2025年河南省中考數學試卷（含答案解析）

2025年河南省中考數學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分.下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的）

1.（3分）（2025?河南）在學校足球比賽中，如果某班足球隊進4個球記作+4個，那么該隊失3個球記作

()

A.+3個B.-3個C.+4個D.-4個

數學活動課上，小穎繪制的某立體圖形展開圖如圖所示，則該立體圖形是（〉

3.（3分）（2025?河南）通電瞬間，導線中的電流以接近光速形成，但其中自由電子定向移動的平均速度

大約只有（）.000074〃心，比蝸牛爬行的速度還慢.數據“0.0（）0。74”用科學記數法表示為（）

A.0.74x10'34B.7.4xl0-4C.7.4x10-5D.74xl()-6

4.（3分）（2025?河南）如圖所示，有一個六邊形零件，利用圖中的量角器可以量出該零件內角的度數,

1

A.100°B.110°C.120°D.130°

5.（3分）（2025?河南）一元二次方程f-2x=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根

D.沒有實數根

6.（3分）（2025?河南）如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1,△力8C的三個頂點均在網格線

的交點上，點。，E分別是邊。與網格線的交點，連接?！陝tOE的長為（）

X2-21

7.（3分）（2025?河南）化簡1~----的結果是（）

x-11-x

A.x+1B.xC.x~1D.x-2

8.（3分）（2025?河南）甲骨文是我國已發現最早的成熟文字，代表了早期中華文明的輝煌成就.正面分

別印有甲骨文“美”“麗”“山”“河’的四張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同.把這四張卡片背面朝上

洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面恰好是甲骨文“麗''和"山’'的概率是（）

甲

甲

甲

耳

木H

骨

骨

骨

文

也

克

文

文

文

美

山

麗

澗

?

1

BC

6-

9.（3分）（2025?河南）如圖，在菱形48CZ）中，N8=45。，4B=6,點E在邊BC上,連接4區將△力

沿4E折疊，若點8落在8。延長線上的點尸處，則3的長為（）

A.2B.6-3V2C.2V2D.6/一6

2

10.（3分）（2025?河南）汽車輪胎的摩擦系數是影響行車安全的重要因素，在一定條件下，它會隨車速的

變化而變化.研究發現，某款輪胎的摩擦系數H與車速u加/?）之間的函數關系如圖所示.下列說法

A.汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數為（）.9

B.當婚七60時，這款輪胎的摩擦系數隨車速的增大而減小

C.要使這款輪胎的摩擦系數不低于0.71,車速應不低于60加?/人

D.若車速從25QM?增大到60切?/力，則這款輪胎的摩擦系數減小0.04

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）（2025?河南）請寫出一個使VT方在實數范圍內有意義的x的值：.

12.（3分）（2025?河南）為考察學校勞動實踐基地甲、乙兩種小麥的長勢，數學興趣小組從兩種小麥中各

隨機抽取20株進行測最，測得兩種小麥苗高的平均數相同，方差分別為s甲2=3.6,$乙2=5用，則這兩

種小麥長勢更整齊的是（填“甲”或“乙”）.

13,（3分）（2025?河南）觀察2v,4?,6?,8x4,-,根據這些式子的變化規律,可得第〃個式子為.

14.（3分）（2025?河南）我國魏晉時期數學家劉徽在為《九章算術》作注時，創立了“割圓術”.如圖是研

究“割圓術”時的一個圖形，而所在圓的圓心為點。，四邊形48CQ為矩形，邊CQ與0O相切f點七，

連接ZABE=15°,連接OE交4B于點F.若48=4,則圖中陰影部分的面積

為?

15.（3分）（2025?河南）定義：有兩個內角的差為90。的三角形叫做“反直角三角形”.如圖，在△48C中，

AB=AC=5,BC=8,點尸為邊8C上一點，若△/PC為“反直角三角形”，則8尸的長

為.

3

A

三、解答題（本大題共8個小題，共75分）

16.（10分）（2025?河南）（1）計算：V8+（IT-1）°-V3xV3；

7

（2）化簡：（《十1〉-A（x+2）.

