新版北師版八年級上冊數學全冊教案（完整版）教學設計

新版北師版八年級上冊數學全冊教案（完整版）教學設計勾股定理第一章本章所需課時數6課時課標要求1.在研究圖形性質和運動等過程中，進一步發展空間觀念。2.在多種形式的數學活動中，發展合情推理能力。3.經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性。4.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。教材分析本章設計了以下的4節內容：第1節“探索勾股定理”；第2節“一定是直角三角形嗎”，探索勾股定理的逆定理；第3節“勾股定理的應用”，鞏固勾股定理及其逆定理；最后一節：“問題解決策略：反思”。在每節的編寫中，按照“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式展開，首先通過具體問題情境引入研究的必要性，接著設計探究活動獲得有關結論，然后運用探究得到的結論解決具體問題。主要內容本章主要內容：勾股定理及其探索；勾股定理逆定理；勾股定理的應用。教學目標1.經歷勾股定理及其逆定理的探索過程，了解勾股定理的各種探究方法及其內在聯系，進一步發展空間觀念和推理能力。2.掌握勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決簡單的問題。3.通過實例了解勾股定理的歷史與應用，體會勾股定理的文化價值。教學重難點教學重點：掌握勾股定理及逆定理，理解勾股定理的面積驗證。教學難點：掌握勾股定理及逆定理進行相關應用。教學建議1.注重使學生經歷探索勾股定理等活動過程。2.注重創設豐富的現實情境，體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用。3.介紹有關勾股定理的歷史，體現勾股定理的文化價值。4.注意數形結合、化歸等數學思想方法的滲透。章節課時分配1探索勾股定理（2課時）第1課時探索勾股定理第2課時驗證并應用勾股定理2一定是直角三角形嗎（1課時）3勾股定理的應用（1課時）問題解決策略：反思（1課時）整理和復習（1課時）1探索勾股定理課題第1課時認識勾股定理授課類型新授課授課人教學內容課本P2-4教學目標1.用數格子（或割、補、拼等）的辦法體驗勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映的直角三角形的三邊之間的數量關系，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用。2.讓學生經歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的數學思想，并體會數形結合和特殊到一般的思想方法。3.進一步發展學生的說理和簡單推理的意識及能力；進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。4.在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理在中國古代的研究，激發學生熱愛祖國悠久文化歷史的熱情，激勵學生發奮學習。教學重難點重點：了解勾股定理的文化背景，體驗勾股定理的探索過程，了解利用拼圖探索勾股定理的方法。難點：理解并掌握直角三角形三邊之間的數量關系，并會進行簡單的計算。教學準備多媒體課件、A4紙（或方格紙）、直尺教與學互動設計（教學過程）設計意圖1.創設情境，導入新課教師展示課件：2002年第24屆世界數學家大會在我國北京召開，圖片顯示的是本屆世界數學家大會的會標：問題1：觀察會標，這個圖案是由哪些基本圖形組成？學生：這個圖形由四個全等的直角三角形組成了一個大正方形，中間還有一個小正方形。大正方形的邊長是直角三角形的斜邊，小正方形的邊長是兩直角邊的差。問題2：直角三角形的三邊之間滿足什么樣的數量關系？這節課我們就來探索直角三角形邊長之間的奧秘。（教師板書課題：第1課時探索勾股定理）學生活動：觀察展示的圖片。進行聯想、猜測。教師可先不做評價總結，讓學生帶著這些猜測進行下面的學習，進行驗證。教師通過學生感興趣的圖片引出所學內容,使學生感受到數學就在我們身邊,數學離不開生活,滲透愛國主義教育，同時也激發了學生的學習興趣,加強了非智力因素的培養。2.實踐探究，學習新知【探究1】思考交流（1）在紙上畫若干個直角三角形，分別測量它們的三條邊，看看三邊長度的平方之間有怎樣的關系。與同伴交流。教師展示課件，追問：（2）如圖1-2，方格紙中每個小方格的邊長均為1，直角三角形三邊長度的平方分別是多少，它們滿足上面所猜想的數量關系嗎?如果直角三角形如圖1-3所示，結果又如何？你是如何計算的？與同伴交流。（一個小方格代表一個單位面積）學生可能活動：借助方格紙數正方形的面積進行驗證。可能存在的問題：正方形C的面積不能通過直接數得到，教師可通過課件展示，進行引導。學生可能用到的方法不同，教師給予肯定。可能用到的求正方形C的面積的不同方法。發現結論：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。教師追問：一般的直角三角形是否也具有該性質呢？課件展示，進行驗證。填表：A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位面積）左圖右圖分析：分析表中數據，你發現了什么？（3）如果直角三角形的兩條直角邊的長度分別為1.6度和2.4，那么上面所猜想的數量關系還成立嗎?說說你的理由。（與同伴交流）通過探索，學生發現：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。教師總結：通過上面的活動，同學們一定已經發現：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦。因此，我國稱上面的結論為勾股定理。學生動手操作，引導學生在動手操作中對勾股定理產生感性認識。教學中為了便于學生的計算、發現，可以要求學生在方格紙中繪制直角邊長為整數的直角三角形。學生動手操作后,小組之間交流做一做（1）中的問題，基于測量值的計算肯定是有一定誤差的，因而學生可能還難以確認所猜想的平方關系，必然產生進一步驗證的必要性。問題（3）旨在讓學生感受到勾股定理的一般性。這里兩個直角邊長1.6，2.4不是整數，對學生有一定的挑戰性，同樣應給學生一定的思考空間。如果學生確有困難，可以引導學生利用更細密的方格紙（如可以將方格紙的單位長度加細為原來的）進行驗證，也可以利用上面的拼接或割補的方法。3.學以致用，應用新知考點認識勾股定理例1若一個直角三角形的兩條直角邊長都為1，則它的斜邊長的平方是（）A.B.1C.2D.4答案：C變式訓練【思想方法—分類討論】若一個直角三角形的兩條邊長分別為3，4，則它的第三邊長的平方是。答案：25或7例2如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以Rt△ABC的三邊為邊長向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1=4，S2=16，則S3=。答案：20變式訓練如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊長向外作四個正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4.若S1=48，S2+S3=135，則S4=（）A.183B.87C.119D.81答案：B考點勾股定理的簡單應用例3如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”.他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草.他們少走的路長為（）A.2mB.3mC.3.5mD.4m答案：D變式訓練如圖，小明將一張長為20cm，寬為15cm的長方形紙片（AE>DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，則BC的長為cm.答案：20通過例題講解，鞏固對勾股定理及面積驗證的理解，一方面加強學生對知識的掌握，從而提高知識的應用能力；另一方面可以差缺補漏。通過對勾股定理的簡單應用，增強理解的同時，可以讓學生理解勾股定理在生活中的實際應用，切實體會數學與生活的聯系，也可以為第三節的學習做準備。4.隨堂訓練，鞏固新知1.