三角形面積問題（解析版）-2026高考數學

第25講三角形面積問題

一.解答題(共19小題)

I.已知焦點在x軸上的橢圓。上的點到兩個焦點的距離和為10,橢圓。經過點(3,3).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過橢圓。的右焦點尸作與x軸垂直的直線4，直線4_L存在M、N兩點滿足OM_LON,

求△OWN面積的最小值.

(3)若與x軸不垂直的直線/交橢圓。于力、8兩點，交x軸于定點線段的垂直

平分線交x軸于點N,且上竺為定值，求點M的坐標,

\MN\

V+>'2

【解答】解：(1)設橢圓的方程為=1(。>6>0),橢圓C上的點到兩個焦點的距離

和為10,所以2a=10,G=5，

乂橢圓。經過點喈)，代入橢圓方程，求得〃=4,

所以橢圓的方程為：W+乙=1；

2516

(2)設”(3,加),N(3,QF(3,0),

由0M10N,所以加?麗=9+MM=0,

I39

s：=彳?3?|w-丹1=71加+—Id，故XOMN面積的最小值為9；

22yM

(3)設直線/的方程為:y=kx+m,則點設(_%,0),

k

y=kx+m

22222

xy，消去歹得(25k+16)x+50^LV+25w-400=0,

25+l6-

I50A〃？25〃/一400

-----；-------，x,x=--------；--------，

25公+16225K+I6

所以M昨"哼筍，

則的中點P的坐標為(—一當%—,—25K〃Z+小),又PNA.AB,得％=」，

25K+1625K+16'k

25k2m

則直線RV的方程為：y+一…I(、+3M，

25k2+16k25尸+16

令），=（），得N點的坐標為（—25""25km+〃化°）,則|“、|=|~翌一十%|,

25K+1625K+16k

所以版=死戶尋5.k.匚~m~+9

一一?、25——；-

2mVA-2+1

當且僅當勺=2時，比值為定值，此時點M（-",0）,為〃（±3,0）,

k"1k

故加（一3,0）或（3,0）.

2.如圖，橢圓C:二十與=1（。>/>>0）的離心率為L其左焦點到橢圓上點的最遠距離為3,

a~b-2

點尸（2,1）為橢圓外一點，不過原點。的直線/與C相交于4,B兩點,且線段48被直線。/>

平分.

（I）求橢圓C的標準方程；

（2）求A48尸面積最大值時的直線/的方程.

左焦點（-c,0）到橢圓上點的最遠距離為3,

即使a+c=3,可解得：a=2,c=l,

222

b=a-c=3t

.?.所求橢圓。的方程為：—+^-=1;-----------------------------（4分）

43

（2）易得直線OP的方程：y=-x,

■2

設（，”），（%），。,

AXABXB,R（xyQ）

其中No=；x。,

vJ,5在橢圓上,

%2E

-+=

43

2K2

4+

一

43一-

丹-九二二3（6分）

4丹+為2

設宜線AB的方程為/:y=~~x+m（m*。），

代入橢圓：43，整理得：3/一3機》+"/一3=0

3

y=——x+m

I2

由△〉（）可得-24<〃?<2百且w0

一3

根據韋達定理可知：xA+xB=m,xA-xB=---,-------------------------------------（8分）

1+kxX

■,?I4昨7AB\rB1=M+3J憂X/+xj-4xAXB=J+k]-y,

?.?點尸（2,1）到直線/的距離為：d=I-"II=I先生I,

??.S型BP=；.dl4BI=g?lM-4i“4-凈，------------------------（10分）

當初=1-4時，S.8/,取最大值，

此時直線/的方程j，=-|+l-V7.--------------------------（12分）

3.如圖，橢圓C:二+二=1（。>〃>0）的離心率為,，其左焦點到點P（2,l）的距離為歷，

a~b~2

不過原點。的直線/與。相交于n、B兩點、,且線段被直線OP平分.

（1）求橢圓。的方程；

（2）求直線/的斜率；

（3）求A4O8面積的最大值.

