2025年高考數學試題分類匯編：立體幾何

2025年高考試題分類匯編

專題09立體幾何

一、單選題

1.（2025?河南?高考試題）若〃?為直線，。，尸為兩個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若mHa,〃ua,則B.若〃則

C.若mHajnl.。，則a_L尸D.若，〃ua,a_LZ?,則〃z_L/?

【答案】C

【分析】根據線面平行的定義可判斷A的正誤，根據空間中垂直關系的轉化可判斷BCD的正誤.

【詳解】對于A,若"?〃a,〃ua,則〃?，〃可平行或異面，故A錯誤；

對于B,若〃?la,〃?，尸，貝ija〃￡,故B錯誤；

對于C,兩條平行線有一條垂直于一個平面，則另一個必定垂直這個平面，

現niHa,niL/3,故4_1_￡,故C正確j

對于D,〃7ua,aJ■尸，則〃?與口可平行或相交或〃?u力，故D錯誤；

故選：C.

二、多選題

2.（2025?全國一卷?高考試題）在正三棱柱4BC-A耳G中，。為8c中點，則（）

A.ADJ.A。B.8C_L平面AAQ

C.D.CG〃平面A4Q

【答案】BD

【分析】法一：對于A,利用空間向量的線性運算與數量積運算即可判斷；對于B,利用線面垂直的判定

與性質定理即可判斷；對于D,利用線面平行的判定定理即可判斷；對于C,利用反證法即可判斷；法二：

根據題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可得解.

【詳解】法一：對于A,在正三棱柱48C-ABC中，平面ABC,

又ADu平面ABC,貝JIA4._LA。，則A4AO=0,

因為VA3C是正三角形，。為8c中點，則AO/3C,貝0

又aC=AA+AD+C。,

所以人。人。=（人/+人。+（7。）4。=4人人。+人。2+€7）人。二人。2。0,

則A。J.AC不成立，故A錯誤；

對于B,因為在正三棱柱A8C-44G中，AA，平面A8C,

又BCu平面A8C,則AA，8C,

因為VA8C是正三角形，D為BC中點,則A。工8C,

又AA「4。=人明,4。匚平面44。，

所以8C_L平面A4,。，故B正確；

對于D,因為在正三棱柱ABC-AEG中，CC.//M

又A4U平面AADCGU平面例。，所以CCJ/平面4A。，故D正確;

對于C,因為在正三棱柱A8C-ASG中，AB"AB,

假設AO〃44，則A0//A8,這與AOcA3=A矛盾，

所以4。〃4反不成立，故C錯誤；

故選：BD.

法二：如圖，建立空間直角坐標系，設該正三棱柱的底邊為2,高為〃，

則D(O,O,O),A("O,O)，A("OJ，，C(O，T，O)，G(O,T/?),B(OJO"(O』M),

對于A,AD=(-73,0,0),AC=(-^,-1-Zr),

貝！JAZ>AC=(一百卜(一g)+0=3力0,

則A。J.A<不成立，故A錯誤；

對于BD,BC=(0,-2,0),CC,=(0,0,//),/L4,=(0,0,/?)MD=(-x/3,0,0),

設平面A4。的法向量為〃=(x,y,z),

IAA.n=hz=0

則22r,得x=z=0,令y=l,貝!)”=0,1,0,

\AD-n=->J3x=0

?Z、IM.IUI

所以3。=(0,—2,0)=-2"，CC)-/!=0,

則BC_L平面人4。，CG〃平面故BD正確;

對于C,AD=(-V3,0,0)，A^I=(-V3J,0),

則境吟

顯然A。//A用不成立，故C錯誤;

故選：BD.

三、填空題

3.(2025?上海?高考試題)如圖，在正四棱柱48CQ-AB|GA中，8。=4Q,。旦，則該正四棱柱的體

積為_______

【答案】112

【分析】求出側棱長和底面邊長后可求體積.

【詳解】因為即=4&且四邊形4BCD為正方形，故朋=4,

而Dg=9,故8牙+8。2=81,故BB、=7,

故所求體積為7x16=112,

故答案為：112.

