2026年高考數學一輪培優練習（新高考）計數原理與排列組合（學生版+解析）

第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布

§10.1計數原理與排列組合

【考情分析?探規律】

考點考情分析(2021-2024)命題趨勢

2024?北京、2024?全國甲卷

2024?天津、2024?新課標H卷

2023?全國甲卷、2023?全國乙卷理解分類加法計數原理、分步乘法計

2023?天津、2023?新課標I卷數原理及其意義；理解排列、組合的概念；

計數原理與排列組合

2023?新課標11卷、2022?天津能利用計數原理、排列組合解決簡單的實

2022?浙江、2022?新高考全國II卷際問題。

2022?全國甲卷、2022?全國乙卷

2022?北京、2021?北京

【知識梳理】

1.兩個計數原理

(1)分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有〃7種不同的方法，在第2類方

案中芍n種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

(2)分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有〃種不同

的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

2.排列與組合的概念

名稱定義

n列從n個不同元素中取出按照—_排成一列

組合個元素作為一組

3.排列數與組合數

(1)排列數：從〃個不同元素中取出個元素的所有的個數，用符號A曾表示.

(2)組合數：從〃個不同元素中取出〃心〃在〃)個元素的所有的個數，用符號C7表示.

4.排列數、組合數的公式及性質

(n-m)!

公式

(2兒$=翳=：〃?￡N',且mW/)

Ammi(n-m)：

性質(1)0!=1；Ar=〃！.

(2)禺=1；制=隨叫

點撥】

1.分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.

(1)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

(2)分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.

2.排列數、組合數常用公式

(l)A；?=(〃一,〃+

⑶(〃+1)!-〃！=〃?〃！.

(4)紀=〃田.

(5)C；+CM+…+CM+&；=C；儲.

3.解決排列、組合問題的十種技巧

(1)特殊元素優先安排.

(2)合理分類與準確分步.

(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)相鄰問題捆綁處理.

(5)不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題倍縮法處理.

(7)分排問題直排處理.

(8)“小集團”排列問題先整體后局部.

(9)構造模型.

(10)正難則反，等價轉化.

【隨堂訓練】

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打或“x”)

(1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()

(2)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()

(3)一個組合中取出的元索講究元素的先后順序.()

(4)若組合式C：=C，，則成立.()

2.從6名班委中選出2人分別擔任正、副班長，一共有種選法()

A.11B.12

C.30D.36

3.（多選）下列結論正確的是（）

A.3X4X5=A1

B.Cg+C4a

C.若C$o=C帑-2,則工=3

D.C9+G+C$+C$=64

4.由于用具簡單，趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動.某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部

分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃

掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有條.

【必練核心題型】

題型一計數原理

【典例】1.用3種不同顏色給如圖所示的五個圓環涂色，要求相交的兩個圓環不能涂相同的顏色，共有

種不同的涂色方案（）

A.243B.32

C.48D.1280

【典例】2.如圖，在某海岸尸的附近有三個島嶼Q,R,S,計劃建立三座獨立大橋，將這四個地方連起

來，每座橋直線連接兩個地方，且不出現立體交叉形式，則不同的連接方式有（）

⑨?

P

A.24種B.20種

C.16種?D.12種

【變式訓練】

變式1.某高中運動會設有8個項目，甲、乙兩名學生每人隨機選取3個項目報名參加，則至少選中2個

相同項目的報名方法有（）

A.420利?B.840種

C.476種D.896種

變式2.如圖，某種雨傘架前后兩排共8個孔，編號分別為屋8號.若甲、乙、丙、丁四名同學要放傘,

每個孔最多放一把傘，則甲放在奇數孔，乙放在偶數孔，且丙、丁沒有放在同一排的放法有（）

①②③④

A.68種B.136種

C.272種D.544種

題型二排列、組合問題

【典例】1.甲、乙兩名同學從生物、地理、政治、化學中各選兩門進行學習，若甲、乙不能同時選生物，

則甲、乙總的選法有（）

A.27種B.18種

C.36種D.48種

【典例】2.某單位開展聯歡活動，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎和鼓勵獎共五種獎

項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；

乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項介于丁和戊之間”.根據以上信息，這5人的獎項的所有

可能的種數是（）

A.I5B.18

C.22D.26

【變式訓練】

變式1.（2025?德陽模擬）甲、乙等6名數學競賽國家集訓隊隊員站成一排合影，若甲、乙兩名同學中間恰

有1人，則不同的站法數為（）

A.144B.192

C.360D.480

變式2.某學校開展學雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活

動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則兩個小組不同的分配方案有（）

A.20種B.40種

C.60種D.80種

題型三排列、組合的綜合問題

命題點1相鄰、相間問題

【典例】1.（多選）某產品的加工過程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，現將5道工序按不同的順