【解答】解：⑴設橢圓的左焦點的坐標為S）,則由已知可得冷，且

7（2+C）2+12=710,

解得a=2,c=1>所以力=\/J,

所以橢圓C的方程為—+^=1;

43

（2）設4（陽，乂），B（x1,為），的中點為做,%,汽），

22

再M

+-

4-3=1

，兩式作差可得：3--）（*+?）+/一小）（乂+%）=0,

,K

石

+43

4-3=1

X+

產獷巧工且=”4

所以&=導=一『+=一|

故直細的斜率為.|:

1

（3）由（2）設直線/的方程為丁=-耳X+/〃，

則點o到直線/的距離為d=」〃"=引善，

2V13

3

y=——x+w

"2

聯立方程消去y整理可得：3x?—3mx+m—3=0?

當且僅當m2-\2-m2,即m-工娓時取等號,

此時三角形AOB的面積的最大值為6.

22

4.已知點力（0,-2）,橢圓E:二+與=1（。＞/）＞0）的長軸長是短軸長的2倍，廠是橢圓上的

（TD

右焦點，直線力b的斜率為述，O為坐標原點.

3

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過點4（0,-2）的動直線/與橢圓E相交于P,。兩點.當AOPQ的面積最大時，求

直線/的方程.

22

【解答】解：（1）設尸（c,0）,由條件知「國'a=2b=c=

又可得〃=1,a2=4,

橢圓E的方程：y+r=l.

（2）依題意當/_Lx軸不合題意，故設直線/:y=履-2,設P（X1,乂），Q（X2,y2）

Y2

將》=去-2代入橢圓E的方程：—+/=1.得（1+4-*_16米+12=0,

4

當△二16（4代一3）＞0,即

16"12

…=言mX詢

從而|P0|=Jl+如區―/1=4.左::;‘丁2

又點。到直線PQ的距離＜/=-y==.

所以NOPQ的面積=，"?I尸。1=曹

24k?+1

設J4V-3=1-Q

則/>0,一^AOPQ

當且僅當f=2,k=號成立,且滿足△〉（）,

所以當AOPQ的面積最大時，/的方程為：y尊x—2或y=4x_2.

5.已知廠為拋物線_/=x的焦點，點44在該拋物線上且位于x軸的兩側，OAOB=2（其

中。為坐標原點）.

（1）求證：直線48過定點；

（2）求A44。與A4FO面枳之和的最小值.

［解答］解：（1）設直線力8的方程為：x=my+n，點A（x］,y}）,B（x2?y2）?liOA-OB=2,

可得入用+乂必=2，①,

二點力a，乂），5（另，力）在拋物線上可得力=必一三=￡,②

由①?可得必必=-2或1（舍去），

X=〃?》+〃n

可得/?―/町一〃=0

{y'=x

根據韋達定理有必?為=-?=-2,

直線43過定點（2,0）；

（2）?.,點、A,8位于x軸的兩側，不妨設力在x軸的上方，則乂>0,又焦點尸七，0）

4

111992B2~

S+S2XX+=3

MBOMFO=-（y\-y2^4^11月一乃=儲必+-=?

當且僅當乂取號，

.??A48O與AJF。面積之和的最小值是3,

6.如圖，已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，點尸為拋物線C：V=%的焦點，且拋物

線C上存在不同的兩點力，B.

（1）若48中點為M,且滿足尸4,尸8的中點均在。上，證明：0M垂直于），軸；

（2）若點力，〃在該拋物線上且位于x軸的兩側，刀?礪=6（0為坐標原點），且A4BO與

MFO的面積分別為S\和&,求E+4s2最小值.

【解答】解：（1）證明：設尸（.%,%）,A（y；,乂），6（6,乃），

因為直線產/,尸8的中點在拋物線上，

所以必，為為方程（^^二匕尹的兩個根，

2

即y-2yoy+2y0-2y：=0,的兩個不同的實數根,

所以必+必=2%，

所以垂直于），軸.