4.(2025?全國二卷?高考試題)一個底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器(容器壁厚度忽略不計)

內有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

【答案】2.5

【分析】根據圓柱與球的性質以及球的體積公式可求出球的半徑；

【詳解】

圓柱的底面半徑為4cm,設鐵球的半徑為「，且廠＜4,

由圓柱與球的性質知八夕=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,

BP4r-68/-+145=(2r-5)(2/--29)=0,Vr<4,

=2.5.

故答案為：2.5.

5.（2025?北京?高考試題）某科技興趣小組用3D打印機制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其

中A8CDE尸是一個平面多邊形，平面平面48C,平面CO7J■平面A3C,AB工BC,AI3//EF//RS//CD,

BC”DE//ST//AF芾AB=BC=8、AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=^,則該多面體的體積為

【答案】60

【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱4^-0廳和四棱錐3-”7跖后結合體積公式可求幾何

體的體積.

【詳解】先證明一個結論：如果平面a_L平面平面/，平面7,平面。。=1,則/，九

證明：設acy=a,p（\y=bf在平面，取一點0,。星a、O史b,

在平面7內過。作直線〃?，使得〃Ua,作直線〃，使得，z_Lb,

因為平面aJ■平面7,mr,故機_La,而/ua,故m

同理〃而〃？〃=O,m、nuy,故如了.

下面回歸問題.

連接8E,因為A8JL3c且A/〃BC,故人尸J_A3,同理8C_LC0,EFkED,

而A"=AC=&4尸=CD=4,故直角梯形與直角梯形CBED全等,

故乙BEF=/BED=45°,

在直角梯形ABEF中，過B作取_LEP,垂足為7,

則四邊形A87F為矩形，且8正為以N的為直角的等腰直角三角形,

故EF=FT+TE=AB+Br=AB+AF=V2,

平面R4Q_L平面ABEF,平面心/平面A5￡F=A尸，AFJ.AB,

48匚平面/3七五，故A8_L平面相尸，

取A尸的中點為M,BE的中點為u,。。的中點為V,連接RM,MU,SU,UV,

則MU//RS,同理可證用以平面ABEF,而而u平面RMUS,

故平面RMUS_L平面AMF,同理平面WS平面

而平面RMUS平面VUS=SU,故SUJ?平面ABM,

故.RMHSU,故四邊形尺WUS為平行四邊形，故MU=RS=g（8+12）=10.

在平面八3印?中過3作BH//AR,交R“于“，連接“八

則四邊形為平行四邊形，且RH〃AB,RH=AB,故RHHFT,RH=FT,

故四邊形RFTH為平行四邊形，

而BH_LA氏BT1AB,BTBH=B,BT.BHu平面BHT,

故A8_L平面BHT,故平面A/"7/平面BHT,

而AR=BH,RF=HT,AF=BT,故△ARF^ABHT,

故幾何體ARF-BHT為直棱柱,

而§ARF4=3,故V"F-麗=8x3=24,

因為A8//M,故EF_L平面ARF,

而EFu平面RSEF,故平面ARFL平面RSEF,

在平面AR/中過A作AG_LR”,垂足為G,同理可證43，平面/?5所,

I121I?15

而^AGxR尸=3,故AG=《，故/_痛3=4乂彳乂5（2+4）><5=6,

一。JJ4

由對稱性可得幾何體的體積為2x（24+6）=60.

故答案為：60.

四、解答題

6.12025?河南?高考試題）如圖所示的四棱錐P-A3CD中，R4_L平面ABC。，BC//AD,AB1AD.

(I)證明：平面PA8JL平面PAO；

(2)PA=48=&,AO=1+G,BC=2,P,B,C,。在同一個球面上，設該球面的球心為0.

(i)證明：。在平面A8CO上；

(ii)求直線AC與直線29所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)(i)證明見解析；

(ii)—.

3

【分析】(1)通過證明AP±ADf得出A3_L平面PAO,即可證明面面垂直；

(2)(i)法一：建立空間直角坐標系并表達出各點的坐標，假設PI,C。在同一球面。上，在平面中，

得出點。坐標，進而得出點。在空間中的坐標，計算出|。4二|網=|0€|=|0。|,即可證明結論：

法二：作出△BCD的邊8C和C。的垂直平分線，找到三角形的外心。求出求出出外心。?到P,B,

C,。的距離相等，得出外心。|即為P,B,C,。所在球的球心，即可證明結論；

(ii)法一：寫出直線AC和尸0的方向向量，即可求出余弦值.