17.（9分）（2025?河南）為加強對青少年學生的憲法法治教育，普及憲法法治知識，教育部決定舉辦第十

屆全國學生“學憲法講憲法”活動.某學校為了解學生對憲法法治知識的掌握情況，從七、八年級各隨

機抽取50名學生進行測試，并對測試得分（10分為滿分，9分或9分以上為優秀）進行整理、描述、

分析，部分信息如下.

得分統計圖

統計量年級

七年級八年級

平均數7.867.86

中位數a8

眾數7b

優秀率38%C

根據以上信息，回答下列問題.

（1）表格中的“=,b=,c=.

（2）你認為哪個年級的學生對憲法法治知識的掌握情況更好？請說明理由.

18.（9分）（2025?河南）小軍將一副三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標系中，其中含30。角的三

角板。48的直角邊CM落在），軸上，含45。角的三角板。4C的直角頂點C的坐標為（2,2）,反比例函

4

數（》＞°）的圖象經過點c.

（1）求反比例函數的表達式.

（2）將三角板。48繞點。瞰時針旋轉90。，48邊上的點。恰好落在反比例函數圖象上，求旋轉前點

四邊形ABCD是平行四邊形，以BC為直徑的圓交AD于點E.

（1）請用無刻度的直尺和圓規作出圓心。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

CE.求證：四邊形4OCE是平行四邊形.

20.（9分）（2025?河南）為助力鄉村振興，支持惠農富農，某合作社銷售我省西部山區出產的甲、乙兩種

蘋果.已知2箱甲種蘋果和3箱乙種蘋果的售價之和為440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價之

和為800元.

（1）求甲、乙兩種蘋果每箱的售價.

（2）某公司計劃從該合作社購買甲、乙兩種蘋果共12箱，且乙種蘋果的箱數不超過甲種蘋果的箱數.求

該公司最少需花費多少元.

21.（9分）（2025?河南）焦裕祿紀念園是全國重點革命烈士紀念建筑物保護單位，革命烈士紀念碑位于紀

5

念園南部的中心.某綜合與實踐小組開展測量紀念碑高度的活動，記錄如下.

根據以上信息，解決下列問題.

(I)由標桿的影子。尸的長和標桿。石的長相等，可得CO=C4,請說明理由.

(2)求紀念碑48的高度.

(3)小紅通過間接測量得到CO的長，進而求出紀念碑48的高度約為185〃.查閱資料得知，紀念碑

的實際高度為19.64〃?.請判斷小紅的結果和(2)中的結果哪個誤差較大？并分析誤差較大的可能原因

(寫出一條即可).

22.(10分)(2025?河南)在二次函數^=012+隊-2中，x與y的幾組對應值如表所示.

X...-201???

y???-2-21???

(1)求二次函數的表達式.

(2)求二次函數圖象的頂點坐標，并在給出的平面直角坐標系中畫出二次函數的圖象.

(3)將二次函數的圖象向右立移〃個單位長度后，當0S正3時，若圖象對應的函數最大值與最小值的

差為5,請直接寫出〃的值.

6

5

4

3

2

'\

-5-4-3-2：02345x

rf

浮

H3

亞i

-5

23.（10分）（2025?河南）在乙408中，點。是N/C用的平分線上一點，過點C作CO_LO以垂足為點。,

過點。作力E1O4垂足為點E,直線OC交于點凡過點。作CG_LOE,垂足為點G.

（I）觀察猜想

如圖1,當N4O8為銳角時，用等式表示線段CG,OE,。。的數量關系:

（2）類比探究

如圖2,當N/O4為鈍角時，清依據題意補全圖形（無需尺規作圖），并判斷（1）中的結論是否仍然成

立？若成立，請證明；若不成立，請寫出正確結論,并證明.

（3）拓展應用

OD

益的值?

