常用邏輯用語（復習講義）-2027年高考數學一輪復習（原卷版）

A知?識?解?構＜

A知識點1充分條件與必要條件

1、核心辨析

?“P是q的充分條件”等價于“只要有p,就一定有q";

?“p是q的必要條件”等價于“沒有p,就一定沒有q”；

?充要條件是數學定義的標準形式，如“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”就是充要條件。

2、集合關系與充要條件的對應（新教材重點）

集合關系邏輯關系條件類型

p是q的____

ASBp=q且q#p

p是q的____

B呈Ap#q且q=p

A=Bpoqp是q的充要條件

p是q的既不充分也

A￡B且B《Ap#q且q#p

不必要條件

3、充要條件證明規范

第一步：證明充分性（由條件推結論）；

第二步：證明必要性（由結論推條件）；

最后下結論：“綜上，p是q的充要條件

自主檢測|（2026?福建名校聯盟?適應性）已知函數f（x）=N1（mGR）,貝卜口々）＞0,/（x0）=0"

是加＜一2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D,充分必要條件

A知識點2全稱量詞與存在量詞

I.命題否定的易錯點

不能只否定結論,必須同時改變量詞:

?常見結論的否定：“是”一“不是”；“都是"一“”「至少有一個"T“="至多有一

個“一“”。

2.含展詞命題的真假判斷技巧

?全稱量詞命題找反例：只要找到一個不滿足的元素，命題即為假。

?存在量詞命題找特例：只要找到一個滿足的元素，命題即為真。

3.新教材術語規范：統一使用“全稱量詞命題”“存在量詞命題

自主檢測（2026?長沙鐵?中?學考模擬（二））下列命題中，是存在量詞命題的是（）

A.正方形的四條邊相等B.有三個角是60。的三角形是等邊三角形

C.正數的平方根不等于0D.至少有一個正整數是奇數

A題?型?破?譯?

A題型1充分必要條件的判斷

例l-l］已知命題p:V%V3,專>2,命題qFx<0,x2=V-X-M（）

A.p和q都是真命題B.p和都是真命題

C.->p和q都是真命題D.-ip和->q都是真命題

例1-2|（2026?天津南開?二模）設％則“爐+久>o”是南+y>o”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

方法技巧充分必要條件的快速判斷

1、定義法：適用于邏輯關系清晰的命題，直接推導兩個方向的真假

2、集合法：適用于條件和結論都能轉化為集合范圍的命題，如不等式解集

3、等價轉化法：適用于否定形式的命題，轉化為判斷其逆否命題

易錯分析混淆定義

1、混淆"P是q的充分條件〃和“P的充分條件是q〃

2、忽略特殊情況，如空集、零向量、常數函數等

3、立體幾何中線面關系的判定定理和性質定理混淆

【變式訓練1-1?變載體】（2026?天津耀華中學?一模）*二弓+2攵兀或6=￡+2碗，（AEZ）”是“tanO二

2ccsC+e）”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式訓練1-2]（2026?新疆烏魯木齊?三模）已知兄瓦CWR,則（）

A.是“。2>廬”的充分條件

B.“a>b”是“a2>川，，的必要條件

C.lia>b"是“2>be2”的充分條件

D."a>b”是"QC2>be2”的必要條件

【變式訓練1-3】（20,6.四川遂寧.一診）設>b,旦a,bw0,則◎>，是“abV0”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式訓練1-4】（2026?安徽蚌埠?適應性考試）已知集合4={2,5,8},B={Q-1,2},貝『Q=6"是'式nB=8”

的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式訓練1-5】（2026?哈爾濱師大附中?模擬）“爐+二―2V0”是少|V2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式訓練1-6?變載體】（2025?遼寧大連?適應性演練一）己知函數f（x）=ax（a>1,%GR）,對于m,nGR,

若命題p：Qm>a7i,命題q：m>ri,則〃是q的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式訓練1-7】（2025?北京豐臺?二模）已知關于%的方程%2+尿+，=0（瓦<:€幻的兩實根為X],小，則