法二：求出AC的長，過點。作AC的平行線，交8C的延長線為￡,連接4G，PG，利用勾股定理求出AG

的長，進而得出的長，在△POG中由余弦定理求出cos/POG，即可求出直線AC與直線PO所成角的

余弦值.

【詳解】(1)由題意證明如下，

在四棱錐尸—A8CD中，八4_!_平面A8C￡>,ABA.AD,

平面人ACO.4/)u平面/WC。.

AAP±ABtAPLADf

??FPu平面PA。，八Du平面PAO,APcAD=A,

JAA_L平面PA。，

丁ABu平面PAB,

???平面/%3_L平面PAO.

(2)(i)由題意及(1)證明如下，

法一：

在四棱錐夕一ABC。中，AP±ABfAP±ADfAB±ADtBC；/AD,

PA=AB=Ji,40=1+6，

建立空間直角坐標系如下圖所示，

z,

D?

y

???A（0,0,0）,6（近,0,0）,0（在2,0）,￡＞（o,l+百,0）,P（0,0,0）,

若P,B,Ct。在同一個球面上,

則團=磔=因=幽,

???A（0,0）,B（A/2,0）,C（V2,2）,D（0,1+A/3）,

???線段。。中點坐標

J+6_2_g-l

直線C。的斜率:

0-V2-V2

直線c。的垂直平分線石/斜率：勺=-^-=6+&,

“6-12

?士心6+3R+問夜1

?,?直線所的方程：=---X--,

當y=l時，1=^|^(%一曰；+^2,解得：%=0,

.*.0(0,1)

在立體幾何中，0(0,1,0),

\OP\=^O2+12+(O-V2)2

\0B\=+0+()2

??V

\OC\=^(0->/2)2+(l-2)2+02

\OD\=^02+(l-l->/3)2+02

解得：|O"=|O同=QC|=QD|=看，

???點0在平面A8CD上.

法二：

VP,B,C,。在同一個球面上，

???球心到四個點的距離相等

在△8CO中，到三角形三點距離相等的點是該三角形的外心,

作出BC和。。的垂直平分線，如下圖所示，

:.O\D=BO、=CO、,

???點。?是△88的外心，

在RtAOP中，APLAD,AP=C，

由勾股定理得，

KL

/：\股=4A產+AO；=?可+12=6

BC

：.PO\=BO\=CO、=O,D=6,

?,?點。1即為點P,B,C,。所在球的球心。,

此時點。在線段上，ADu平面A3CD,

???點0在平面ABCO上.

設直線AC與直線P0所成角為0,

\AC-PO\|0+2xl+0|&

W

,?MII^(V2)2+22+0X^0+12+(-V2)23'

法2：

由幾何知識得，夕。=百，

ABLAD,BC//ADt

:.ABA.BC,

在RtVABC中，AB=4i,BC=2,由勾股定理得，

AC=ylAB2+BC2=J(72)2+22=R，

過點。作AC的平行線，交4c的延長線為C1,連接AG，PG，

則OC\=AC=R,直線AC與直線P0所成角即為△POG中/a0G或其補角.

丁PA_L平面人8。。，AC|U平面人ACO,「人G=人，

??.PA±4G,

在中，AB=6,8G=BC+CG=2+1=3,由勾股定理得，

（可

AC{=QAB:BC；=J+3?=VTT,

在Rt人PG中，PA=4i，由勾股定理得，

PQNPA'AC：=J(可+(而『=瓜

在△尸OG中，由余弦定理得，

PC；=PO2+OC；-2PO-OGcos/poq,

即：(9)2=(6y+("『—27Jx#cosNPOq

解得：cosZ.POCi=~~~

???直線AC與直線PO所成角的余弦值為：|cosNPOG|=*

2025年高考模擬試題分類匯編

一、單選題

1.(2025.河南.二模)棱長均為2的正三棱柱ABC-的各人頂點都在球。的球面上，則球。的體積為

()

A14團兀D23后兀「7近兀八28歷冗

27542427

【答案】D

【分析】設VA4c的外接圓的半徑為「，正三棱柱的外接球的半徑為R,根據正弦定理和球的截面的性質,

分別求得「和R的值，結合球的體積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，因為正三棱柱ABC-A8c的底面是邊長為2的等邊三角形，

設VABC的外接圓的半徑為「，正三棱柱的外接球的半徑為R,

可得“%=?薪=孚貝"="府+。。：=/+償)=&

所以正三棱柱A8C-AMG外接球。的體積為v=g兀="爭.

