2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：重難突破（二十一）中點弦問題（設(shè)而不求與點差法）（三類重難點題型）原卷版+解析

重難專攻（二十一）中點弦問題

目錄?重難點題型分布

重難點題型1橢圓中的中點弦問題

.置磋寫而謝筱丁領(lǐng)到交殘吊箭誦甌丁爹藪甬:凝想:我下筋法薨迪由烹字「蕓后根施莢標(biāo)布]

，況處理該式子。!

\主要有以下幾種問題：\

\（1）求中點坐標(biāo)；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；j

;中點M（%e。），％=五產(chǎn)，腎二”2、:

22

橢圓中的中點弦解題步驟：

第一步：若A（R，X）,6（占,%）是橢圓=十[=1（。〉/7>0）上不重合的兩點，則b~,

ab~r2v2

誓+烏=1

第二步：兩式相減得5+-與）+（y+%孕一％）二0,

a~b~

第三步：上二匹是直線A8的斜率女，（士玉，江匹）是線段48的中點（%,%），化簡可得

xx-x222

X+%)'「%,此種方法為點差法。

特別提醒：

;若AB是橢圓=+4=1（。＞8〉0）上不垂直于x軸的兩點，。是AA的中點，。為橢圓的中心，則直:

a~b~

IiiI

Ii

?線A8與OP的斜率之積為定值

a2

?i■,■?■???■?■???■?????■?????■?????■?■?■??????■?■?■?■?■?■?■?■?■????■?■???■???■?■???■?■???■?■?■??????■?■?????■?■?■?■?■?■?■?■???■?■???■?■?■?■?■???■???■?■???■?■???i?

.22

1.（2024?陜西銅川?三模）已知原點為O,橢圓C:=+與=1（穌〃＞0）與直線/：X一）葉1=（）交于A4兩點，

a'b'

線段A8的中點為M,若直線QM的斜率為-；，則橢圓。的離心率為（）

A.iB.@C.上1D.近

2223

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知橢圓C：二+[=1（]＞力＞0）,過點加（毛,兄）作傾斜角為￡的直線與。交

a~D4

于A,8兩點，當(dāng)M為線段48的中點時，直線OM（。為坐標(biāo)原點）的斜率為-g,則C的離心率為（）

A.克B.3C.在D.如

3333

3.（2024?江西鷹潭?一模）已知橢圓E：5+卷=1（。＞〃＞0）的左焦點為尸，如圖，過點尸作傾斜角為60。

的直線與橢圓E交于A,8兩點，M為線段A8的中點，若5^M|=|O曰（。為坐標(biāo)原點），則橢圓E的離

4.（23-24高二上?浙江杭州?期中）已知橢圓/+的右焦點和上頂點分別為點F（cO）S"）

和點A,直線/:缶-丁-4=0交橢圓于2，Q兩點，若尸恰好為aAP。的重心，則橢圓的離心率為（）

A.立B.空C.旦D.也

3332

5.（2025?天津?qū)幒?模擬預(yù)測）已知橢圓+￡=過點（-夜』），長軸長為2石，過點C（TO）且

斜率為4的直線/與橢圓相交于不同的兩點A、B.

⑴求橢圓的方程；

（2）若線段A8中點的橫坐標(biāo)是求直線/的斜率；

⑶在x軸上是否存在點M,使+是與后無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點〃的坐標(biāo)：若不存在,

3^+1

請說明理由.

6.（2025?湖北襄陽?模擬預(yù)測）已知橢圓「：—+^-=1,左右焦點分別為匕，F(xiàn)2,上下頂點分別為4,B,

43

左右頂點分別為C,D,又P,。是「上異于橢圓頂點的兩點.

⑴若點。在第一象限且滿足-A3。的面積比△￡工。的面積大，求點Q的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）若線段PQ的中點坐標(biāo)為求直線PQ的方程；

X乙）

⑶記點A在直線PQ上的射影為點〃，且直線CP的斜率是直線DQ的斜率的3倍，試判斷：過點A、H、O

（。為坐標(biāo)原點）三點的圓是否為定圓?若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由.

