正方形（專項訓練）-華東師大版八年級數學下冊【含答案】

專題03正方形

■目錄

A題型建模-專項突破

題型一、正方形的性質應用——求解邊

題型二、正方形的性質應用——求解角

題型三、正方形的性質應用——證明

題型四、添加條件成為正方形

題型五、正方形的判定

題型六、正方形的性質與判定

B綜合攻堅-能力躍升

題型建模?專項突破

題型一、正方形的性質應用——求解邊

1.我國古代數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對

全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖，在M8C中,

ZC=90°,四邊形CQE"為正方形，AAFEmAAGE,2BGE"叢BDE,若

AC=4,BD=2,設正方形CQEb的邊長為x,則工=.

2.如圖，在中，48=6，點”是斜邊8C的中點，連接4W,以/“為邊作正方

形4MEF.若正方形//￡尸的面積為25,則△/IBC的面積為（）

試卷第1頁，共10頁

A

A.185/3B.95/3C.24D.36

3.青朱出入圖是魏晉時期數學家劉徽根據“割補術”運用數形關系證明勾股定理的幾何證明

法.如圖，四邊形力〃CQ、DEFG、CG”/均為正方形.若正方形/1BCD、CG”/的面積分別

題型二、正方形的性質應用——求解角

4.如圖，兩個相同的正方形力8c。與正方形跳/G的頂點8重合，BE恰好落在正方形月BCD

的對角線“力上，力。與E戶交于點〃，連接9",則N/fB"的度數為.

5.如圖，點E是正方形,48CO內部一點，連接8區CE.DE,BE=CD,若NCED=91。,

/COE=63。，則/BEC的度數為。.

試卷第2頁，共10頁

6.如圖，已知正方形/4CQ,尸是正方形片8CO內一點，若PA=6,PB=2,將力4澆點3

順時針旋轉至△加X:處，此時點力、p、E三點在同一直線上.

(I)求NWP8的度數：

(2)求PC的長.

題型三、正方形的性質應用一證明

7.如圖，在正方形48CZ)中，。是對角線4C,8。的交點，過點。作OE_L。尸分別交

AB,BC干E,尸兩點,AE=5,CF=2,求E廠的長.

8.如圖，四邊形力〃。。為正方形，分別延長CD至點、E、F,連接力E、AF，

AE=AF.求證：Z.E=ZF.

9.如圖，正方形48C。的邊長為2,點瓜廠分別在邊幺。、上,連接C￡;CF、EF、已

知CE=b=石.

試卷第3頁，共10頁

⑴求證：AE=AF；

（2）求Q的長.

題型四、添加條件成為正方形

10.如圖，在口力灰?。中，AC=BD,再添加一個條件，仍不夠判定四邊形力改?。是正方形

的是（）

A.AB=BCB.AC1BD

C.AB=ACD./ABD=NCBD

11.如圖，在矩形48co中，BE平分/4BC,CE平分NDCB,BE與CE交于點、E.點、F

是矩形外一點，連接8廠，CF,EF,添加下列條件后，可判定四邊形8ECE為正方形的是

A.BE〃CF，CE//BFB.BF1CF,BF=AB

C.BF=CF=ADD.EFIBC,BF=CF

12.如圖，在菱形48co中，添加一個條件使其成為正方形，你添加的條件是

題型五、正方形的判定

13.已知：如圖，在Rt△48C中，N/CB=90。，點D在BC上,DF工4B,垂足為立且

=點后為線段4）的中點，過點廠作交射線力。于G,連接CG.

試卷第4頁，共10頁

(1)求證：NCEG=NFEG；

(2)求證：四邊形C￡FG是菱形.

(3)當月。=6。時，求證：四邊形CEFG是正方形.

14.已知：如圖，在。中，480=90。，8。是Z48C的平分線，DEJ.4B千點、E,

DF1BC于點、F.求證：四邊形。E8戶是正方形.

15.如圖，oABCD,AB=2BE平分/4BC,CE平分/BCD,BF//CE,CF//BE,

BF=CF.

⑴求證：四邊形是正方形.

(2)連接力E,若N4EB=75。,求線段4"的長度.

題型六、正方形的性質與判定

16.如圖所示，在矩形48CQ中，/DAC=65。,￡是?！辏旧弦稽c，BE交AC于點、F,將ABCE

沿8E折疊，點。恰好落在48邊上的點U處，則乙?！傅亩葦禐?

試卷第5頁，共10頁

17.如圖所示，在中，N4CB=90\CD平分N4cB交AB于點D,按下列步驟作

圖.步驟1：分別以點。和點。為圓心，以大于geo的長為半徑畫弧，兩弧相交于兩

點；步驟2：作直線MN,分別交于點心“；步驟3：連接。瓦。廠.若

4c=8,8。=6,則線段的長為.

