2026高中數學10大導數：專題18 單變量不含參不等式證明方法之凹凸反轉(學生版)

專題18單變量不含參不等式證明方法之凹凸反轉

一、凹函數、凸函數的幾何特征

二、凹凸反轉

很多時候，我們需要證明f(x)＞0，但不代表就要證明f(x)min＞0，因為大多數情況下，f′(x)

的零點是解不出來的．當然，導函數的零點如果解不出來，可以用設隱零點的方法，但是隱

零點也不是萬能的方法，如果隱零點法不行可嘗試用凹凸反轉．如要證明f(x)＞0，可把f(x)

拆分成兩個函數g(x)，h(x)，放在不等式的兩邊，即要證g(x)＞h(x)，只要證明了g(x)min＞h(x)

max即可，如上右圖，這個命題顯然更強，注意反過來不一定成立．很明顯，g(x)是凹函數，

h(x)是凸函數，因為這兩個函數的凹凸性剛好相反，所以稱為凹凸反轉．凹凸反轉與隱零點

都是用來處理導函數零點不可求問題的，兩種方法互為補充．

凹凸反轉關鍵是如何分離，常見的不等式是由指數函數、對數函數、分式函數和多項式

函數構成，當我們構造差值函數不易求出導函數零點時(當然可以考慮用隱零點的方法)，要

考慮指、對分離(對數單身狗，指數找基友，指對在一起，常常要分手)，即指數函數和多項

式函數組合與對數函數和多項式函數組合分開，構造兩個單峰函數，然后利用導數分別求兩

個函數的最值并進行比較．當然我們要非常熟練掌握一些常見的指(對)數函數和多項式組合

的函數的圖象與最值．

三、六大經典超越函數的圖象和性質

1．x與ex的組合函數的圖象與性質

函exx

f(x)＝xexf(x)＝f(x)＝

數xex

圖

象

定

義R(－∞，0)(0，＋∞)R

域

值11

－，＋∞(－∞，0)[(e，＋∞)(－∞，]

域ee

單

在－，－上遞減在－，，，上遞減在－，上遞增

調(∞1)(∞0)(01)(∞1)

在－，＋上遞增在，＋上遞增在，＋上遞減

性(1∞)(1∞)(1∞)

最111

f(x)min＝f(－1)＝－當x＞0時，f(x)min＝f(1)＝f(x)max＝f(1)＝

值eee

2．x與lnx的組合函數的圖象與性質

函lnxx

f(x)＝xlnxf(x)＝f(x)＝

數xlnx

圖

象

定

義(0，＋∞)(0，＋∞)(0，1)(1，＋∞)

域

值11

－，＋∞(－∞，)(－∞，0)[e，＋∞)

域ee

1

單在(0，)上遞減

在，上遞增在，，，上遞減

調e(0e)(01)(1e)

1在(e，＋∞)上遞減在(e，＋∞)上遞增

性在(，＋∞)上遞增

e

最111當x＞0時，f(x)min＝f(e)

f(x)min＝f()＝－f(x)max＝f(e)＝

值eee＝e

【例題選講】

bex－1

[例1](2014·全國Ⅰ)設函數f(x)＝aexlnx＋，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為y

x

＝e(x－1)＋2．

(1)求a，b；

(2)證明：f(x)＞1．

x2＋mx＋1

[例2]已知函數f(x)＝(m∈R)．

ex

(1)求函數f(x)的單調區間；

1

(2)當m＝0時，證明：x＞0，ex2(1＋lnx)＋＞f(x)－xf(1)．

ex

2

[例3]已知f(x)＝lnx＋?．

ex

(1)若函數g(x)＝xf(x)，討論g(x)的單調性與極值；

1

(2)證明：f(x)>．

ex

[例4]已知fxxlnxax,gxx22．

(1)當a1時，求fx在m,m3m0的最值；

12

(2)求證：x0,，lnx1．

exex

【對點精練】

1．已知函數f(x)＝elnx－ax(a∈R)．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當a＝e時，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0．

2．已知fxexalnxa，其中常數a0．

(1)當ae時，求函數fx的極值；

(2)求證：e2x2ex1lnxx0．

a

3．設函數f(x)lnxx．

x

(1)當a2時，求f(x)的極值；

1

(2)當a1時，證明：f(x)x0在(0,)上恒成立．

ex

4．已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3．

(1)若對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

12

(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，lnx＞－恒成立．

exex

a－

5．已知函數f(x)＝lnx＋，g(x)＝ex＋bx，a，b∈R，e為自然對數的底數．

x

(1)若函數y＝g(x)在R上存在零點，求實數b的取值范圍；

1

(2)若函數y＝f(x)在x＝處的切線方程為ex＋y－2＋b＝0．求證：對任意的x∈(0