重難點題型2雙曲線中的中點弦問題

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雙曲線用點差法，式子可以整理成：]二,：（另+y2）（,-%）=1=^~.A

（M+/）（王一工2）卜Xo

1.（2025?湖南邵陽?三模）已知直線/：y=3x+l與雙曲線￡二-二=1（00/>0）相交于A,R兩點,且弦

a~b~

（34、

的中點是M-不一三，則此雙曲線E的漸近線方程為（）

A.y=±yf2xB.y=±-xC.y=±2xD.y=±45x

2.已知雙曲線E:￡-京=1（。>0狀>0）的右焦點為尸（5,0）,過點產(chǎn)的直線交雙曲線E于A、B兩點、.若AB

的中點坐標(biāo)為（6,-2）,則E的方程為（）

A.二一￡=1B,t—￡=1

520169

C.上一上=1D.上―？=1

9161510

3.（2025?山西臨汾?二模）已知雙曲線E:二-與=1（。>0/>0）的左焦點為F,過點尸且傾斜角為45的直

ab~

線與E的左支交于AB兩點，M為線段A3的中點，若|M目=4行|OF|（0為坐標(biāo)原點），則雙曲線E的離

心率是.

4.已知雙曲線￡￡-1=1（〃>0力>0）,斜率為-:的直線與E的左右兩支分別交于AB兩點，點。的坐

a~b-9

標(biāo)為（-1/），直線4。交E于另一點C,直線8尸交E于另一點Q.若直線CO的斜率為-，則E的離心率

為.

5.（2025?安徽?模擬預(yù)測）己知雙曲線E:Y_[=1的一條漸近線被圓￡:（x+2/+/=a\a>0）截得的弦

長為2標(biāo),點人的坐標(biāo)為（2.0）,點。在圓匕上，線段P"?的垂直平分線交線段于點Q.

⑴求動點Q的軌跡曲線C的方程；

（2）斜率為/的直線〃?交雙曲線￡于點A,B,若弦A8的中點M恰好在曲線C上，求點M的坐標(biāo)；

⑶記雙曲線E與曲線C在第一象限的交點為MN￡N尼的平分線為〃，在曲線C上是否存在不同的點s,r,

使得點關(guān)于直線〃對稱？若存在，求出S,7,所在直線方程，若不存在，請說明理由.

6.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知"2,0）是雙曲線￡：［一*.=1（〃>0,〃>0）的右焦點，過點尸的直線/與E交

a'b~

于A.8兩點（不同于E的頂點），當(dāng)直線/過點C（-1,-3）時，C恰為A8的中點.

⑴求E的方程；

\DF\

⑵設(shè)M,N分別為E的左、右頂點，AM與BN交于點RAN與BM交于點Q,若。為尸。的中點，證明相

為定值，并求出該定值.

重難點題型3拋物線中的中點弦問題

設(shè)直線和曲線的兩個交點A（』,y）,例為，）’2），代入拋物線方程，得y：=2p百；）/=2%；，

I

I

將兩式相減，可得（乂一%）（乂+曠2）=2〃區(qū)一々）；整理得：上二”=口一

再一看凹+）‘2

..........................................................................................................................................................i

1.（2024?山西臨汾?二模）已知拋物線C:）尸=4%,過點的直線/與C相交于4,B茯點,且M為

弦48的中點，則直線/的斜率為（）

13

A.--B.——C.—1D.—2

24

2.如圖，已知拋物線氏丁=2度（〃>0）的焦點為尸，過尸且斜率為1的直線交E于A,/1兩點，線段48

的中點為M，其垂直平分線交x粕于點C，的_1），軸于點川.若四邊形0。必義的面積等于8,則E的方程為

C.丁=4瓜D.y2=8K

3.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知。為坐標(biāo)原點，點A8在拋物線E:.，=4y上，^,OAOB=0,OD=OA+OB.

記點。的軌跡為曲線G,若直線/與曲線G交于M,N兩點，且線段MN中點的橫坐標(biāo)為1,則直線MN的

斜率為.

4.已知拋物線。：/=2"（〃>0）的焦點為尸，Q（2,3）為C內(nèi)的一點，M為C上任意一點，且|M@+眼目

的最小值為4,則〃=；若直線/過點Q,與拋物線C交于A,B兩點，且Q為線段/W的中點，則△Q48

的面積為.

5.（2025?浙江臺州?二模）已知拋物線「：）？=2*（〃>0）的焦點為尸（1,0）,直線/與拋物線「交于A,B

兩點，且/嗚1）為線段A8的中點.

⑴求拋物線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求直線/的方程；

⑶過點。（皿1）（〃2<0）作拋物線「的兩條切線，分別交/于C,D兩點,求,.QC。面積的最小值.

6.（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測）已知。為坐標(biāo)原點，拋物線C:），2=2pM〃>0）的焦點為尸，點A（A）,2p）在C

上，且sin/Q4F=^色.

