立體幾何與空間向量解答題（講義）-2026屆高三數學二輪復習（原卷版）

立體幾何與空間向量解答題（各種類型）

【題型1求異面直線所成的角】

頊律歷法一

求異面直線所成角的方法：

1、通過平移，將異面直線所成角轉化為相交直線所成的角，將角都放在三角形中，利用余弦定理求解。

2、用向量法求異面直線所成角的一般步驟

（1）建立空間直角坐標系；

（2）用坐標表示兩異面直線的方向向量；

（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

（4）注意兩異面直線所成角的范圍是（0,亨即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕

對值.

異面直線所成角：設異面直線小〃所成的角為仇貝iJcos〃=巴旦，其中。，人分別是直線小的方向向

\a\\b\

量.

1.（2025?安徽六安?模擬預測）如圖，矩形人8CQ所在的平面和半圓弧AMD所在的平面垂直，且八/>=2八8=4,

NM4/)=60,夕是CM的中點.

（1）證明：AM//平面8DP.（2）證明：⑶求異面直線BM,OP所成角的余弦值.

【題型2求直線與平面所成的角】

規律與方法

求線面角的常用方法:

1、直接作出線面角求解;

2、等體積法求出直線上一點到平面的距離，通過直角三角形可直接確定線面角的正弦值;

3、用向量法求解直線與平面所成角：設直線/的方向向量為e,平面a的法向量為〃，直線/與平面a所成

的角為夕，向量e與〃的夾角為〃，則有sinc=|cosM

n\\e

1.如圖，四棱錐P-A8C。中，布_L底面4BCZ）,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段A。上一點,

AM=2MO,N為PC的中點.

⑴證明MN〃平面PABx

(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

2.如圖，在三棱錐P-ABC中,底面ABC是邊長2的等邊三角形，PA=PC=石，點尸在線段8C上，且FC=3BF,

。為AC的中點，E為的PD中點.

(I)求證：肢〃平面Q43；

(II)若二面角P-AC-B的平面角的大小為y,求直線DF與平面PAC所成角的正弦值.

【題型3求平面與平面所成的角】

規律與方法

求二面角的常用方法

1、定義法：在兩個半平面分別找棱的垂線，構造三角形,利用余弦定理求解：

2、三垂線法：已知二面角其中一個面內一點到另一面的垂線，過垂足作楂的垂線，連接點與棱上的垂足，即可

得到二面角的平面角；

3、垂許法：己知二面角內一點到兩個半平面的垂線，過兩垂線的平面與兩個半平面的交線所成的角即為二面角

的平面角。由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。

4、向量法：

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得

到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求知的大小；

（2）找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,

則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小

"A

|cos^|=|cos6>|=-H—

勺%

1.（2023?全國?高考真題）如圖，三棱錐4一48中，DA=DB=DC,BD1CD,NADB=NADC=6O,E為

AC的中點.

（2）點/滿足E〃=D4,求二面角。-八4-歹的正弦值.

2.（23-24高三下?山東荷澤?月考）如圖所示，平面ACFEJ_平面A8C。，旦四邊形人。石是矩形，在四邊形A8CO

中，ZADC=\20°,2AB=2AD=2CD=BC=6,

一2一

（I）若EM=§E廣，求證：AM//平面小）/；

（2）若直線切?與平面A8CD所成角為:，求平面8￡D與平面8C/所成銳二面角的余弦值.

3.（2025?全國二卷?高考真題）如圖，在四邊形A3CD中，AB//CD,ZDAB=90°,產為CO的中點，點正在

上，EF//AD,48=34。,。。二2八。.將四邊形瓦7%沿￡：尸翻折至四邊形￡血4',

使得面￡FD7T與面EFCB所成的二面角為60。.

⑴證明：A3//平面8'產；

（2）求面BCD'與面EFD'S所成的二面角的正弦值.