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2，四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）A.3B.4C.5D.6答案：C2.如圖，點C是線段AB上的一點分別以AC，BC為邊向兩側作正方形。設AB=6，兩個正方形的面積和S1+S2=20，則圖中△BCD的面積為()A.4B.6C.8D.10答案：A為學生提供自我檢測的機會，教師針對學生的學習情況，及時調整授課，查缺補漏。5.課堂小結，自我完善勾股定理：直角三角形兩條直角邊長度的平方和等于斜邊的平方。如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊的長度，那么a2+b2=c2。通過小結，使學生梳理本節課所學內容，掌握本節課的核心內容。6.布置作業課本P3隨堂練習中的T1—T2。課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高和做題效率。板書設計第1課時認識勾股定理認識勾股定理勾股定理的內容投影區學生活動區提綱掣領，重點突出。教后反思為了讓學生在學習過程中自我發現勾股定理，本節課首先情景創設激發興趣，再通過幾個探究活動引導學生從探究等腰直角三角形這一特殊情形入手，自然過渡到探究一般直角三角形，學生通過觀察圖形，計算面積，分析數據，發現直角三角形三邊的關系，進而得到勾股定理。依據“學生是學習的主體”這一理念，在探索勾股定理的整個過程中，本節課始終采用學生自主探索和與同伴合作交流相結合的方式進行主動學習．教師只在學生遇到困難時，進行引導或組織學生通過討論來突破難點。在大正方形C的面積的求法中，學生有很多的辦法，討論時要求學生在小組進行交流，再請學生做小老師到講臺上講解，以培養學生的語言表達能力，教師對學生的講解進行點評，并給以鼓勵，增強了學生學好數學的信心，體驗成功的快樂。課堂教學中,要注意調動學生的積極性。讓學生滿懷激情地投人到學習中，有助于提高課堂效率。勾股定理的驗證既是本節課的重點，也是本節課的難點，為了突破這一難點，設計一些拼圖活動，并自制精巧的課件讓學生從形上感知，再層層設間，從面積（數）入手，數形結合，師生共同突破本節課的難點。反思，更進一步提升。1探索勾股定理課題第2課時驗證并應用勾股定理授課類型新授課授課人教學內容課本P4-7教學目標1.掌握勾股定理及其驗證，并能應用勾股定理解決一些實際問題。2.在上節課對具體的直角三角形探索發現了勾股定理的基礎上，經歷勾股定理的驗證過程，體會數形結合的思想和從特殊到一般的思想。3.在勾股定理的驗證活動中，培養探究能力和合作精神；通過對勾股定理歷史的了解，感受數學文化，增強愛國情感，并通過應用勾股定理解決實際問題，培養應用數學的意識。教學重難點用面積法驗證勾股定理，應用勾股定理解決簡單的實際問題。教學準備教師：多媒體課件學生：四個全等的直角三角形紙板，收集關于勾股定理的資料教與學互動設計（教學過程）設計意圖1.創設情境，導入新課教師展示課件：教師：在上一課，我們通過測量和數格子的方法發現了勾股定理。如圖，分別以直角三角形的三條邊（a＜b）為邊向外作正方形，你能利用這個圖說明勾股定理的正確性嗎？你是如何說明的？與同伴進行交流。（教材P4）學生活動：思考，交流。教師：對一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？這需要進一步驗證，事實上，現在已經有幾百種勾股定理的驗證方法，這節課我們也將去驗證勾股定理。（教師板書課題：第2課時驗證并應用勾股定理）通過這一環節，向學生明確了：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需進行驗證，培養學生嚴謹的科學態度。當學生聽到有數百種驗證方法時，馬上就有了去尋求屬于自己的方法的渴望。2.實踐探究，學習新知【探究1】活動1：為了計算上圖中大正方形的面積，引導學生進行適當地割補活動。教師導入，小組拼圖。教師：今天我們將研究利用拼圖的方法驗證勾股定理，請你利用自己準備的四個全等的直角三角形，拼出一個以斜邊為邊長的正方形。學生動手環節：請每位同學用2分鐘時間獨立拼圖，然后再4人小組討論。學生通過自主探究，小組討論可能得到如圖1、圖2的兩個圖形。活動2：層層設問，完成驗證。教師提問：（1）如圖1，你能表示大正方形的面積嗎？有不同的方法嗎？（學生先獨立思考，再4人小組交流）；（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（在學生回答的基礎上板書a+b2=4×1活動3：學生自主探究，利用圖2驗證勾股定理。教師小結：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數的問題結合起來，聯系整式運算的有關知識，從理論上驗證了勾股定理，你還能利用圖2驗證勾股定理嗎？（學生先獨立探究，再小組交流，最后請一個小組同學上臺講解驗證）【教材例題】例在一次軍事演習中，紅方偵察員王叔叔在距離一條東西向公路400m處偵察，發現一輛藍方汽車在這條公路上疾馳。他用紅外測距儀測得汽車與他相距400m；過了10s，測得汽車與他相距500m。你能幫王叔叔計算藍方汽車這10s的平均速度嗎？解：根據題意，可以畫出上圖，其中點A表示王叔叔所在位置，點C、點B表示兩個時刻藍方汽車的位置。由于王叔叔距離公路400m，因此∠C是直角。由勾股定理，可得AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002。所以BC=300m。藍方汽車10s行駛了300m，那么它平均每秒行駛300÷10=30（m）。因此，藍方汽車這10s的平均速度為30m/s。【探究2】教師：如果一個三角形是鈍角三角形或銳角三角形，那么它的三邊長仍然滿足“最長邊長的平方等于另外兩邊長的平方和”嗎？教師展示課件。問題：觀察圖片，判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2。（教材P6思考·交流）師生活動：教師出示問題，讓學生嘗試利用上面的方法借助方格紙進行推導，教師引導。學生經過推導后可請一位同學展示自己的結論。設計活動1的目的是為了讓學生在活動中體會圖形的構成，既為勾股定理的驗證作鋪墊，又培養學生的動手、創新能力。在活動2中，學生在教師的層層設問的引導下完成對勾股定理的驗證，完成本節課的一個重點內容.然后在活動3中讓學生利用另一個拼圖獨立驗證勾股定理，目的是讓學生再次體會數形結合的思想并體會成功的快樂.學生通過先拼圖從形上感知，再分析面積驗證，比較容易地掌握了本節課的重點內容之一，并突破了難點。通過解決例題：（1）初步運用勾股定理解決實際問題，培養學生應用數學的意識和能力；（2）體會勾股定理的應用價值.學生對這樣的實際問題很感興趣，基本能把實際問題轉化為數學問題并順利解決。學生通過數格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊長a，b，c不滿足a2+b2=c2。通過這個結論，學生將對直角三角形三邊的關系有進一步的認識，并為后續直角三角形的判別打下基礎。3.追溯歷史，激發情感活動內容：由學生利用所搜集的與勾股定理相關的資料進行介紹。國內調查組報告：用圖2驗證勾股定理的方法，據載最早是三國時期數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，我國歷史上將圖2弦上的正方形稱為弦圖。2002年的數學家大會（ICM-2002）在北京召開，這屆大會會標的中央圖案正是經過藝術處理的弦圖，這既標志著中國古代的數學成就，又像一只轉動的風車，歡迎來自世界各地的數學家們！國際調查組報告：勾股定理與第一次數學危機。約公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希帕索斯(Hippasus)發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線的長度是不可公度的。按照畢達哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數，它不能表示成兩個整數之比，這一事實不但與畢氏學派的哲學信念大相徑庭，而且建立在任何兩個線段都可以公度基礎上的幾何學面臨被推翻的威脅，第一次數學危機由此爆發.據說，畢達哥拉斯學派對希帕索斯的發現十分惶恐、惱怒，為了保守秘密，最后將希帕索斯投入大海。