18.如圖，￡為正方形/BCQ內一點，NCEB=90°,CE=3,CB=5,將繞點C按

順時針方向旋轉90。，得到△口)尸，延長BE交DF于點H,連接QE.則的面枳為

綜合攻堅?能力躍升

19.如圖，正方形4SCO中，43=12,點￡在邊6c上，BE=EC,將△￡>(?￡：沿對折

至4DFE,延長E尸交邊力夕于點G,連接。G、BF,給出以下結論：①△D4G%"G：

②4G=2/G：④BFMDE.其中正確結論的個數是()

@5AWF=120;

試卷第6頁，共1()頁

A.4B.3C.2D.1

20.如圖，正方形紙片中，E是/?！苟稽c，將紙片沿過點E的直線折疊，使點力落

在上的點G處，點8落在點〃處，折痕EF交BC于點、F.若CG=8,EF=45則.48=

C.2+2屈D.4+2太

21.你知道嗎？通過規則折紙，我們可以實現分點切割、直角定位、平行線繪制等精準構圖,

一張普通的紙張也可化作一把“兒何神器”

第一步：取一張正方形紙片，對折正方形紙片，折疊后左右兩部分完全重合，記折痕為

EFx

第二步：展開折疊紙片，繼續沿直線折疊，使折疊后點。與點E重合，點C落在點C'

處.

(1)尺規作圖：畫出折痕MV；

(2)設EC'與8c的交點為0.觀察并猜想：點。是線段BC的幾等分點？驗證你的猜想.

試卷第7頁，共1()頁

22.如圖，正方形紙片48CQ的邊長為8cm,點￡1是邊4）的中點，將這張正方形紙片折疊，

使點C落到力。邊上的點E處，折痕交邊48于點G,交邊CO于點E則。尸：。月的值是（）

AGB,好D

44-I

23.如圖，有大小不同的2個正方形/和4,當4的對角線交點與力的一個頂點重合時,

重疊部分的面積是力的：，那么當4的對角線交點與8的一個頂點重合時，重疊部分的面

916

A.-B.—D.——

316CT25

24.實踐探究:

（1）如圖①，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，要得到一個正方形.剪口

與折痕應成度的角.

知識應用：

（2）小明按照以上方法剪出兩個邊長為1的全等正方形，把正方形力乃￡。繞正方形力8C。

的中心點。轉動的過程中，如圖②所示擺放，求證北=所.

拓展延伸

（3）小明把2024個邊長為1的全等正方形重疊在一起，如圖③O2,O,……分別是正

方形的中心，請直接寫出正方形重疊陰影部分的面積.

試卷第8頁，共10頁

圖②圖③

25.問題解決：如圖1在矩形力4c。中，點E,尸分別在48,8。邊上，DE=AF,DE_AF

于點G.

(1)求證：四邊形/灰是止方形；

(2)延長C8到點〃，使得BH=4E,判斷△為，/的形狀，并說明理由.

(3)類比遷移：如圖2；在菱形48CO中，點、E,產分別在月8、BC邊上,QE與力尸相交于點

c

G,DE=AFyZAED=60,AE=5,BF=2,求QE的長.

26.如圖，在菱形48CQ中，對角線力C,8。相交于點O,且△/出。是邊長為4cm的等邊

三角形.點E,尸同時從點0出發在線段力。上以0.5cm/s的速度反向運動(點E,E分別

到達力，C兩點時停止運動)，連接。E,DF,BE,BF.當運動時間為s時，四邊

形DEBF為正方形.

27.已知，長方形力8s中，48=8,80=6,點￡是線段48上的一個動點，將線段0E繞

點Q逆時針旋轉90。得到。尸，過尸作/GLC。于點G,連接七廠，取Eb的中點〃，連接

DH,AH.點七在運動過程中，下列結論：①“DE包GDF；②NGFH=2DE；③當點

〃和點G互相重合時，AE=6；?3y[2<AH<6^/2.正確的有()個

試卷第9頁，共10頁

F

D\C

!HG

A

A.1B.2C.3D.4

28.已知△⑷5c和是等腰直角三角形,NBAC=/E4D=9()。.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若△43cgZUOE,4E在/C4B的內部，連接CE,若/E4B=3O。，求證：“CE

是等邊三角形：

(2)如圖2,連接施，CD,若G是BE的中點,求證：CD=2AG；

⑶若AE>AC,^△NEZ)繞點A轉動，射線CE與射線。8相交于點M,過點/作/NJ.DM

于點N,在/C4E和N84月都是銳角的情況下，探究線段8N,CM,8M之間的數量關系

試卷第10頁，共10頁

1.1

【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質，正方形的性質，熟練掌握勾股定理是解

題的關鍵.