圖1佟12

7

2025年河南省中考數學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BDC.CABABDc

一、選擇題（每小題3分，共30分.下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的）

1.（3分）（2025?河南）在學校足球比賽中，如果某班足球隊進4個球記作+4個，那么該隊失3個球記作

（）

A.+3個B.-3個C.+4個D.?4個

【考點】正數和負數.

【專題】實數；數感.

【答案】B

【分析】用正負數表示兩種具有相反意義的量，據此即可求得答案.

【解答】解：如果某班足球隊進4個球記作+4個，

那么該隊失3個球記作-3個，

故選：B.

【點評】本題考查正數和負數，理解具有相反意義的量是解題的關鍵.

2.（3分）（2025?河南）數學活動課上，小穎繪制的某立體圖形展開圖如圖所示，則該立體圖形是（）

8

c.D.

【考點】幾何體的展開圖.

【專題】展開與折疊；空間觀念.

【答案】。

【分析】根據圓錐的展開圖是一個扇形和一個圓判斷即可.

【解答】解：由圓錐的展開圖可知，這個幾何體是圓錐.

故選：

【點評】本題考查了幾何體的展開圖，掌握常見幾何體的展開圖是解答本題的關鍵.

3.（3分）（2025?河南）通電瞬間，導線中的電流以接近光速形成，但其中自由電子定向移動的平均速度

大約只有0.000074〃]/5,比蝸牛爬行的速度還慢.數據“0.000374”用科學記數法表示為（）

A.0.74x104B.7.4x10-4c.7.4x!0-5D.74x106

【考點】科學記數法一表示較小的數.

【專題】實數；符號意識.

【答案】C.

【分析】科學記數法的表示形式為。xi（r的形式，其中IWIHVIO,〃為整數.確定〃的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值21（）時，〃是

正數；當原數的絕對值VI時，〃是負數.

【解答】解:0.000074=7.4xl0'5.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為4X10〃的形式，其中iwidvio,〃

為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

4.（3分）（2025?河南）如圖所示，有一個六邊形零件，利用圖中的量角器可以量出該零件內角的度數，

則所量內角的度數為（）

9

A.100°B.110°C.120°D.130c

【考點】多邊形內角與外角.

【專題】正多邊形與圓.

【答案】C

【分析】由量角器可知，N1=120。，再利用對頂角相等求解即可.

【解答】解：如圖，延長80,

B

由量角器可知，/力。。=120。，

：.ZBOC=ZAOD=\20°,

即所量內角的度數為120%

故選：C.

【點評】本題考查了量角器，對頂角，正確讀出量角器度數是解題關鍵.

5.（3分）（2025?河南）一元二次方程f-2x=（）的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根

D.沒有實數根

【考點】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

10

【答案】A

【分析】根據△>（），即可判斷根的情況.

2

【解答】解：由條件可得△=（-2）-4X1X0=4>0,

???方程有兩個不相等的實數根，

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程跟的判別式，熟練掌握該知識點是解題關鍵.

6.（3分）（2025?河南）如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1,△力8C的三個頂點均在網格線

的交點上，點。，E分別是邊84。與網格線的交點，連接。E,則OE的氏為（）

【考點】三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質.

【專題】三角形；圖形的全等；推理能力.

【答案】B

【分析】證明△/。/會/XBOG（44S）,得力D=BD,同理4￡=",再證明OE是△48C的中位線，即

可得出結論.

【解答】解：如圖，由題意可知，BC=AF=BG=2,ZAFE>=ZBGD=90°,

又?:NADF=NBDG,

：./\ADF^^BDG（44S）,

:?AD=BD,

同理：AE=CE,

是△Z8C的中位線，

：,DE=^BC=\,

故選：B.

11

【點評】本題考查了三角形中,立線定理以及全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握一角形中位線定

理以及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

X2-21

7.（3分）（2025?河南）化簡——---的結果是（）

x-11-x

A.x+1B.xC.x-1D.x-2

【考點】分式的加減法.

【專題】分式：運算能力.

【答案】A

【分析】將原式變形后將分子相減，然后約分即可.