不能表示成兩個整數之比的數，15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，無理數的英文“irrational”原義就是“不可比”。第一次數學危機一直持續到19世紀實數的基礎建立以后才圓滿解決。我們將在下一章學習有關實數的知識。趣聞調查組報告：勾股定理的總統證法。在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅使他循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形……于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證法。1881年，這位中年人—伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統”證法。教材鏈接：P6閱讀·思考。這個環節完全由學生來組織開展，教師提前布置任務，讓同學收集勾股定理的資料。介紹與勾股定理有關的歷史，激發學生的愛國熱情；學生加強了對數學史的了解，培養學習數學的興趣；通過讓學生搜集材料，展示材料，既可以讓學生得到充分的鍛煉，同時也可以活躍課堂氣氛。4.學以致用，應用新知考點1勾股定理的驗證例1876年，美國總統伽菲爾德利用下圖驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，驗證中用到的面積相等關系是（）A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+S△CEB=S△CDEC.S四邊形AECD=S四邊形DEBCD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四邊形ABCD答案：D變式訓練如圖是用硬紙板做成的四個兩直角邊長分別是a，b，斜邊長為c的全等的直角三角形和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能說明勾股定理正確性的圖形。（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖；（2）說明勾股定理的正確性。解：（1）如圖，（2）證明如下：因為大正方形的面積可以表示為(a+b)2，也可以表示為c2+4×ab，所以(a+b)2=c2+4×ab，a2+b2+2ab=c2+2ab，所以a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。考點2勾股定理的應用例如圖，甲漁船以8海里/時的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時的速度離開港口O向西北方向航行，它們同時出發，一小時后分別到達A，B兩地，此時甲、乙兩漁船相距（）A.8海里B.10海里C.12海里D.13海里答案：B變式訓練由于大風，山坡上的一棵樹甲被從A點處攔腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB=4米，BC=13米，兩棵樹的水平距離為12米，求甲樹原來的高度。解：如圖所示，過點C作CD⊥AB交AB的延長線于點D，由題意，可得BC=13m，DC=12m，在Rt△BCD中，BD2=132-122=52，所以BD=5m，則AD=9m。在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=92+122=152，所以AC=15m，故AC+AB=15+4=19（m）。所以甲樹原來的高度是19米。通過例題講解，鞏固學生對勾股定理的驗證的理解，一方面加強學生對知識的掌握，從而提高知識的應用能力；另一方面可以差缺補漏。通過變式訓練鞏固所學知識，靈活運用勾股定理的面積驗證解決問題。運用勾股定理解決數學問題，提高學生分析問題的能力，這種數學建模能力的培養，有利于學生規范解題步驟，提高學生的數學推理和表達能力。通過實際問題的解答，進一步培養學生應用數學的意識，更好的促進學生對本節課重難點的理解和突破，幫助學生不斷完善認知結構。5.隨堂訓練，鞏固新知1.如圖是我校的長方形水泥操場，如果一學生要從A角走到C角，至少走（）A.140米B.120米C.100米 D.90米答案：C2.如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是（）A.10B.13C.15D.26答案：B為學生提供自我檢測的機會，教師針對學生的學習情況，及時調整授課，查缺補漏。6.課堂小結，自我完善教師提問：通過這節課的學習，你有什么樣的收獲？師生共同暢談收獲。教師適當引導，鼓勵學生交流，總結。歸納出本節課的知識要點，數形結合的思想方法；教師了解學生對本節課的感受并進行總結；培養學生的歸納概括能力。7.布置作業課本P8習題1.1中的T1、T2、T3、T5。課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率。板書設計第2課時驗證并應用勾股定理驗證并應用勾股定理勾股定理eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(驗證\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(拼圖法,面積法)),簡單應用))投影區學生活動區提綱掣領，重點突出。教后反思勾股定理作為“千古第一定理”，其魅力在于其歷史價值和應用價值。因此上課過程充分挖掘其內涵。特別是讓學生事先進行調查，再在課堂上進行展示，這極大地調動了學生，既加深了對勾股定理文化的理解，又培養了他們收集、整理資料的能力。勾股定理的驗證既是本節課的重點，也是本節課的難點，為了突破這一難點，特意設計了拼圖活動，先讓學生從形上感知，再層層設問，從面積（數）入手，師生共同探究得到方法1，最后由學生獨立探究得到方法2。這樣學生較容易地突破了本節課的難點。由于這節課自始至終都注意了調動學生學習的積極性，所以學生暢談的收獲很多，包括利用拼圖驗證勾股定理中蘊含的數形結合思想，對勾股定理歷史的感悟以及對勾股定理應用的認識等。反思，更進一步提升。2一定是直角三角形嗎課題一定是直角三角形嗎授課類型新授課授課人教學內容課本P10-11教學目標1.理解勾股定理的逆定理的具體內容及勾股數的概念。2.能根據所給三角形三邊的條件判斷三角形是否為直角三角形。3.經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力、歸納能力。4.體驗生活中的數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯系，激發學生學數學、用數學的興趣。教學重難點重點：經歷勾股定理的逆定理的探索過程，進一步發展推理能力。難點：利用勾股定理的逆定理解決實際問題。教學準備多媒體課件、直尺、有13個等距的結的繩子（每個小組一根）教與學互動設計（教學過程）設計意圖1.創設情境，導入新課教師提問：在古埃及，古埃及人曾用有13個等距的結的繩子得到了直角，同學們你們知道古埃及人是用什么方法得到直角的嗎?拿出準備好的繩子，每個小組1根，動手操作并交流討論。答案預設：13個等距的結把一根繩子分成等長的12段，一個同學同時握住繩子的第1個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子就得到一個直角三角形，其直角在第1個結處。教師追問：直角三角形有哪些性質呢？學生可能說出的答案：（1）有一個角是直角；（2）兩個銳角互余；（3）兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；教師重點強調勾股定理。教師提問：如果一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形嗎？（教師板書：2一定是直角三角形嗎）學生思考。通過情境引入吸引學生注意力，然后復習回顧直角三角形的性質和勾股定理，為本節課要學習的內容作準備。2.實踐探究，學習新知【探究】教師展示課件。教師：下面有三組數，分別是一個三角形的三邊長，，：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；=4\*GB3④7，24，25。問題1：這三組數都滿足a2學生認真計算，也可借助計算器輔助計算。答案預設：①3，4，5滿足a2②5，12，13滿足a2③8，15，17滿足a2=4\*GB3④7，24，25滿足a2+b2問題2：分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？