序安排流程，則下列說法正確的是（）

A.如果甲工序不能放在第一道，共有96種加工順序

B.如果甲、乙兩道工序必須相鄰，共有12種加工順序

C.如果甲、丙兩道工序必須不相鄰，共有72種加工順序

D.如果乙、丙兩道工序必須乙在前，丙在后，共有40種加工順序

命題點2定序問題

【典例】2.花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統農業時代的文化產物，兼具生活功能與藝術特色.

如圖，現有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法種數為.

命題點3分組、分配問題

【典例】3.第41屆全國青少年信息學奧林匹克競賽于2024年7月16~22日在重慶市育才中學成功舉辦.

在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名新教師參加了接待、咨詢、向導三個志愿者服務項目，每名新

教師只參加一個服務項目，每個服務項目至少有一名新教師參加.若5名新教師中的甲、乙兩人不參加

同一個服務項目，則小同的安排方案有（）

A.108種B.114種

C.15Q種D.240種

【變式訓練】

變式1.8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，則所有可能的分組方案數量是（）

A.28B.2520

C.105D.128

變式2.（多選）身高各不相同的六位同學A,B,C,D,E,尸站成一排照相，則說法正確的是（）

A.4,C,力三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法

B.A與C同學不相鄰，共有A：A5種站法

C.A,C,。三位同學必須站在一起，且A只能在。與。的中間，共有144種站法

D.A穴在排頭，8不在排尾，共有504種站法

【拓展訓練】

遞推數列在計數原理中的應用

在計數原理中，當計數的基數較大時，川枚舉法會顯得非常困難.如果問題帶有明顯的遞推特征，把此類計數問

題的基數從有限個且數目很少推廣到〃個，運用數列知識建立遞推關系，經過推廣就可以解決這類計數問題.

【典例】1.有Ai,4，…，A6共六個人，他們的座位分別為S,&,…，&,現在求每一個人坐一個座位，且都

不坐自己座位，則共有種不同的坐法（）

A.9B.16

C.44D.265

【典例】2.如圖，一個環形的大會場被分成了〃個區域，現有々種不同顏色的服裝提供給〃個區域的觀眾，要求

同一區域的觀眾著裝顏色相同，且相鄰區域的觀眾著裝顏色不同.當k=5,〃=6時，共有種不同的著

裝方法.

【限時訓練】（限時：60分鐘）

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.（2024.徐州模擬）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中

甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（）

A.18種B.48種

C108種D.192種

2.已知A,8兩個公司承包6項工程，每項工程均被承包且至多被一個公司承包，每個公司至少承包2項,

則承包方式共有（）

A.24種B.70種

C.48種D.50種

3.身高各不相同的7名同學排成一排照相，要求正中間的同學最高，左右兩邊分別順次一個比一個矮，則這

樣的排法種數是（）

A.5040B.36

C.18D.20

4.（2025?南京模擬）北京大興國際機場擁有機器人自動泊車系統，解決了停車滿、找車難的問題.現有3輛不

同的車停放在7個并排的泊車位上，要求4個空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有

種（）

「二一丁一丁丁丁「—--

:/；k：/\mT\n\r—o\r—p?\;

LuiiJltliJ.il.tJ

A.16B.18

C.24D.32

5.將1個0,2個1,2個2隨機排成一行，則2個1不相鄰的情況種數是（）

A.10B.20

C.18D.40

6.有5個人到南京、鎮江、揚州的三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中一

人，則不同的錄用情況種數是（)

A.90B.150

C.390D.420

7.把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為（）

A.70B.99

C.110D.165

8.某同學計劃用他姓名的首字母7；X,身份證的后4位數字（4位數字都不同）以及3個符號”，生〃設置一

個六位的密碼.若T,X必選，且符號不能超過兩個，數字不能放在首位和末位，字母的相對順序和數字的

相對順序不變，則他可設置的密碼的種數為（）

A.864B.1009

C.1225D.1441

二、多項選擇題（每小題6分，共18分）

9.下歹J說法正確的是（）

A.已知A乳=100A氯〃WN*,刀22）,則〃=13

B.已知C：；2=C將-5,貝Ijx=5

C.4個人排成一排，則甲不站首尾的排法有12種

D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，則甲、乙兩人不相鄰共有12種排法

10.有甲、乙、丙、丁、戊5位同學，下列說法正確的是（）

A.若5位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種

B.若5位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.若甲、乙、丙3位同學按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種