（2）根據題意可得/d，0）,

4

設4（%,乂）,8區，%），則陽=）彳，&=貢，

所以x1x2+m2=M式+m2=6，則乂%=-3或兇％=2,

因為4,8位于x軸的兩側，所以必為=-3,

設直線AB的方程為x=ty+m，

聯立｛2，得y-（y—〃?=0,

y=x

所以認力=~,n=一3,則加=3,

所以直線過定點（3,0）,

所以R+4S2=gx3x|必一七l+4x；x；|y|

3/、13,3、%.

=7x（必一為）+-y,=-x（y,T+'=2y,6,

222M2

當且僅當2M=上9，即必=3士時取等號，

2必2

故SI+4邑的最小值為6.

7.如圖，已知點P是），粗左側（不含y軸）一點，拋物線C：y=4x上存在不同的兩點力，

4滿足21,P4的中點均在。上.

（I）設中點為“，證明：垂直于y軸；

=l（x<0）上的動點,求AP/IB面積的取值范圍.

【解答】解：（I）證明：可設尸（見〃）,

力8中點為M的坐標為（短；"'，ZL±A）,

拋物線C:/=4x上存在不同的兩點A,B滿足PA,P8的中點均在C上,

ni+-

可得（L-

22

化簡可得乂，當為關于曠的方程V-+Sm-n2=0的兩根,

可得X+%=2〃，乂必=Mi*，

可得〃=匕上匹，

2

則PM垂直于y軸；

（另解：設尸8的中點分別為七，F,

EF交PM于G,EF為APAB的中位線,

EF//AB,又M為AB的中點，

G為防的中點，

設AB\y-kx+hx,EF\y=kx+b2,

由「=4x,y=Ax+4,y=kx+b2,

4

解得義所以PM垂宜.于），軸）

k

2

（n）若尸是半橢圓/+匕=IQ<O）上的動點，

4

可得/+°=1,—1-^7<0,-2<n<2,

4

由（I）可得“+必=2〃，y]y2=8〃，一〃2,

由垂直于y軸，可得“48面積為S=g|PM|“M-%|

=|（"-⑼?｛（必+乃f一5%

乙O

=1A（4/-1+2n2）--ni]--32/〃+4/J

=^21（‘J-4m）\ln2-4m,

4

可令/=-4〃?=^4-4/w2-4m

可得?時，/取得最大值V5；

2

機=-1時，，取得最小值2,

即2廿班，

則5=逑〃在2b班遞增，可得Sc[6啦，—V10],

44

"AB面積的取值范圍為[6及，—V10].

4

8.已知橢圓?+?=1,6，人為左、右焦點，直線/過K交橢圓于力，B兩點?

(1)若直線/垂直于x軸，求|力例；

(2)當/648=90。時，/在x軸上方時，求力、"的坐標；

(3)若直線/耳交y軸丁直線6G交y軸丁N,是否存在直線/,使得二?8=邑？西，

若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)依題意，6(2,0),當48_Lx軸時，則4(2,揚,8(2,-&),得|/8|=2收；

(2)設4(%,兇),?.?/848=90。(/64蒼=90。),

AF^AF2=(再+2,%)?(內一2,必)=xJ-4+yJ=0,

又/在橢圓上,滿足工+左=1,即凹2=?1一邑,

848

2

...X：_4+%1—工)=0,解得』=(),即4(0,2).

8

直線AB:y=-x+2,

y=-x+2

聯立｛J2,解得6(3,-±);

—+—=133

84

(3)設/(七，必)，B(X2,必)，必(0,為)，陽0,乂),

直線/:x=，即+2，

則巨知8=gI斗巴卜1必-必1=2|y-%I，

S*\MZ=jI6°M%一乂1=1%一以I?

x=my+2

聯立31得(m2+2)y2+4niy-4=0.

-----1------=1

84

=

則弘+為=一一筌，)\y2^77-

m+2m+2

由直線月片的方程：y=-^-(x+2),得〃縱坐標必=3」；

/+2x,+2

由更線8G的方程：y=?—(x+2),得N的縱坐標以=且-.

