2026高中數學10大導數：專題35 雙變量恒成立與能成立問題概述(學生版)

專題35雙變量恒成立與能成立問題概述

【方法總結】

1．最值定位法解雙變量不等式恒成立問題的思路策略

(1)用最值定位法解雙變量不等式恒成立問題是指通過不等式兩端的最值進行定位，轉

化為不等式兩端函數的最值之間的不等式，列出參數所滿足的不等式，從而求解參數的取值

范圍．

(2)有關兩個函數在各自指定范圍內的不等式恒成立問題，這里兩個函數在指定范圍內

的自變量是沒有關聯的，這類不等式的恒成立問題就應該通過最值進行定位．

2．常見的雙變量恒成立能成立問題的類型

(1)對于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)f(x1)min≥g(x2)max．(如圖1)

(2)若存在x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(?x2)f(x1)max≥g(x2)min．(如圖2)

(3)對于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g?(x2)f(x1)min≥g(x2)min．(如圖

3)?

(4)若存在x1∈[a，b]，對任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)f(x1)max≥g(x2)max．(如圖

4)?

(5)若存在x1∈[a，b]，對任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)f(x1)max≥g(x2)max．(如圖

4)?

(6)若存在x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)f(x)的值域與g(x)的值域

的交集非空．(如圖5)?

考點一雙任意與雙存在不等問題

(1)f(x)，g(x)是在閉區間D上的連續函數且x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等價于f(x)min

＞g(x)max．其等價轉化的目標是函數y＝f(x)的任?意一個函數值均大于函數y＝g(x)的任意一

個函數值．如圖⑤．

(2)存在x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等價于f(x)max＞g(x)min．其等價轉化的目標是函數

y＝f(x)的某一個函數值大于函數y＝g(x)的某些函數值．如圖⑥．

【例題選講】

a＋1

[例1]已知函數f(x)＝＋alnx，其中參數a<0．

x

(1)求函數f(x)的單調區間；

22

(2)設函數g(x)＝2xf′(x)－xf(x)－3a(a<0)，存在實數x1，x2∈[1，e]，使得不等式2g(x1)<g(x2)

成立，求a的取值范圍．

1a

[例2]已知函數f(x)＝lnx－mx，g(x)＝x－(a>0)．

2x

(1)求函數f(x)的單調區間；

12

(2)若m＝，對x1，x2∈[2，2e]都有g(x1)≥f(x2)成立，求實數a的取值范圍．

2e2

?

a2

[例3]已知f(x)＝x＋(a＞0)，g(x)＝x＋lnx．

x

(1)若對任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，求實數a的取值范圍；

(2)若存在x1，x2∈[1，e]，使得f(x1)＜g(x2)，求實數a的取值范圍．

a

[例4]設f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3．

x

(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；

1

，2

(2)如果對于任意的s，t∈2，都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．

考點二存在與任意嵌套不等問題

(1)x1∈D1，x2∈D2，使f(x1)＞g(x2)，等價于函數f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2

上的最小?值，即f(?x)min＞g(x)min(這里假設f(x)min，g(x)min存在)．其等價轉化的目標是函數y

＝f(x)的任意一個函數值大于函數y＝g(x)的某一個函數值．如圖⑦．

(2)x1∈D1，x2∈D2，使f(x1)＜g(x2)，等價于函數f(x)在D1上的最大值小于g(x)在D2

上的最大?值，即f(?x)max＜g(x)max．其等價轉化的目標是函數y＝f(x)的任意一個函數值小于函

數y＝g(x)的某一個函數值．如圖⑧．

【例題選講】

e(x2－ax＋a)

[例5]設函數f(x)＝(a∈R)．

ex

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線過點M(2，3)，求a的值；

11

(2)設g(x)＝x＋－，若對任意的n∈[0，2]，存在m∈[0，2]，使得f(m)≥g(n)成立，

x＋13

求a的取值范圍．

a1

[例6]已知函數f(x)＝x－(a＋1)lnx－(a∈R且a<e)，g(x)＝x2＋ex－xex．

x2

(1)當x∈[1，e]時，求f(x)的最小值；

2

(2)當a＜1時，若存在x1∈[e，e]，使得對任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求

a的取值范圍．

考點三雙任意與存在相等問題

(1)x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等價于函數f(x)在D1上的值域A與g(x)在D2上

的值域?B的交集不?是空集，即A∩B≠，如圖⑨．其等價轉化的目標是兩個函數有相等的函

數值．?

圖⑨圖⑩

(2)x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等價于函數f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2上

的值域?B的子集，?即AB，如圖⑩．其等價轉化的目標是函數y＝f(x)的值域都在函數y＝

g(x)的值域之中．?

說明：圖⑨，圖⑩中的條形圖表示函數在相應定義域上的值域在y軸上的投影．

【例題選講】

[例7]已知函數f(x)＝ax－lnx＋x2．

(1)若a＝－1，求函數f(x)的極值；

213

(2)若a＝1，x1∈(1，2)，x2∈(1，2)，使得f(x1)－x1＝mx2－mx2(m≠0)，求實數m的

3

取值范圍．??

[例8]已知函數f(x)＝alnx－x＋2，a∈R．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若對任意的x1∈[1，e]，總存在x2∈[1，e]，使得f(x1)＋f(x2)＝4，求實數a的值．

1

[例9]已知函數f(x)＝lnx－x，g(x)＝mx3－mx(m≠0)．

3

(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若對任意的x1∈(1，2)，總存在x2∈(1，2)，使得f(x1)＝g(x2)，求實數m的取值范圍．

[例10]已知函數f(x)＝(1－x)ex－1．

(1)求f(x)的極值；

－m

2lnx2

(2)設g(x)＝(x－t)＋t，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使方程f(x1)＝

g(x2)成立，求實數m的最小值．

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[例11]已知函數f(x)＝x2－ax3，a＞0，x∈R，g(x)＝．