【解答】解：原式=善+占

%2-1

~~x^T

,（X+l）（X-l）

―

=x+l,

故選：A.

【點評】本題考杳分式的加減法，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

8.（3分）（2025?河南）甲骨文是我國己發現最早的成熟文字，代表了早期中華文明的輝煌成就.正面分

別印有甲骨文“美”“麗”“山”“河’的四張R片如圖所示，它們除正面外完全相同.把這四張k片背面朝上

洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面恰好是甲骨文“麗”和“山''的概率是（）

甲

甲

E甲

木

骨

骨

骨

曲

文

文

文

文

美

山

明

河

111

---

A.B.64D.2

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；應用意識.

【答案】B

【分析】列表可得出所有等可能的結果數以及這兩張卡片正面恰好是甲骨文“麗''和"山”的結果數，再利

用概率公式可得出答案.

【解答】解：列表如卜.:

美麗山河

美（美，麗）（美，山）（美，河）

麗（麗，美）（麗，山）（麗，河）

111（ill,美）（山，麗）（山，河）

河（河，美）（河，麗）（河，山）

共有12種等可能的結果，其中這兩張卡片正面恰好是甲骨文“麗”和“山”的結果有：（麗，山），（山，麗），

共2種，

???這兩張卡片正面恰好是甲骨文“麗”和“山”的概率為三=7.

IN0

故選：B.

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關鍵.

9.（3分）（2025?河南）如圖，在菱形48CO中，NB=45。,AB=6,點E在邊BC上,連接力已將△48E

沿力E折疊，若點8落在8c延長線上的點尸處，則b的長為（）

A.2B.6-3V2C.2V2D.672-6

【考點】翻折變換（折疊問題）：菱形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】D

【分析】根據菱形的性質求出力8=8。=6,根據折疊的性質求出力E18凡BE=EF,解直角三角形求

出月產=2BE=6企，再根據線段的和差求解即可.

【解答】解：???四邊形力8CQ是菱形，AB=6,

:,AB=BC=6,

根據折登的性質得，AELBF,BE=EF,

13

VZ5=45°,

AZBAE=9Q0-45。=NB,

:,AE=BE=與AB=3班,

:?BF=2BE=6五,

:.CF=BF?BC=6近-6,

故選：D.

【點評】此題考查了折疊的性質、菱形的性質，熟記折疊的性質、菱形的性質是解題的關鍵.

10.（3分）（2025?河南）汽車輪胎的摩擦系數是影響行車安全的重要因素，在一定條件下，它會隨車速的

變化而變化.研究發現，某款輪胎的摩擦系數以與車速v（4加〃）之間的函數關系如圖所示.下列說法

A.汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數為0.9

B.當叱區6（）時，這款輪胎的摩擦系數隨車速的增大而減小

C.要使這款輪胎的摩擦系數不低于0.71,車速應不低于

D.若車速從254〃也增大到60%〃?/人則這款輪胎的摩擦系數減小0.04

【考點】函數的圖象.

【專題】函數及其圖象：幾何直觀.

【答案】C

【分析】根據題意和函數圖象中的數據，可以判斷各個選項中的說法是否正確.

【解答】解；由圖象可得,

汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數為（）9故選項力說法正確，不符合題意；

當婚咚60時，這款輪胎的摩擦系數隨車速的增大而減小，以選項夕說法正確，不符合題意；

要使這款輪胎的摩擦系數不低于0.71,車速應不超過60桁湖，故選項C說法錯誤，符合題意；

若車速從25A7〃小增大到60切泌，則這款輪胎的摩擦系數減小0.04,故選項。說法正確，不符合題意;

故選：C.

【點評】本題考查了函數的圖象，利用數形結合的思想解答是解答本題的關鍵.

14

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）（2025?河南）請寫出一個使7^二不在實數范圍內有意義的x的值：0（答案不唯一）.

【考點】二次根式有意義的條件.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】0（答案不唯一）.

【分析】二次根式有意義即被開方數為非負數，由此計算即可.