X2+2X2+2

若S心B=S#、MN，即21必一%1=1必一居I，

I必一居H飛一駕H二24一二217H(絲”狂21必

玉+2X2+2my{+4niy2+4。〃乂+4)(7/zv,+4)

2

.1.I(w.V1+4)(〃?乃+4)|=4,|my}y2+4加(必+為)+161=4,

代入根與系數的關系，得|二^二+4/〃?三%-+16|=4,解得〃?=±G.

rn-+2nr+2

.?.存在直線x+后一2=0或%-后一2=0滿足題意.

9.已知橢圓。:]+==1(〃>6>0)的左、右焦點分別為片，F2,過右焦點用且斜率為1

的直線交橢圓于力，8兩點，N為弦48的中點，且ON的斜率為-3.

4

(1)求橢圓。的離心率e的值:

（2）若/=4c,/為過橢圓。的右焦點名的任意直線，旦直線/交橢圓。于點尸，0,求

△F、PQ內切圓面積的最大值.

【解答】解：（1）設點力的坐標為（$,乂），點B的坐標為（/,必），則線段的中點為

22

直線AB的斜率為配=&二以=1,直線ON的斜率為*=2」+匕

再一馬五y_0為+巧

2

所以，直線48和直線。N的斜率之積為正匹=車?.=ix（-3）=N,

Xj-x2X1+x2$一石44

%2

F

2

由于點力、8在橢圓C上，則仔

21

Z)2

上述兩式相減得寧+y=。，化簡得一提二注二一%所以，~

因此，橢圓的離心率為《=￡=

a2

（2）由（1）知，〃=2c,由于“2=4c,得4c，=4c,由于c>0,得c=l,所以，a=2,

b=\la2—c2=V3?

22

所以，橢圓c的標準方程為m+亡=1,

43

△^P0的周長為4a=8,

橢圓C的右焦點為6（1,0）,設直線/的方程為x="y+l,設點P（.q,必）、居），

將直線/的方程代入橢圓C的方程并化簡得（3//+4）y2+6my-9=0.

△=(6/??)2-4x(3m2+4)x(-9)=144(w2+l)>0,

由韋達定理可得%+居=~"一9_

3〃廣+4%居=-京+4

△F}PQ的面積為

c1ill,.11cr-----r；—:----I6m72'/9、\2\Jm2+1

公岡…l=”x而幻二嬴"(一就R—4x(一藐寸F77r

12r12/_12

令/=J〃/+R,則m2=r-1,所以，S

￡段一3(/_])+4-3/+]-i

Jrn—

由于函數y=3/+1在區間[1,+8)上單調遞增，

t

所以，當z=l時，△耳尸0的面枳取到最大值券一3,

15S

設△片尸。的內切圓的半徑為〃，則;x4"x〃=S/0,所以，/一寸瞑，^,

當△ZP0的面積取到最大值時，其內切圓的半徑r取到最大值;，

因此，△石尸。內切圓面積的最大值為"X(42=2乃.

416

10.已知橢圓。：捺+￡=1(〃＞力＞0)的左、右焦點分別是G和K，離心率為:，以尸在橢

圓E上，且△/?凡用的面積的最大值為G.

(1)求橢圓。的方程：

(2)直線/過橢圓。右焦點行，交該橢圓于力、B兩點,中點為Q,射線。。交橢圓

于尸，記A4。。的面積為百，A3P。的面積為S2,若￡=3S/求直線/的方程.

【解答】解：(1)依題意，顯然當P在短軸端點時，鳥的面積最大為gx2cxb=百，

222

即兒二百，又由離心率為e=￡=L,a-b=c,

a2

解得/=4,〃=3,c2=1,

所以橢圓C的方程為W+4=i?

