相似三角形應(yīng)用舉例 鞏固練-2025-2026學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教版）

27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例鞏固練2025-2026學(xué)年

下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊

一、單選題

I.測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長A8為15米（如圖），然后在4處樹立一根高2米的

標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長4。為2.5米，則樓高為（）

X00

/00

CAB

A.10米B.12米C.2.5米D.22.5米

2.如圖，它是物理學(xué)中小孔成像的原理示意圖，已知物體A8=30,根據(jù)圖中尺寸（A8〃C。），則8

A.15B.30C.20D.10

3.如圖，某次課外實踐活動中，小紅在地面點3處利用標(biāo)桿FC測量一旗桿EQ的高度.小紅眼睛點

A與標(biāo)桿頂端點凡旗桿頂端點七在同一直線上，點&C,D也在同一條直線上.已知小紅眼睛到

地面距離A5=1.6米，標(biāo)桿高FC=3.8米，且BC=1米，CO=7米，則旗桿EO的高度為（）

C.17.6米D.19.2米

4.如圖，路燈0P距地面8米，身高1.6米的小明從距離燈的底部（點0）20米的點A處，沿0A

所在的直線行走14米到點B處時，人影的長度（)

OBNAM

A.變長了1.5米B.變短了2.5米C.變長了3.5米D.變短了3.5米

5.如圖，小明周末晚上陪父母在馬路上散步，他由燈下A處前進4米到達8處時，測得影子3C長

為I米，已知小明身高1.6米，他若繼續(xù)往前走4米到達處，此時影子/無:長為()

6.如圖所不，某校宣傳欄后面2米處種了一排樹，每隔2米一棵，共種了6棵，小勇站在距宣傳欄

中間位置的垂直距離3米處，正好看到兩端的樹干，其余的4棵均被擋住，那么宣傳欄的長為()

7.如圖，4(-3,0)、8(0,4)、戶(4,0),A8=5,歷、N兩點分別在線段A3、y軸上，則

8.凸透鏡成像的原理如圖所示，AO〃/〃8C,若物體到焦點的距離班與焦點到凸透鏡中心線。8的

距離。尸之比為3:2,則該物體縮小為原來的()

二、填空題

9.如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿6E測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿5E高為1.5〃?，測得A6

=3m,AC=\0m,則建筑物CQ的高是m.

□

□

□

10.如圖，電燈。在橫桿AA的正上方，在燈光下的影子為CO,AB!/CD,AB=2cm,CD=5cm,

點2至I]C。的距離是3cm,則點P到AB的距離是

/

\

8

\

?

Z

Z\

Z

Z

Z

Z

CZ

11.在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米.同時另一名同學(xué)測量一棵樹的高

度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有?部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上，其影長為1.6米，落在地

面上的影長為3.6米，則樹高為米.

12.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有井徑五尺，不知其深，立三尺木于

井上，從木末望水岸，入徑五寸.問井深幾何？''意思是：如圖，井徑AB=5尺，立木高BZ)=3尺,

8石=5寸=0.5尺，則井深A(yù)C為尺.

D

13.高6cm的旗桿在水平面上的影長為8cm,此時測得一建筑物的影長為28m,則該建筑物的高為

14.為了估計河的寬度，勘測人員在河的對岸選定一個目標(biāo)點A,在近岸分別取點B,D,E,C,使

點A,B,。在同一條直線上，且點A,C,E也在同一條直線上，且。石〃8c.經(jīng)測置3c=24

米，加＞=12米，。匠=40米，則河的寬度A4為米.

15.如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體的高度為36"明求它在暗

盒中所成的像。。的高度.

16.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們

通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE

=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿

的高度.

17.某校初三課外活動小組，在測量樹高的一次活動中.如圖所示，測得樹底部中心A到斜坡底C

的水平距離為8.8m,在陽光下某一時刻測得/米的標(biāo)桿影長為0.8m,樹影落在斜坡上的部分8=3.2m,

已知斜坡C。的坡比i=l：G，求樹高AB.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：73=1.7）

18.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點P,在近岸取點Q和S,使點P、

Q、S共線且直線PS與河垂直，接著再過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT,確定PT與

過點Q且垂直PS的直線b的交點R.如果測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的寬度PQ.

STa

19.天小雯和小華去某影視基地游玩，小雯站在地面上給站在城樓上的小華照相時發(fā)現(xiàn)：她的眼睛A

點、涼亭頂端C點、小華頭頂E點恰好在同一條直線上（如圖）.已知小雯的眼睛離地面的距熱

為1.68米，涼亭頂端離地面的距離。。為3.50米，小雯到?jīng)鐾さ木嚯x8。為3米，涼亭離城樓底部的

距離。尸為15米，小華身高石G為1.45米.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度NG.

A:

BD

15米

20.小明想利用影長測量學(xué)校旗桿的高度，他在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長是L4米；

此時，他發(fā)現(xiàn)旗桿AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在樓房的墻壁上，分別測

得BD=II.2米，CD=3米，求旗桿AB的高度.

