二元一次方程組的應用（第3課時 借助線段圖表示等量關系）導學案-北師大版八年級數學上冊

5.3二元一次方程組的應用導學案

第3課時借助線段圖表示等量關系

01學習目標

i.理解二元一次方程組解決實際問題的基本思路，能從行程問題、幾何拼接問題中找出等量關系。

2.學會借助線段圖、表格等工具梳理數量關系，能準確列出二元一次方程組并求解.

學習重點：借助線段圖梳理復雜問題中的等量關系；列二元一次方程組解決行程問題和幾何拼接問題.

學習難點：準確分析火車過隧道等復雜行程問題中的等量關系，掌握線段圖的繪制與應用技巧.

學習過程

第一環節自主學習

新知自研：自研課本P123-P125頁的內容，思考：

【學法指導】

溫故知新

思考：學習一元一次方程時，我們用什么方法分析《追趕小明》中的行程問題？

畫線段圖的方法來分析

情境導入

下圖中8塊小長方形墻磚拼成大長方形的圖片，思考：大長方形的長和寬與小長方形的長和寬有什么關系？

能否用二元一次方程組解決這個問題？線段圖還能發揮作用嗎？

?探究一：用一元一次方程組解決圖表問題

上圖中的墻磚問題如何解決呢：

?1.這個問題涉及哪些量？

大長方形的長和寬，小長方形的長和寬

?2.本題涉及的等量關系是什么？

2X大長方形的長=3X小大長方形的寬+小長方形的長

大長方形的寬二小長方形的長+小長方形的寬

?3.你能列方程組解決這個問題嗎？

【解答】設小長方形墻磚的長是KC”?，寬是)，。小，

根據題意，得｛二蕭

解方程組，得上::

答：小長方形墻磚的長是30cm,寬是10c/??.

【例題導析】

自研下面典例的內容，回答問題:

典例分析

例1(火車過隧道問題)：

火車以40m/s的速度經過一個隧道，從車頭進入隧道到車尾駛出隧道，共用時30s,其中火車全身都在隧道

里的時間是20s,求隧道和火車的長度.

【分析】可以通過畫圖來說明火車行駛的路程與隧道的長度、火車的長度之間的數量關系.

【解答】解：設隧道的長度為xm,火車的長度為y機

借線段圖可以很直觀的表示數量之間的等量關系.

根據題意，匕:蟆］

解得:沈罌

，隧道和火車的長度分別是1000m和2()()ni.

例2由甲地到乙地的公路全程為200km,其中一段為高速公路，其余路段均為普通公路.已知汽車在普通公

路和高速公路上的行駛速度分別是60km/h和100km/h,從甲地到乙地用時3h,汽車在普通公路和高速公

路上分別行駛了多少千米？

【分析】設汽車在普通公路和高速公路上行駛的時間分別為X，?和'/?,完成下表.

路段速度/(km/h)時間/h路程/km

普通公路60X60x

高速公路100y100y

【解答】設汽車在普通公路和高速公路上行駛的時間分別為X"和

根據題意，得^6ox+100y=200

解方程組，得忱忠

普通公路行程：2.5-6。=150km.

高速公路行程：200—150=50km.

答：汽車在普通公路和高速公路上分別行駛了150km和50km..

例3小明騎自行車去某景區，出發時，他先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到達景

區，共用了1.5h;返回時，他先以12km/h的速度下坡，而后以9Km/h的速度走過平路，回到原出發點，共

用了55min,求從出發點到景區的路程.

［分析］等量關系：走分路的時間+走上坡路的時間;L5h：

走下坡路的時間+走平路的時間=^h.

【解答】解：設平路為xkm,坡路為ykm.

^_3

JJ］）

19*12-60

解得:

從出發點到景區的路程.為：x+y*+3=9（景）,

答：從出發點到景區的路程是駟.

?總結歸納：

列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是什么？

（1）［審］審題明確題中涉及的量，找到等量關系;

（2）［設］用字母表示題目中的西上未知量在（人、y）；

（3）I列1根據兩個等量關系分別列出兩個方程并組成方程組;

（4）［解］解方程組，求出未知數的值;

（5）［驗1根據應用題的實際意義,檢查求得的結果是否合理;

（6）［答］寫出符合題意的答案并做答.

