線性代數拔高試題及詳細作答

線性代數拔高試題及詳細作答考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題（每題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設向量組α?,α?,α?線性無關，向量β?=2α?+α?，β?=α?-α?，β?=α?+α?，則向量組β?,β?,β?的秩為（）。A.1B.2C.3D.不能確定2.設A是n階矩陣，且A2-A=O，則下列結論正確的是（）。A.A必為可逆矩陣B.A必為不可逆矩陣C.A的秩為n-1D.A的特征值只能是0或13.設V?={x∈R?|x=(1,a,a,a)?,a∈R}，V?={x∈R?|x=(0,1,b,b)?,b∈R}，則V?與V?的維數分別為（）。A.1,1B.1,2C.2,1D.2,24.設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，若AB=O，且B的列向量組線性無關，則下列結論正確的是（）。A.A的行向量組線性無關B.A的行向量組線性相關C.r(A)+r(B)=nD.r(A)≤n-r(B)5.設二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+ax?2+4x?x?+6x?x?+2x?x?的正慣性指數為2，則實數a的取值范圍是（）。A.a>1B.a<-3C.-3<a<1D.a≤-3或a≥1二、填空題（每題4分，共20分）6.設A是3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______。7.若向量組α?,α?,α?線性相關，α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性相關，則α?,α?,α?中至少有______個向量是零向量。8.設A=(a??)?×?是可逆矩陣，且A?A=E，則a??+a??+a??=______。9.設n階矩陣A的特征值為1,2,...,n，則|A|=______。10.設R?的兩個基為B={β?,β?,β?,β?}和B'={β?,β?,β?,γ}，其中γ=β?+β?+β?+β?。若向量α在基B下的坐標為(1,1,1,1)?，則α在基B'下的坐標為______。三、計算題（每題7分，共28分）11.計算行列式|A|，其中A=[(1+a)?1,1,1;1,(1+b)?1,1;1,1,(1+c)?1]。12.已知向量組α?=(1,1,1)?,α?=(1,1,0)?,α?=(1,0,0)?，求該向量組的秩，并判斷向量β=(1,2,3)?是否在此向量組生成的線性空間中。若在，求β由α?,α?,α?線性表示的表達式。13.設矩陣A=[(1,0,1);(2,1,3);(3,2,5)],B=[(2,1);(1,3);(4,5)]。求矩陣X，使得3AX-2B?X+E=O，其中E為2×2單位矩陣。14.設向量組α?=(1,1,2,3)?,α?=(1,3,-x,-1)?,α?=(1,-1,6,5)?。問x為何值時，向量組α?,α?,α?線性相關？此時求其一個極大無關組。四、證明題（每題9分，共18分）15.設A是n階正定矩陣，證明：存在n階正定矩陣B，使得A=B2。16.設A是n階矩陣，且滿足A2=A。證明：(1)A的特征值只能是0或1。(2)r(A)+r(A-E)=n。試卷答案一、單項選擇題1.C2.D3.B4.B5.C二、填空題6.167.28.19.n!10.(1,1,1,-1)?三、計算題11.解：利用行列式性質，將第二、三行分別加到第一行，得：|A|=|(a+1+a+1+a+1,1+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1)|=|(3a+3,6,6)|=6*|(a+1,1,1;1,a+1,1;1,1,a+1)|（將第一行提出公因數6）=6*[(a+1)*|(a+1,1,1;1,a+1,1;1,1,a+1)|（對第一行展開）-1*|(1,1,1;1,a+1,1;1,1,a+1)|（對第一行展開）+1*|(1,1,1;a+1,1,1;1,1,a+1)|]（對第一行展開）=6*[(a+1)*(a+1)2-1*[(a+1)*(a+1)-1*1]+1*[1*(a+1)-1*1]]=6*[(a+1)*(a2+2a+1)-(a2+2a)]=6*[a3+3a2+3a+1-a2-2a]=6*(a3+2a2+a+1)=6(a3+2a2+a+1)12.解：構造矩陣(α?,α?,α?,β)=[(1,1,1,1;1,1,0,2;1,0,0,3)]，進行初等行變換化為行階梯形：[(1,1,1,1;1,1,0,2;1,0,0,3)]→[(1,1,1,1;0,0,-1,1;0,-1,-1,2)]→[(1,1,1,1;0,1,1,-2;0,0,-1,1)]→[(1,0,0,3;0,1,1,-2;0,0,1,-1)]→[(1,0,0,3;0,1,0,-1;0,0,1,-1)]向量組α?,α?,α?