故選：D

G

。2?

小IB

Q

一01

2J2025?河南?三模）如圖，下列正方體中，M,N,P,。分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直

【答案】D

【分析】由已知，結合正方體的結構特征及平行公理推、情感教練的判定定理逐項分析判斷.

【詳解】對于A,如圖，PQ//CD//AB//MN,M,N,P,Q四點共面，A不是；

對于B,如圖，MP//GH//EF//NQ,M,N,P,Q四點共面，B不是;

對于C,如圖，MP//KL//NQfM,N,P,Q四點共面，C不是;

對于D,如圖，PQe平面MPQ,Ne平面MPQ,Mw平面MPQ,M任直線P。,

則MN與P。是異面直線，D是.

故選：D

3.（2025?湖南?一模）亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是園林風景的重

要點綴.重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐以及一個圓臺（圖2）的組合

體.已知某重檐涼亭的圓臺部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺部分的側面積為（）

A3mB

0.6m4.6iii-

DC

圖1圖2圖3

A.3.6?nn2B.3.87rm?C.4.27im2D.5.47nn2

【答案】B

【分析】先求出仞=3C=1,利用圓臺側面積公式進行求解.

【詳解】圓臺的上底圓直徑為3,上底圓直徑為4.6,高為0.6,

過點A8作AEACD,B1CDt垂足分別為瓦尸，

4.6-3

故DE=CF==0.8,故AQ="C=+謂=1，

2

A3B

D0.8E3FC

故該圓臺部分的側面積為6+46力1=3.8皿？.

2

故選：B

4.（2025?山東?三模）設。、萬為兩個平面，相、〃為兩條直線，且a戶=〃?.下述四個命題：

①若""/〃，則〃〃a或〃HP

②若〃?_!_〃，則〃_L&或

③若〃且〃//夕，則〃？//〃

④若〃與a,力所成的角相等,則加_L〃

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.?@?

【答案】A

【分析】根據線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據線面平行的性質即可判斷③.

【詳解】對①，當〃ua,因為mu。，則〃//,

當〃u〃，因為“〃/〃，mua,則〃//a,

當"既不在a也不在夕內，因為而/〃，mua/nuR，則〃//a且〃//〃，故①正確；

對②，若"1_L〃，〃ua,。與夕不垂直，貝lj〃與夕不垂直，

若m上，7,nu。,a與夕不垂直，貝IJ〃與a不垂直，故②錯誤；

對③，過直線〃分別作兩平面與Q，P分別相交于直線s和直線，，

因為〃〃a,過直線〃的平面與平面a的交線為直線L

則根據線面平行的性質定理知〃/卜，

同理可得〃/〃，則”〃，因為sa平面夕，，u平面夕，貝ijs//平面夕，

因為SU平面a,ar\p=mt則”/〃z,又因為〃/",則〃?〃〃，故③正確；

對④，若ac/=m,〃與a和夕所成的角相等，如果〃/a〃//,貝！］〃?〃〃，故④錯誤；

綜上只有①③正確.

故選：A.

5.（2025?湖南?三模）已知圓錐的母線長為26，其外接球體積為等，則該圓錐的表面積為（）

A.3nB.6nC.9兀D.I2n

【答案】C

【分析】由外接球的體積公式可得其半徑，然后作出圓錐及其外接球的軸截面，由勾股定理列出方程，代

入計算，即可得到底面圓的半徑，再由圓錐的表面積公式代入干算，即可得到結果.

【詳解】

圓錐及其外接球的軸截面如圖，

該其外接球的半徑為R,則外接球體積為半=3兀2，則R=2,

即陷=|明=2,

設圓錐的高為圓錐的底面圓半徑為四。|=「，則八/=僅@\

由（力一"+產=尸，解得"=3,r=6，

則此圓錐的表面積為冗，+7T”=3兀+7txGx2G=9兀.

故選:C

6.（2025?湖北?三模）如圖，如圖1的“方斗”古時候常作為一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一個上

大下小的正四楂臺，AB=10fA4=2,現往該方斗杯里加水，當水的高度是方斗杯高度的g時，水的體

4

積為84,則該方斗杯可盛水的總體枳為（）

D.496

【答案】B

【分析】根據已知條件結合臺體體積公式計算求解即可.