則CO=b=x,"=4-x,BD=2,BC=2+x,根據全等三角形的性質得到彳尸=,

BG=BD,根據4G+8G=48即可求解.

【詳解】解:四邊形為正方形，

CD=CF=x.

:.CD=CF=x,4F=4C-FC=4-x,BC=BD+CD=2+x.

???△AFE絲△/GE,ABGEqABDE.

:.AF=AG,BG=BD.

-AC=4,80=2,

AB=AG+BG=AF+BD=4^x+2=6-x.

AB2=BC2+AC2，

.\（6-x）2=（2+X）2+42,

解得x=l.

故答案為：1.

2.C

【分析】根據正方形的面積可求得4W的長，利用直角三角形斜邊的中線求得斜邊AC的長，

利用勾股定理求得力。的長，根據三角形的面積公式即可求解.

【詳解】解：:S正方形八MEF=25,

：?AM-\/25=5?

???RtZUBC中，點M是斜邊BC的中點,

..5C=2JM=10,

??-AC=yjBC2-AB2=V10:-62=8，

SA/.lRoCt=—2xABxAC=-2x6x8=24.

3.3

【分析】本題考杳的是正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，先求解

EF=DE=DG=kh-CG2=后=6,證明A4OE9ACOG（HL）,可得4K=CG=3,再

答案第1頁，共25頁

進?步可得答案.

【詳解】解：?.■正方形"CZXCG，/的面積分別為45、9,

AD1=CD1=45,CG2=9,NCGH=900=NADC,AD=CD,CG=3,

???四邊形。EFG為正方形，

：?EF=DE=DG=dCD'-CG。=病=6，z￡=zEDG=90°,

?.■ZCGD=ZE=9O0,

.?.△4)E%CQG(HL),

：.AE=CG=3,

;.AF=EF-AE=6-3=3.

故答案為：3.

4.22.5°

【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，由正方形的性質可得

NA=NBEH=90°,AB=EB,ZJBD=45°,即得Ra/8”且Rt/BH(HL),得到

乙4BH="BH,進而即可求解.，掌握正方形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：,??四邊形48CD和四邊形是兩個相同的正方形，BE恰好落在正方形4BCD

的對角線上，

AA-ZBEH-90°,AB=EB,4480=45。，

在RtA/lBH和RtAEBH中，

BH=BH

AB=EB，

Rt△44,0RtAE8"(HL：|,

：2ABH=4EBH,

："ABH=L/ABD=22.5°,

2

故答案為：22.5°.

5.64

【分析】本題考查正方形的性質，等邊對等角，三角形的內角和定理，根據三角形的內角和

定理，求出/OCE的度數，角的和差關系求出/8CE的度數，等邊對等角即可得出結果.

【詳解】解：?,?正方形"8,

答案第2頁，共25頁

.?"BCD=9M,BC=CD,

?:NCED=91。,ZCDE=63°,

:.ZDCE=180。-91°-63。=26。,

.-.Z5CE=90°-26°=64°,

?:BE=CD,

:.BE=BC,

NBEC=/BCE=64。；

故答案為：64

6.⑴4P8=135。

(2)PC=V10

【分析】（1）先根據.正方形的性質可得48=8c=90。，再根據旋轉的性質可?得

△BPA名ABEC,旋轉角為NPBE=/ABC=9伊,則叫BE,然后根據等腰三角形的性質

可得NBPE=NBEP=45。,由此即可得；

（2）先根據旋轉的性質可得EC=21=JI，〃E=P8=2,再求出NPEC=90。，PE?=8,

最后在Rt^CEP中，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】（1）解：???四邊形力8CQ是正方形，

：.AB=BC,/ABC=90。,

???&BPA繞點B順時針旋轉至二BEC處，

??.△BPAABEC,旋轉角為NPBE=NABC=90。,

:.BP=BE,

:"BPE=/BEP==45°

~2~

?.?點4RE三點在同一直線上,

AAPB=180°-NBPE=135°.

(2)解：由(1)已得：ABPA知BEC,NBEP=45。,N力PB=135。,APBE=90°,

:?EC=PA=6,BE=PB=2,NBEC=4PB=135。,

PE1=BE1+PB2=8,/PEC=NBEC-NBEP=90°,

.??在RaCEP中，PC=JPE?+CE2=,8+(女J=麗.

【點睛】本題考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的性質、等腰三角形的性質、

勾股定埋、二次根式的應用等知識，熟練掌握旋轉的性質是解題關鍵.

答案第3頁，共25頁

7.V29

【分析】本題考查正方形的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理.