【解答】解：若古行在實數范圍內有意義，

則5-x>0,

解得爛5,

即x的值可以是0（答案不唯一），

故答案為：（）（答案不唯一）.

【點評】本題考杳了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.

12.（3分）（2025?河南）為考察學校勞動實踐基地甲、乙兩種小麥的長勢，數學興趣小組從兩種小麥中各

隨機抽取20株進行測量，測得兩種小麥苗高的平均數相同，方差分別為s甲2=3.6,5乙2=5.8,則這兩

種小麥長勢更整齊的是甲（填“甲”或“乙

【考點】方差：算術平均數.

【專題】統計的應用；數據分析觀念.

【答案】甲.

【分析】根據方差的定義求解即可.

【解答】解：??'甲2=36s乙2=5.8,

:.S甲2Vs乙2,

???這兩種小麥長勢更整齊的是甲，

故答案為：甲.

【點評】本題主要考查方差，解題的關鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數據的波動大小的一個

量.方差越大，則平均值的離數程度越大，穩定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩

定性越好.

13.（3分）（2025?河南）觀察2》，4?,6?,8x4,-,根據這些式子的變化規律，可得第〃個式子為2〃/.

【考點】規律型：數字的變化類；單項式.

【專題】規律型.

【答案】2M.

15

【分析】已知式子，得到第〃個式子為2〃?一,即可得到答案.

【解答】解：第1個式子：2X=1X2?/,

第2個式子：4A-2=2X2-X2,

第3個式子：6X3=3X2?X3,

第4個式子：8X4=4X2*X4,

觀察發現,第〃個式子為2〃/,

故答案為：2〃/.

【點評】本題是單項式規律題，根據給出的單項式發現?般規律是解題關鍵.

14,（3分）（2025?河南）我國魏晉時期數學家劉徽在為《九章算術》作注時，創立了“割圓術”.如圖是研

究“割圓術”時的一個圖形，盤所在圓的圓心為點O,四邊形力8。。為矩形，邊。。與。0相切于點區

47T

連接4K,^ABE=\5°,連接OZ?交44于點八若38=4,則圖中陰影部分的面積為f-2\/5一.

【考點】切線的性質：扇形面積的計算；矩形的性質.

【專題】與圓有關的位置關系；推理能力.

47r

【答案】7-2g.

【分析】根據切線的性質得到O￡_LCQ，根據矩形的性質得到48〃。。，得到根據垂徑定理

求出力凡解直角三角形分別求出04、OF,根據扇形面積公式、三角形面積公式計算，得到答案.

【解答】解：???邊8與O。相切于點八

：.OE±CD,

???四邊形力AC。為矩形,

:.AB//CD,

J.OEVAB,

：,AF=FB=^AB=1X4=2,

16

由圓周角定理得：ZAOE=2ZABE=30°,

：.OA=2AF=4,

由勾股定理得：0F=7?？找弧?=山2-22=26,

貝US用影部分=S皿形AOE-SAAO/-3^^4_1x2x2，5=等-2^3,

47r_

故答案為：—-2x/3.

【點評】本題考查的是切線的性質、扇形面積計算、矩形的性質，熟記圓的切線垂直于經過切點的半徑

是解題的關鍵.

15.（3分）（2025?河南）定義：有兩個內角的差為90。的三角形叫做“反直角三角形”.如圖,在△C5C中,

2511

AB=AC=5,8C=8,點尸為邊8c上一點，若△4PC為“反直角三角形”，則8P的長為.

42

【考點】勾股定理；等腰三角形的性質.

【專?題】多解填空題；三角形.

■25A1

【答案】二或

42

【分析】分情況討論：①當//尸C-NC=90。時，過點力作力。J_8c于點。，由等腰三角形的性質得

4BBD

到8。=。。=4,證明△4。8s△以&得到t=不，即可求出8尸的長：

BPAB

②當N4PC-NC4P=90。時，過點P作8c交彳。于點由等角對等邊得到4M=PA/,再證明

△CMPs^CAD,設CP=X,進而得出PM=1X,CM=1V,根據4C=4W+CM=/M/+CM,求出x的值，

即可求出8P的長；

③當NC4P=NC+90。時，利月銳角三角函數，得出NC>30°,N84CV120。，即此種情況不存在；

④當NC4P=N4PC+90。時，同③理可證，此種情況不存在；即可得解.