【詳解】設水面與棱臺的四條側棱分別相交于42，用，6，。2，

過4作交A8于點E,交于點殳,如下圖所示:

易知四邊形44心8為等腰梯形，則四邊形4蜴8￡為平行四邊形,

因為水面的高度是方斗杯高度的：，則旦區=8E=A耳=2.

4

33

/VE2=^AE=^X（10-2）=6,因此人4=8,

設棱臺A4GD-ABC。的高為％設體積為匕

則棱臺44GA與的高為設體積為匕，

—AGA4

124.

所以上=上=必，由題意，匕=84，

V,21/z63

則該方斗杯可盛水的總體積為V=f194x84=4哼96.

633

故選：B.

7.（2025?河北?三模）如圖，在棱長為2的正方體48CO-A8GA中，E、尸分別為44、8c的中點，則

過點E、F、4的平面。與側面BCC由的交線長為（）

B

A,半-?C-TD.及

【答案】A

【分析】設平面a分別交棱C。、B用于點M、N,利用面面平行的性質得出2E//FM、EN!/D{M,結合

等角定理得出=NDD\M=NB\NE,進而可求得CM、DM、"N、8N的長，再利用勾

股定理可求出N"的長，即為所求.

【詳解】設平面a分別交棱C。、BBi于點M、N,如下圖所示:

因為平面A8C。〃平面A4GR,平面石尸已平面A8CO=EW,

平面EFAD平面A與GQ="￡,所以〃/，M,

又因為ADJ/BC,由等角定理及圖形可知NAAE=/CFM,

A￡_CM\_

貝1]tanZ4,￡>[￡1=tan/CFM,即故CM=>CF=',

~\D~~CF222

13

做DM=CD-CM=2——=-,

22

因為平面4A耳8〃平面CGQ。，平面EFDJ平面A448=EN,

平面"TJ平面CGRD=QM,所以ENHD\M,

又因為BBJ/DD、,由等角定理及圖形可得ZDD.M=/B、NE,

所以tan/DRM=tanNB|NE,即也=鴕=2=3，所以用汽=±四月=2,

DD、一萬7一萬一,33

所以8N=4B1-qN=2-g=g,故NIBM+BF?=后-I?=平.

因此，平面夕與側面8CCM的交線長為兇尸=姮.

3

故選：A.

8.：2025?湖北?三模）在正三棱臺ABC-OE”中，RQ分別為棱八氏BC的中點，AB=2DE,四邊形PQF。為

正方形，則4c與平面ACF。所成角的正弦值為（）

A石B.國c.4D.1

336

【答案】B

【分析】延長AO,B￡,C『交于點G,,根據正棱臺可判斷三棱錐G-A8C為正三棱錐，根據棱長進而判斷為

正四面體，由正四面體的性質即可結合長度以及線面角的定義求解.

【詳解】由題意可知，延長4。,BE,b必交于一點G,

由DE=-AB,DE//AB可知，D,E分別是GAGB的中點,

又點P為線段AB的中點，所以DP〃GB、DP=；GB,

因P，。分別為棱A及8c的中點，則PQ//AC,PQ=^ACt

又四邊形八2五。為正方形，所以OP=PQ,所以AC=G8,

由于三棱錐G-A8C為正三棱錐，因此三棱錐G-A8c為正四面體，

因此直線8C與平面AC&）所成的角即為直線GC與平面A8C所成角，

取VAAC的中心為。，連接GO,OC,則GO_L平面ABC,

所以NGCO為直線GC與平面ABC所成角，

設正四面體G-ABC的棱長為。,

在VABC中，CO=-CP="a』,GO=yjGC2-OC2=與丫二旦,

3323丫13J3

在△GOC中，sinZGCO=—=—,

GC3

故直線3c與平面AC"）所成角的正弦值為旦.

3

故選：B

二、多選題

9.（2025?河南?二模）在正方體八BCD-AMGR中，E、尸分別為線段AR、AB的中點，則（）

A.EF與BC異面B.砂〃平面C"C

C.EFA.ACD.BQ/平面EFC\

【答案】AC

【分析】利用異面直線的定義可判斷A選項；建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷BCD選項.

【詳解】以點。為坐標原點，DA.DC.3R所在直線分別為工、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標系，

不妨設正方體的棱長為2,則A（2,0,0）、8（220）、C（0,2,0）.0（0.0,0）、

磯1,0,2）、F（2』,0）、G（。，2,2）,

對于A選項，EF、6c既不平行，也不相交，故E尸與4c異面，A對；

對于B選項，EF=（IJ,-2）,易知平面8RG的一個法向量為〃?=（1,0,0）,

貝!）￡7工〃?=1/0，故E/7與平面不平行，R錯：

對于C選項，4C=（-2,2,0）,所以，EFMC=-2+2=0,故斯_L4C,C對；

對于D選項，。8=（2,2,0）,所以，EFDB=2+2=4,所以，EF、8。不垂直，

故8。與平面EFG不垂直，D錯.

故選：AC.

10.（2025?河北?三模）如圖，該幾何體是高相等的正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體，若該幾何體底面邊

長和上面正四棱錐的側棱長均為10cm,則下列選項中正確的是（）

A.正四棱錐的高為50cm

B.該幾何體的表面積為（100后+200及卜0?

C.該幾何體的體積為出述cn?

3

D.一只小螞蟻從點E爬行到點S,它所經過的最短路程為,/150+50的。

【答案】ACD

【分析】求出四棱錐的高判斷A；求出表面積判斷B；求出體積判斷C；將長方形耳7%及正ASW置于同

一平面，求出SE判斷D.

【詳解】對于A,正四棱錐S-AB8底面半徑QA=5及，高SOnJS/V-OA?=50，故A正確；

對于B,幾何體的表面積為102+40x5拒+4x立xIO?=ioo+200直+100辰n?,故B錯誤；

4

對于C,該幾何體的體積為10晨5及+1x102x5夜=迎遞53,故C正確；

33

對于D,觀察圖形知，小螞蟻從點E爬行到點S的最短路徑為沿表面越過棱A8或40,

由對稱性，不妨取長方形￡7詛4及正△SA4,將它們置于同一平面內，連接SE,如圖，

取E/7中點M,連接SW,貝！15汕=56+5&,而EM=5,

所以最短路程為SE=jEM2+SM2=檸+（5&+5百Y=Ji50+506cm，故D正確.

故選：ACD

II.（2025?河北?一模）已知在正三棱柱ABC-A4G中，E為棱BB1的中點，尸為棱A片的中點，則（）

A.4七〃平面歹

B.若人8=/M,,則A￡_L4G

C.若A8=2A4,,則直線AE與直線C7所成角的余弦值為持

D.若/W=4A，則平面與平面ABC的夾角為30。

【答案】ABD

【分析】利用線面平行的判定推理判斷A；利用空間位置的向量證明判斷B；利用幾何法求出異面直線夾

角余弦判斷C；求出二面角大小判斷D.

【詳解】對于A,依題意，""BE，AF=BE,則四邊形4輅尸為平行四邊形，AE/IBF,

而平面。產尸，BFu平面CBF,因此AE"平面。產尸，A正確；

對于B,AB=AAtfA,E=AtB,+BlE=AB-^AAt,AC,=AC+AAl,

-1-—??.I-2I-2I-2

A.EAC,=（AB一一AA,）（AC+AA）=ABAC一一A4=-AB一一A4,=0,貝lJA￡J_AC，B正確；

22（22

對于C,由選項A知，/B/G是直線八￡與直線GF所成的角或其補角，令人4=2,

__________[7+17—207

則BF=CF=m+12=后,/。|="42+2?=2后,cosNBFCI=2乂后:后=方,C錯誤;

對于D,取CG的中點。，連接DE,DF,貝是正三棱柱ABC-ABC的中截面，

平面力￡F//平面ABC,平面G"'與平面A3C的夾角等于平面。】￡尸與平面DEF的夾角，

取EF的中點0,連接G。,。。，由GF=西D?+DF?=+DE?=C1E,

得CQ工EF,又DO_LEF,則/C。。是平面C￡尸與平面。石廠的夾角，

rn—A8A

在RtGOO中，（2口/。00=木=?一=},ZC,OD=30%D正確.