由正方形的性質可知NE4O=N/TO=45。，BO=CO,NBOF+NCVF=90。,

AB=BC.由題意可得出NB。b+/8。E=90。，即得出NCO尸=NBOE,從而可證明

△CO產gA80E(ASA),得出8E=5=2,進而得出4￡=8/=5,最后由勾股定理即可求

出政的長.

【詳解】解：???四邊形48CO是正方形，

:./EBO=ZFCO=45。,BO=CO/BOC=90°,AB=BC,

+ZCOF=90。.

,：OEIOF,

：.NBOF+NBOE=9。。,

:.Z.COF=/BOE,

ACOF=4B0E

.?.在ACO/和中，CO=BO,

Z.FCO=NEBO

：.ACOF^BOE(ASA),

:.BE=CF=2,OE=OF,

：.AB-BE=BC—CF,}^AE=BF=5,

:.在RtABEF中,EF=ylBF2+BE2=yJl2+52=729.

8.見解析

【分析】此題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定和性質，正確得出全等三角形

是解題關鍵.

利用正方形的性質得=AD/ABE=ZADF=90°,再根據HL證明RsAEBmR("FD,

結合全等三角形的性質可證結論成立.

【詳解】證明：???四邊形/18C。為正方形，

:.AB=AD,/ABE=NABC=NADF=ZADC=90°,

在RS/EA和M4FD中,

AE=AF

AB=AD'

答案第4頁，共25頁

:.RIAAEB9RIAAFD(HL),

???NE=/尸.

9.(1)見解析；

(2)斯的長為

【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，掌握知識點的應

用是解題的關鍵.

(1)由四邊形力8C。是正方形，得BC=DC=AD=AB,4=/。=90。，然后證明

RtA5CF^RtAZ)C^(HL),所以BF=DE,再通過線段的和與差即可求證；

(2)由四邊形力8c。是正方形，得BC=DC=AD=AB=2,/力=/。=90。，通過勾股定

理DE=JCE2-CD2=*可-2?=1,所以=-DE=2-1=1,則有力￡=4產=1,最

后再由勾股定理得石廠=，力1+/尸=4+?=&.

【詳解】(1)解：???四邊形48CQ是正方形，

:.BC=DC=AD=AB,/6=/。=90。，

在Ra8b和R3OCE中，

BC=DC

CF=CE'

:.Rt△灰>'出RQQCE(HL),

BF=DE,

???AB-BF=AD-DE?

???AF=AE,BPAE=AF：

(2)解：???四邊形48co是正方形，

；.BC=DC=AD=AB=2,/4=/。=901

???DE=>ICE2-CD2=《后-2?=1,

^AE=AD-DE=2-\=\,

:.AE=AF=1,

???EF=ylAE2+AF2=Vl2+12=V2，

??.E尸的長為亞.

答案第5頁，共25頁

10.c

【分析】本題主要考杳了正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題關鍵.根據矩形

的判定定理及正方形的判定定理即可解答.

【詳解】解：在。48CO中，AC=BD,

二四邊形48CQ是矩形.

A、當=時,矩形,48。。是正方形，故A選項不符合題意；

B、當力時，矩形48CO是正方形，故B選項不符合題意；

C、當力8=時，無法確定矩形就是正方形，故C選項符合題意：

D、當ZABD=NCBD時,則AABD=NCBD=45°,AZBAC=45°，,AC1BD,：.矩形ABCD

是正方形，故D選項不符合題意.

故選：C.

11.A

【分析】本題考查矩形的性質、角平分線的性質、正方形的判定定理，掌握正方形的判定條

件是解題關鍵.

結合矩形的角和角平分線，先推導四邊形的基礎形狀，再根據正方形的判定條件逐一分析選

項.

【詳解】解：已知四邊形/8CO為矩形，且平分//8C,CE平分NDCB.

故/4BC=NDCB=90°,ZEBC-ZECB-45°,

可得8E=CE,NBEC=90°,△8EC是等腰直角三角形.

選項A：由兩邊平行可得四邊形8改五為平行四邊形，

再由，￡二CE可得四邊形BECF為菱形，

再由NBEC=90°可得四邊形BECF為正方形，故選項A正確：

選項B：BFLCF,即=48,僅可得到“產。=90。，無法證明四邊形8ECF為正方形，

故選項B錯誤；

選項C：根據題意可知8￡=。￡=也力。=也8。，故BF手BE,無法判定正方形，故選項

22

C錯誤；

選項D：EF1BC,BF=CF,僅能判斷△4FC是等腰三角形，不能證明8歹二8后，無法

判定正方形，故選項D錯誤.

故選：A.