學生分小組討論，每個小組可以任選其中的一組數。學生充分討論后，匯總各小組實驗結果如下：①3，4，5可以構成直角三角形；②5，12，13可以構成直角三角形；③8，15，17可以構成直角三角形；=4\*GB3④7，24，25可以構成直角三角形。猜想：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。提問：利用量角器手工測量結果可能有誤差，有沒有更有說服力的理由?答案預設：理由一：銳角三角形和鈍角三角形中，任意兩邊的平方和都不等于第三邊的平方。因此，以3，4，5為邊長的三角形不是銳角三角和鈍角三角形，一定是直角三角形。（其他同理）理由二：以3和4為鄰邊構造三角形，觀察隨著夾角的增加第三邊的變化趨勢。隨著夾角增大，第三邊的長度也越來越大，根據勾股定理，夾角是直角的時候，第三邊長度是5，夾角不是直角的時候，第三邊長度肯定不是5，因此，邊長為3，4，5的三角形一定是直角三角形。（其他同理）（本問題可能需要教師進行一定的引導，若學生有其他回答，合理的答案教師及時給與肯定。有條件的班級，還可利用幾何畫板動畫演示，讓學生有一個直觀的認識。）明確猜想，引出勾股數的定義。反思總結：提問：（1）同學們還能找出哪些勾股數呢？（2）今天的結論與前面學習的勾股定理有哪些異同呢？（3）到今天為止，你能用哪些方法判斷一個三角形是直角三角形呢？（4）通過合作探究，你能總結出一個數學結論的發現要經歷哪些過程嗎？【歸納總結】勾股定理的逆定理：如果三角形三條邊的長度，，滿足a2+b2勾股數：滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數。【教材例題】例一個零件的形狀如圖1-14所示，按規定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角。工人師傅量得這個零件各邊尺寸如圖1-15所示（單位：cm），這個零件符合要求嗎?教師活動：教師提出問題，學生先獨立思考，解答。然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程。解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。因此，這個零件符合要求。通過學生的合作探究，得出“如果一個三角形的三邊長，，滿足a2+b2引導學生進行一些理性的思考，得出更有說服力的理由，驗證剛才的猜想。讓學生明確，僅僅基于測量結果得到的結論未必可靠，需要進一步通過說理等方式使學生確信結論的可靠性，同時明晰結論。進一步讓學生認識該定理與勾股定理之間的關系。利用勾股定理的逆定理解決實際問題，使學生進一步理解勾股定理的逆定理，體會數學與現實世界的聯系。3.學以致用，應用新知考點1勾股定理逆定理的應用例下列長度的三條線段，能組成直角三角形的是（）A.2，3，4B.2，3，5C.3，4，5D.2，4，5答案：C變式訓練如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=1cm，DA2=26，且∠ABC=90°，則四邊形ABCD的面積是cm2。答案：8.5考點2勾股數例下列各組數中，為勾股數的是（）A.0.6，0.8，1B.2，3，4C.，，D.3，4，5答案：D變式訓練在學習“勾股數”的知識時，小明發現了一組有規律的勾股數，并將它們記錄在如下的表格中：則當a=24時，b+c的值為()A．162B．200C．242D．288答案：D通過學生對勾股定理及逆定理的的應用，讓學生明確它們之間的練習與區別，培養學生的推理能力。4.隨堂訓練，鞏固新知1.木工師傅想利用木條制作一個直角三角形，那么下列各組數據不符合直角三角形的三邊長的是（）A．3，4，5B．6，8，10 C．5，12，13D．7，15，17答案：D2.【新趨勢—開放性問題】將勾股數3，4，5擴大到原來的2倍、3倍、4倍……可以得到勾股數6，8，10；9，12，15；12，16，20；…我們把3，4，5這樣的勾股數稱為“基本勾股數”，請你寫出兩組不同于以上所給出的“基本勾股數”：。答案：5，12，13（答案不唯一）3.若三角形的三邊長滿足|c2-a2-b2|+（a-b）2=0，則此三角形的形狀是。答案：等腰直角三角形為學生提供自我檢測的機會，教師針對學生的學習情況，及時調整授課，查缺補漏。5.課堂小結，自我完善勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊的長度a，b，c滿足a2說明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角，最長邊所對角為直角。勾股數：滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數。常見勾股數：①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15.通過小結，使學生梳理本節課所學內容，掌握本節課的核心內容。6.布置作業課本P11—12習題1.2中的T1、T2、T3、T4。課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率。板書設計2一定是直角三角形嗎提綱挈領，重點突出。教后反思1．充分尊重教材，以勾股定理的逆向思維模式引入“如果一個三角形的三邊長a，b，c，滿足a22．注重引導學生積極參與實驗活動，從中體驗任何一個數學結論的發現總是要經歷觀察、歸納、猜想和驗證的過程，同時遵循由“特殊→一般→特殊”的發展規律。3．在利用今天所學知識解決實際問題時，引導學生對公式變形進行簡便計算。4．注重對學習新知理解應用偏困難的學生的進一步關注。5．對于勾股定理的逆定理的論證可根據學生的實際情況做適當調整，不做要求。反思，更進一步提升。3勾股定理的應用課題3勾股定理的應用授課類型新授課授課人教學內容課本P13-14教學目標1.通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發展學生的空間觀念。2.在將實際問題抽象成數學問題的過程中，滲透數學建模的思想，提高分析問題、解決問題的能力。3.在利用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性。教學重難點重點：熟練運用勾股定理求最短距離。難點：能運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。教學準備多媒體課件，大小相同的圓柱體和長方體各2~3個教與學互動設計（教學過程）設計意圖1.創設情境，導入新課教師展示課件。教師：觀察圖1、圖2，回答問題。問題1：圖1是學校的簡易平面圖，從東校門到教學樓怎樣走最近？問題2：如圖2，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，螞蟻的爬行路線有幾種？最短路線是多少？教師活動：將學生4人一組分組，問題2中引導學生借助準備好的圓柱體輔助解決問題。學生活動：學生討論，交流，尋找解決問題的途徑。合作交流：充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。問題求解：學生很容易算出：路線1中A→B的路線長為AC+d，路線2中A→B的路線長為。所以路線1的路線長比路線2的路線長要短。學生在路線3和路線4的比較中可能出現困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AC剪開圓柱得到側面展開圖，路線3中A→B是折線，路線4是線段，根據“兩點之間，線段最短”可判斷路線4較短，最后通過計算比較路線1和路線4即可。結論展示：路線1中A→B的路線長為AC+d>AB；路線2中A→B的路線長為>AB；路線3中A→B的路線長為AO+OB>AB；路線4中A→B的路線長為AB。得出結論路線4最短。教師追問：若圓柱的高等于12cm，底面圓的周長等于18cm，怎么計算最短路徑的長度？讓我們一起走進本節課的內容——勾股定理的應用。（教師板書：3勾股定理的應用）學生回答：利用勾股定理求解。教師展示課件。解：由題意，得AC=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=122+92=225，即AB=15（cm）。即螞蟻從A到B的最短路線是15cm。