43

(2)因為$2=3',

所以110Pli081sin^BQP=3^-\QA\\QO\s\nAAQO,

22

所以|。尸|=3|。0],所以。尸|=4|。0|,

當力8斜率不存在時，邑=￡,不合題意，

當/出斜率存在時，設直線方程為y=Z(x-1),

設點力(為,乂)，B(X2,y2),

(2

再

d4-X=i，

貝\,兩式作差得：

uV=

4J￡七一七藥十七4

+V"=1

即KB,人》=一：，

故直線OP的方程為：歹=-巨.丫,

4k

，3

y7

一2

必

聯

，VI?<

-22

X匕

-T-

443

d

3

y=---x皿"4k

聯立4k,解得勺=直布

尸左(x-1),"

因為“爪所以肅卓…各

即公=_1,解得：k=±~,

42

所以直線43的方程為丁=±3*-1）.

11.已知橢圓C:=十二=1（。>h>0）的左、右焦點分別為ki,k2,離心率e=立，點產（2,夜）

a'b~2

在橢圓。上，直線/過￡交橢圓于力，8兩點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）當/瑞力8=90。時，點力在x軸上方時，求點力，8的坐標；

（3）若直線4巴交y軸于點時，直線8入交y軸于點N,是否存在直線/,使得與

AA/A/的面積滿足S“”=2SWM,若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）由題意可知，,a2-b2=c2,又2+2=|,

a2a~b~

聯立方程組可解得："=8,b2=4,

所以橢圓C的方程為=

84

（2）設/（x,y）,依題意，［（一2,0）,乃（2,0）,因為/鳥力4=90。，所以/用力用=90。，

即6彳?64=(再+2,必)?區-2，M)=x「_4+yJ=0,

v222

又力在橢圓上，滿足工+222

￥=1,即必2=4(1一±),X1-4+^,=X1-4+4(1-=0,

8

解得$=0,即%(0,2),

直線AB:y=x+2,

y=x+2

，解得8(-±-2).

聯立方程組X=i

33

84

（3）存在直線/』=述夕-2或x=-友y-2,使得&48凡與AMA/的面積滿足

33'?

S&ABF：=2sdMNF、，

設力（王，乂），B（X1，%），加（0,8），NW]%），

直線/”=〃少-2（斜率不存在時不滿足題意），

則S-=；I秋HM-%1=21必一必I，S-=；I6°?舊71=1乃fI?

x=my-2

22

聯立方程組V整理得(〃/+2)y-4my-4=0.

—+—=1

84

貝1」凹+%=-^4，%出

由直線4F,的方程：y=_A_（x_2）,得M縱坐標必=3

（x「2）x}-2

由直線8工的方程：y=?—（x-2）,得N縱坐標乂二二

X2-2x,-2

由S“g=2S,“g，得I必-必1=1%一乂I?

所以M-居目書—二*1=1三%—-=^TH（"J，"T必一月I，

$-2x,-2機匕-4my2-4（my1-4）（〃少？-4）

2

所以I。叫一4）（〃少2-4）|二8,|my}y2-4加（乂+^2）+16|=8,

代入根與系數的關系式，得|聿7-4〃??坐7+16|=8,解得小=±迫.

m+2m+23

存在直線x=￥y-2或x=-￥y-2滿足題意.

12.已知橢圓{=的左、右焦點分別為《，凡，|《八|=2,橢圓離心率

Q-b~

e~——.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/過橢圓的右焦點招，交橢圓于力，B兩點,若△力68的面積為半，求直線/

的方程.

2c=2

2222

【解答】解：（1）可得，c\=>c=1,a=2,5=1,

e=r=一

/2

???橢圓。的方程為：y+r=l.

(2)v^(l,O),該直線/的方程設為x=〃?y+l,

聯立,“刑丁；1可得（〃5+2）爐+2叩-1=0.

x~+2y2=2

—2m—1

設片區，乂），B?,%）,則必+必=—r，）\y=--7■

2+m22+m

△加注的面枳S=；x|丹丹岡,一為1=）弘_必）2_4必力=「*：?）=￥-

2w+23

解得m=±2.

二直線，的方程為±2），-1=0.