D.若5位同學被分配到3個社區參加志愿活動，每個社區至少1位同學，則不同的分配方案有150種

11.定義“圓排列”：從〃個不同元素中選〃，個元素圍成一個圓形，稱為圓排列，所有圓排列的方法數計為

H之圓排列是排列的一種，區別于通常的“直線排列”，既無“頭”也無“尾"，所以H#=襄現有2個女

生，4個男生共6名同學圍坐成一圈，做擊鼓傳花的游戲，貝心）

A.共有HS種排法

B.若兩名女生相鄰，則有2嘮種排法

C.若兩名女生不相鄰，共有4H：種排法

D.若男生甲位置固定，則有5嘮種排法

三、填空題（每小題5分，共15分）

12.某員工在開辦公室四位數的數字密碼門時，發現按鍵“3”“6”“9”上有清晰的指紋印，若該密碼確實

由“3”“6”“9”這三個數字組成，則該密碼有種可能.（用數字作答）

13.10人的身高各不相同，排成前后兩排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有種排法.

14.A,B,C,。，E,尸同宿舍六位同學在食堂排隊取餐，其中4B,C三人兩兩不相鄰，A和。必須相鄰,

這樣的排隊方法有種.

【尖子拔高訓練】每小題5分，共10分

15.“四平方和定理”最早山歐拉提出，后被拉格朗日等數學家證明.“四平方和定理”的內容是：任意正整

2

數都可以表示為不超過四個自然數的平方和，［典例］如正整數11=32+1+12+02設36=a2+h2+c2+J2t

其中mb,c,d均為自然數，則滿足條件的有序數組3,b,c,的個數是（）

A.26B.28

C.29D.30

16.三名籃球運動員甲、乙、丙進行傳球訓練（不能傳給自己），由丙開始傳，經過5次傳遞后，球又被傳回

給丙，則不同的傳球方式共有（）

A.6和B.10種

C.11種D.12種

第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布

§10.1計數原理與排列組合

【考情分析?探規律】

考點考情分析(2021-2024)命題趨勢

2024?北京、2024?全國甲卷

2024?天津、2024?新課標H卷

2023?全國甲卷、2023?全國乙卷理解分類加法計數原理、分步乘法計

2023?天津、2023?新課標I卷數原理及其意義；理解排列、組合的概念；

計數原理與排列組合

2023?新課標II卷、2022?天津能利用計數原理、排列組合解決簡單的實

2022?浙江、2022?新高考全國II卷際問題。

2022?全國甲卷、2022?全國乙卷

20224匕京、2021?」匕京

【知識梳理】

1.兩個計數原理

⑴分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有，〃種不同的方法，在第2類方

案中有〃種不同的方法，那么完成這件事共有N=〃?+〃種不同的方法.

(2)分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2步有〃種不同

的方法，那么完成這件事共有N=mX〃種不同的方法.

2.排列與組合的概念

名稱定義

排列從n個不同元素中取出按照一定的順序排成一列

組合個元素作為一組

3.排列數與組合數

(1)排列數：從〃個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數,用符號A等表示.

(2)組合數：從〃個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數,用符號表示.

4.排列數、組合數的公式及性質

(1)A普=〃(〃一1)(〃一2>-(〃一〃z+1)="、，，機￡N”,且〃2W〃).

(n—m)!

公式

(2兒￡=翳=:(〃,〃7￡N’,且

Amm!(n-m)：

(1)0!=1；A『=〃！.

性質

⑵吐i；c^=crm；喘］=4+上.

點撥】

1.分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.

(1)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

(2)分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.

2.排列數、組合數常用公式

(1)A7=(〃一〃？+?

⑵A『=〃A；"

⑶5+1)!-〃！=〃?〃！.

(4)kC=〃C工.

⑸力++…+C；；；.?+a=QVi.

3.解決排列、組合問題的十種技巧

(1)特殊元素優先安排.

(2)合理分類與準確分步.

(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)相鄰問題捆綁處理.

(5)不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題倍縮法處理.