□□

□□

□□

□□

□□

參考答案

題號12345678

答案BDDDBCBC

1.B

【分析】本題考杳了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻

的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似.根據(jù)相似三角形的對

應(yīng)邊的比相等，即可求解.解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立

適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

【詳解】解：???標(biāo)桿的高：標(biāo)桿的影長二樓高：樓的影長，

???樓高=12（米）.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)題意△。。。。△辦以根據(jù)三角形高的比等于相似比，進而即可求解.

【詳解】解：依題意，AODCS^OAB

.AB36

??-----=—

CD12

???AB=30

：.CD=1x30=10,

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】作交尸。于點G,把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比

例列出方程，解方程即可.

【詳解】解：作交氏7于點G,如圖所示：

E

VFCIBZ),ED工BD,AHLED交FC于點G,

:.FG//EH,

AHVED,BDLED,ABLBC,EDLBC,

，四邊形A8。“、A8CG是矩形，

..AH=HD,AG=BC,

AB=\.6tFC=3.8,BC=l,CD=7,

...尸G=3.8-16=2.2,80=1+7=8,

FG//EH,

：?AAFG~-AEH

FGAG

2.21

0即I1——=-

EH8

解得：EH=176,

.-.ED=17.6+1.6=19.2(m)

答：旗桿的高E。是19.2米，

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用；通過構(gòu)造相似三角形.利用相似三角形對應(yīng)邊成比例是解決

問題的關(guān)鍵.

4.D

【分析】小明在不同的位置時，均可構(gòu)成兩個相似三角形，可利用相似比求人影長度的變化.

【詳解】設(shè)小明在A處時影長為x,B處時影長為y.

VAD/70P,BC/7OP,

/.△ADM^AOPM,△BCN^AOPN,

.AD_MABC_BN

??而一前，7)P~ON，

，AD?MO=MA?OP,BC?ON=BN?OP,

則l.6x(x+20)=8x,1.6x(y+20-14)=8y,

x=5,>=L5,

:.x-y=3.5,

故變短了3.5米.

故選：D.

【點睛】本題是相似三角形的應(yīng)用題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)達成比例,

應(yīng)注意題中三角形的變化.

5.B

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)即可求得。￡的長.

【詳解】如圖,'：FB//PA,GD//PA,

/.△Cra^AC?A,△EGD^AEPA.

.FBBCGDDE

**RA-AC'PA"'

?；FB=Gg.6米,AB=Bl)=4^t801米，

：.AC=AB+BC=4+\=5(米)，.4房48+8。+。月=4+4+。石=(8+0為米，

.BCDEI

??----=-----=—.

ACAE5

：,AE=5DE,

即8+DE=5DE,

解得：DE=2.

即此時影長為2米.

故選:B.

【點睛】本題考查了相似三角形的實際應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定方法和基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解；如圖:

由圖可知，

*/BCED,

:.LABCS^ADE,

,AF_BC

??而一而‘

又￡>E=]0米，4尸=3米，F(xiàn)G=2米,

:.AG="+FG=5米

解得8C=6米,

故選C.

7.B

【分析】如圖，連接PN,作NM_LA8于M,作?“J_ABfM咬V軸于點N：根據(jù)垂線段最短

可知，PN+MN的最小值為線段W的長，再證明AABCSM尸“，可得笆=照；，由此即可解

APPM

決問題;

【詳解】解：如圖，連接PN,作力△于M,作尸加」45于“，交了軸于點乂二

PN+MN4PN'+N'M',

^PN+MN<PM't

根據(jù)垂線段最短可知，PN+MN的最小值為線段網(wǎng)小的長,

ZI3AO=ZPAM',Z4O，=Z4M'P=90。，

.?.AA88AAPM',

ABOB

…Ap-PM、'

—5=--4-，

7PM,

，“哼

.?.川+加的最小值為三,

故選B.

【點睛】本題考查垂線段最短，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用垂線段最短解決

問題，屬于中考常考題型.

8.C

【分析】先證出四邊形O8CG為矩形，得至l]OB=CG,再根據(jù)VAgsVBO”,求出縹，從而得到物

CO

體被縮小到原來的幾分之幾.

【詳解】解?：BC//1,CG1/,8011,

.??四邊形O8CG為矩形，

:.OB=CG，

物體到焦點的距離//與焦點到凸透鏡中心線DB的跑離O”之比為生2,

.HF、咻_3

~OF~~OF\~2f

AH±HO,BOLHO,ZAFiH=ZBFlOt

.AH_HF_3

??前一而-3,

AH3

/.-----=-，

CG2

???物體被縮小到原來的:2倍，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，從實際問題中找到相似三角形并利用相似三年形的性質(zhì)

進行求解是解題的關(guān)鍵.

9.5

【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似的性質(zhì)，可以計算出C。的長，從而可以解答本題.