通過問題1復習公理：兩點之間線段最短；通過問題2的創設情境、引入新課，激發學生探究熱情。讓學生發現：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數學解決實際問題的方法。本環節通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解。在活動中體驗數學建模，培養學生與人合作交流的能力，增強學生的探究能力、操作能力、分析能力，發展空間觀念。2.實踐探究，學習新知【探究1】教師展示課件。問題展示：裝修工人李叔叔想檢測某塊裝修用磚（如圖）的邊AD和邊BC是否分別垂直于邊AB。問題1：如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務嗎？學生活動：先獨立思考，之后小組可交流討論，匯總結果。答案預設：結合之前學習的知識，容易想到，通過測量各邊長度，利用勾股定理逆定理驗證△ABC和△ABD是否是直角三角形即可。問題2：李叔叔測得邊AD長30cm，邊AB長40cm，點B，D之間的距離是50cm。AD邊垂直于AB邊嗎？答案預設：解：在△ABD中，∵，，∴，∴△ABD是直角三角形，∠DAB=90°，∴AD和AB垂直。問題3：如果李叔叔隨身只帶了一把長度為20cm的刻度尺，那么他能檢驗邊AD是否垂直于邊AB嗎？教師活動：先鼓勵學生自己尋找辦法，再讓學生說明李叔叔的辦法的合理性．當刻度尺較短時，學生可能會在上面解決問題的基礎上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的長度，或在AB，AD邊上各量一段較小長度，再去量以它們為邊的三角形的第三邊，從而得到結論，對學生的合理做法及時給與肯定。【教材例題】教師展示課件。例今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問：水深、葭長各幾何？（選自《九章算術》）題目大意：有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺（如圖）。如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，那么它的頂端恰好到達岸邊的水面。這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？學生活動：利用生活常識與已有的知識將數據與圖形相結合，標出對應的數據，小組討論找出直角三角形并利用勾股定理解答。解：設水池的深度OA為x尺，則蘆葦的長度OB為（x+1）尺。由于蘆葦位于水池中央，所以AC為5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2即52解得x=12。12+1=13。因此，水池的深度是12尺，蘆葦的長度是13尺。運用勾股定理的逆定理來解決實際問題，讓學生學會分析問題，利用允許的工具靈活處理問題。利用方程將幾何與代數聯系起來，將實際問題與數學模型再次形象地聯系到一起，以期加深學生的印象。3.學以致用，應用新知考點1最短路徑問題例如圖所示，在棱長為10cm的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現要向頂點B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1cm/s，且速度保持不變，問螞蟻能否在20s內從點A爬到點B？解：將正方體按如圖方式展開，在Rt△ABC中，由勾股定理，得由題意，得螞蟻20s爬行可爬行20×1=20（cm），∵500＞202，∴不能在20s內從點A爬到點B。變式訓練如圖，一只蜘蛛在一個長方體木塊的頂點A處，一只蒼蠅在這個長方體木塊的頂點G處，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，問蜘蛛要沿著怎樣的路線爬行，才能最快抓到蒼蠅？這時蜘蛛走過的路程是多少？解：（方案一）如圖1，連接AG，當蜘蛛從點A出發先到BF上再到點G時，因為AB=3cm，BC=5cm，所以AC=AB+BC=3+5=8（cm）。因為CG=BF=6cm，所以在Rt△ACG中，AG2=AC2+CG2=82+62=100。（方案二）如圖2，連接AG，當蜘蛛從點A出發先到EF上再到點G時，因為BC=5cm，所以FG=BC=5cm，所以BG=5+6=11（cm）。在Rt△ABG中，AG2=AB2+BG2=32+112=130。（方案三）如圖3，連接AG，當蜘蛛從點A出發先到EH上再到點G時，因為GF=BC=5cm，AE=BF=6cm，EF=AB=3cm，所以AF=AE+EF=6+3=9（cm）。在Rt△AFG中，AG2=AF2+GF2=92+52=106。因為130>106>100，所以在第一種方案中蜘蛛能最快抓到蒼蠅，其路線如圖1所示，這時AG2=100，所以AG=10cm，所以蜘蛛走過的路程是10cm。考點2勾股定理的實際應用例如圖是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長。已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長。學生活動：利用生活常識與已有的知識將數據與圖形相結合，標出對應的數據，小組討論找出直角三角形并利用勾股定理解答。解：設滑道AC的長度為xm，則AB的長度為xm，AE的長度為（x-1）m。在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5。故滑道AC的長度為5m。變式訓練假期中，小明和同學們到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖，他們在點A登陸后先往東走8km到達C處，又往北走了2km，遇到障礙后又往西走了3km，再往北走了6km后往東拐，僅走了1km就找到了藏寶點B，如圖，登陸點A到藏寶點B的距離是________。答案：10km本題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側面到棱柱側面，都是將空間問題平面化。本題中學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智，運用方程的思想并利用勾股定理建立方程。4.隨堂訓練，鞏固新知1.如圖，將一根長為16cm的橡皮筋固定在筆直的木棒上，兩端點分別記為A，B，然后將中點C向上豎直拉升6cm至點D處，則拉伸后橡皮筋的長為（）A.20cmB.22cmC.28cmD.32cm答案：A2.如圖，有一圓柱形油罐，底面周長為24m，高為10m。從A處環繞油罐建梯子，梯子的上端點B正好在點A的正上方，梯子最短需要()A.10πmB.26mC.13πmD.15m答案：B為學生提供自我檢測的機會，教師針對學生的學習情況，及時調整授課，查缺補漏。5.課堂小結，自我完善師生相互交流總結：1．解決實際問題的方法是建立數學模型求解。2．在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問題。本課時內容量略多，教師可根據實際情況適當刪減。鼓勵學生結合本節課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史。6.布置作業課本P14—15習題1.3中的T1、T2、T3、T4。課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高做題效率。板書設計3勾股定理的應用提綱挈領，重點突出。教后反思本節從生動有趣的問題情景出發，通過學生自主探究，運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，學會觀察，提高分析能力，滲透數學建摸思想。在設計中，注重以下兩點：1．要充分利用好教材提供的素材“螞蟻怎么走最近”是一個生動有趣的問題，讓學生充滿了探究的欲望，這個問題體現了二、三維圖形的轉化，對發展學生的空間觀念很有好處。2．合理使用教材提供的練習本節課通過“實踐探究，學習新知”“學以致用，應用新知”把教材中的知識點重組，使練習有梯度，既鞏固了基本知識點，又訓練了學生的應用能力。3．突破重點、突破難點的策略在教學過程中教師應通過情景創設，激發興趣，鼓勵引導學生經歷探索過程，得出結論，從而發展學生的數學應用能力，提高學生解決實際問題的能力。4．