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/交C于M,N兩點，且的中點為（2,1）,求直線/的方程.

重難專攻（二十一）中點弦問題

'目錄?重難點題型分布

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重難點題型1橢圓中的中點弦問題

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直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情!

況處理該式子。\

主要有以下幾種問題：\

（1）求中點坐標(biāo)：（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；

中點M（%，尤），/=\-,先二；-

橢圓中的中點弦解題步驟:

22

X.V.,

22匕+*=1

第一步：若A（內(nèi)，y）,3（々,），2）是橢圓=+與=1（。>%>°）上不重合的兩點，則，ar)

ah~二+江=1

/b2

第二步：兩式相減得0L上空口2+SLt&孕二22=0,

ab~

第三步：江”■是直線的斜率々，（小玉，江三）是線段4B的中點（%,%），化簡可得

七一工2

江&匚&=—?=&?&=-《，此種方法為點差法。

X）+xX）x

2-x2cr0a~

特別提醒：

;若AB是橢圓=+4=1（。>8〉0）上不垂直于x軸的兩點，。是AA的中點，。為橢圓的中心，則直:

a~b~

I從I

!線A8與。戶的斜率之積為定值一夕

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.22

1.（2024?陜西銅川?三模）已知原點為O,橢圓C:=+與=1（穌〃>0）與直線/：X一）葉1=（）交于A4兩點，

a'b'

線段A8的中點為M,若直線QM的斜率為-；，則橢圓。的離心率為（）

A.iB.@C.上1D.近

2223

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)

【分析】設(shè)同&,））6（%%），則由點差法求解離心率即可.

【詳解】設(shè)人（不）1）攻馬,必），則知（^^,號左

護(hù)=(y—%)(乂+%)

，兩式相減可得一

/(%72)(王+々)

故選：B

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知橢圓C：J+，=l（4>/7>0）,過點/（9%）作傾斜角為5的直線與。交

于A,8兩點,當(dāng)M為線段A8的中點時，直線OM（。為坐標(biāo)原點）的斜率為-g,則C的離心率為（）

K&B.2C.有D.石

3333

【答案】D

【難度】0.65

【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)

【分析】利用點差法可得近二&=-空，由如目二21二&,%=&=-1可得耳」，川求橢圓的

2

x,-x2a~y0xt-x2x03a3

離心率.

江+￡=1

a2b2

【詳解】設(shè)孫必），所以，

X?yl.

—+-^-=-=1

a2h2

兩式相減得與+0=0,即魚坐5=上M,

a-b~crb2

七+%=2.，所以（斗一電）--「（》一必）兒整理得三~簧

又

71+%=2%，、片—b1

又小吒…處，如號=《所以』》（-3），所吟j

所以橢圓C的離心率6=

故選：D.

3.（2024?江西鷹潭?一模）已知橢圓E：〉方=1（。>〃>0）的左焦點為尸，如圖，過點尸作傾斜角為60。

的直線與橢圓E交于A,3兩點，M為線段AB的中點，若5忻M|=|O曰（。為坐標(biāo)原點），則橢圓E的離

【答案】B

【難度】0.65

【知以點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)

【分析】根據(jù)題意求出M點坐標(biāo)，再利用點差法求得上，進(jìn)而可得橢圓離心率..

a~

【詳解】依題意，橢圓的左焦點為*-c,0）,\FM\=~\OF\=^-cf

JJ

過M作MM'_Lx軸，垂足為M',由NMKW=60°,

a\FM，\=^\FM\=^c,M

設(shè)Aa，yjB（"K）,則有正&=tan6（r=G,土馬=一2°,江&=立。，

Xf210210

v

由￥+*=L*生i,兩式相減得a+wff）+（，+烈—）=。,

u'b~a~b~a~b~

.

則有小尹吟斗事港4

a~（菁+匕）（％-8）_2°3

5

所以吒=「？=「!￥,

故選：B.

4.（23-24高二上?浙江杭州?期中）已知橢圓?+*=1Q〃>0）的右焦點和上頂點分別為點?、?。>c）

和點A,直線/：gx-y-4=0交橢圓于尸，Q兩點,若尸恰好為△APQ的重心，則橢圓的離心率為（）

A.正B.迫C.旦D.也

3332

【答案】A

【難度】0.4

【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求弦中點所在的直線方程或斜率

t2

【分析】首先設(shè)PQ的中點M,由力:差法得七/“=-%,再根據(jù)重心的性質(zhì)求得點M的坐標(biāo)，聯(lián)立求得

橢圓的離心率，再結(jié)合條件人〉c,即可求解.

