高中數學必修第一冊《傾斜角與斜率》教案

2.L1傾斜角與斜率教學設計

課題傾斜角與斜率單元第二單元學科數學年級高二

直線是最基本，最簡單的幾何圖形，它既能為進一步學習做好知識上的準備，又能為今后靈

教材

活地運用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎。只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜

分析

角和斜率這兩個基本概念，學生才能對直線及其位置進行定量的研究。

1.掌握直線的傾斜角的概念，知道直線的傾斜角的范圍。

學習

2.理解直線斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式。

目標

3.掌握傾斜角與斜率之間的關系。

與

4.了解在平面直角坐標系中確定一條直線的幾何要素。

核心

5.通過傾斜角概念的學習，提升直觀想象的數學素養.

素養

6.通過斜率及斜率公式的學習，培養邏輯推理和數學運算的數學素養.

重點直線傾斜角與斜率的概念，過兩點的直線的斜率公式，斜率與傾斜角之間的關系。

難點斜率與傾斜角之間的關系，斜率概念。

教學過程

教學環節教師活動學生活動設計意圖

導入新課課題導入：學生在對

在以往的幾何學習中，我們常常通過直觀感知、操作確認、引出本節比，觀察的基

思辨論證、度量計算等方法研究幾何圖形的形狀、大小和新課內容。礎上提升自

位置關系，這種方法通常稱為綜合法。己的思維，使

但是在現實的生產、生活中，很多時候需要精確的代數刻新舊知識之

畫，本章開始，我們采用新的研究方法一一坐標法，研究間盡可能產

幾何圖形的性質。坐標法是解析幾何中最基本的研究方生自然的聯

法。通過本章的學習，大家慢慢體會坐標法的研究特點及系，激發學生

優點。學習興趣，并

本節，我們首先在平面直角坐標系中探索確定直線位引出本節新

置的幾何要素，然后用代數方法把這些幾何要素表示出課。

來。

（也可以簡單地介紹一下笛卡爾與解析幾何）

今天，我們先來學習直線的傾斜角與斜率。

講授新課知識探究（一）直線傾斜角的概念閱讀課本，

思考1:確定一條直線的幾何要素是什么？思考并完成

思考2：對于平面直角坐標系中的一條直線/加何利用坐左側問題。

標系確定它的位置？

思考1答案：確定一條直線的幾何要素是：直線上的兩點確明確研究對

一個點以及它的幀斜角，兩者缺一不可。定一條直象，探索確定

線，一點和直線位置的

設A,B為直線上的兩點，則AB就是這條直線的方一個方向也幾何要素。

向向量。所以，兩點確定一條直線可以歸結為一點和一個可以確定一

方向確定i條直線。條直線。

在平面直角坐標系中，經過一點P可以作無數條直線

（下圖所示），它們組成一個直線束，這些直線的區別是什

么？

規定：在平面直角坐標系中，水平直線的方向向右,

其他直線向上的方向為這條直線的方向。

斜角的取值

這些直線的區別是它們的方向不同，如何表示這些直

范圍（TWa

線的方向？

<180°。

我們看到，這些直線相對于X軸的傾斜程度不同，也

就是它們與％軸所成的角不同。因此，我們可以利用這樣

的角來表示這些直線的方向。

思考2答案：因為平面直角坐標系內的每一條直線都

有確定的傾斜程度.引入直線的傾斜角方后，我們就可以

用傾斜角來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜

程度。

直線的傾斜角

(1)定義：當直線/與工軸相交時，取工軸為基準，犬軸

正向與直線/向上方向之間所成的角叫做直線/的傾斜

角.當直線/與X軸平行或重合時,規定它的間斜角為0.

(2)范圍：直線/傾斜角的范圍是(TWaV180。.

注意三個條件：

①X軸正向；

②直線向上的方向；

③小于180。的非負角。

以日常生活

從運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是將X軸按

中的斜面為

逆時針方向旋轉到與直線重合時所成的角。

例引入斜率

的概念，然后

通過師生互

0/XqX0p；

動探討，加深

。是銳角a是鈍角a是直角

對斜率的理

這樣，在平面自知坐標系中，每一條直線都有一個確定的

解，有助于學

傾斜角，而且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角

生的觀察，分

相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不等。

享，抽象概

因此，我們可以用傾斜角表示平面直角坐標系中的一條直

括，充分引導

線的傾斜程度，也就表示了直線的方向。

學生主動參

與的意識。

注意四種特殊角對應的直線：

1)a=0°時，直線與x軸重合或平行(與y軸垂直)

2)a:90。時，直線與v軸重合或平行(與x軸垂直)