(7)分排問題直排處埋.

(8)“小集團”排列問題先整體后局部.

(9)構造模型.

(10)正難則反，等價轉化.

【隨堂訓練】

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“Y”或“x”)

(1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()

(2)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()

(3)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.()

(4)若組合式C；=C；'，則成立.()

【答案】(1)X(2)X(3)X(4)X

【解析】(1)分類加法計數原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計

數原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)不正確.

(2)元素相同但順序不同的排列是不同的排列，故錯誤；

(3)一個組合中取出的元素不講究順序，元素相同即為同一組合，故錯誤；

(4)若C：=C；‘，則x=或〃-6，故錯誤.

2.從6名班委中選出2人分別擔任正、副班長，一共有種選法()

A.llB.12

C.30D.36

【答案】C

【解析】6X(6-1)=30.

3.(多選)下列結論正確的是()

A.3X4X5=Ag

B0+C4篇

C.若C%=C密-2,則工=3

D.C$+C芻+C：+C$=64

【答案】AD

【解析】A：=5X4X3,故A正確；

備+髭=2C^=2X等=20,第=等=15,

故髭+《#髭,故B錯誤;

cio=cio_2?則x=2r—2或x+2x—2=10,解得％=2或x=4.故C錯誤；

G+G+G+c?=cy+G+G+G=i+T+^^+7=64,故D正確.

4.由于用具簡單，趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動.某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部

分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃

掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有條.

【答案】6

【解析】由題意可知,“兵”吃掉“馬”的最短路線,需橫走三步,豎走兩步；其中能順帶吃掉“炮”的

路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有3種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有2種走

法.故能順帶吃掉“炮”的可能路線共有3X2=6(條).

點撥】

1.元素之間與順序有關的為排列，與順序無關的為組合.

2.（1）排列數與組合數之間的聯系為C/A窯=AP

（2）排列數與組合數公式的兩種形式分別為：①連乘枳形式；②階乘形式.前者多用于數字計驛，后者多用于

含有字母的排列數與組合數式子的變形與論證.

3.解有條件限制的排列、組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）.分類時標準應統一，避免出現

重復或遺漏.

4.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區別，避免重復或遺漏.

【必練核心題型】

題型一計數原理

【典例】1.用3種不同顏色給如圖所示的五個圓環涂色，要求相交的兩個圓環不能涂相同的顏色，共有

種不同的涂色方案（）

A.243B.32

C.48D.1280

【答案】C

【解析】從左到右依次涂色，第一個圓環可以涂3種顏色，第二、三、四、五個圓環各可以涂2種顏色，

共有3X2X2X2X2=48（種）不同的涂色方案.

【典例】2.如圖，在某海岸尸的附近有三個島嶼Q,R,S,計劃建立三座獨立大橋，將這四個地方連起

來，每座橋直線連接兩個地方，且不出現立體交叉形式，則大同的連接方式有（）

P

A.24種B.20種

C.16種D.12種

【答案】D

【解析】可分為兩類：

第一類：從一個地方出發向其他三個地方各建一座橋，共有4種不同的連接方式；

第二類：一個地方最多建兩座橋，其中建橋連接方式：P—S—R—Q和Q—R—S—P屬于相同的建橋方法，

所以共有白XA：=12（種）不同的連接方式，其中交叉建橋方法，【典例】如P-R-S-Q,P-R-Q-S,R

-P-S-Q,R-P-Q-S不符合題意，共有4種，

所以第二類建橋方法共有12—4=8（種）不同的連接方式.

綜上可得，不同的連接方式有4+8=12（種）.

點撥】

完成一件事的方法種數的計算步驟

（1）審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的.

（2）分析完成這件事應采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種.

（3）弄清在每一類或每一步中的方法種數.

（4）根據分類加法計數原理或分步乘法計數原理計算出完成這件事的方法種數.

【變式訓練】

變式1.某高中運動會設有8個項目，甲、乙兩名學生每人隨機選取3個項目報名參加，則至少選中2個

相同項目的報名方法有（）

A.420種B.840種

C.476種D.896種

【答案】D

【解析】由題意可知，可以分兩種情況：

第一種情況：所選取的3個項目中恰有2個相同項目，

第一步，在8個項目中選取2個，共有鬣=28（種），

笫二步，甲在剩下的6個項目中選取1個，共有禺=6（種），

第三步，乙在剩下的5個項目中選取1個，共有乙=5（種），

由分步乘法計算原理可知，共有28X6X5=840（種）；

第二種情況：所選取的3個項目全部相同，

則有鬃=56（種）；

由分類加法計數原理可知，滿足要求的報名方法一共有840+56=896（種）.