D°包AB3

2

12.（2025?江蘇?三模）如圖，在棱長為2的正方體48CO-A8GR中，E為A3的中點，尸為側面8CG片

A.使三棱錐尸-人。盧體積取得最大值的點”唯一

B.存在點尸，使得直線C￡與的夾角為J

4

C.4尸時，點歹的軌跡是線段

D.平面A。/時.，點”的軌跡長為名叵

3

【答案】BCD

【分析謝于A,求證/C1平面A13C}D}并結合正方體結構性質即可判斷;對于B,由直線EC.與平面BCC^

所成的角和/EC。〉：即可判斷;對于3由結合RE_L平面AG"即可判斷;對于D,

由向量法求證RE//平面AGX即可求解判斷D.

【詳解】對于A,連接AR,8G，￡C,由正方體結構性質可知勺。，8品人8_1平面88圈，

因為8°u平面8CG4,所以4B_L8C，

又A8I8G=B,A8,8Gu平面A8G。，所以gC_L平面A8CQ,

又由正方體結構性質可知側面BCC冏內(含邊界)點優和點C兩點到平面4NGQ的距離最大且相等.

所以使三棱錐"-ARE體積取得最大值的點F有兩個點，故A錯誤；

對于B,由正方體結構性質可知人41平面8CC4,

所以/反”是直線EG與平面BCC園所成的角，

由題意可得==,2x22=2&,此時tanNEG8=^=￥vl,則

由正方形性質可知在平面BCC罔上點片和點C與直線BG距離最大，

ffDtanZECC=—=—>1,故/EC。〉色,

C]C24

所以存在點尸，使得直線CL與GE的夾角為9,故B正確；

4

對于C,分別取8.8c中點G,”，連接AG,G〃,4”,

以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系。-邛z,則A(2Q0),〃(120),G(221)，A(0,Q2)^(2J0),

則4G=(0,2」),G〃=(T0,T)，AE=(2,l,—2),

則4G*=0+2-2=0,G〃AE=-2+()+2=0,

則AG上QE,GH_LRE即AG1D、E,GH±D,￡,又AGcGH=G、AG,GHu平面AGH,

所以RE_L平面4G”,則若RE!■A廣，則點尸的軌跡是線段G4,故C正確；

對于D,取SB1三等分點X且2BX=XB1,連接AXCX,

則X(2,2,￡|,又G(0,2,2)，A(2Q2),則A,X=(0,2,—=(2,0,一：

mlA^X

設平面AGX的一個法向量為〃z=（x,y,z）,則

m_LGX

4

ni-AiX=2y—z=0

所以:，取z=3,貝！j〃?=(2,2,3),

m-C)X=2x--z=0

貝!]"rAEnZxZ+lxZ—ZxBnO,且RE不在平面AGX,所以"E//平面AgX,

若。平面AC/,則點尸的軌跡為線段ex,

此時點F的軌跡長度為qx=[J+22=季,故D正確；

故選：BCD

13.（2025?江蘇?三模）已知四棱錐尸一ABCD中，PC_L平面A8CDA。JLCDAC=4,四棱錐尸一488的

外接球的球心為。.記四棱錐p-488。-4以力的體積分別為％匕，三棱錐夕-A8C的體積分

別為匕，匕，則下列說法中正確的有（）

A.ABLBP

B.匕=2%

C.匕二2匕

D.若二面角P-A4-C的平面角大小為45°，則%的最大值為處亙

27

【答案】ABD

【分析】利用線面垂直的性質判定推理判斷A；利用錐體的體積推理判斷BC;利用二面角的意義，列出錐

體的體積關系，再利用基本不等式求出最大值判斷D.

【詳解】對于A,由四棱錐夕-/WC。有外接球，得四邊形ABC。有外接圓，由人。_LCO,

得AB上BC,由PC_L平面ABC。，ABu平面ABC。，得PCLAB,而PCc8C=C,

PC,BCu平面PAC,則/W1平面PBC,又PBu平面PBC,因此/W1BP,A正確；

對于B,由PC_L平面A8CO,得球心。到平面A8CO的距離等于gPC,因此匕=2匕，B正確；

對于C,均在以線段AC為直徑的圓上，但。ACR.AC"面積無任何關系，

不能確定乂=2匕，C錯誤；

對于D,由AB_LBP.A8J.BC,得NP3c是二面角夕一A4—C的平面角，即NPBC=45，

222

則令PC=8C=a,AB=yJ16-a>AHCPC=^-a\J\6-a

36

I/22/”r2\,I|~/+/+（32-24）]|]28&64&

二運心…--------—^二運wr:亍，

當且僅當八32-元即U半時取等號，因此匕的最大值為等，D正確.