【詳解】VEB1AC,DCLAC,

：.E13//DC,

AZAEB=ZADC,ZABE=ZACD,

又???NA=NA,

???△ABES/XACO,

.AB_BE

''~AC~~CD'

VBE=1.5in,AB=3tn,AC=10/n,

.31.5

??=,

10CD

解得，CD=5,

即建筑物C。的高是5m,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用、相似比等知識，正確得出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

10.-

5

【分析】利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，列出方程即可解答.

【詳解】解:AB//CD

;.MAB^PCD

AB:8=〃到AB的距離：點P到CD的距離.

??.2:5=P到A3的距離：3

.?/到A8的距離為當(dāng)"，

?-

故答案為5.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三

角形對應(yīng)高的比等于相似比，列出方程，通過解方程求出。到八8的距離.

11.6.1

【分析】設(shè)從墻壁的影子的頂瑞到樹的頂端的垂直高度是x米，根據(jù)竹竿的長度：竹竿影長=樹的高

度：樹的影長，列出比例式求出垂足到樹的頂端的高度，再加上墻上的影高就是樹高.

【詳解】解：設(shè)從墻上的影子的頂端到樹的頂端的垂直高度是x米，根據(jù)題意，

得上噎，

解得x=4.5,

；?樹高為4.5+1.6=6.1（米），

故答案為：6.1.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知在同一時刻物高和影長成正比，即在同一

時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似.

12.27

【分析】根據(jù)AC〃4。，得到七，進而得到、=▼，代入數(shù)值，求出AC,問題得

BDBE

解.

【詳解】解：：AC〃用九

:.AACESABDE,

,ACAE

??=,

BDBE

nnAC5-0.5

30.5

解得4c=27,

故井深A(yù)C為27尺.

故答案為：27

【點睛】本題考杳了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)健是根據(jù)AC〃B。得到△ACES2X8DE.

13.21m

【詳解】設(shè)建筑物高為hm,依題意得

6_/?

8=28

解得，h=21

故答案為21m

【點睛】本題考核知識點：成比例性質(zhì)，解題關(guān)鍵點：理解同一時刻，物高和影長成比例.

14.18

【分析】設(shè)河的寬度AB為x米，則AO=(12+x)米，由DE//BC可?得△ABCs^ADE,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)可求出x的值，即可得答案.

【詳解】設(shè)河的寬度AB為x米，則AO=(12+x)米.

?:DE//HC,

Ai.ABCADE,

.ABBC

"AD=DEF

解得x=18.

故河的寬度AB為18米.

故答案為：18

【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，如果-一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，

那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個

三角形相似；如果兩個三角形口勺三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；平行于三:先形一邊的

直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；熱練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

15.它在暗盒中所成的像CDR勺高度為16cm

【分析】過點0分別作0石_146,0尸_1。。，垂足分別為點￡下,因為人8〃?口所以4人809/^^0,

則有言哮而AB的值已知，所以可求出CD.

【詳解】解：如圖，過點0分別作OE_LA8,OFVCD,垂足分別為點E,F.

???AB“CD,

；?NR4O=NOCO,NABO=tCDO.

MOBs^cOD.

.ABOE

??-----=------?

CDOF

*/AB=36cm.OE=45cm.OF=2()cm.

**??解得CO=16.

x--

：?它在暗盒中所成的像CD的高度為16cm.

【點睛】此題考杳相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.

16.旗桿的高度為11.5m

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可；

【詳解】解：由題意可得：△DEFs/XDCA,

???DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m,DC=20m,

.0.50.25

??9

20AC

解得:AC=IO,

故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m).

答：旗桿的高度為11.5m.

【點睛】本題主耍考食了相似二角形的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

17.樹高A8為16m

【分析】點。作QEJ■人從。匚LAC，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的計算和相似三角形的相似比

求解.

【詳解】解：過點作。DFA.AC,垂足分別為￡F,如圖，

???斜坡CD的坡比j=l：G，即碗NQCG也，

3

ZDCF=30°,

而CQ=3.2m,

/.DF=gCD=1.6/??,CF=6DF=1.6>/3m,

VDF1AC,DE±AB,AC_L4B,

???四邊形4ED”是矩形，

.\AE=DF,DE=AF,

VAC=8.8m,

/.DE-AF-AC+CF-^.^1.6萬，

.BEDE_S.S+\.6y/3

?丁一證一(18

???8E=ll+25

.\AB=BE+AE=\2.6+2y/3~16Im).

答：樹高A8為16m.

【點睛】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，理解坡比，構(gòu)造直

角三角形是解題的關(guān)鍵.

18.90米

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出p：鼠喈，進而代入求出即可.

【詳解】解答：根據(jù)題意得出：QR〃ST,

則4PQRsZXPST,

HrPQQR

PQ+QSST*

VQS=45m,ST=90m,QR=60m,

?0。二60

??尸。+45