第二環節合作探究

小組群學

在〃加長n儺頰F：

A.探討如何利用畫線段圖解決行程問題；

B.交流例題的解題思路和易錯點.

C.相互檢查導學內容的完成書寫情況并給出等級評定.

餌鞏固練習

1.如圖，王英家客廳的電視背景墻是由8塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成，已知電視背景墻的長度為2.4m,

則每一塊長方形墻磚的面積為（A）

2

A.0.36m2B.().9m2C.0.4inD.2.4n12

2.已知某一鐵路橋長l（）00m,現有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用60s,整列火

車完全在橋上的時間為40s,則火車長度為200m.速度為20m/s

1000m?

火車走過的路程1

_______1000m__________

一火車走過的路j

解：設火車長xm,速度為ym/s.

「―C60y=1000+x,

由題意得:

、40y=1000-xo

3.卬、乙兩人從相距36km的兩地相向而行。如果甲先走2h,那么他們在乙出發2.5h時相遇；如果乙先走

2h,那么他們在甲出發3h時相遇。甲、乙兩人的速度各是多少？

設甲、乙兩人的速度分別是xkm/h和ykm/h,填寫下表并求x,y的值。

解析：設甲、乙兩人的速度分別是xkm/h和ykm/h,

(2+2.5)x+2.5y=36,

根據題意，得

.3x+(24-3)y=36o

6

解方程組，得（；；36O

所以，甲的速度為6knVh,乙的速度為3.6km/h.

4.如圖，A,B兩地由公路和鐵路相連.在這條路上有一家食品廠，它到B地的路程是到A地路程的2倍.現

在該食品廠從A地收購一批食材運回食品廠，全部加工成食品(制作過程中有損耗)運到B地銷售，兩次

運輸(第一次：A地一食品廠，第二次：食品廠一B地)共支出公路運費15600元，鐵路運費20600元.已

知公路運費為1.5元/(t.km),鐵路運費為1元/(t.km).

Ao-----?.....食品廠.................?---------?B

公路20km鐵路100km公路30km

(1)這家食品廠到A,B兩地的路程分別是多少千米？

解：設這家食品廠到A地的路程是xkm,到B地的路程是ykm.

根據題意，得『+丫=：°_"。。+30,解得,；:5索

答：這家食品廠到A地的路程是50km,到B地的路程是100km.

(2)若這家食品廠此次收購的食材每噸花費5000元，要想該批食品銷售完后.工廠共獲利863800元,

則這批食品每噸的售價應為多少元？(利潤;總售價-總成本-總運費)

解：食品廠到A地的鐵路路程為50-20=30(km),到B地的鐵路路程為100-30=7()(km).設這家食品廠

此次收購食材ml,銷售食品nl.

根包據4c題時立意，得zaf|l.15xx((3200mm++73。0/n)=20165。6。00解&?七方短程編組,用組優y二=222。00

這批食品每噸的售價應為(863800-15600+20600+220X5000)4-200=10000(元)

答：這批食品每噸的售價應為10000元.

04提升專練

題型一幾何圖形問題

I.在長為10如寬為8機的矩形空地上，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等的小矩形花圃，其示意

圖如圖所示.則花畫的面積為()

A.16B.8C.32D.24

【分析】設每個小矩形花畫的長為*小寬為），〃?，觀察圖形，根據矩形空地的長和寬，即可得出關于X,y

的二元一次方程組，解之即可得出每個矩形小花畫的長和寬，再將其代入3科中即可求出花圃的面積.

【解答】解：設每個小矩形花圃的長為工加，寬為

依題意得：焦彳黑°，

解得:g：2-

???3盯=3X4X2=24.

故選：D.

【點評】本題考查了二元?次方程組的應用以及生活中的平移現象，找準等量關系，正確列出二元?次方

程組是解題的關鍵.

2.如圖，利用兩個外形一致的長方形木塊測量一張桌子的高度，

首先按圖①方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②方式放置，測量的數據如圖，則桌子的高度是（）

①②

A.81cmB.83c〃zC.85cmD.87c/zz

【分析】設桌子的高度為xcm，長方形木塊的長比寬長聲辦根據圖中的數據，可得出關于X，），的二元一

次方程組，解之即可得出結論.

【解答】解：設桌子的高度為X57,長方形木塊的長比寬長興”，

根據題意得:察二黑,

解得：「誓，

???桌子的高度是85cm.

