2X23

當H.僅當M、N為線段PiP2分別與線段力丁、力。的交點時，等號成立，

故PM+MN+N尸的最小值為。產2=/D對.

12.(0,1)/(0,1]

【分析】利用函數單調性與導數的關系可得出函數八%)的單調遞減區間.

【詳解】函數/0)=e三一Inx的定義域為(0,+8),

x_xex-(ex-l)1_(x-ljt^+Cl-x)_(x-l)(ex-l)

，(幻=x==x=，

當%>。時，ex—1>0,由/'(%)<0可得0V%V1,

故函數/(%)的單調遞減區間為(0,1).

【分析】設N80E=e,其中0<evn,將aBOE、△BE尸用含。的三角函數式加以表示,

再利用三角恒等變換結合正弦型函數的有界性可求得結果.

【詳解】設/BDE=0,其中0Ve<7T,

因為A8=3,C和。為其三等分點，^\BD=\AB=2,DE=AD=1,

由余弦定理可得BE?=BD2+DE2-2BD-DEcosO=5-4cos19,

所以SABEP=^8E.E尸sin60。=4朝=手(5-4cos。)=竽一百cos。,

S^BDE=：BD?DEsinO=；x2x1xsinO=s\n3,

答案第10頁，共18頁

所以+S&BEF=sin。+-V3sin^=2sin-g)+

因為oveve所以一；<e—；VJ故當e—5=?時，即當6=9時，

333326

△BDE^^8E/面積之和取最大值2+乎.

4

14.鳴壇

33

【分析】設￡為線段PA的中點，利用圓與圓內切結合橢圓的定義可求得點P的軌跡方程，設

匕APB=0,利用余弦定理結合三角形的面積公式可得出SAAP?=黑高，可求出△P4B內切

圓的半徑，利用正弦定理求出△248外接圓半徑，結合題意求出8的值，即可得出△PMB的

面積.

【詳解】設E為線段尸力的中點，又因為。(坐標原點)為48的中點，所以|OE|二：|PB|,

易知點力在質l/+y2=9內，所以以線段P4為百徑的圓E內切于圓/+y2=9,

所以|。臼=3-|AE|,所以但。|+|E4|=3,即*|P8|+|P川)=3,

可得|P川+\PB\=6>\AB\=4,

所以點P的軌跡是以點小8為焦點，且長軸長為2a=6,焦距為2c=4的橢圓(除去長軸端

點)，

設該橢圓的短半軸長為匕，則Q=3,c=2,所以b=la2-c?=-4二遍,

故點P的軌跡方程為三+《=1(%H0).

1S.Z.APB=0,設|P4|=m,|PR|二九，則m+n=2Q=6,

由余弦定理可得|48/=16=m2+n2-2mncos0=(m+n)2-2mn(l+cos0)

=62-2mn(1+cos。)=36-2mn(l4-cos。)，

答案第11頁，共18頁

5sing

所以mn=-^―?所以S^APB=-mnsinO=-x儂嗎=

1+COS0221+COS01+COS0

設△4P8的內切圓、外接圓半徑分別為小-2,由題意可知需=2，則￡=%

因為SAAPB=%(伊川+|P8|+Hfi|)=ir1(2a+2c)=%x(6+4)=5rL'^懸，

sin。

所以7*1=

1+COS0

由正弦定理可得2r2=岑=-三，故丁2=-J,

“sin?sin?/sin6

因為口=%即七=4/1，即告二言吟，

1

r24,sin0l+cos0

整理可得1+cos0=2sin20=2(1-cos20),

又因為nm=<("?丫=Q2=9,可得cos。>

1+COS0\2/9

又因為。￡(0,口)，則一1<COS6<L故Fwcosecl,

所以1+cos0=2(1-cos20)=2(14-cos0)(l-cos0),

所以2(1-cos。)=1,解得cos。=g,則。=或

,5sin三5X*5y/3

此時SMPB=E==—

15.(1)^

(2)0.2

【分析】(I)先設三邊，利用正弦定理把角條件轉成邊的關系，再代入余弦定理表示出cos。,

最后用基本不等式求最小值。

(2)按獨立事件的概率公式列方程組，先求出p+q和pq,再由(p-q)2=(p+q)2-4pq,

求出|p-q|.