【詳解】設(shè)險,%）,。（%必），P。的中點為點”（%，%），

,M2

y

1

-+-

72二I

力

<,兩式相減得a+”2）q―/）+a+）

,2月R—H=0

y

2

+-=i"

*2

沙

、

化解得（（：；累;））二號即2"=與得"”4

所以《"=一翼

2a

F(GO),4(0,3，由尸恰好為A4PQ的重心,

3c

則A〃=2五M，即(。,詢=2(七一。,%)，得飛二至,^o=--b

.-b

即例仔k=丁，

，V).OM3c

所以-筍-2,貝1」2/=3辰，平方后得2/=96好=9(。2-/)。2,

3(

42

9cJ9a2c2+2a,=0,即9e+2=0o（3?-1）（3^-2）=0,

解再：e=或e=g>

33

由條件?！礐,得〃2>c2,即/一°2>—得0<e<立，

【點睛】方法點睛：本題考查了求離心率的方法，①可以直接求出0C求出離心率，②由條件構(gòu)造關(guān)于0C

的齊次方程，即可求解離心率.

5.(2025?天津?qū)幒?模擬預(yù)測)已知橢圓捷+白1(〃＞。＞0)過點(-⑸)，長軸長為2后過點。(-1,0)且

斜率為％的直線/與橢圓相交于不同的兩點A、B.

⑴求橢圓的方程；

⑵若線段44中點的橫坐標(biāo)是求直線/的斜率；

⑶在x軸上是否存在點M,使M4MB+陽，是與k無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點例的坐標(biāo)；若不存在,

.5/C+1

請說明理由.

x*y

【答案】⑴彳+5=1

3

(2)

⑶存在，且點M（!，O

【難度】0.4

【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)橢圓過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題、由弦中點求

弦方程或斜率

【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)了。、力的方程組，解出〃2、"的值，即可得出橢圓的方程；

（2）設(shè)點A（x，y）、*天,），2），則司+/=-1，利用點差法可得出-后（乂+%）=-；，結(jié)合點（一；,"&

在直線y=&（x+l）上，可得出）i+%=&，代入-&（）l+%）=-：可得出〃的值；

（3）假設(shè)在x軸上存在點M（m,0）滿足題設(shè)條件，設(shè)點以不乂）、Ww，%），將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)

立'列出韋達(dá)定理,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合MAMB+島為定值乙可得出

3m2+6/n-l-3r=0

求出機(jī)的值，即可得出結(jié)果.

MT=O

2a=245

可得T，因此橢圓方程為丁丁1,即X”2r

【詳解】（1）由題意可得21

（2）設(shè)點4（內(nèi),乂）、*三外），則為+々=-1，

因為.V］；，這兩個等式作差可得卜；一￥）+3（弁一￡）=0,

即44=皿…）T

X］-XjXj-x2X1+x23

由題意可知,直線AA的方程為y=Nx+l），

線段他的中點（一；,巧區(qū)（在直線），=Mx+l）上，所以，漢"=，，可得,+%=&，

所以-%（乂+%）=-二=-;，故&=±近，故直線/的斜率為土立.

J33

（3）在x軸上存在點用］,。］,使+是與攵無關(guān)的常數(shù).

證明：假設(shè)在x軸上存在點”（〃7,0），使是與々無關(guān)的常數(shù)，

因為直線/過點C(TO)且斜率為K所以，直線/的方程為y=k(x+l),

由F+3y=5得(3公+1)/+6爐彳+3%2-5=0.

y=A(x+l)'/

設(shè)A(x”yJ、/..)，2),則內(nèi)+毛=/中2=*二%

3&十13K+1

因為MA=(X1-m,y),MB=(x2-///,y2),

5

所以MA-M8+=(x-m)(x-m)+yy+

3犬+1l1l2

2

=(xi-m)(x2-m)+k(xi+\)(x2+\)+—^—

3k+1

12

=(1+%2)%*2+(42一機(jī))(芭+x2)+ni+k+—7—

3人?1

=(|+公)^1^+(公一〃?)^1+"尸+/+^

'‘3公+1'73^2+13k2+\

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3r+1

-k2+6mk2+〃/

設(shè)常數(shù)為J,則

3k2+\

整理得(3>+66-1-3/*+〃/―/=0對任意的攵恒成立,

3〃廣+6m—1—3r=01

{qA，解/Tl得zrI〃2=Z，

m~-r=06

即在x軸上存在點M”,o',使MA.MB+丁一是與々無關(guān)的常數(shù).