3)a=45。時，直線與一、三象限角平分線重合或平行

4)a=135°時，直線與二、四象限角平分線重合或平行

下面，我們進一步研究刻畫直線傾斜程度的方法。

知識探究(二)斜率的概念及斜率公式

問題：在平面直角坐標系中，設直線/的傾斜角為。

(1)已知直線/經過0(0,0),P(小,1),。與

0,P的坐標有什么美系？

(2)類似地:如果直線/經過Pi(-I,1),?2(V2,

0),。與外，尸2的坐標又有什么關系？

(3)一般地，如果直線/經過Pi(xi,yi),P2g

")，加WX2，那么。與Pl,P2的坐標有怎樣的關系？

學生思考問

利用向量法探究上述問題。題，探究斜

率的概念及

對于問題(！)，如圖公式。

向量而=(V3,1),且直線OP的傾斜角為。，由正

切函數的定義，有

t.ana=-1^=V—3

對于問題(2),如圖

=(-1-V2,1-0)=(-1-V24)聯想滑

平移向量礪到節戶，梯，結合坡

度，給出斜

則點P的坐標為(一1一企，1)

率定義，直

且直線OP的傾斜角也是。，

線斜率的概

由正切函數n勺定義，有

1廠念。

tana=--------=1-72

-1-V2

一般地，當向量哂的方向向上時，

耳"耳=(x2-x1,y2-yp

平移向量砧到

則點P的坐標為(%2--71)

且直線OP的傾斜角也是。，由正切函數的定義，有

-

%2一力

同樣，當向量P2P；的方向向上時，

PlP1=(/一%2一丫2)

也有

“…當一丫272-71

tana=------=-------

%L%2X2-XV

思考：當直線P\P1與X軸平行或重合時，上述式

子還成立嗎？為葉么？

當直線P\P1與X軸平行或重合時，上述式子還成

立，因為此時M而沏WX2,式子有意義，且值為零，

即此時直線的傾斜角為零，斜率為零。

斜率

一條直線的傾斜角。的正切值叫做這條直線的斜率

(slope).

通常用小寫字母人表示，即

斜率k=tana.

直線的斜率公式

(1)定義式:若直線/的傾斜角a梏,則斜率k=tan_a.

(2)兩點式：P1(X1，》)，P2(X2，)，2)在直線，上，且彳1金也，

貝卜的斜率比一乂

局一X1

思考

(1)已知直線上的兩點A(aba?),B(bh),運用上述

公式計算直線AB的斜率時，與A,B兩點的順序有關嗎？

(2)當直線平行于y軸時，或與y軸重合時，上述

公式還適用嗎？為什么？

(1)無關

(2)當為WX2,分母為零，式子無意義，即斜率不存

在。

例1,如圖，已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),

求直線AB,BC,CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳

角還是鈍角.

利用例題引

Ti

導學生掌握

"___—*

本節課知

識，并能夠

靈活運用.

解：直線A8的斜率

>_1-2加深學生對

2H33

基礎知識理

直線BC的斜率

解，并能夠靈

,-1-1-21

k=--------=—=—;活運用基礎

設Rr0-(-4)42

知識解決具

直線CA的斜率

體問題。

.一2-3(

◎0-3-3

由kAB>0及kCA>0知，直線43與C4的傾斜角均為

銳角；由ABC<0知，直線8C的傾斜角為鈍角.

課堂練習1下圖中，表示直線傾斜角的是(C)

學生和教師

共同探究完

成練習題。

通過練習題，

鞏固基礎知

識，發散學生

思維，培養學

課堂練習2判斷正誤生思維的嚴

（1）所有的直線都有唯一確定的傾斜角與它對應。V謹性和對數

（2）每一個傾的角都對應于唯一的一條直線。X學的探索精

神。

課堂練習3

如圖所示三條直線，它們的傾斜角的大小關系是什么？

課堂練習4下列命題中正確的是（）

A直線的傾斜角表示直線的傾斜程度，直線的斜率不能表

示直線的傾斜程度

B直線的傾斜角越大，其斜率就越大

C直線的斜率k的取值范圍是k>0

D直線的傾斜角a的取值范圍是0。WaV180°

答案：D

解析可以用斜率來表示直線的傾斜程度，故A錯誤。傾

斜角越大，傾斜程度越大，但并不是斜率越大枚B錯誤。

斜率的取值范圍是（?8,oo）,故C錯誤。

課堂練習5

若a>0,b<0則直線y=QX+b必不經過（）

A第一象限B第二象限

C第三象限D第四象限

答案：B

課堂練習6

設直線/過原點，其傾斜角為處將直線，繞坐標原

點沿逆時針方向旋轉45°,得到直線小則直線6的傾斜

角為()

A.a+45°

B.”一135°

C.135°-a

D.當0°WaV135°時為a+45°,當135°WaV

180°時為“一135°

答案：D

課堂小結