“因I=%1”是“關于工的不等式/+bx+c<0的解集為0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

A題型2充分必要條件的證明

例2』（2026?天津耀華中學?二模：設a,beR,則“a>b”是“a|a|>b|b|"成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

|例2-2|（24-25高三上?安徽銅陵一中&安徽師大附中12月聯考）設等比數歹虹的}的前n項和為當,則<0''

是$<S?”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

方法技巧充要條件證明的規范步驟

1、明確證明方向：分充分性和必要性兩步。

2、充分性：假設條件成立，推導結論成立。

3、必要性：假設結論成立，推導條件成立。

4、最后總結：“綜上，p是q的充要條件

易錯分析遺漏過程

1、只證明一個方向，遺漏另一個方向。

2、證明過程中邏輯不嚴連，出現循環論證。

3、混淆充分性和必要性的推導方向。

【變式訓練2-1】數列｛a“｝的前〃項和記為%,則“數列｛Sn｝為等差數歹小是"數列｛冊｝為常數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條，牛

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式訓練2-2?變考法】下列命題錯誤的是（）

A.“x=2”是“7-4x+4=0”的充要條件

B.若等比數列｛an｝公比為q,則“q>1”是“｛即｝為遞增數列”的充要條件

C.在△/WC中，若“4>8”,則“sin力〉sinB”

D.命題“若m之一;，則方程公+x-m=0有實根”的逆命題為真命題

4

【變式訓練2-3】設甲：。>2且6>1,乙：a+b>3Rab>2,貝ij（）

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【變式訓練2-4?變考法】（25-26高三下?江蘇如皋中學?培優）設集合4=｛洌/-3+l）x+a=O｝,集合

8=卜|專=1｝,則，乂n8=｛3｝”的一個必要不充分條件是（）

A.a=3B.aG｛2,3｝C.a=1D.a6｛1,2｝

【變式訓練2-5】命題p：Q>l,b>2是命題成立的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【變式訓練2-6】已知p：log?。+1）42,q：->|,則p是q的（）

X*5

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式訓練2-7?變考法】（25-26高三上.安徽皖南八校.第一次聯考）（多選題）若a,b6R,則“a3Vb3”的

充分不必要條件是（）

A.a<bB.\]b-a>1

C.a2<b2D.0<7<-

ba

【變式訓練2-8】已知集合4={x|l￡x￡4},B={x\2-m<x<2-^m}.

（1）若An8=B,求實數〃?的取值范圍：

（2）設q:x€B,若〃是q的充分不必要條件，求實數〃!的取值范圍.

A題型3全稱、存在量詞命題的否定與真假判斷

例3」（2026?四川巴中??診模擬：下列命題中為真命題的是（）.