\6；3公+1

6.(2025?湖北襄陽?模擬預(yù)測)已知橢圓「：—+^-=1,左右焦點分別為6,外,上下頂點分別為A,B,

43

左右頂點分別為C,。，又P,。是「上異于橢圓頂點的兩點.

⑴若點。在第一象限且滿足-48。的面積比△ZKQ的面積大，求點Q的橫坐標(biāo)的取值范圍；

⑵若線段P。的中點坐標(biāo)為求直線P。的方程；

⑶記點A在直線尸。上的射影為點從且直線CP的斜率是直線。。的斜率的3倍，試判斷：過點人、H.（）

（。為坐標(biāo)原點）三點的圓是否為定圓?若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由.

【答案】

(2)3x+2^—4=0

\\

（3）定圓,x+-小-立

2JI-2

【難度】0.65

【知識點】直線的點斜式方程及辨析、橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、由弦中點

求弦方程或斜率

【分析】（1）由結(jié)合三角形的面積公式可得石|%|>|%|，再由橢圓的方程代入計算，即可

得到結(jié)果；

（2）由點差法代入計算，即可得到結(jié)果；

G）聯(lián)立直線。。與橢圓方程，即可表示出點。的坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線CP與橢圓方程，表示出點P的坐標(biāo),

從而表示出直線PQ的方程，即可得到直線P。過定點Fx（-1,0）,

從而得到結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)。（如y）（%>o,%>o）,由sA8Q>S65。,得忻用聞,

所以石聞即3x：>>3

乂因為3L+K=1,所以0<y：=3-啦<3片，

434

解得孚<小<2,即點。的橫坐標(biāo)的取值范圍為（竽,2

(2)設(shè)M,尸（耳，》），。（七。2），

，兩式相減作差可得上K+比』?=（），

43

」（N+.q）（N-巧）4—，“4

13

又所以&>Q=—不，

乙乙

由直線的點斜式可得y-g=-T(x-1)，

化簡可得3x+2y-4=0,

所以直線P0的方程為標(biāo)+2)，-4=0；

?C(-2,0),0(2,0),

人

設(shè)在線CP的方程為y=3k(x+2),

直線。。的方程為y="(x2),A<(),

x2v2_

+"

聯(lián)立TT,消y得(4&2+3)/-16&2/+16公-12=0,

y=g-2)

則2%"母蕓'所以“弘

^TKID4k2+3

(8/一6一12%”’8好一6T2、、

所以%=攵〔而5一24r+3'以°、4攵2+3‘4r+3/

xy

+,消得二+公”+公一

聯(lián)立TT"y(121)/+48484=o,

y=3&(x+2)

48公-4

則-2與=

12公+1

2

所以3=二券二2,所以％=3女(-24k+2.12%

12k+14公+3

-24公+212k

故P

12^+1J2^2+l

-\2k\2k

4公+3-12犬+14%

'i%*%，即hw時，kpQ=

8A2—6—24公+21—火

4k?+312/+1

則直小線也n八的A/方、程—為”y-+12kE:小4k（1一8g5_j6'）

AL

即y=iT（x+i），過定點E（T，O），

I-4k

當(dāng)/=4,即好=；時，此時小="=-1,

直線尸。過定點￡（T,0）,

設(shè)H（x。），因為A"_LP。，A010F1,所以過點A,H,O（。為坐標(biāo)原點）三點的圓即為過點4,6,

O｛。為坐標(biāo)原點）三點的圓，

因為（x+l）x+y（y-⑹=0過原點，點耳（TO）,點A（0,⑹,

所以過點A,H,0（。為坐標(biāo)原點）三點的圓是定圓X+；）+>'一曰］=1-

重難點題型2雙曲線中的中點弦問題

;雙曲線用點差法，式子可以整理成：1='.（另+%）（乂-％）ni=k。迎

b~（x}+x2）（X]-x2）b~x0

■i■?■?■???■?■???■?■???■???■???■?■?■?■■?■?■?????■?■?■???■???■?■???■?■???■?■???■???■??,■?■?????■???■?■???■?■???■?■?■?■???■?■?■?■???■?■???■?■???■???■?■???■?■?■??i

1.（2025?湖南邵陽?三模）已知直線/：y=3x+l與雙曲線￡:-二=1（4>0*>0）相交于A,B兩點，且弦

a~b~

（34、

的中點是M,則此雙曲線E的漸近線方程為（）

A.y=±y/2xB.y=±gxC.y=±2xD.y=±y/5x

【答案】C

【難度】0.85

【知識點】已知方程求雙曲線的漸近線、由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)

【分析】利用點差法，求即可求雙曲線的漸近線方程.