【解答】解：??"8=4。=5,

:,NB=/C,

*：NAPC=NB+NBAP,

：.NAPONB,

，Z/4POZC,

17

若△4PC為“反直角三角形”，

①當NXPC?/。=90。時，過點力作力。_L8C于點。,

：.BD=CD=^BC=4,

：,AD=7AB2-BD2=3,

?:NB=NC,

AZJPC-NB=NBAP=90。,

?:/B=/B,N/1DB=NR4B=9O。,

:AADBS4PAB,

.ABBD

??麗二布’

?_54

??__=一,

BP5

???吁得

②當N/f產C-NC4P=90°時，過點P作PM1BC交AC于點M,

/.ZAPC-ZAPM=ZCPM=90°,

：,ZCAP=ZAPM,

：.AM=PM,

■:PM1BC,ADLBC,

:.PM〃AD、

：.XCMPs?CAD、

.CPPMCM

'*'CD='AD=元’

?CP=x,貝IJ8尸=8-x,

18

：,AC=AM+CM=PM+CM=^x+^x=5,

44

.5

.?x=于

：.BP=8-^=~

③當NC/1P=NC+9O。時，如圖，在C8上截取C￡=/if,連接/E,過點/!作/1OJ_8c于0,過點上作

EFLAC于F,

A

rBDEC

則NE4C=NC,/ADE=NPAE=9G0,

又；/AED=/PEA,

:AAEDSAPEA,

AEED

?t?—

PEAE

,:CE=AE,EF1AC,

/.JF=CF=ijC=1,

VZJZ)C=ZEFC=90°,ZC=ZC,

:.ACEFSACAD,

5

.￡￡_￡￡即生一2

ACCD54

25

：.CE=^-=AE,

7

：,DE=CD-CE=

同理可得："EDSAPEA,

25

.竺一絲叩空.亙

^AE~DE'即至一Z'

88

19

又*：BE=BC-CE=——

o568

；.PE>BE,即點P在C8的延長線上，不符合題意：

④當NC4P=N/1PC+90。時，

;當點尸與點8重合時，NXPC最小，此時N4PC=N8>30。，

同③理可證，此種情況不存在；

綜上可知，BP的長為手或斗，

42

故答案為：與或二.

42

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，解直角三角形的應用，相似三角形的判定和用質等知識,

理解“反直角三角形”的定義，利用分類討論的思想解決問題是關犍.

三、解答題（本大題共8個小題，共75分）

16.（10分）（2025?河南）（1）計算：妮+（ir-1）0-V3xV3：

（2）化簡：（x+1）2-x（x+2）.

【考點】整式的混合運算；實數的運算.

【專題】實數；整式：運算能力.

【答案】（1）0；

（2）1.

【分析】（1）利用立方根的定義，零指數幕，二次根式的乘法法則計算后再算加減即可：

（2）利用完全平方公式，單項式乘單項式法則展開，然后去括號并合并同類項即可.

【解答】解：（1）原式=2+1-3

=3-3

=0：

（2）原式=x2+2x+l-（X2+2J）

=『+2x11-，2A

=1.

【點評】本題考查整式的混合運算，實數的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵.

17.（9分）（2025?河南）為加強對青少年學生的憲法法治教育，普及憲法法治知識，教育部決定舉辦第十

屆全國學生“學憲法講憲法”活動.某學校為了解學生對憲法法治知識的掌握情況，從七、八年級各隨

機抽取50名學生進行測試，并對測試得分（10分為滿分，9分或9分以上為優秀）進行整理、描述、

分析，部分信息如下.

20

得分統計圖

統計量年級

七年級八年級

平均數7.867.86

中位數a8

眾數7b

優秀率38%C

根據以上信息，回答下列問題.