A.BxER,x2+1<0B.VxWR,x+\x\>0

C.VxGZ,|x|6ND.3xGR,%2-3x+10=0

|例3-21命題“Vx>0,x2-x+l>0”的否定為（）

A.Vx>0,x2-x+1<0B.Vx<0,%2-x+1<0

C.3x>0,x2-x+1<0D.3x<0,x2-x+1<0

方法技巧含量詞命題的解題要點

1、否定：嚴格遵循“改量詞，否結論”的規則。

2、真假判斷：全稱命題找反例，特稱命題找特例。

3、常見結論否定：2”一“v”；“<一“>”；“所有”一“存在”；“存在”一“所有”。

易錯分析遺漏量詞符號的改變

1、只否定結論，不改變量詞。

2、對“都是”“至少有一個”等結論的否定錯誤。

3、忽略量詞的取值范圍，如x￡N包含x=0。

]（2025.廣西桂林.?模）二二工R「神晟相二4%二1A豕~~F~

A.cz<0B.a<-g

C.a>1D.a<-[或。>0

【變式訓練3-2?變考法】（2025?天樞杯?聯考）已知：哥德巴赫猜想認為任一大于2的偶數都可寫成兩個質

數之和.定義P為全體素數的集合，那么以下形式化命題中和哥德巴赫猜想不等價的是（）

A.-i3n0GNn[2,4-oo）,\/p1eP,Vp?€P,Pi+Pz*2n0

B.{pi+p21PlEP，P2GP}3{2nIn6Nn[2,+co）}

C-1%|小€尸力2￡0,無=口1+22且501^=0

D.V?nGN,2m<2或Pn{2m—p\pEP）^0

2

【變式訓練3-3]（2024?武漢華師一附中?島考模擬）若命題FQe[l,3],ax+（a-2）x-2>0”是假命題,

則X不能等于（）

7

A.-1B.0C.1D.

【變式訓練3-4?變載體】（2024.湖南衡陽.二模）下列命題中的真命題是（）

A.VxeN,X2>1

B.命題石。,8€/?,2+3>2”的否定

ab

C.“直線人與直線，2垂直”的充要條件是“它們的斜率之積一定等于-1”

D.“m>-1”是“方程二一1表示雙曲線”的充分不必要條件

2+mm+l

【變式訓練3-5]使命題G（1,2）,m<x2+1”為假命題的一個必要不充分條件是（）

A.zn>4B.?n>5C.m<2D.m<5

【變式訓練3-6】命題FxER,x2+x+l>0”的否定為（）

A.3xeR,x24-x+1<0B.3xER,x24-x+1<0

C.Vx6/?,x2+x+1>0D.VxG/?,x2+%+1<0

【變式訓練3-7]（2026?西安高新一中?三模）已知命撅p:Vx€R,|x+1]>1：命題q:三%>0,1=%,則以

下為真命題的是（）

A.p和qB.-和qC.p和-iqD.-ip和-iq

【變式訓練3-8】（2026?河南鄧州十校聯考?模擬）（多選題）下列結論正確的有（）

A.Vxe/?,x24-4>2x

B.T-WR,氏一1|+1V0”是假命題

C.”有理數的平方是有理數”是存在量詞命題

D.**VxER,%+4%4N0”的否定是'"％任R,x+4x4<051

【變式訓練3-9】（2025.河北.模擬）（多選題）已知集合4={z|ax+6>0},8={x|-lVx<3},則下

列結論正確的是（）

A.BaER,Ar\B=AB.3a6R,Ar\B=B

C.Va￡R?lnBH0D.3aGR,AU（CR^）=R

A題型4根據命題真假/充要關系求參數范圍

例4-1|若命題汨/WR,歐+x（）+m<0”為假命題，則m的取值范圍是（）

A.B.C,（0,1]D.出+8）

|例4-2]已知命題"％ER,/+”+：>0”是假命題，則實數a的取值范圍是（）

A.(-co,-l)U(1,+8)B.(-co,-l]u[l,-|-oo)

C.(-1,1)D.[-1,1]

方法技巧求參數范圍的解題思路

1、先分別求出每個命題為真時參數的取值范圍。

2、根據復合命題真假或充要關系，轉化為集合間的包含關系。

3、利用數軸畫出集合范圍，列不等式組求解。

4、注意端點值的取舍，單獨驗證。

易錯分析忽略條件

1、忽略參數使集合為空集的情況。

2、端點值取舍錯誤，導致范圍擴大或縮小。

3、分類討論不全面，遺漏參數的取值情況。

【變式訓練4-1]（25-26高三上?陜西漢中?一調）若-3使得4-4Q-13<0成立，則

實數a的取值范圍是（）

A.（—co,3）B.（—4,4-co）C.（—3,+8）D.（—co,-4）

【變式訓練4-2】（2025?西南名校聯盟?四診）已知命題：，4%￡（0,+8）,2/-QX+1V0”為假命題，則

實數a的取值范圍是（）

A.（-oo,2V2|B.（-oo,2]