評價方式根據新課標的評價理念，在教學過程中應關注學生的參與程度，關注活動中所反映出的思維水平，關注對實際問題的理解水平，關注學生對基本知識的掌握情況和應用勾股定理及逆定理解決實際問題的意識和能力。在教學過程中尊重學生的個體差異，對于學生的回答教師應給予恰當的評價與鼓勵，并幫助學生樹立學習數學的自信，充分發揮教育的價值。反思，更進一步提升。問題解決策略：反思課題問題解決策略：反思授課類型新授課授課人教學內容課本P16-18教學目標1.掌握將立體圖形展開成平面圖形的方法，能正確找出兩點間的最短路徑。2．熟練運用勾股定理計算立體圖形表面兩點間的最短路徑長度。教學重難點重點：熟練運用勾股定理計算立體圖形表面兩點間的最短路徑長度。難點：根據立體圖形的特征，選擇合適的展開方式，準確找出最短路徑。教學準備多媒體課件教與學互動設計（教學過程）設計意圖1.創設情境，導入新課教師展示課件。如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長等于18cm，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，那么它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？（1）在你自己做的圓柱上，嘗試從點A到點B沿圓柱側面畫幾條路線，你覺得哪條路線最短？學生活動：學生討論，交流，尋找解決問題的途徑。合作交流：充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內討論計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。學生可能匯總的方案：問題求解：學生很容易算出：路線1中A→B的路線長為AC+d，路線2中A→B的路線長為。所以路線1的路線長比路線2的路線長要短。學生在路線3和路線4的比較中可能出現困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AC剪開圓柱得到側面展開圖，路線3中A→B是折線，路線4是線段，根據“兩點之間，線段最短”可判斷路線4較短，最后通過計算比較路線1和路線4即可。結論展示：路線1中A→B的路線長為AC+d>AB；路線2中A→B的路線長為>AB；路線3中A→B的路線長為AO+OB>AB；路線4中A→B的路線長為AB。得出結論路線4最短。教師追問：若圓柱的高等于12cm，底面圓的周長等于18cm，怎么計算最短路徑的長度？讓我們一起走進本節課的內容——勾股定理的應用。（教師板書：問題解決策略：反思）學生回答：利用勾股定理求解。教師展示課件。解：由題意，得AC=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=122+92=225，即AB=15（cm）。即螞蟻從A到B的最短路線是15cm。通過復習和設問引入新課，激發學生學習的興趣，為后續學習起到引領和鋪墊作用。讓學生發現：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數學解決實際問題的方法。通過對例題的探索，滲透建模思想．通過探求過程，讓學生學會分析立體圖形中隱藏的幾何模型(直角三角形)，能夠將立體圖形轉化為平面圖形，體會勾股定理在生活中無處不在。2.實踐探究，學習新知【探究1】教師展示課件。問題展示：師生活動：學生獨立思考，舉手回答，師生交流心得和方法。解決問題之后，對解決問題的過程、方法及問題的變化等方面進行反思，可以加深對問題及解決問題的思路、策略與方法的理解，豐富解決問題的經驗，提高解決問題的能力。問題如圖，一個圓柱的高為12cm，底面圓的周長為18cm。在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，那么它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少?教師活動：（1）在這個問題中，已知條件有哪些？你認為已知條件足夠解決這個問題嗎？（2）沿側面爬行的可能路線有哪些？什么情況下路線最短？請你用圓柱形水杯等物品實際感受一下。學生活動：分小組討論，然后小組內選出代表回答問題。教師活動：提出以下問題，組織學生進行討論，并選擇兩名同學進行回答。（1）以前研究過最短路線問題嗎？這個問題與以前研究的最短路線問題有什么不同?（2）如何將曲面上的最短路線問題轉化為平面上的最短路線問題？各個點的位置如何確定？學生活動認真思考，分組討論，有不明白的地方抓緊趁老師巡視的時候，請教老師。最后小組得出結論。實施計劃（1）如圖，將圓柱剪開，確定側面展開圖的形狀，以及與圓柱的對應關系。（2）在圖中標出點B的位置。（3）在圖中確定A，B兩點之間最短的路線，并計算它的長度。回顧反思（1）在擬訂解決問題的方案和實施方案的過程中，你獲得了哪些經驗？與同伴進行交流。（2）這個問題中，影響結果的量有哪些？如果改變有關的量，你還能求解嗎？例如，改變圓柱的形狀，改變點A、點B的位置，改為沿著圓柱表面爬行......這時又會有哪些新的問題？選擇部分問題進行研究，并與同伴進行交流。（3）解決這個問題的經驗，還可以應用到哪些問題中？例如，能否解決正方體、長方體等幾何體表面兩點之間的最短距離問題？（4）生活中還有哪些現實問題涉及幾何體表面上的最短距離？舉幾個實例，并思考解決問題的方案。（5）對于解決問題之后的回顧反思，你有哪些體會？與同伴進行交流。解決問題之后的反思，一般可以關注以下幾個方面：反思解決問題的過程，強化解決問題的經驗；比較解決問題的方法，形成多樣的解決問題的方法；思考方法的本質，促進方法的運用；改變問題的條件，研究更多的問題。3.學以致用，應用新知考點問題解決策略：反思例如圖，圓柱形木樁底面周長是30cm，高為25cm，在木樁底部S處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對的木樁另一面距頂部5cm的點F處有一只蒼蠅，求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線長度。解：將圓柱側面展開如圖所示。SF2∴SF＝25cm。答：急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線長度為25cm。變式訓練如圖，已知一個長方體的長、寬、高分別為6，5，3，在長方體的底面上點A處有一只螞蟻，它想吃長方體上與點A相對的點B處的食物，則需要沿長方體表面爬行的最短路程是多少？解：①當長作為直角三角形的一條直角邊，寬與高的和作為另一條直角邊時，路線如圖1所示。在Rt△ABG中，AG2＋BG2＝AB2，∵AG＝5＋3＝8，BG＝AC＝6，∴AB2＝82＋62＝100.∴AB＝10；②當寬作為直角三角形的一條直角邊，長與高的和作為另一條直角邊時，路線如圖2所示。在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∵AE＝6＋3＝9，BE＝AH＝5，∴AB2＝52＋92＝106；③當高作為直角三角形的一條直角邊，寬與長的和作為另一條直角邊時，路線如圖3所示。在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∵AD＝6＋5＝11，BD＝AF＝3，∴AB＝32＋112＝130。∵100＜106＜130，∴需爬行的最短路程是10。本題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側面到棱柱側面，都是將空間問題平面化。通過圓柱和長方體中的最短路徑問題的練習，加深了學生對立體圖形中隱藏的幾何模型(直角三角形)以及將立體圖形轉化為平面圖形的理解，既培養了學生的識圖能力，又為后面的學習奠定了堅實的基礎。4.隨堂訓練，鞏固新知1.如圖，已知圓柱底面的周長為12cm，圓柱的高為8cm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為()A．10cmB．20cmC．24cmD．100cm答案：B2．如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離。解：利用展開圖中兩點之間線段最短可知，AB2＝[(3＋2)×3]2＋202＝625＝252，所以螞蟻走的最近距離為25。通過課堂檢測，及時獲知學生對所學方法策略的掌握情況，并最大限度地調動學生學習數學的積極性，使每個學生都能有所收益、有所提高。5.課堂小結，自我完善師生相互交流總結：1．解決實際問題的方法是建立數學模型求解。2．