13.已知橢圓c：￡+*ig〉b>o）的離心率為當，其左、右焦點分別為片，F2，點戶（%,

必）是坐標平面內一點，且片+），；=（.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點S（0,-；）且斜率為人的動直線/交橢圓于4、8兩點，問：在y軸上是否存在定點

M，使以力8為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標和面積的最大值；

若不存在，說明理由.

【解答】解：（1）設耳（一。,0）,瑪（c,0）,

由西?麗=］，即為（一《一/，—坊）?（°一工0,一為）=］，

44

即有片+$-/=］,乂4+），；=；,

44

解得c=1,又e='=,則a=V2?6=1,

a2

*>

因此所求橢圓的方程為：y+/=l;

（2）動直線/的方程為J，=h-

由y=,得(1+26*/履_3=0,

x2+2y2=23

設彳區，乂），僅9，%），

4k16

則$+々=----------,xx=-

3(1+2公)1}2?9(1+242)

假設在y軸上存在定點M(0,〃?)，滿足題設，則

MA=(X],必一〃?)，MB=區，y2-w),

2

MA*MB=x]x2+(匕-m)(乃-m)=x[x2+y1y2-+y2)+m

=x1x2+(kx]-；)(依2-一ni(kx1-^+Ax,--)+/?/

,121

=(1+公)再/-k(—+m)(Xj+/)+"J+—〃?+—

16(1+公)?儀；+〃?)?4k，21

+nr+—〃？+—

9(1+2/)311+2/)39

18(〃/-1)/+(9〃/+6〃7-15)

9(2k2+1)

由假設得對于任意的4wA，礪?碗=0恒成立,

。:二5.。'解得〃"L

HP-

因此，在y軸上存在定點M,使得以力8為宜徑的圓恒過這個點,

4

點M的坐標為(0,1)這時，點M到AB的距離d=

341+產

|月8|二J(1+如)(3一%)2,

S-=\-\AB\d=JJ(M-/a='/甘—4再/

4JJ

216k26484+9A-2

一3^2(1+2*>49(1+2解)-5\(1+2產y，

設1+2/=z則公=勺得/€口，+8),-e(0.1],

2t

當且僅當L1時，上式等號成立.因此，AM"面積的最大值是3.

t9

22i

14.已知橢圓二+4=1（心8>0）的左、右焦點分別為不F,,離心率為L過橢圓右焦

a~b~2

點的直線交橢圓于X，8兩點，△月￡6的周K為8,O為坐標原點.

（I）求橢圓的方程;

（II）求&4O8面枳的最大值.

【解答】解：（I）因為過橢圓右焦點的直線交橢圓于力，B兩點、,△力片4的周長為8,

則由橢圓的定義可得4a=8,所以。=2,

又e=￡=L,所以c=l,則〃=3,

a2

故橢圓的方程為二+4=1;

43

（II）由（I）值,瑪（1,0）,

則可設直線AB的方程為：x=WV+1,

代入橢圓方程可得：（4+3〃/）/+6my-9=0,

-一9

設4（』，乂），B（X,E），則必+22,M乃=.；22,

24+5m4+5m

所以I冊=疝版?UNKK=07版?

=G.m可】2（i+?

4+3w24+3〃/

原點到直線AB的距離為d=一=,

\]\+m2

所以三角形4C8的面積為5=?小|月例="方」=」。（1：”?

22V1W4+3/

2

6V1+w_6---j---?令［=yj\+m2

4+3〃「后二

Jl+/〃2

所以s=」7，當ra時，函數單調遞增,

3"t

所以當"1時，S_=^=|,

故三角形水加的面積的最大值嗚.

15.已知拋物線C：r=2px（p>0）上有一點0（2,%）到焦點F的距離為|.

（I）求p及％的值：

（H）如圖，設直線y-辰與拋物線交于兩點,4（$,乂），B（X2,乃），且|必一為1=2,

過弦如？的中點M作垂直于y軸的直線與拋物線交于點。，連接/1。，BD.試判斷A44。

的面積是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.