C.（-oo,l]D.（-8噂

【變式訓練4-3】若命題石》€/?,〔好一1）￥2+2（攵-1注一1>0，，是假命題，貝義的值可以為（）

A.-1B.1C.2D.3

【變式訓練4-4?變考法】（2025?福建?適應性（二））（多選題）若平面點集M滿足：任意點（x,y）WM,存

在t€（0,+8）,都有則稱該點集時是七階聚合點集.下列命題為真命題的是（）

A.若時=｛（%y）|x之y｝,則M是3階聚合點集

B.存在M對任意正數t,使M不是t階聚合點集

C.若M=｛（x,y）：+y2=1｝,則M不是[階聚合點集

D.”G[1,+00）”是“M=｛（x,y）|y2N笈｝是t階聚合點集”的充要條件

【變式訓練4-5?變載體】若FxG（0,n）,sin2x-msinx<0”是假命題，則m的取值范圍為.

【變式訓練4-6】已知命題“存在使得等式3%-m=0成立”是假命題，則實數機的取

值范圍是_____________

【變式訓練4-7]（2025?江西吉安一中?模擬二）若命題FxG[-1,2],使得2/+m%-m-10>0”是假命

題，則，〃的取值范圍是.

【變式訓練4-8】（2023.吉林吉林.二調）若命題：叼XWR,收+工十]<0”為假命題，則實數。的取值

范圍為.

【變式訓練4-9?變考法】（2026?福建部分高中?一模）若實數4使得命題：TceR,使得Va,beR,均有；la?+

b2-2ab+2b+c^0”是假命題，則4的取值范圍是.

真題溯源?考向感知

-----溯源真題邏輯，感知高考考向

一、單選題

1.(2025?北京?高考)已知函數/(%)的定義域為。，則“/(%)的值域為R”是“對任意M€R,存在X。￡D,使

得1八%0)1>M”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

2.(2025?天津?高考)設％WR,則“％=0”是“sin2%=0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.(2024.全國甲卷?高考)設向量d=(%+1,%),族=(%,2),則()

A.“x=-3”是21戶的必要條件B.44x=1+百”是三〃廬的必要條件

C."％=0”是21左的充分條件D.“x=-1+遮”是%〃白的充分條件

4.(2024?天津?高考)已知a"￡R,則"c?=產，是，守=3"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.(2024?新課標全國H卷?高考】已知命題p：VxG/?,|x+1|>1；命題q：3x>0,%3=%,M()

A.〃和夕都是真命題B.「p和夕都是真命題

C.〃和-)q都是真命題D.-ip和-iq都是真命題

6.(2023?北京?高考)若%y#0,則“X+y=0”是?+]=-2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條，牛

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.(2024.上海.高考)定義一個集合C,集合中的元素是空間內的點集，任取01孑2，。3存在不全為0

的實數人,不,%，使得入明+%函+%砧=6.已知(1,0,0)€Q,則(0,0,1)CQ的充分條件是()

A.(0,0,0)enB.(-1,0,0)en

c.(0,1,0)GnD.(0,0,-1)Gn

8.(2024?北京?高考)設a,3是向量，則“R+5)?(a-5)=0”是“d=-3或五=針的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.(2023?全國甲卷?高考)設甲：siMa+siM/?=1,乙：sina+cos。=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件R.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

10.（2023?新課標全國I卷?高考）記立為數列Sn｝的前幾項和，設甲：｛an）為等差數列：乙：｛曰｝為等差數

列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

11.（2023.天津?高考）已知a,b€R,“。2=川”是％2+《=2泌”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

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一、解答題

1.（高一上?人教A版?單元測試）如圖，直線。與人被直線/所截，分別得到了乙1,匕2,43和乙4.請根據

這些信息，寫出兒個“QII產的充分條件和必要條件.

2.（高?匚人教A版?單元測試）下列各題中，哪些〃是令的充要條件？

（1）/2：四邊形是正方形，/四邊形的對角線互相垂直且平分：

（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；

（3）p:xy>0?q:x>0,y>0；

（4）p.x