變式2.如圖，某種雨傘架前后兩排共8個孔，編號分別為1~8號.若甲、乙、丙、丁四名同學要放傘，

每個孔最多放一把傘，則甲放在奇數孔，乙放在偶數孔，且丙、丁沒有放在同一排的放法有（）

A.68種B.136種

C.272種D.544種

【答案】C

【解析】根據題意，分2種情況討論：

①甲乙放在同一排，有&（：犯犯犯演弓=128（種）放法，

②甲乙不放在同一排，有&禺6禺（：如'=144（種）放法，

則有128+144=272（種）不同的放法.

題型二排列、組合問題

【典例】1.甲、乙兩名同學從生物、地理、政治、化學中各選兩門進行學習，若甲、乙不能同時選生物，

則甲、乙總的選法有（）

A.27種B.18種

C.36種D.48種

【答案】A

【解析】當甲選生物，乙不選生物時，甲、乙的選法有瑪髭=9（種）；當甲不選生物，乙隨便選時，甲、乙

的選法有髭第=18（種）,則甲、乙總的選法有9+18=27（種）.

【典例】2.某單位開展聯歡活動，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎和鼓勵獎共五種獎

項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；

乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項介于丁和戊之間”.根據以上信息，這5人的獎項的所有

可能的種數是（）

A.15B.18

C.22D.26

【答案】D

【解析】甲是特等獎，不考慮丙的獎項有A：種；甲不是特等獎，不考慮丙的獎項有備瑪人號和；而丙獎項在

丁和成之間的情況占［所以5人的獎項的所有可能的種數是“A2+瑪?A利=26.

點撥】排列問題和組合問題的區分方法

（1）排列問題：若交換某兩個元素的位置對結果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關.

⑵組合問題：若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無

關.

【變式訓練】

變式1.（2025?德陽模擬）甲、乙等6名數學競賽國家集訓隊隊員站成一排合影，若甲、乙兩名同學中間恰

有1人，則不同的站法數為（）

A.144B.I92

C.360D.480

【答案】B

【解析】根據題意，分2步進行分析：

①在其他4人中，選出1人，安排在甲、乙中間，有CXAN=8（種）情況；

②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，有A*=24（種）排法.

則有8X24=192（種）不同的站法.

變式2.某學校開展學雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活

動，每小組均要求既要有女生乂要有男生，則兩個小組不同的分配方案有（）

A.20種B,40種

C.60種D.80種

【答案】C

【解析】由題意可知兩名男生必須分開在兩組，則有1女1男為一組，余下的人為一組；

2女1男為一組，余下的人為一組：

3女1男為一組，余下的人為一組：

4女1男為一組，余下的人為一組：

所以兩個小組不同的分配方法有G（禺+髭+髭+心）=60（種）.

題型三排列、組合的綜合問題

命題點1相鄰、相間問題

【典例】1.（多選）某產品的加工過程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，現將5道工序按不同的順

序安排流程，則下列說法正確的是（）

A.如果甲工序不能放在第一道，共有96種加工順序

B.如果甲、乙兩道工序必須相鄰，共有12種加工順序

C.如果甲、丙兩道工序必須不相鄰，共有72種加工順序

D.如果乙、丙兩道工序必須乙在前，丙在后，共有40種加工順序

【答案】AC

【解析】如果甲工序不能放在第一道，則甲有4種安排方式，根據分步乘法計數原理，共有禺A1=

4X4X3X2X1=96（種）加工順序，故A正確：

甲、乙兩道工序相鄰，將甲和乙捆綁為一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，則共有A'A%=

2X4X3X2X1=48（種加工順序，故B錯誤；

如果甲、丙兩道工序不能相鄰，則先安排剩余3道工序，在形成的4個空中，安排甲、丙，故共有A：A：=

3X2X1X4X3=72（種）加工順序，故C正確:

A5

5

--

現將5道不同的工序全排列，再除以乙、丙兩道工序的全排列,A2=60（種）加工順序,

2

故D錯誤.

命題點2定序問題

【典例】2.花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統農業時代的文化產物，兼具生活功能與藝術特色.

如圖，現有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法種數為.