【解答】解：（/）由拋物線。:產=2〃以〃>0）,可得焦點（§0）,

???拋物線上的點0（2,%）到焦點F的距離為1.

rP5.

2+—=—?p=1.

22

y~—2.v?

把0（2J。）代入拋物線方程，解得九=±2?

222

（〃）聯立，+,得：kx+2(kb-l)x+b=0(k*0),A>0,即1一2姐>0,

y~=2x

2(1—kb)b2

$+%=—/—，咐).

KK

1)1一%『三二1玉一七|2=〃T(X[+嗎)2_4芭巧]=4：4.

K

:A-2kb=k2,

M（號4），以親》

.??。80的面積5=口〃。卜|必_為卜!><|上學|'2=」.

22242

16.已知點。是拋物線。:了2=2〃工（〃>0）上的動點，點。到拋物線準線與到點。（一!",1）的

2

距離之和的最小值為收.

(1)求拋物線。的方程；

(2)如圖，設直線y=仃+/)與拋物線C交于兩點力(不：弘)，B(X2,多)且必1=2,

過弦AB的中點M作垂直于>?軸的直線與拋物線C交于點D,求AABD的面積.

【解答】解:(1)?.?點。到拋物線準線叮到點尸(-工，1)的距離之和的最小值為0,

二點。到拋物線的焦點與到點P(-1,1)的距離之和的最小值為夜，

二.p=1，

拋物線C的方程為y2=2x；

(2)聯立直線y=kx+b與拋物線C得：k2x2+2(kb-l)x+〃=0(%w0),△>0,即1一2協>0,

2(1+kb)b2

xx

玉+々二—K”—A'i2=7F'

I乂一月1=〃I玉-*21=d—p-=2,

:.\-2kb=k2,

-M1、八/11、

十，/。(左，/

AJ8O的面積5=4〃0||必_%1=，乂|1^^］、2=，.

222A2

17.如圖，在平面直角坐標系xQy中，橢圓。:提+￡=1(。>〃>0)的離心率是半，曲線E

是拋物線x2=4)，在橢圓C內的一部分，拋物線x2=分的焦點F在橢圓。上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設。是E上的動點，且位于第一象限，E在點尸處的切線/與C交于不同的兩點/,

8,線段44的中點為。.直線。。與過。且垂直于x軸的直線交于點V.

(i)求證：點M在定直線上；

(ii)直線/與)，軸交于點G,記APFG的面枳為E，APDM的面積為S2,求白■的最大值

及取得最大值時點尸的坐標.

【解答】解：(1)拋物線的焦點尸(0,1),因為尸在橢圓C上,

所以6=1,

又因為離心率？=￡=且=、［^,

a2xa'

所以可得6=4,

2

所以橢圓的方程為：—+/=1:

4

2

(2)(i)設尸(陽,2-),m>0,

因為寸=4y,所以了=1,

在P點的切線的方程即y=一”,

4224

設力(西，乂)，B(X2,y2),。(.％，y0)

+4/=4

223

聯立m加2,整理可得：(l+w)x-wx+—-4=0,

y=X4

24

由△>(),得0<〃?<J8+4石)(*)

m.

----4

且i=言4

/超=.

1+/〃2

因此x°=：x_J,將其代入ymm2出m

?田腎=一

21+in'4(1+〃/)

所以生=__L,所以直線。。的方程為y=--!-x,

x02m2m

___1_

聯立方程〉二一茄"解得點M的縱坐標為-,，

2

x=m

所以點”在定直線)，=-<上;

4

（"）由（0知直線/的方程為y=-x--,

24

令X=0,得y=_絲，所以G(0,—4),

44

232

又尸(機,1),尸(0,1),D[-^,-，U)>

41+〃廣4(1+m)

所以耳=，?|G尸|?〃?=’+")〃?,

28

S?=:仍0卜同一%|=1m?+2m(2+ni2)m(2+m2)'

—x-----x--------=-------—

242(1+m’)16(1+〃/)

S,2(4+〃/)1+〃/)

—=--------?設/=〃廠+2,

S2(2+〃/A

19

則