AEB

【題型4求空間距離】_____________________________________________________________________________

規律與方法

求空間距離的常用方法：

1、直接法：根據已知條件，直接作出（或找出）所要求的距離，井進行求解；

2、轉化法：如果空間中一些距離直接求起來比較困難時，可以把它轉化為其他形式的距離來求解.比如線

面距和面面距轉化為點面距；

3、體積法：對于點面距離，當所求距離不易作出時，可先尋找一個合適的三棱錐，把所求距離看成是三楂

錐的高，然后再利用兩種方法求三棱錐的體積，抓住體積不變的原理達到求解點面距離的目的；

4、向量法：在立體兒何中很多求空間距離的題目，如果它的背景適合建立空間直角坐標系，用空間向量法

來求就會很方便。

（1）點到直線的距禽：已知直線”勺單位方向向量為小A是直線/上的定點，P是直線/外一點，

設向量力在直線/上的投影向量為毆="，則點p到直線/的距離為qf一（0〃）2.

（2）點到平面的距離：已知平面。的法向量為〃,4是平面夕內的任一點，尸是平面。外一點，過點P

作則平面a的垂線/,交平面a于點。，則點P到平面a的距離為PQ=4￡?

I\n\

（3）線面距和面面距：線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。

ABn

直線。與平面a之間的距離：d=，其中Bea,〃是平面a的法向量。

ABn

兩平行平面a,〃之間的距離：d=——f其中〃是平面a的法向量。

1.（23-24高三下?四川?模擬預測）如圖，四棱錐S-A8C力中，底面ABCD為菱形，ND48=1,側面二SCO是邊

長為4的正三角形，S4=2ji6.

（I）證明：平面SCOJ■平面4BCQ；

（2）求點A到平面SBC的距離.

2.（23-24高三下?吉林?模擬預測）婦圖，在四棱錐P-A4c。中，24_1平面人8。力,刊?=入7=2、/,

%=改7=2A。=2。。=4,石為3。中點，點尸在梭/格上（不包括端點）.

（1）證明：平面4。_1_平面以。；

（2）若點歹為網的中點，求直線E尸到平面PC。的距離.

【題型5利用向量解決探究性問題】

[規律與方法

;假設所成的點或參數存在，并用相關參數表示相關點的坐標，根據線、面滿足的位置關系、數量關系，構建

\方程（組）求解,若能求出參數的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在。

j常見位置關系的假設方式：

\尸在直線A8上：三之￡冗，使得=

\戶在射線48上：三兄￡[0,+8）,使得=

尸在線段43上：三幾￡[0,1],使得AP二；IAB

JP在平面AMN上：三九月￡心使得AP=44M+^MN

1.（2025?新疆喀什?三模）如圖，在aABC中,ACA.BC,AB=2BC=6,E為AB

的中點，過點￡作。￡_2/18交AC于點。，將VAO石沿。￡翻折至,得到

四棱錐P-BCOE,F為棱PB上一動點（不包含端點）.

⑴若尸為棱”8的中點，證明：CF"平面PDE；

⑵若吁3a，直線稗與平面BCDE所成角的正弦值為冬（團）求若；（0）

求點F到平面PC力的距離.

2.(25-26高三上?黑龍江綏化?開學考試)如圖，四棱錐0-A4CD的底面ABC。是正方形，電＞_1_平面48。。,

尸。=4。=2.已知￡/分別為PA尸。的中點，平面DEF與棱/有交于點G.

(1)求證：OE_L平面以8：

(2)求平面CDG與平面A8CQ的夾角的余弦值；

⑶判斷線段環上是否存在一點“，使得點”到平面CDG的距離為正

?若存在,

10

請求出點〃的位置；若不存在，請說明理由.

3.(23-24高三下.全國?一模)如圖，棱柱A8CO-4用GA的所有棱長都等于2,且乙4BC=44/。=60°,平面

(1)求平面04A與平面CAA所成角的余弦值:

(2)在棱CG所在直線上是否存在點P，使得8P//平面。AC.若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理

由.

【題型6空間幾何中的最值范圍問題】

規律與方法

1、立體幾何中距離之和的最值問題的求解，解題關鍵是能夠求得A關于平面的對?稱點A,從而利用三角形

兩邊之和大于第三邊的特點確定當三點共線時取得最小值.