【詳解】(1)設△A3C的內角ABC的對邊分別為a,瓦c.

由2sirM+sinR=3sinf,根據正弦定理，得2。+b=3c,即0二笥史,

由余弦定理，得3。=爭了=2得+與V，

因為牛+型工4同，所以cosCN等二，

ba9

當建二野，即時,上式等號成立，

ba4

此時，b<.a,于是bvc<a,b+c-a=a>0,

答案第12頁，共18頁

2依-2

因此，cosC的最小值為:9'

(2)設事件M=”小明準時到達A點”，事件N="小紅準時到達A點”，則P(M)=p,P(N)=q.

由題意P(M)P(")+P(M)P(N)=0.52,即p(l-q)+(1-p)q=0.52,

化簡，得p+q-2pq=0.52?,

1-P(“)?P(N)=0.76,p)(l-q)=0.76,

化簡，得p十q—pq=0.76②，由①②，得p十q=l,pq=0.24,

所以|p-q\=J(p+q)?-4Pq=V1-4x0.24=0.2.故|p-q|的值為0.2.

16.⑴？一？=1

(2)存在，點M管,0),定值為一詈

【分析】(1)根據已知條件可得出關于a、b的方程組，解出a?、爐的值，即可得出雙曲線。的

方程：

(2)根據題意設直線［的方程為x=my+4,設點/(xpyD、B(x2ty2)f將該宜線方程與雙

曲線C的方程聯立，列出韋達定理，化簡加?麗的表達式，根據加?而為定值可得出關

于n的等式，解出n的值，即可得出結果.

【詳解】(1)由C的漸近線方程為丫=±53得5①，

由歷8|=6,根據雙曲線的對稱性，不妨設4(4,3),則費一盤=1②，

由①@得/=4,b2=3,所以雙曲線C的方程為?一?=1.

(2)根據題意設直線［的方程為x=my+4,

將/的方程代入雙曲線方程?-9=1，得(3/-4)y2+24my+36=0,

A=(24m)2-4(3m2-4ix36=144m2+576>05.3?n2-400,

設點力(力,、1)、8(孫,先)，由韋達定理得力+為=一貳4，乃丫2=熹7，

假設存在M(n,0)滿足題意，

則近？?MB=(xj-n)(x2-n)+yry2

=(my1+4—n)(my2+4—n)+yAy2

22

=(m+l)yiy2+(4-九加仇+y2)4-(4-n)

,7、36,、-24m.

=(m+1)xw^+(4-n)mxw^+(4-^

答案第13頁，共18頁

(24n—60)m2+36.

=--3.7M2-4——+6一九)，

要使拓？?麗為定值，則上式需與m無關，則皆竺=稱,解得n=g此時而？?麗=-署

3—4864

(2)①3次；

【分析】(1)證明出AB'JLDE,結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；

(2)①連接B'E、B，D,取DE中點N,連接AN,取線段大。的中點M,連接EM、FM,分

析可知二面角￡-A'D-F的平面角為4EMF=60°,進而推導出力'N_L平面〃平

面CDEA則夕到平面CD"?的距離等于AN,再利用錐體的體積公式可求得多面體/I'ED-

)產。的體積；

②以E為坐標原點，EF所在直線為x軸，ED所在直線為,軸，過E與4N平行的直線為z軸建

立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.

【詳解】(1)翻折前,在梯形48。。中,AB//CD,且￡、F分別是力。、的中點,

所以E尸為梯形48co的中位線，所以EF〃48,

因為718J.40,所以EFJLA'E,EF1DE.

翻折后，則4B7/EF,所以AB'IA'E,A'B'1DE,

因為AEnDE=E,4E、DEu平面ADE,所以A'B'1平面ADE.