14.(2025?山東?三模)在四棱錐。-648中，底面4?。。是邊長為1的正方形，“AJ"平面ABC，且/%=1,

點E,F,G分別為棱八區4),尸C的中點，則()

A.AGYPD

B.異面直線叩和AC所成的角為F

C.平面EFG與平面ABCD所成角的正弦值為如

3

D.過點E,F,G的平面截四棱錐P-人BC力所得的截面圖形為五邊形

【答案】ACD

【分析】以點A為原點，A及4O，AP所在直線分別為x,y,z軸，建立平面直角坐標系，利用空間向量的系列

公式計算即可判斷A,B,C；對于D,作出截面即得.

如圖，因E"L平面力"CD,底面A8CD是邊長為1的正方形，

故可以點A為原點，A及AD,AP所在直線分別為x,)，,z軸，建立空間直角坐標系.

對于A,A(0,0,0),C(l,1,0),P(0,0,1),B(l,0,0),D(0,1,0),

222

lI

-

則AG(2-2,-),PD=(OJ,-l),因AGPO=-------=0,

222

則AG_LPO,即A正確;

對于曲因點尸是A。的中點，故尸嗎,。）,且G（生，

一II—

則口=（展。十ACM』,。）,設陽和AC所成的角為巴

\FGAC\

貝ljcos0=|cos(FG,AC)|=

\FG\-\AC\

因aw。合,故0=方，故B錯誤；

對于C,由于Q4_L平面ABC。，平面4BCO的法向量可取為〃!=（0,0,1）,

點E為棱A8的中點，則嗎,。,。3——3g*）。

n?EF=077

設平面EFG法向量為〃=（x,y,z）,則,則，解得〃=—

n-FG=0—x+—z=0

122

設直線EPG與平面A3CO所成角為a,則則

WH〃IlxV33

sina=71-cos2a=Jl-|cosa『=母,故C正確；

對于D,如圖，延長FE與直線CB交于點N,延長E/與直線CO交于點J,

連接NG與PB交于點H,連接GJ與刊）交于點K,連接HE,KF,

則平面EFG截四棱錐P-ABCD的截面為五邊形HEFKG.即D正確.

故選：ACD.

三、填空題

15.（2025?河南?三模）如圖，在直三棱柱A8C-A8|G中，AABC是正三角形，。為AC的中點，點E在棱

CG上，且CE=2EC\,若鉆=2,胴=3,則點A到平面8QE的距離為.

ACi

B

【答案】石

IAB-HI

【分析】建立適當的空間直角坐標系，求出4氏〃，其中〃是平面8。石的法向量，結合公式匕—即可運

同

算求解.

【詳解】如圖，取A8.A6的中點RG,因為M_L平面A8C,/8,FCu平面A8C,

所以例_LF8,/U,J.R7,

因為三角形ABC是等邊三角形，點F是人8中點，所以

所以".FCFG兩兩互相垂直，以點尸為坐標原點，"，尸C8所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐

標系，

因為CE=2EG，AH=2t=3,。為AC的中點，

所以8（1,0,0）,A（—1,0,0）,C（0,60）,0-;當，。，網0,6,2）,A（-1,。,3）,

所以AB=（2,Q-3）.OB=看-當，。,所=（1,-75,-2）,

XZ

設平面BDE的法向量為〃=（x,Nz）,

頜-3V3.

所以，22,令x=l,解得y="z=-l,

EB-h=x-Gy-2z=0

所以可取〃=（l，6l）,

點4到平面BDE的距離為空4=2+3=亞.

\n\J1+3+1

故答案為：&

16.（2025?安徽?三模）三棱錐P-A8C中，PA=PB,CP=4,BA=BC=2,乙48。二條則三棱錐P-ABC

的體積的最大值為.

【答案】2

【分析】根據幾何體的外界球的解法，判斷當點。在三棱錐尸-ABC的外接球的頂端，且PO_L平面A8C,

此時三棱錐P-A3C的體積的最大，求解即可.

【詳解】

由余弦定理得：AC2=4+4