答案第6頁，共25頁

12./BAD=90。（答案不唯一）

【分析】本題考查了正方形的判定方法，①對角線相等的菱形是正方形，②有一個角是直

角的菱形是正方形，③對角線互相垂直的矩形是正方形，④一組鄰邊相等的矩形是正方形.

根據①對?角線相等的菱形是正方形，②有一個角是直角的菱形是正方形，添加條件即可.

【詳解】解：???有一個角是宜角的菱形是正方形，

???添加的條件是/BAD=90°.

故答案為：/氏"）=90。（答案不唯一）.

13.⑴見解析

（2）見解析

（3）見解析

【分析】（1）證明Rt△力CDgRt"H）（HL）,得出AC=AF,證明

“CGg"R7（SAS）,得出CG=R7,ZCGA=AFGA,證明△CEGg△/EG（SAS）,得出

NCEG=Z.FEG；

（2）根據平行線的性質得NFG4=NCEG,證明NCGE=NCEG,根據等腰三角形的判定

得出CE=CG,證明CE=M=R7=CG,即可證明結論；

1ono_go。

（3）根據等腰三角形的性質和三角形的內角和得到/。3=/？匕=45。，求得

ZCAD-ZFAD-22.5°,根據等腰三角形的性質得到NC/E-NEC4-22.5。，求得

/CEF=NCEG+NFEG=9。。,根據正方形的判定定理即可得到結論.

【詳解】（1）證明：???/月。8=90。，DFLAB,

/.ZZ）FJ=90°,

在Rl△力CO與RtA/iFD中，

DF=CD

AD=AD'

.-.RtAJCZ)^RtAJFD(HL),

ZCAD=Z.FAD,AC=AF,

在/UCG與△47G中，

AC=AF

-NCAD=ZFAD,

AG=AG

答案第7頁，共25頁

.?."CGg""G（SAS）,

:,CG=FG,NCGA=NFGA,

在KEG和AFEG中,

CG=FG

-ZCGA=NFGA,

EG=EG

.-.△CEG^AFEG（SAS）,

：.CE=EF,/CEG=NFEG；

（2）證明：?.?M7〃CE,

:.ZFGA=ZCEG,

由（1）知：NCGA=NFGA,

:"CGE=/CEG,

:.CE-CG,

由（1）知：CE=EF,CG=FG,

：.CE=EF=FG=CG,

???四邊形CEFG是菱形.

（3）證明：???4C=8C,乙4cB=90。,

:"CAB=NB=g（l80。-90。）=45°,

由（1）知，NCAD=NFAD,

:.NCAD=Z.FAD=22.5°,

???E為力。的中點，ZACB=90°,

：.CE=AE=-AD

2t

Z.CAE=ZECA=22.5C,

：.KEG=Z.CAE+ZECA=45°,

由（1）知：4FEG=/CEG=45。,

"CEF=NCEG+ZFEG=90°,

???四邊形CE/G是菱形，

???四邊形CEFG是正方形.

【點睛】本題主要考查了王方形的判定，菱形的判定和性質，二角形的內角和定理，全等二

答案第8頁，共25頁

角形的判定和性質，正確的識別圖形，熟練掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判

定方法，是解題的關鍵.

14.證明見詳解

【分析】本題考查了正方形、矩形的判定，角平分線的性質及等腰三角形的判定與性質.先

根據已知條件得出/力8。=/。8。=45。，再由/。E8=/。戶8=90。，利用三角形內角和定

理得出/EQ8=N8ZW=45。，從而根據等腰三角形的判定可知8E=OE,BF=DF,證明出

四邊形OE8廠是矩形，進而求得四邊形OEB廠是正方形.

【詳解】證明：???/力8C=90。，是/44c的平分線，

："ABD=/CBD=450,

又"DEBODFBi。,

NEDB=NBDF=45。,

:?BE=DE、BF=DF.

???/ABC=ZDEB=NDFB=90°,

???四邊形。E8/是矩形，

DE=BE,

??.四邊形。是正方形.

15.(1)答案見解析

(2)3遙-3&

【分析】本題考杳平行四邊形的性質，正方形的性質和判定，勾股定理，含30。角直角三角

形的性質；

(1)由四邊形48。。是平行四邊形，BE￥》NABC,CE平分乙BCD,得到N8EC=90。,

再由8/〃感，CF〃BE,BF=CF,可得四邊形8ECF是菱形，進而得證四邊形跖?！笔?/p>

正方形；

(2)過點E作七G_L43,由(1)可得△BGE是等腰直角三角形，RtZk/GE是含30。角直

角三角形，設/G=x,利用48=2百，可求出進而求出“產.