在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問題。本課時內容量略多，教師可根據實際情況適當刪減。鼓勵學生結合本節課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史。6.布置作業課本P17-18問題回答。課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高做題效率。板書設計☆問題解決策略：反思問題解決策略：反思1．圓柱體上的兩點間的最短距離。2．長方體(或正方體)面上的兩點間的最短距離。3．生活中兩點間的最短距離。4．總結：利用勾股定理解決立體圖形的最短路程問題。投影區學生活動區提綱挈領，重點突出。教后反思在教學過程中，關注學生的空間想象能力和轉化思想的培養，對于學生在展開立體圖形和運用勾股定理計算過程中遇到的困難，及時給予指導．通過小組合作探究和練習，幫助學生鞏固知識，提高解決問題的能力．同時，反思教學方法和教學環節的合理性，以便在今后的教學中進行改進和優化。反思，更進一步提升。第二章實數第二章本章所需課時數11課時課標要求1.體驗從具體情境中抽象出數學符號的過程，理解實數。2.掌握必要的運算（包括估算）技能。3.了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根。4.了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內整數的平方根，會用立方運算求百以內整數（對應的負整數）的立方根，會用計算器求平方根和立方根。5.了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，能求實數的相反數與絕對值。6.能用有理數估計一個無理數的大致范圍。7.了解近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并會按問題的要求對結果取近似值。8.了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算。教材分析從有理數擴充到實數是初中階段數系擴充的最后一個階段，中學階段的多數問題是在實數范圍內進行的，同時實數也是后繼內容（如一元二次方程、函數等）學習的基礎。因此，本章學習內容具有基礎性，應要求學生能熟練掌握有關實數的運算，適應后續學習的需要。學生以前經歷過數系的第一次擴充，已經積累了一些數系擴充的學習經驗，感受到數系擴充是源于實際生活的需要.本章再次引領學生經歷數系擴充的過程，感受數系擴充的必要性.。本章大致按照如下線索展開內容：無理數的引入—無理數的表示—實數相關概念及其運算（包括簡單的二次根式化簡），實數的應用貫穿于內容的始終。具體地，教科書首先通過拼圖活動和計算器探索活動，給出無理數的概念；然后通過具體問題的解決，引入平方根、立方根的概念和開方運算。由于在實際生活和生產實際中，人們常常通過估算來求無理數的近似值，為此教科書安排了一節“估算”，介紹估算的方法，包括通過估算比較大小，檢驗計算結果的合理性等。接著，教科書用類比的方法引入實數的相關概念、運算律和運算性質等。最后，介紹了二次根式的概念及其化簡和運算。主要內容本章主要內容：認識無理數；算術平方根及平方根的認識；立方根的認識；無理數的估算；用計算器開方；實數的認識及分類；二次根式的相關概念及運算法則。教學目標1.經歷數系擴充、探求實數性質及其運算規律、借助計算器探索數學規律等活動過程，發展抽象概括能力，并在活動中進一步發展學生獨立思考、合作交流的意識和能力。2.結合具體情境理解估算的意義，能進行簡單的估算，進一步發展數感和估算能力。3.了解平方根、立方根、二次根式、最簡二次根式及其相關概念；會求平方根、立方根；能進行有關實數的簡單四則運算和簡單的二次根式化簡，發展運算能力。4.能運用實數的運算解決簡單的實際問題，提高應用意識，發展解決問題的能力，從中體會數學的應用價值。教學重難點教學重點：算術平方根、平方根、立方根，二次根式的混合運算。教學難點：無理數的概念以及它與有理數的根本區別，二次根式的混合運算。教與學建議1.注重概念的形成過程，讓學生在概念的形成過程中，逐步理解所學的概念。2.鼓勵學生的自主探索和合作交流。3.注意運用類比的方法，使學生清楚新舊知識的區別和聯系。章節課時分配1認識實數（2課時）第1課時認識非有理數第2課時認識無理數2平方根與立方根（4課時）第1課時算術平方根第2課時平方根第3課時立方根第4課時估算及用計算器開方3二次根式（3課時）第1課時二次根式的概念及乘除性質第2課時二次根式的化簡及加減運算第3課時二次根式的混合運算回顧與思考（2課時）1認識實數課題第1課時認識非有理數授課類型新授課授課人教學內容課本P25-26教學目標1.通過拼圖活動，讓學生感受非有理數產生的實際背景和引入的必要性。2.能判斷給出的數是否為有理數，并能說出理由。3.通過實踐活動，體會到非有理數在現實生活中大量存在。4.感受非有理數的廣泛性，提高學生學習的自主性。5.借助計算器探索非有理數是無限不循環小數，借助計算器進行估算，培養學生的估算能力，發展學生的抽象概括能力，并從中體會無限逼近的思想。教學重難點重點：通過拼圖活動，讓學生感受客觀世界中無理數的存在。難點：能判斷給出的數是否為有理數，并能說出理由。教學準備多媒體課件、正方形紙片、直尺、剪刀。教與學互動設計（教學過程）設計意圖1.創設情境，導入新課教師活動：提出問題讓學生思考并回答，然后再給出答案。教師：同學們還記得什么是有理數嗎?學生：整數和分數統稱為有理數。教師追問：那整數分為哪些數？分數又為哪些數呢？學生：整數分為正整數、0、負整數，分數分為正分數、負分數。繼續追問：有理數是如何分類的呢？學生回答，教師可適當板書或展示課件。教師：除了有理數外還有沒有其他的數呢？學生思考。教師：這節課我們就一起走進非有理數的世界。（教師板書：第1課時認識非有理數）溫故知新，作必要的知識回顧，便于后續問題的說理，為本節課要學習的內容作準備。2.實踐探究，學習新知【探究】活動1教師展示課件。（讓學生拿出提前準備好的正方形）教師：下面是兩個邊長為1的小正方形，請同學們動手剪一剪，然后將它們拼成一個大的正方形。學生活動：分組操作，探索不同剪法和拼法。答案預設：拼法一：拼法二：拼法三：可能還會出現其他不同的結果，教師及時進行點評。活動2教師活動：提出問題讓學生思考并回答，然后再給出答案。問題1：設大正方形的邊長為a，a滿足什么條件？答案預設：一個小正方形的面積為：S小正方形=1×1=1，則S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2，∴S大正方形=2。根據正方形面積公式：S大正方形=a2，∴a2=2。問題2：a可能是整數嗎？說說你的理由。（學生一般回答a不是整數，理由可以用自己的話回答，合理即可。學生討論完成后，教師可以引導總結，規范語言）答案預設：（1）從“數”的角度：∵a2=2，而12=1，22=4，32=9···∴12<a2<22，1<a<2，∴a不是整數。（2）從“形”的角度：由上面的拼圖過程可知，大正方形的邊長等于邊長為1的小正方形的對角線的長。在Rt△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a，根據三角形的三邊關系，斜邊AB滿足：AC-BC<a<AC+BC，即0<a<2，且a≠1，∴a不是整數。問題3：a可能是分數嗎？并與同伴進行交流。答案預設：，，。從上面的式子中發現：兩個相同的最簡分數的乘積仍然是分數，而a2=2是整數，∴a不是分數。【歸納總結】滿足等式a2=2的a既不是整數，也不是分數，所以a不是有理數。【探究2】嘗試·思考（教材P25）教師展示課件。師生活動：教師提出問題，學生思考，按照上面探究的方法，解答并判斷給出的數是否為有理數。問題1：如上圖，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？答案預設：設直角三角形的斜邊長為b，根據勾股定理，得b2=12+22=5，根據正方形面積公式得：S正方形=b2，∴以圖中直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是5.問題2：設該正方形的邊長為b，b滿足什么條件？答案預設：∵正方形的邊長為b，根據正方形面積公式，得S正方形=b2，而S正方形=5，得出b2=5，∴b滿足b2=5。問題3：b是有理數嗎？答案預設：∵b2=5，4<b2<9，∴2<b<3，∴b不是整數，∵兩個相同最簡分數的乘積仍然是分數，而b2=5是整數，∴b不是分數。