(1)表格中的。=7.5，b=8,e=22%

(2)你認為哪個年級的學生對憲法法治知識的掌握情況更好？請說明理由.

【考點】眾數；中位數.

【專?題】統計的應用；數據分析觀念.

【答案】(1)7.5,8,22%；

(2)七年級學生對憲法法治知識的掌握情況更好，理由見解析(答案不唯一).

【分析】(1)根據中位數、眾數的定義可得。、6的值，先求出八年級測試成績在9分或9分以上人數

所占百分比可得c的值；

(2)可從中位數、眾數、優秀率角度分析求解.

【解答】解：⑴???七年級測試成績的第25、26個數據是7和8,

即八年級測試成績的中位數竽=7.5,

八年級測試成績8分出現的次數最多，

工八年級測試成績的眾數8=8,

八年級測試成績在9分或9分以上人數所占百分比為(6+5)+50xl00%=22%,

21

.??c=22%,

故答案為：7.5,8,22%；

（2）七年級學生對憲法法治知識的掌握情況更好，理由如F：

???八年級測試成績的優秀率小于七年級，

，七年級學生對憲法法治知識的掌握情況更好（答案不唯一）.

【點評】本題考查了眾數、中位數，掌握眾數、中位數的定義是解題的關鍵.

18.（9分）（2025?河南）小軍將一副三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標系xQy中，其中含30。角的三

角板O力8的直角邊。4落在y軸上，含45。角的三角板CMC的直角頂點C的坐標為（2,2）,反比例函

數歹=5（x>0）的圖象經過點C.

（1）求反比例函數的表達式.

（2）將三角板048繞點。順時針旋轉90。，48邊上的點。恰好落在反比例函數圖象匕求旋轉前點

【考點】待定系數法求反比例函數解析式：等腰直角三角形：坐標與圖形變化-旋轉：反比例函數圖象

上點的坐標特征.

【專題】平面直角坐標系；反比例函數及其應用.

【答案】（1）y=3（2）。（-1,4）.

【分析】（1）把C的坐標為（2,2）代入反比例函數、=§。>0）,即可得到答案；

（2）求解。。2=22+22=8,證明4C=C。，求解力。=VCO2+/C2=4,如圖，△048旋轉到△。底尸

的位置，。點對應G點；可得0E=O4=4,結合。的對應點6在、=:的圖象上，可得￡G=1,進一

人

步求解即可.

【解答】解：（1）???含45。角的三角板。1C的直角頂點C的坐標為（2,2）,反比例函數y=§（%>0）

的圖象經過點C,

???A=2x2=4,

22

，反比例函數的表達式為：y=%

（2）VC（2,2）,

,0^=22+22=8,

???含45。角的三角板。IC為等腰直角三角形，N4CO=90。,

：.AC=CO,AO=VCO2+AC2=4,

如圖，旋轉到△。￡廠的位置，。點對應G點，

**yG=1?

：,EG=\,

由旋轉可得：AD=GE=\,

工。（-1,4）.

【點評】本題考查的是勾股定理的應用，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，反比例函數的應用，理

解題意是解本題的關鍵.

19.（9分）（2025?河南）如圖，四邊形/13C。是平行四邊形，以8c為直徑的圓交力。于點E.

（1）請用無刻度的直尺和圓規作出圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）若點七是力。的中點，連接。力，CE.求證：四邊形47CE是平行四邊形.

【考點】作圖一復雜作圖；平行四邊形的判定與性質.

【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力.

【答案】見解析.

23

【分析】（1）作線段8c的垂直平分線，垂足為。，點。即為所求;

（2）證明/E=CO,4￡〃CO即可.

【解答】（1）解：如圖，點。即為所求：

（2）證明：???四邊形力8C都是平行四邊形，

：?AD=BC,AD//BC,

??,￡是的中點，。是8C的中點，

VAE=DE=C）C=OB,

'：AE//OC,

???四邊形彳。"是平行四邊形.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題.