【詳解】(1)證明：???四邊形/8C。是平行四邊形，

:.AB"CD,

.?.48C+N8CO=180。，

???BE平分/"C,CE平分N8CO,

答案第9頁，共25頁

：.NEBC=L/ABC,/ECB'/BCD,

22

.../EBC+/ECB=；(4BC+ZBCD)=90°,

：./BEC=90°,

,:BF〃CE,CF〃BE,BF=CF,

，四邊形BEW是菱形，

又???NBEC=90°,

菱形是正方形.

即四邊形8以于是正方形.

(2)解：過點E作如圖所示,

?.?四邊形BEC尸是正方形,

：?NEBC=45°,

???BE平分/ABC,

;?NGBE=/EBC=45°,

???EGLAB,

:.4GEB=NGBE=45°,

:.GB=GE,

???乙4EB=75°,

:./AEG=/AEB-/GEB=75°-45°=30°,

.??在RtZ^AGE中，設力G=x,AE=2AG=2x,

???GE=y)AE2-AG2=J(2xf-犬=

???GB=GE=6x,

答案第10頁，共25頁

???AB=AG+GB=x+>/5x>

,:AB=2上,

?*-x+VJx=2G，

?*-x=3—A/3?

...G/?=GE=T3_6）=Wi-3,

，BE7GB2+GE?=后（36-3）=3指-3五,

?.?四邊形是正方形，

--BF=BE=3y[b-3y/2.

16.40°

【分析】本題考杳矩形與折疊,正方形的判定和性質，熟練掌握矩形的性質，折疊的性質.

是解題的關鍵，先求出N4CO的度數，折疊，推出四邊形8CEC是正方形，進而得到

N8EC=45。，根據三角形的外角的性質，折疊的性質和平角的定義，進行求解即可.

【詳解】解：在矩形48CO中，/。力。=65。,/。=90。，

NACD=900-Z.DAC=90°-65。=25°.

?「△8CE沿的折疊，點。恰好落在"邊上的點C'處，

/.乙ECB=NECB=900=ZCZ?C,EC=EC,

???四邊形8CEV是正方形，

Z5EC=45°.

由三角形的外角性質，得NBFC=/BEC+/ACD=45。+25。=70°.

由翻折的性質，得NBFC'=NBFC=70。,

?.ZAFC=ISO°-NBFC-NBFC'=180。-70°-70°=40°.

故答案為：40°.

,7-T

【分析】本題考查了尺規作圖?線段垂直平分線，正方形的性質和判定，熟練掌握以I:知識

點是解題的關鍵.

推出直線MN垂直平分C。，證明四邊形ECFO為正方形，根據三角形的面積解題即可.

【詳解】解：由題意知，直線MN垂直平分C。，

答案第11頁，共25頁

:.CE=DE,FC=FD,

又平分4c8,

"ECD=NFCD=lx90o=45°,

2

："EDC=ZECD=45。,

:"DEC=180。-45°-45°=90°,

同理/。產C=90°,

:.乙ECF=/DEC=ZDFC=90°,

又?：EC=ED,

???四邊形ECHO為正方形；

?:S優B」8cMeJx6x8=24,

A/IC?22

又???$億8=S+S=-ACDE+-BCDF=4DE+3DF=7DE,

/、A/fC.oAA4UD\C..8De22

.'.7DE=24,

24

解得。￡二萬.

24

故答案為：y.

31

18.

22

【分析】本題考查旋轉的性質、勾股定理、正方形的判定與性質，熟練掌握旋轉的性質、勾

股定理、正方形的判定與性質是解答本題的關鍵.

由旋轉得，NEW=90。，/CFD=/CEB=90°,CF=CE,DF=BE,可得出四邊形CE4/7

為正方形，可得EH=FH=CE=3.在RrBCE中，由勾股定理得，BE=dBC?-CE?=4，

貝I」。f=4,DH=DF-FH=\,即可解答.

【詳解】解：由旋轉得NECF=90。，ZCFD=ACEB=90°,CF=CE,DF=BE,

???NCEH=180°-NCEB=90°,

???四邊形為矩形，

-CF=CE,

???四邊形CE/行為正方形.

:.EH=FH=CE=3,

在RaBCE中，由勾股定理得，BE=>jBC2-CE2=V52-32=4?

答案第12頁，共25頁

:.DF=BE=4,

DH=DF-FH=4-3=\,

:.SdDunH匕F=、2DHEH

1,■

=—xlx3

2

3

=—，

2

故答案為：—.

乙

19.B

【分析】本題考查了正方形和折疊的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形面

積公式及平行線的判定.先根據正方形和折疊的性質分析圖形中的邊和角關系，再通過全等

三角形的判定、勾股定理、面積計算及平行線判定逐?驗證四個結論的正確性.