的秩為3。由于β的第四個分量不為0，向量β=(1,2,3)?在該向量組生成的線性空間中。令x?α?+x?α?+x?α?=β，得方程組：x?+x?+x?=1x?+x?=2x?=3解得x?=3,x?=-1,x?=-2。所以β=3α?-α?-2α?。13.解：方程可化為(3A-2B?)X=-E。計算3A-2B?：3A=[(3,0,3);(6,3,9);(9,6,15)]2B?=[(4,2);(2,6);(5,10)]3A-2B?=[(3-4,0-2);(6-2,3-6);(9-5,6-10)]=[(-1,-2);(4,-3);(4,-4)]求(3A-2B?)的逆矩陣。設B=[(b?,b?);(b?,b?);(b?,b?)](3A-2B?)B=[(-1,-2),(4,-3),(4,-4)]*[(b?,b?);(b?,b?);(b?,b?)]=[(-b?-2b?-4b?,-b?-2b?-4b?);(4b?-3b?-4b?,4b?-3b?-4b?);(4b?-4b?-4b?,4b?-4b?-4b?)]=[(0,0);(0,1);(0,0)]得到方程組：-b?-2b?-4b?=0-b?-2b?-4b?=04b?-3b?-4b?=04b?-3b?-4b?=14b?-4b?-4b?=04b?-4b?-4b?=0由前兩個方程，b?=-(b?/4+b?/2)。由第四個方程，4b?-3b?-4b?=1。由第五個方程，b?=b?。代入前兩個方程，b?=-(b?/4+b?/2)=-(3b?/4)。由第六個方程，b?=-(b?/4+b?/4)。將b?=b?,b?=-(3b?/4),b?=-(b?/4+b?/4)代入第四個方程：4b?-3b?-4(-(b?/4+b?/4))=14b?-3b?+b?+b?=15b?-2b?=1取b?=1,b?=(5/2)。則b?=-(1/4+5/8)=-3/8。所以B=[(b?,1);(b?,(5/2));(-(3b?/4),-(3/8))].(3A-2B?)B=[(-b?-2b?-4b?,-b?-2b?-4b?);(4b?-3b?-4b?,4b?-3b?-4b?);(4b?-4b?-4b?,4b?-4b?-4b?)]=[(0,0);(0,1);(0,0)]所以(3A-2B?)B=E。令X=B，則(3A-2B?)X=E。即X=(3A-2B?)?1。X=[(1/4,1/8,-1/8);(1/8,-3/16,1/16);(-1/4,1/8,-1/8)]即X=[(1/4,1/8,-1/8);(1/8,-3/16,1/16);(-1/4,1/8,-1/8)]14.解：構造矩陣(α?,α?,α?)=[(1,1,1;1,3,-x;2,-1,6)]，進行初等行變換化為行階梯形：[(1,1,1;1,3,-x;2,-1,6)]→[(1,1,1;0,2,-x-1;0,-3,4)]向量組α?,α?,α?線性相關的充要條件是其秩小于3，即存在非零向量k=(k?,k?,k?)?，使得k?α?+k?α?+k?α?=0，即：k?(1,1,2)?+k?(1,3,-x)?+k?(1,-1,6)?=(0,0,0)?得到方程組：k?+k?+k?=0k?+3k?-k?=02k?-xk?+6k?=0由第一、二個方程，得k?=-k?-k?。代入第三個方程：2k?-xk?+6(-k?-k?)=02k?-xk?-6k?-6k?=0(-4k?)+(-x-6)k?=0若要存在非零解，則系數行列式為0：(-4)*(-x-6)=04(x+6)=0x+6=0x=-6當x=-6時，向量組線性相關。此時，矩陣化為：[(1,1,1;0,2,5;0,-3,4)]→[(1,1,1;0,2,5;0,0,19/2)]秩為3，說明x=-6是唯一的使得向量組線性相關的值。極大無關組為α?,α?。四、證明題15.證明：由A是正定矩陣，知A是對稱矩陣(A?=A)，且A的所有特征值λ?>0(i=1,...,n)。對二次型f(x)=x?Ax，由正定性的定義，f(x)>0對所有非零向量x成立。設A的特征值為λ?,λ?,...,λ?，則存在正交矩陣P，使得P?AP=Λ=diag(λ?,λ?,...,λ?)。令B=PΛ^(1/2)P?。由于P是正交矩陣，P?P=E，且Λ^(1/2)=diag(√λ?,√λ?,...,√λ?)是對角矩陣，其對角元為正數。所以B是對稱矩陣(B?=(PΛ^(1/2)P?)?=P(Λ^(1/2))?P?=PΛ^(1/2)P?=B)。計算B2：B2=(PΛ^(1/2)P?)(PΛ^(1/2)P?)=PΛ^(1/2)(P?P)Λ^(1/2)P?=PΛΛ^(1/2)P?=PΛP?=A。因此，B是正定矩陣(因為B是對稱矩陣且特征值λ?^(1/2)>0)。得證。16.證明：(1)設λ是A的特征值，x是對應的特征向量(x≠0)，則Ax=λx。兩邊左乘A，得A2x=A(λx)=λ(Ax)=λ2x。又由A2=A，得Ax=λx。所以λ2x=λx。即(λ2-λ)x=0。因為x≠0，