【詳解】設(shè)A（x，yJ,8（七,必）,

K_E=i

則":h\,兩式相減得8-F）"也）-七十旦縣包=0,

（y+%）（y一%）（內(nèi)+勺）二。-8x36,

即^3—0,即勺=2

丁一溟一°。4

所以雙曲線的漸近線方程為y=±g、=±2x.

故選：C

2.已知雙曲線￡!-5=1（00/>0）的右焦點為尸（5,0）,過點尸的直線交雙曲線七于A、B兩點.若AB

的中點坐標(biāo)為（6,-2）,則￡的方程為（）

B.

A》如169

D.

1510

【答案】D

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、由弦中點求弦方程或斜率

-=

2

【分析】設(shè)A（%,y）、8（生%），由，%利用點差法求解.

-F=

【詳解】解:設(shè)A（XQ，J、8（0乃），

若AB/x軸，則線段A8的中點在％軸上，不合乎題意,

x+x=12

因為線段A8的中點坐標(biāo)為（6,-2）,則，i2

y+%=-4，

4"-:4b=\1，兩式相減得2292

則年一5K一%=0，

工』=]h2

/b1

其一%y+先_）'”O(jiān)

則

X1-X,X)+.V,2-X；

x2

31-.V2_-2-0=-2,所以，C=q.0=_2xU

因為

a~再一9%+&123

b22

6-2=15

所以，3，解得

b2=\0'

c2=a2+b2=25

因此，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；-加

故選：D.

3.（2。25?山西臨汾?二模）已知雙曲線￡*裊叱。吠。）的左焦點為八過點尸且傾斜角為45的直

線與E的左支交于A8兩點，M為線段A8的中點，若|Mr|=4及|OF|（。為坐標(biāo)原點），則雙曲線E的離

心率是_____.

【答案】生5/1逐

55

【難度】0.65

【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、由韋達(dá)定理或斜率求弦中點

【分析】聯(lián)立直線A8與雙曲線的方程，求出點M坐標(biāo)，由給定關(guān)系求出離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線E的半焦距為c,則/（-c,0）,直線45方程為），=X+C,

y=x+c

由恨2//肖去＞得面"優(yōu)+2加+"+1。,

a'~b2>0/、2ac、2b'c

△=4a，>0'設(shè)A（%，X），及"J,則

、2匕b2C、2@2。

于是點M（-?），|MF|=.（c-）+（一一7—7T，'—=4J2C，

a2-b2ta2-b2a2-b2a1-b-d-b-

解得5=所以雙曲線E的離心率e=，3=半.

故答案為：巫

5

4.已知雙曲線￡:「-==1（。＞0/＞（））,斜率為-g的直線與E的左右兩支分別交于A3兩點，點p的坐

a~b~9

標(biāo)為（-覃），直線”交E于另一點C,直線42交E于另一點Q.若直線。。的斜率為則E的離心率

為

【答案】叵

3

【難度】0.4

【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)

i_X

/b2=1

【分析】設(shè)A4,%）,3（%為），，線段46的中點代入雙曲線的方程中可得《，兩式相

/b1

減得g=-3,可得加=-OK2

咚?山①，設(shè)。。3，%），以8，乂），線段C。的中點N（公,）R）,同理得

A1A2y

為=-零/②，F(xiàn)hkAB=kCD,得P,M,N一點共練從而求得4c2=51,由此可求得雙曲線的離心率.

a

設(shè)人（內(nèi),y）,3（電,乃）,，線段AB的中點M（%,yM）,

內(nèi)+占_護(hù)x^_1

,兩式相減得M）”>2/加9

所以加=號/①,

GA2_

設(shè)。（不，必），。（七，居），線段8的中點NC5，w）,同理得以=-4-丫②，

a

因為38二七。，所以AB//CD,則P,M,N三點共線,

9b29b21

所以學(xué)4二"，將①②代入得：7'"F，T

a

十?”內(nèi)十?,1

人YM十14+1

9b2

即（x,w-，（1-丁~）=0,

所以?2=9從=9（r-?2）,即9c2=Kkr，

所以，存半

故答案為