【詳解】解：如圖，由題意川知，DF=DC=DA,znre=zc=90°,

ZDFG=ZJ=90°,

在RtA/lDG和RtAFDG中，

AD=DF

DG=DG'

.?.RtAJ￡>G^Ruro(?(HLL故①正確；

???正方形邊長是12,

BE=EC=EF=6,

設4G=/G=x,則EG=x+6,BG=\2-x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(-r+6)2=62+(12-x)2,

解得：i=4,

.1.AG=GF=4,BG=8,BG=2AG,故②正確；

豆赤尸二；?尸GQ/=；X4X12=24,故③錯誤；

?：EF=EC=EB,

:"EFB=/EBF,

?//DEC=NDEF,ZCEF=/EFB+Z.EBF,

答案第13頁，共25頁

/.NDEC=NEBF,

;.BF〃DE,故④正確：

???①②④正確，

故選:B.

20.D

【分析】由折疊性質可知4G_LEF,進而利用同角的余角相等證明/G4E=NNFE,由此

即可得出“QGgARVE(ASA),進而確定/1G=叱.在Rt"OG中，根據勾股定理列方程

求解即可.

【詳解】解：如圖，連接力G交E廣于點過點尸作戶N_L4Q,垂足為N,

則NFNA=NFNE=90°,

?.?正方形48CZ),

/.AB=AD=CD,NBAD=N/tBC=ND=90。,

???四邊形力8/W是矩形，

?,.NF=AB=AD,

由折疊可知月GJ.M,

Z.GAE+NAEF=ZNFE+Z.AEF=90°,

:"GAE=4NFE,

又："NE=NO=90。，

.,.△ADGAFNE(ASA),

AG=EF,

，:EF=4屈

：.AG=EF=4B

設正方形邊長為x,則48=4Q=CZ)=x,

答案第14頁，共25頁

???CG=8,

:.DG=CD-CG=x-3,

在RJAOG中，AG2=DG2+AD2,即（x-8『+/=（475y

解得：x=4+2C或x=4-（不合題意舍去）

AB=4+2->/6.

故選：D

【點睛】本題考查正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，矩形

的判定與性質，掌握折置的性質，根據垂直模型證明4G=￡?尸是解題關鍵.

21.⑴圖見解析

（2）點。為8C的三等分點，證明見解析

【分析】本題考查尺規作圖一作垂直平分線，正方形與折疊，矩形的判定和性質，勾股定理,

熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵：

（1）根據折疊的性質，得到MN垂直平分連接OE,作QE的中垂線即為直線MN；

（2）設正方形的邊長為1,作。KJ.4D,連接M。，設/M=x,則

DM=AD-AM=1-x,在RtA/M/E,勾股定理求出1的值，設C0=OK=y,則

BQ=CB-CQ=\-y,MK=DM-DK=）-y,在RSMK0和RSE80中，勾股定理表示

8

出,EQ2=BE2+BQ2\+（1-力:再在中，利用勾股定

理求出V的值，即可.

【詳解】（1）解：如圖，直線MN即為所求：

（2）解：點。為8c的三等分點，證明如下：

設正方形的邊長為1,作。K_L力。，連接M。，則四邊形。KQC為矩形,

:.QK=CD=\,DK=CQ,

設則。河=4。-4必=l-x,

答案第15頁，共25頁

???折疊，

.'.ME=DM=\-x,AE=BE=-AB=~,ZMEQ=ZADC=900,

22

在RlZ\/M/￡中，由勾股定理，得/+(；)=(l-.r)2,

3

x=—,

8

5

-

EM-DM=\-x8-

設CQ=QK=j，，則4°=C4_C°=l_y,MK=DM-DK=--y,

8

/5\2

在RLMK0中，M02=]2+2_y

(87

在RLE80中，七°2=4爐+802=(g)+(1—y),，

在RtAMFg中，EM2+EQ2=MQ2,

解得y=g;

??.CQ=；fc,

即點Q為5。的三等分點.

22.C

【分析】本題考查了正方形的性質、折疊的性質及勾股定理的應用，解題的關鍵是利用折疊

性質得對應邊相等，結合勾股定理列方程求解.

【詳解】解：?.?正方形48CQ邊長為8,E是X。中點，

：.DE=-AD=4

2

設。產=.丫，則C/=8-x,由折疊性質得￡/=。/=8-》.

在RaEQ廠中，由勾股定理：DE2+DF?=EF?，

即4?+/=(8一工＞,16+x2=64-16x+x2,16x=48,x=3.

:.DF=3,DE=4,DF\DE=~.

4

故選：C.