故選：C.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

3.（2024?永春縣校級開學）如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長方形紙片拼成一個寬是60厘米的大長

方形，則每個小長方形的周長是.

【分析】設小長方形紙片的長為x厘米，寬為），厘米，由大長方形的寬為6（）厘米，即可得出關于X、），的

二元一次方程組，解之即可得出結論.

【解答】解：設小長方形紙片II勺長為x厘米，寬為＞厘米，

根據題意得:

解得：

則每個小長方形的周長=2（x+），）=120（厘米），

故答案為：120厘米.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

4.小東在拼圖時，發現8個一樣大小的長方形，恰好"J以拼成一個大的長方形如圖1所小.小林看見了

說：“我也來試一試.”結果小林七拼八湊，拼成了如圖2那樣的正方形，中間還留下了一個恰好是邊

長為的小正方形，求小長方形的面積.

【分析】設小長方形的寬為長為根據圖I中大長方形的長、圖2中大正方形的邊長的不同表

示方法得出方程組，解方程組求出小長方形的寬和長即可解決問題.

【解答】解：設小長方形的寬為長為yc/w,

則圖1中大長方形的長可以表示為5xc機或3），57,圖2中大正方形的邊長可以表示為（2"?，）刖或（2y+3）

5x=3y

那么可得出方程組為:

2x+y=2y4-3

x=9

y=i5'

則小長方形的面積為：9X15=135（必），

答：小長方形的面積為135cM

【點評】本題主要考查二元一次方程組的應用，觀察圖形得出等量關系，列出方程組是解題的關鍵.

5.如圖所示的甲、乙、丙三種長方形木板可以用來制作無蓋長方體木箱，其中甲木板鋸成兩塊剛好能做

箱底和一個長側面，乙木板鋸成三塊剛好能做箱底和兩個短側面，丙木板鋸成兩塊剛好能做一個長側面和

一個短側面.設甲木板有％塊，乙木板有y塊.

短

短

側

側

箱

底

面

面長側面:短側面

I

長方體木箱甲木板乙木板丙木板

已知丙木板有12塊.

（1）根據題意填寫下表：

木板種類長側面短側面箱底

用—/X

乙/—y

百1212/

合計——x+y

（2）將三種木板鋸成的木塊全部用于制作無蓋長方體木箱,材料恰好無剩余，求％,y的值.

【答案】（D①見解析；②號:

⑵能做45個或48個或51個長方體木箱

【分析】（1）通過分析三種木板制作木箱各部分（長側面、短測面、箱底）的數量關系，完成表格填

寫；（2）根據長側面、短側面數量關系列方程組，求解工、y.

【解答】（1）解：

木板種類長側面短側面箱底

甲X/X

乙/2yy

丙1212/

合計12+x12+2yx+y

12+x=124-2y,

12+x=2(x+y).

?<=3

【點評】本題主要考查二元一次方程組的應用，觀察圖形得出等量關系，列出方程組是解題的關鍵.

題型二行程問題

6.從甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人騎自行車下坡速度是20km/h,平路的速度是

15km/h,上坡速度是8km/h,從甲地到達乙地時共用了55min,從乙地回到甲地時共用了1.5h,求甲、乙

兩地相距多少千米？

【答案】甲、乙兩地相距等千米.

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關

鍵.

設從甲地到乙地的坡路長為Xkm,平路長為）,km,利用時間=路程+速度，結合往返兩地所需時間，可列

出關于4,），的二元一次方程組，解之可得出x,），的值，再將其代入（x+y）中，即可求出結論.

【解答】解：設從甲地到乙地的坡路長為xkm,平路長為），km

（二+上=至

根據題意得：？-60,

1-^+-=1.5

'158

X——70

解得：<3

7095565.、

,?"+y=@+適F<2

答：甲、乙兩地相距篝千米.

7.一位俄羅斯外國朋友計劃來中國旅行，體驗中華優秀傳統文化，感悟非遺魅力.他計劃搭乘飛機前往

中國.已知這趟國際飛機往返于A,B兩城，順風匕行需要2小時20分鐘，逆風飛行需要2小時40分

鐘，當天天氣狀況一般，風速為每小時42千米.試求A,B兩城之間的距離.