20.（9分）（2025?河南）為助力鄉村振興，支持惠農富農，某合作社銷售我省西部山區出產的甲、乙兩種

蘋果.已知2箱甲種蘋果和3箱乙種蘋果的售價之和為440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種軍果的售價之

和為800元.

（1）求甲、乙兩種蘋果每箱的售價.

（2）某公司計劃從該合作社購買甲、乙兩種蘋果共12箱，且乙種蘋果的箱數不超過甲種蘋果的箱數.求

該公司最少需花費多少元.

【考點】一元一次不等式的應用；一次函數的應用；二元一次方程組的應用.

【專題】一次方程（組）及應用；一元一次不等式（組）及應用；一次函數及其應用；運算能力；應用

24

意識.

【答案】（1）甲種蘋果每箱的售價為100元，乙種蘋果每箱的售價為80元；

（2）該公司最少需花費1080元.

【分析】（1）設甲種蘋果每箱的售價為。元，乙種蘋果每箱的售價為力無，根據2箱甲種蘋果和3箱乙

種蘋果的售價之和為440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價之和為800元；列出二元一次方程組,

解方程組即可；

（2）設購買甲種蘋果x箱，則購買乙種蘋果（12-x）箱，根據乙種蘋果的箱數不超過甲種蘋果的箱數，

列出一元一次不等式，解得應6,再設該公司需花費w元，根據題意列出w關于x的一次函數關系式，

然后由?次函數的性質即可解決問題.

【解答】解：（1）設甲種蘋果每箱的售價為。元，乙種蘋果每箱的售價為6元，

根據題意得:

解得：記墨；。,

答：甲種蘋果每箱的售價為100元，乙種蘋果每箱的售價為80元；

（2）設購買甲種蘋果x箱，則購買乙種蘋果（12-x）箱，

根據題意得：12-xSx,

解得:A>6,

設該公司需花費元，

根據題意得：w=100x+80（12-x）=20x+960,

V20>0,

隨x的增大而增大，

???當x=6時，w有最小值=20x6+960=1080,

答：該公司最少需花費1080元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵

是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式和一

次函數關系式.

21.（9分）（2025?河南）焦裕祿紀念園是全國重點革命烈士紀念建筑物保護單位，革命烈士紀念碑位于紀

念園南部的中心.某綜合與實踐小組開展測量紀念碑高度的活動，記錄如下.

活動主題測量紀念碑的高度

25

實物圖和測量示意圖

測量說明如圖，紀念碑位于有臺階的平臺8c上，太陽光下，其頂端力的影子

落在點。處，同一時刻，豎直放置的標桿。E頂端E的影子落在點尸處，

位于點〃處的觀測者眼睛所在位置為點N,點N,E,力在一條直線上，

紀念碑底部點B在觀測者的水平視線上.

測量數據DE=2Am,DF=2.\m,DM=lm,MN=1.2m.

備注點凡M,D,C在同一水平線上.

根據以上信息，解決下列問題.

（1）由標桿的影子。尸的長和標桿OE的長相等，可得CO=C4,請說明理由.

（2）求紀念碑48的高度.

（3）小紅通過間接測量得到CO的長，進而求出紀念碑力4的高度約為185〃.查閱資料得知，紀念碑

的實際高度為19.64〃?.請判斷小紅的結果和（2）中的結果哪個誤差較大？并分析誤差較大的可能原因

（寫出一條即可）.

【考點】相似三角形的應用.

【專題】圖形的相似；應用意識.

【答案】（1）見解析：

（2）紀念碑力4的高度為19.8m.

（3）小紅的結果誤差較大，理由見解析.

【分析】（1）根據平行投影的性質可得喋=黑，即可證明結論；

CDDF

（2）令BN與DE的交點、為H,則四邊形4COH和是矩形，設證明也

EHNH

得到不7=求出x的值即可；

ABNB

（3）比較紀念碑的實際高度與小紅和（2）中的結果，得到誤差較大的一方，再分析可能的原因即可.

【解答】解；（1）