(2)①連接8'E、B'D,取DE中點N,連接4N,

取線段A。的中點M,連接EM、FM,

因為E/7/48',48'1平面ADE,所以EF1平面AOE,

因為A。u平面ADE,所以EF_L40,

答案第14頁，共18頁

又因為AE=DE,M為AD的中點，所以EMIAD,

因為E尸OEM=E,EF、EMu平面E/M,所以4D1平面EFM,

因為FMu平面E/M,所以"MlAD,

故二面角E-AD-F的平面角為4EM尸=60°,

因為EF_L平面AOE,AN、EMu平面ADE,所以EF_LEM,EFlAN,

因為E/7=也竺=￡ii=3,所以EM=上一=1==代，

22tan600V3

又因為A'E=DE=2,所以AM=DM=VDE2-EM2=V4^3=1,故AD=2,

所以△4DE為等邊三角形，

因為N為DE的中點，所以ZfN_LOE,

因為。ECEF=E,DE.EFu平面CDE凡所以HN1平面CDEF.

因為AB7/EF，力'8'仁平面。。￡「，EFu平面CDEF,配以487/平面CDEr，

故點夕到平面CDE尸的距離等于AN=4Esin60°=2x?=V5,

4

所以％梭惟B,YDEF=9s梯彩CD"?AN=[x（"；）X2X遍=等，

A，B，2

P三棱W-HDE=：S“DE-=^XyX2X2=^,

因此多面體4EO-B'FC的體積P多面體="四棱推B'-CDE尸+金棱錐B'-A'ED=誓+

竽=3代

②因為E/，平面AOE,以E為坐標原點，EF所在直線為義軸，

EO所在直線為y軸，過E與AN平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則尸(3,0,0)、4(0,1,6)、夕(2,1,⑹、6(4,2,0),

所以加二(4,1,一舊)，F^=(-1,1,V3),FC=(1,2,0).

答案第15頁，共18頁

設平面夕CF的一個法向量為江=(居y,z),則一二‘°一八二乙尸,

m?FB1=—x+y+V3z=0

取x=2,可得記=(2,—1,V5),

C0S(/m—?'AA,Gr-\=]n^t]-A^'C|=4=才v'lO

所以AC與平面B'CF所成角的正弦值為噂.

18.(1)證明見解析，an=3n+1

(2)(-oo,-2]U[2,4-oo)

【分析】(1)由2又="(4+Q,J(九WN*),得25^+1=S+1)(4+6+1)，將這兩個等式作

差結合等差中項法可證得結論成立，在等式2Sn=n(4+an)(n6N,)中令71=1,可求出肉的

值，結合的=16可求得該數列的公差，再利用等差數列的通項公式可求得數列｛an｝的通項

公式；

(2)求得益=焉焉，利用裂項求和法可求得7；的表達式，得出心V；，結合題意

得出產+就一220對VaE[-1,1]恒成立，于是得出關于t的不等式組，即可解得實數1的取

值范圍.

【詳解】(1)由2Sn=〃(4+Qn)①，得2Sn+l=(7^+l)(4+Qn+l)②，

②-①得(九-1)即+1-九即+4=0③，則九即+2-(n+l)a?+1+4=0④，

④一③得九冊+2-2nan+i+nan=0,UP2an+1=an+an+2?

所以｛%J是等差數列，設其公差為d,

rh2Sn=n(4+a^,得2a1=4+%,所以的=4.

因為Q5=16,所以公差(/二學=亨=3,

所以Qn=44-3(〃-1)=3九+1.

(2)b=_3__________3____

nanVan+1+an+1y/^ri\/^nxVan+l(i/On+>/an+l)

___________________3__________________

V3n4-1x\j3n+4(V3n+1+、3n+4)

3(V3n+1—73n+4)

V3n+1x73n+4?3n+1+V3n4-4)(V3n+1-J3TI+4)

V3n+4-\/3n+l11

V3n+lxV3n+4V3n+1V3n+4

所以