23.B

答案第16頁，共25頁

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，涉及到正方形性質的應用，正確認識圖形是

解題的關鍵.

19

根據題意，結合圖形，先得到圖1中豆=^$8,結合已知條件，得到結合圖2,

得到結果.

【詳解】解:如圖，設正方形4的面積為邑，正方形8的面積為品，圖1中陰影部分面積為

S，圖2中陰影部分面積為S2,

?.?圖1中，BC=BE,/ECD=/BEF,/CBD=/EBF=90。一/DBE,

:sBCDqABEF(AAS),

S

?$3=產1，

c1c

v5.=—S,

19At

3=2

90

-SeA=/"，

同理，圖2中，邑二;邑,

199

2千/LmSi

9

即當4的對角線交點與B的一個頂點重合時，重疊部分的面積是8的弓,

16

故選;B.

2023

24?⑴45；⑵見解析；⑶丁

【分析】本題考查了正方形的性質與判定，全等三角形的判定和性質.

(1)根據翻折變換的性質及正方形的判定進行分析從而得到最后答案;

(2)由正方形的性質得/4OG=/4O8=90。，NOAE=NOBF=45。，

OA=OC=OB=OD,然后證明A,4OE/A8OF(ASA)可證明結論成立;

答案第17頁，共25頁

(3)由(2)可得與影=了5正方形48皿，進而可求出2024個邊長為1的全等正方形重疊在一

起陰影部分的面積.

【詳解】解：(1)一張長方形紙片對折兩次后，剪下一個角，是菱形，而出現的四邊形的兩

條對角線分別是兩組對角的平分線，

所以當剪口線與折痕成45。角，菱形就變成了正方形.

故答案為：45；

(2)證明：在正方形44Go和正方形力8。中，

5)Ci=NAOB=90。,NOAE=NOBF=45。,OA=OC=OB=OD,

二Z^OC,-ZBOE=ZAOB-ZBOE,

:.NAOE=NBOF,

???"OE知BOF(ASA),

???/iE=BF；

(3)由(2)可知，AAOE^BOF,

AS^AOE=S^BOF，

A5因影=S^BOE+S.BOF=SWOE+S,OE=S&月os=正方形八BCD)

???2024個邊長為1的全等正方形重疊在一起，

I2023

二正方形重疊陰影部分的面積為：4x1x1x(2024-1)=^

44

25.⑴見詳解

(2人力〃/是等腰三角形，理由見詳解

⑶7

【分析】本題主要考查矩形，正方形，菱形，等邊三角形的判定和性質，掌握以上知識的判

定和性質是關鍵.

(1)根據矩形的性質，證明"。小且”即(4S),得力D5B,結合正方形的判定方法“一

組鄰邊相等的矩形是正方形”即可求證；

(2)證明△/。￡且△氏"/(S/S),結合(1)即可求證；

(3)如圖所示，延長CB到點H,使得4〃=4E,連接力〃，證明空△48H(S4S),

答案第18頁，共25頁

可得/是等邊三角形，由此即可求解.

【詳解】（1）證明：?.?四邊形"CQ是矩形，

：.NBAD=NABC=9Q0,

.-.ZBAF+ZDAG=90°f

vDEJ.AF,

.-.ZZ）JG+ZJDG=90o,

???Z.BAF=Z.ADE>

vZ.ADE=NBAF,Z.DAE=NABF,DE=AF,

.?.AADE/ABF（AAS）,

???AD=AB,

又???四邊形月夕CQ是矩形，

???四邊形48CQ是止方形；

（2）解：△力H尸是等腰三角形，理由如下，

???四邊形”。是正方形，

:"DAE=/ABF=NABH=90°,AD=AB,AE=BF,

,:AE=BH,

:ADE/BAH（SAS）,

DE=AH,

由（1）得到DE=AF,

???AH=AF,

戶是等腰三角形：

（3）解：如圖所示，延長C8到點“，使得=4E,連接力H,

???四邊形力8C7）是菱形,

JD||BC,AB=AD,

:./DAE=/ABH,

答案第19頁，共25頁

在ADAE與"BH中,

DA=AB

■Z.DAE=NABH,

AE=BH

.?.△DAE%AB”(SAS),

:.DE=AH,NAED=NH=60。,

又?；DE=AF,

???AH-AF,

是等邊三角形，

:.AH=HF=BH+BF=AE+BF=5+2=7,

:.DE=AH=7.

26.4

【分析】本題考查了“菱形的性質”“正方形的判定“，找到運動路程與正方形的判定條件之間

的關系是解題關鍵.

由菱形的性質，可知EF1BD,OD=OB,因此，當￡尸=8。時，即可判定四邊形OE8產

為正方形，此時的時間即為所求.

【詳解】???四