【答案】1568千米

【分析】本題考查二元一次方程組的應用，設兩城之間的距離為入一千米，飛機的飛行速度為）:千米/小時,

根據路程、時間、飛行速度、風速的關系列二元一次方程組，解方程組即可.

【解答】解：2小時40分鐘=2初時，2小時20分鐘=2沙時，

設兩城之間的距離為x千米，無風時飛機的飛行速度為y千米/小時，

y—42

y+42

儼=1568

解何(y=630-

故A,8兩城之間的距離為1568千米.

8.甲、乙兩人從同一地點出發，同向而行，甲乘車，乙騎自行車.如果乙先走lh,那么甲用40min就能追

上乙；如果乙先走10km,那么甲只用20min就能追上乙.求甲、乙兩人的速度.

【答案】甲的速度是50km/h,乙的速度是的km/h.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設甲的速度為xkm/h,乙的速度為ykm/h,根據乙先走lh,

甲用40mm就能追上乙，列出方程|x=(l+g)y；根據乙先走10km,甲只用20min就能追上乙，可以列出

方程］工=10+9乂聯立方程組求解即可.

【解答】解：設甲的速度為xkm/h,乙的速度為ykm/h,

根據題意，得iY,

\JO

解需=20?

答：甲的速度為度km/h,乙的速度為20km/h.

9.為做好賽事保障工作，甲、乙兩輛賽事保障車對一條坡道進行巡邏檢查，上、下坡時全程勻速.已知

甲車從坡底行駛到坡頂用時3分鐘，從坡頂行駛到坡底用時2分鐘，甲車下坡比上坡每分鐘多行駛300

米，若兩車上坡、下坡的速度分別相同.

(1)求坡道的長度；

(2)若甲車在坡頂，乙車在坡底，甲、乙兩車同時出發相向而行：經過多久兩車相距30()米？

【答案】(1)坡道的長度為1800米

⑵經過1分鐘或1.4分鐘后兩車相距300米

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用——上下坡問題.熟練掌握路程與速度和時間的關系列方程，

是解題的關鍵.

(1)設上坡時的速度為工米/分鐘，坡道長度為y米,則下坡時的速度為(％+300)米/分鐘.根據從坡底

行駛到坡頂用時3分鐘，從坡頂行駛到坡底用時2分鐘，列二元一次方程組解答；

(2)利用第(1)問求出的速度，設經過C分鐘后兩車相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程

解答.

【解答】(1)解：設上坡時的速度為工米/分鐘，坡道長度為y米，則下坡時的速度為(％+300)米/分

鐘.

根據題意，得鼠誓弒一，解得二黑i.

答：坡道的長度為1800米.

(2)解：由(1)可知甲、乙兩左上坡的速度為600米/分鐘，下坡的速度為600+300=900(米/分

鐘).

設經過t分鐘后兩車相距300米，

①相遇之前：600C+900C=1800-300,解得￡=1；

②相遇之后：600C+900C=1800+300,解得t=1.4.

答：經過1分鐘或1.4分鐘后兩車相距300米.

10.某快遞公司為應對“618”購物節，根據網站預售情況，提前安排了分揀員，如果1名熟練分揀員和2

名新手分揀員一天能分揀80件包裹；2名熟練分揀員和3名新手分揀員一天能分揀140件包裹.

(1)每名熟練分揀員和新手分揀員每天分別可以分揀多少件包裹？

(2)如果該公司為了按時完成配送任務，快遞車按原速度行駛，剛好能在5小時內送完所有包裹；若將速度

提高15千米/小時，行駛3小時后，還剩85千米的路程未完成配送.求快遞車的總配送路程是多少千米？

【答案】(1)每名熟練分揀員每天可以分揀40件包裹，新手分揀員每天可以分揀20件包裹

⑵快遞車的總配送路程是325千米

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意列出方程組是解題的關鍵；

(1)設每名熟練分揀員每天可以分揀。件包裹，新手分揀員每天可以分揀b件包裹，根據題意列出方程

組，解方程組即可求解；

(2)設快遞車原速度為v千米/小時，總路程為S千米，根據題意列出方程組，解方程組即可求解.