【答案】90

【解析】由題意，取下6盞不同的花燈，

先對6盞不同的花燈進行全排列，共有AS種方法，

因為每次只取一盞花燈，而且只能從下往上取，

所以必須除去不符合題意的排列順序，即先取上方的順序，故K同取法種數為益7=90.

A5A?A?

命題點3分組、分配問題

【典例】3.笫41屆全國青少年信息學奧林匹克競賽于2024年7月16~22日在重慶市育才中學成功舉辦.

在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名新教師參加了接待、咨詢、向導三個志愿者服務項目，每名新

教師只參加一個服務項目，每個服務項目至少有一名新教師參加.若5名新教師中的甲、乙兩人不參加

同一個服務項目，則不同的安排方案有（）

A.108種B.114種

C.150種D.240種

【答案】B

【解析】5名新教師按3：I：1分組有髭種方法，按2：2：1分組有鬻種分法，因此5名新教師的安排方

案有（髭+甯）A4種，當甲、乙在同一組時，甲、乙可視為1個人，即相當于4名新教師的安排方案，有

鬣A號種，所以所求不同的安排方案有（髭+甯）人多一（：球§=25乂6—6乂6=114（種）.

點撥】求解排列組合問題的6種主要方法

直接法把符合條件的排列數直接列式計算

優先法優先安排特殊元素或特殊位置

捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列

對于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素

插空法

排列的空當中

定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

間接法正難則反、等價轉化

【變式訓練】

變式1.8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，則所有可能的分組方案數量是（）

A.28B.2520

C.105D.128

【答案】C

【解析】由題意8名同學以2人為一組分為學習小組完成學習任務，則所有可能的分組方案數量是警爐

=空0=|（）5.

24

變式2.（多選）身高各不相同的六位同學A,B,C,D,E,歹站成一排照相，則說法正確的是（）

A.A,C,。三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法

B.A與C同學不相鄰，共有種站法

C.A,C,。三位同學必須站在一起，且A只能在。與。的中間，共有144種站法

D.4K在排頭，“不在排尾，共有504種站法

【答案】ABD

【解析】將A,C,。三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有備=120（種）站法，故A正確;

先排B,D,E,F,共有A1種站法，A與C同學插空站，有熊種站法，故共有種站法，故B正確；

將4,C,。三位同學捆綁在一起，且4只能在C與。的中間，有2種站法，捆綁后有A1種站法，故共有

2XA2=48（種）站法,故C錯誤;

當A在排尾，8隨意站時，則有Ag=120（種）站法；當A不在排頭也不在排尾時，有A1種站法，8有A升中站

法，剩下的同學隨意站有A：種站法，共有南下AZ=384（種）站法,故A不在排頭，8不在排尾,共有120+

384=504（種）站法,故D正確.

【拓展訓練】

遞推數列在計數原理中的應用

在計數原理中，當計數的基數較大時，用枚舉法會顯得非常困難.如果問題帶有明顯的遞推特征，把此類計數問

題的基數從有限個且數目很少推廣到〃個，運用數列知識建立遞推關系，經過推廣就可以解決這類計數問題.

【典例】1.有4,4，…，4共六個人，他們的座位分別為辦，脫，…，&,現在求每一個人坐一個座位，且都

不坐自己座位，則共有種不同的坐法（）

A.9B.16

C.44D.265

【答案】D

【解析】記〃個人坐位子且自己不坐自己的座位的方法數構成一個數列{〃“},易得G=l,公=2,

當〃，4時，首先，讓4選位，A不選當，則共有〃種坐法，不妨設4選了&（白勺），然后再讓4選位，

①當4選以時，則余下〃-2個人和2個座位，共有為.2種坐法；

②當4不選辦時，則余下〃-1個人都有一個不能選的座位，則共有為7種坐法，

所以礪二（〃-1）（?！?2+Cln-1）?

所以=3（42+。3）=9,as-4（673+674）=44,

=5(44+45)=265.

【典例】2.如圖，一個環形的大會場被分成了“個區域，現有火種不同顏色的服裝提供給〃個區域的觀眾，要求

同一區域的觀眾著裝顏色相同，且相鄰區域的觀眾著裝顏色不同.當k=5,〃=6時，共有種不同的著

裝方法.