2、對于立體幾何中的動點問題，常需動中覓靜，這里的“靜”是指問題中的不變量或者是不變關系，動中

覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性.“靜”只是“動”的瞬向，是運動的一種特殊形式，然而抓住“靜”

的瞬間，使一般情形轉化為特殊情形，問題便迎刃而解.

3.轉化為函數問題。

1.（2025?湖南永州?模擬預測）如圖，在三棱錐4一BC。中，。。_1平面48￡>,AB=BD=CD,七是AO的中點,

產是線段AC上的一點（不含端點）.

（1）證明：8后_1平面42。；

⑵若二面角A-CO-8的大小為求直線環與平面ACO所成角的正弦值的最大值.

2.（2025?廣西?模擬預測）如圖，在四棱錐P-AACD中，底面A8CD是菱形，/班。=120。，AB=2,AC\BD=O,

POJ_底面A8CO,OP=2,點E在棱夕。上.

⑴求證：平面ACEL平面P8O；

⑵當CE取得最小值時，求二面角2-AC-石的余弦值.

3.如圖，夕為圓錐的頂點，0是圓隹底面的圓心，4c為底面直徑，△ABO為底面圓。的內接正三角形，且邊

長為在母線PC上，且AE=y/i,CE=l,EC工BD.

E

(1)求證：平面8EZ)J_平面/W￡)；

(2)設線段PO上動點為M,求直線OM與平面A電所成角的正弦值的最大值.

(3人坐。同。,一冬。,E0,0岑)鳴,0,,of-,0,0

則A-,0,0

乙12

...=.ol/\E=f--,O,—l,DO=f-,—,oloP=(0.0,V3)

22?22221)

設平面ABE的法向量為〃=(x,y,z),

題型7：與球相關的問題

1.(2025?陜西西安?二模)如圖，已如三棱錐P-A8cA8=4C=。0=1,BP=2,8C=應,NC4P=30.

⑴證明：平面0ACL平面A8C；

。)若三棱錐。-八8。的各頂點都在球。的球面上，求球。的半徑:

⑶求直線”與平面3cp所成的角的正弦值.

2(2526高三上?安徽蚌埠?開學考試)如圖，在四棱錐/>-A3C。中，VA8C是正三角形,

DA=DC,PA=PC,BD1PA.

⑴求證：平面PAC_L平面A8CD；

⑵設48=26，若點H4B,C,。均在球。的球面上且點。在平面ABCD內.

(i)求四棱錐Q-4AC力的體積；

(ii)求平面必為與平面PC8的夾角的余弦值.

課后作業:

1.(2024?天津?高考真題)如圖，在四楂柱A8CO-AgCQ中，AA_L平面48cO,AB1AD.AB//DC,

AB=AA,=2,AD=DC=\.M.N分別為的中點，

⑴求證：DN〃平面CBM；

(2)求平面與平面B8CC夾角余弦值;

⑶求點8到平面CqM的距離.

2.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2省的菱形，N8AO=!，平面?ACJL平面48cO,PD1AB.

(1)證明：PB=PD；

(2)設直線CF與平面A6CO所成角為3.

(i)求四棱錐P-人4S的體積；

(ii)若點M為棱CP上的動點(不包括端點)，求二面角A-8M-C的正弦值的最小值.

3.在三棱錐P-ABC中，平面PA3_L平面4BC,AB=2G，8。=2/。=42幺8是等腰直角三角形，PA=PB.

(1)求證：幺_1平面。3。；

(2)求異面直線依與4c的夾角的余弦值;

⑶設點7是三棱錐尸-/WC外接球上一點，求T到平面PBC距離的最大值.

4。(24-25高三上?福建福州?月考)如圖，在直四棱柱"C。-人蜴CQ中，底面四邊形ABCO為梯形，AD//BC,

AB=AD=2,BD=2五，8c=4.

(1)證明：A4_L他;

(2)若直線A8與平面所成角的正弦值為無，求直線BD到平面5CR的距離.

5.(24-25高三上?廣東深圳?月考)如圖，將長方形。(及其內部)繞。?旋轉?周形成圓柱，其中。4=1,

0a=2,劣弧AB的長為a,A4為