【解答】(1)解：設每名熟練分揀員每天可以分揀。件包裹，新手分揀員每天可以分揀b件包裹，根據題

意得，

fa+2b=80

(2Q+3b=140

答：每名熟練分揀員每天可以分揀40件包裹，新手分揀員每天可以分揀20件包裹；

(2)解：設快遞車原速度為v千米/小時，總路程為S千米，根據題意得

[S=5v

(S-85=3(v+15)

解得：｛；=黑

答：快遞車的總配送路程是325千米

題型三商品銷售問題

II.某商場按定價銷售某種商品對，每件可獲利45元；按定價的8.5折銷售該商品8件與將定價降低35

元銷售該商品12件所獲利潤用等.該商品的進價、定價分別是()

A.95元，180元B.155元，200元

C.100元，120元D.150元，125元

【分析】設每件商品定價4元，進價y元，由題意表示出銷售8件和銷售12件的利潤，進而列出方程組,

求出方程組的解即可.

【解答】解：設每件商品定價x元，進價)，元，

根據題意得：(8(085x_y)=12x(45-35y

解印得俎:。(x=210505，

即該商品每件進價155元，定價每件200元，

故選：B.

【點評】本題考查了二元一次方程的應用，找出正確等量關系，列出二元一次方程組是解題的關鍵.

12.直播帶貨已經成為年輕人購物的新時尚.某網紅為回饋粉絲，在直播間為某品牌帶貨促銷：凡購買該

品牌產品均享受13%的補貼(憑付款截屏到線上客服處返現).某粉絲購買該品牌電視和空調各?臺共

花去6000元，且該空調的單價比所買電視的單價的2倍還多600元.

(I)該粉絲可以到線上客服處返多少元現金？

(2)該粉絲所買的空調與電視的單價各是多少元？

【分析】(1)利用返的現金=付款金額X13%,即可求出結論；

(2)設該粉絲所買的空調的單價是x元，電視的單價是)，元，根據?“購買該品牌電視和空調各一臺共花去

6C00元，且該空調的單價比所買電視的單價的2倍還多600元”，即可得出關于x,y的二元一次方程組，

解之即可得出結論.

【解答】解：（1）6000XI3%=780（元）.

答：該粉絲可以到線上客服處返780元現金.

（2）設該粉絲所買的空調的單價是x元，電視的單價是y元,

根據題意得:｛3丁=6器，

解得：仁揶

答：該粉絲所買的空調的單價是4200元，電視的單價是1800元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

13.某超市對甲、乙兩種商品進行打折銷售，其中甲種商品打八折，乙種商品打七五折，已知打折前，買

6件甲種商品和3件乙種商品需600兀；打折后，買50件甲種商品和40件乙種商品需5200兀.

（I）打折前甲、乙兩種商品每件分別為多少元？

（2）某人購買甲種商品80件，乙種商品100件，問打折后購買這些商品比不打折可節省多少元？

【分析】（1）設打折前甲種商品每件％元，乙種商品每件y元，根據“打折前，買6件甲種商品和3件乙

種商品需600元；打折后，買50件甲種商品和40件乙種商品需5200元”，即可得出關于x,y的二元一

次方程組，解之即可得出結論；

（2）根據節省的錢數=打折前購買所需費用-打折后購買所需費用，即可求出結論.

【解答】解：（1）設打折前甲種商品每件x元，乙種商品每件），元，

依題意，得：｛柒囂;：柒0.75y=5200,

解得:｛；：no-

答：打折前甲種商品每件40元，乙種商品每件120元.

（2）80X40+100X120-8（）X0.8X40-100X（）.75X120=3640（%）.

答：打折后購買這些商品比不打折可節省3640元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

14.某文具店購進24色與48色兩種型號的馬克筆共50盒，這兩種馬克筆的進價與售價如下表：

型號進價（元/盒）售價（元/盒）

24色2535

48色4565

（1）如果進貨款為1650元，那么24色和48色的馬克筆分別進貨多少盒?

（2）銷售完這批馬克筆共獲利多少元？

【分析】（I）設24色的馬克筆進了x盒，48色的馬克筆進了），盒，根據購進24色與48色兩種型號的

馬克筆共50盒，進貨款為1650元，列出方程組求解即可；

（2）根據每盒的利潤乘銷售量可得結論

【解答】解：（1）設24色的馬克筆進了x盒，48色的馬克筆進了），盒，根據題意得，

產+y=50

125%+45y=1650'

解