結論：b既不是整數，也不是分數，那么一定不是有理數。【歸納總結】a2=2b2=5數a，b確實存在，但都不是有理數。思考·交流教師活動：面積為2的正方形的邊長a究竟是多少呢？（1）如圖，三個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？說說你的理由。（2）邊長a的整數部分是幾？十分位是幾？百分位呢？千分位呢？......借助計算器進行探索。（3）小明將他的探索及過程整理如下：還可以繼續算下去嗎？a可能是有限小數嗎？（4）面積為5的正方形的邊長b的值是多少？b可能是有限小數嗎？與同伴進行交流。結論：事實上，a=1.41421356...，b=2.23606797...，它們都不是有理數，都是無限不循環小數。學生動手操作，以小組探究的形式，通過拼圖活動，得到正方形，增強學生動手能力和解決問題的能力。教師通過追問的方式,引導學生進行一些理性的思考，讓學生自然感受到除了有理數外還有其他數的存在。讓學生體會如何從數和形的角度思考問題。從不同角度感受數a的特點。通過歸納數a的特點，培養歸納概括能力。選取客觀存在的“無理數”實例，讓學生進一步深刻感受除有理數外還有別的數存在,為“新數”（無理數）的學習奠定了基礎。3.學以致用，應用新知考點非有理數例如圖，等邊三角形ABC中的邊長是2，高AD為h，h可能是整數嗎？可能是分數嗎？解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴D是BC的中點，且BC=2，∴BD=CD=1。在Rt△ABD中，由勾股定理，得h2=22-12=4-1=3。∵1<h2<4，∴1<h<2，∴h不是整數。∵兩個相同最簡分數的乘積仍然是分數，而h2=3是整數，∴h不是分數。∴h不可能是整數，也不可能是分數。變式訓練在下圖所示的正方形網格中，畫出符合要求的線段。（1）長度是有理數的線段；（2）長度不是有理數的線段。通過例題的探究讓學生進一步感受除有理數外還有別的數存在，感受無理數的廣泛性。4.隨堂訓練，鞏固新知1.已知a2=17，則a是（）A.整數B.分數C.有理數D.非有理數答案：D2.以下各正方形的邊長不是有理數的是()A.面積為25的正方形B.面積為的正方形C.面積為8的正方形D.面積為1.44的正方形答案：C為學生提供自我檢測的機會，教師針對學生的學習情況，及時調整授課，查缺補漏。5.課堂小結，自我完善1.通過本課學習，請問你有什么收獲與體會？2.客觀世界中，的確存在不是有理數的數，你能列舉幾個嗎？3.除了本課所認識的非有理數的數以外，你還能找到嗎？（教師以問題呈現的方式引導學生自己進行知識梳理）讓學生對所學的知識進行梳理，使之思路清晰，既鞏固了有關知識，又培養了學生良好的學習習慣。6.布置作業課本P26隨堂練習的T1。課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高做題效率。板書設計第1課時認識非有理數提綱挈領，重點突出。教后反思1.生活是數學的源泉，興趣是學習的動力大量事實都證明一點，與生活貼得越近的東西最容易引起學習者的濃厚興趣，才能激發學習者的學習積極性，學習才可能是主動的。本節課中教師首先用拼圖游戲引發學生學習的欲望，把課程內容通過學生的生活經驗呈現出來，然后進行大膽置疑，生活中的數并不都是有理數，那它們究竟是什么數呢？從而引發了學生的好奇心，為獲取新知，創設了積極的氛圍。在教學中，不要盲目地搶時間，讓學生能夠充分地思考與操作。2.化抽象為具體常言道：“數學是鍛煉思維的體操”，數學教師應通過一系列數學活動開啟學生的思維，因此對“新數”的學習不能僅僅停留在感性認識，還應要求學生充分理解，并能用恰當的數學語言進行解釋。正是基于這個原因，在教學過程中，刻意安排了一些環節，加深對“新數”的理解，充分感受“新數”的客觀存在，讓學生覺得“新數”并不抽象。3.強化知識間的聯系，注意糾錯既然稱之為“新數”，那它當然不是有理數，亦既不是整數，也不是分數，所以“新數”不可以用分數來表示，這為進一步學習“新數”，即第2課時的教學埋下了伏筆，在教學中，要著重強調這一點。反思，更進一步提升。1認識實數課題第2課時認識無理數授課類型新授課授課人教學內容課本P26-28教學目標1.探索無理數的定義，比較無理數與有理數的區別，并能辨別出一個數是無理數還是有理數，訓練學生的思維判斷能力。2.能夠準確地將目前所學習的數按不同角度進行分類，并說明理由，進一步體會分類思想，培養學生解決問題的能力。3.充分調動學生參與數學問題的積極性，培養學生的合作精神，提高他們的辨識能力。教學重難點重點：比較無理數與有理數的區別，能辨別出一個數是無理數還是有理數。難點：探索無理數是無限不循環小數的過程。教學準備多媒體課件、計算器。教與學互動設計（教學過程）設計意圖1.創設情景，導入新課教師活動：提出一個上節課的重點問題讓學生思考，并點名學生回答，然后再給出答案。教師展示課件。問題：若a2=2,則a分數，整數，有理數。(填“是”或“不是”)學生回答：不是，不是，不是。追問：數a確實存在，但又不是有理數，那它到底是什么數呢？本節課我們就來揭示它的真面目。（教師板書：第2課時認識無理數）借助上節課的問題引出新知，體現了知識之間的前后銜接。2.實踐探究，學習新知【探究1】教師活動：教師課件展示文字，讓學生先思考總結數據的共同特征，從而歸納出無理數的概念（無限不循環小數）。一般地，不是有理數的數都是無限不循環小數嗎？為了研究這個問題，我們不妨看看有理數的小數表示有什么共同特征。【探究1】把下列各式表示成小數，你發現了什么？3，45，59，-845學生活動：學生思考，并獨立完成。答案預設：3=3.0；45=0.8；59=0.5；-845=-0.1提問：這些小數都屬于哪一類形式？答案預設：有限小數或無限循環小數。師生活動：請同學們以學習小組的形式活動：一同學舉出任意一分數，另一同學將此分數表示成小數，并總結此小數的形式。說說你的發現。答案預設：分數只能化成有限小數或無限循環小數。即任何有限小數或無限循環小數都是有理數。追問：除了有限小數和無限循環小數，還有哪類小數？學生：無限不循環小數。教師：經過之前的學習我們已經知道，像這樣的數，既不是整數又不是分數，它們屬于無限不循環小數，我們把這樣的數成為無理數。（教師板書：無限不循環小數成為無理數）強調：判斷一個數是不是無理數，關鍵就是看它能不能寫成無限不循環的小數。想一想：你能找到其他的無理數嗎？答案不唯一：0.2323323332…（兩個2之間依次多1個3）1.41421356…，2.2360679…，3.1415926…（圓周率）等。總結：無理數的常見形式主要有三種：①一般的無限不循環小數，如1.41421356…是無理數．看似循環而實質不循環的小數，如0.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數逐次增加1)是無理數。②圓周率π以及含π的數，如π，2π，π＋5，都是無理數。③開方開不盡的數(下一節學到)。【教材例題】例下列各數中，哪些是有理數，哪些是無理數?3.14，-43，0.57解：3.14，-43，0.50.1010001000001…（相鄰兩個1之間0的個數逐次加2）是無理數。有理數和無理數統稱實數，即實數可以分為有理數和無理數。通過更多的例子，讓學生熟悉求無理數近似值的估算方法，進一步體會無理數的“無限”與“不循環”的特點。回顧有理數的情況，明確有理數都可用有限小數或無限循環小數表示。為后面引出無理數的概念作準備。通過師生互動的教學活動，既培養學生獨立思考與小組合作討論的能力，又感受到無理數存在的必然性，建立了無理數的概念。通過想一想加深對無理數概念的認識和理解。3.學以致用，應用新知考點無理數的識別例下列各數中，哪些是有理數?哪些是無理數？0.351，，，，6，…（相鄰兩個2之間3的個數逐次加2），，…（由相繼的正整數組成）解：有理數有；0.351，，，，6；無理數有：…（相鄰兩個2之間3的個數逐次加2），，…（由相繼的正整數組成）。變式訓練下列各數中，是無理數的為（）A.3.14B.1C.0.305305530555…D.0.44444…答案：C通過例題加深對無理數概念的認識和理解。4.隨堂訓練，鞏固新知1.下列說法不正確的是（）A.所有的整數和分數都是有理數B.無理數一定是無限小數C.無限小數一定是無理數D.無理數不能寫成分數的形式答案：C2.以下各正方形的邊長是無理數的是（）.A.面積為25的正方形B.面積為的正方形C.面積為8的正方形D.面積為1.44的正方形答案：C為學生提供自我檢