3

【答案】4100

【解析】設提供A?種顏色來給排成環形的〃個區域涂色且相鄰區域不同色，記方法數為力（〃），

若先考慮給〃個排成一行的區域涂色且相鄰區域不同色，則方法數應為ka-1尸」，

|1|2|3|…〃|

①若區域1和區域〃不同色，則把區域I和區域〃粘在一起成一個環狀時滿足條件；

②若區域1和區域〃同色，貝IJ把區域I和區域〃粘在一起成一個環狀時不滿足條件，此方法數需從k（A-1）”」種方法

中減揖

所以〃〃產仁d?IV」?五（〃?1）,

易得/s(3)=Ag=60,

所以為4)=5x(5?-為(3)=260,

所以為(5)=5x(5-I)4-為(4)=1020,

所以為⑹=5x(5-I)5-所5)=4I(X).

【限時訓練】（限時：60分鐘）

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.（2024?徐州模擬）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中

甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（）

A.18種B.48種

C.108種D.192種

【答案】D

【解析】因為甲不去北京，應該分步完成：

第一步，甲在上海、西安、長沙三個城市中任選一個，有3種選法；

第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長沙四個城市中分別任選一個，有4X4X4=64（種）選法，

由分步乘法計數原理，可得不同選法有3X64=192（種）.

2.已知A,3兩個公司承包6項工程，每項工程均被承包且至多被一個公司承包，每個公司至少承包2項,

則承包方式共有（）

A.24種B.70種

C.48種D.50種

【答案】D

【解析】根據題意，分三種情況：

①4公司承包2項工程，剩余4項工程由8公司承包，則有髭=15（種）承包方式；

②A公司承包3項工程，剩余3項工程由8公司承包，則有a=20（種）承包方式；

③A公司承包4項工程，剩余2項工程山5公司承包，則有髭=15（種）承包方式.

所以承包方式共有15+20+15=50（種）.

3.身高各不相同的7名同學排成一排照相，要求正中間的同學最高，左右兩邊分別順次一個比一個矮，則這

樣的排法種數是（）

A.5040B.36

C.18D.20

【答案】D

【解析】最高的同學站中間，從余下6人中選3人在一側只有一種站法，另3人在另一側也只有一種站法，

所以排法有第=20（種）.

4.（2025?南京模擬）北京大興國際機場擁有機器人自動泊車系統，解決了停車滿、找車難的問題.現有3輛不

同的車停放在7個并排的泊車位上,要求4個空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有

種（）

A.I6B.18

C.24D.32

【答案】C

【解析】從7個車位里選擇4個相鄰的車位，共有4種方式，停放的3個車輛，有Ag=6（種）方式，則不同

的泊車方案有4X6=24（種）.

5.將1個0,2個1,2個2隨機排成一行，則2個1不相鄰的情況種數是（）

AJOB.20

C.18D.40

【答案】C

【解析】將1個0,2個1,2個2隨機排成行，則2個1不相鄰的情況共有第鬣=18（種）.

A2

6.有5個人到南京、鎮江、揚州的三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中一

人，則不同的錄用情況種數是（）

A.90B.150

C.390D.420

【答案】C

【解析】若5人中有且僅有3人被錄用，滿足條件的錄用情況有Ag=60（種）,

若5人中有且僅有4人被錄用，滿足條件的錄用情況有心?若180（種），

若5人都被錄用，滿足條件的錄用情況有嬰?A^+要小3=150（種），

A2A2

綜上，符合要求的不同的錄用情況種數是60+180+150=390.

7.把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為（）

A.70B.99

C.110D.165

【答案】D

【解析】當8個相同的籃球只分給其中1人時，有4種分法；

當8個相同的籃球分給其中的2人時，先從4人里面選出2人，再將8個相同的籃球排成一排，從形成的7

個空里面選出1個空插入1個“隔板”即可，此時有第C；=42（種）分法；

當8個相同的籃球分給其中的3人時，先從4人里面選出3人，再將8個相同的籃球排成一排，從形成的7

個空里面選出2個空插入2個“隔板”即可，此時有最第二84（種）分法：

當8個相同的籃球分給4人時，每人至少一個，此時將8個相同的籃球排成一排，從形成的7個空里面選

出3個空插入3個“隔板”即可，此時有?=35（種）分法.

因此把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人時，不同的分發種數為4+42+84+35=165.

8.某同學計劃用他姓名的首字母7；X,身份證的后4位數字（4位數字都不同）以及3個符號a,6。設置一

個六位的密碼.若T,X必選，且符號不能超過兩個，數字不能放在首位和末位，字母的相對順序和