第1章 二次函數-浙教版九年級《數學》上冊培優測試強化卷

第1章二次函數（高效培優單元自測?強化卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。）

1.已知二次函數y=2（x-lf+3,其頂點坐標為（）

A.（-1,3）B.（1,一3）C.（-1,-3）D.（1,3）

【答案】D

【分析】本題考查二次函數頂點式的頂點坐標，利用二次函數頂點式的性質即可直接求解.

【詳解】解：二次函數頂點式的形式為其頂點坐標為（〃"）.

???已知二次函數為），=2（尢一1）2+3,對比頂點式可得〃=1,k=3

???該二次函數的頂點坐標為（1,3）.

2.拋物線），=-2（x-3與），軸交點坐標是（）

A.（0,-3）B.（0,-1）C.（1,-3）D.（0,-5）

【答案】D

【分析】拋物線與y軸交點的橫坐標為o,將x=o代入拋物線解析式計算出y的值，即可得到交點坐標.

【詳解】解：當x=0時，y=-2（X-1）2-3

=-2X（O-1）2-3

=-2x1-3

=-5,

???拋物線與y軸的交點坐標是（。,-5）.

3.二次函數yX-2的圖象如圖所示，則不等式/7_2<0的解集是（）

A.x<-lB.x>2C.-1<x<2D.xv-1或x>2

【答案】C

【分析】本題考查二次函數與不等式，利用圖象法，找到拋物線在X軸下方時的自變量的取值范圍即可得出

結果.

【詳解】解：由圖象可知，不等式父一4-2<0的解集是T<x<2：

故選C.

4.若拋物線），=/+工_|與x軸的交點坐標為。幾0）,則代數式病+〃?+]]9的值為（）

A.118B.119C.120D.121

【答案】C

【分析】先求出加+加的值，再用整體代入法計算所求代數式的值.

【詳解】解：???點（〃?,0）是拋物線丁=/+彳_]與％軸的交點，

杼（，4。）代入y=f+x-1，可得〃，+〃?一1=0,

:.整理得nr+m=1>

將〃/+〃?=1代入〃?'+〃?+119得原式=1+119=120.

5.已知二次函數），=（x—1『+匕點尸（0,y）,Q（2,%），M（3,%）在函數圖象上，則大小關系為（）

A.B.%<乂<%

c.=y2<y3D.%<必<另

【答案】C

【分析】本題根據二次函數頂點式確定開口方向和對稱軸，利用開口向上的二次函數性質，得點到對稱軸

的距離越大，函數值越大，通過比較各點到對稱軸的距禽即可得到函數值的大小關系.

【詳解】解：?.?二次函數解析式為y=（X-l）2+k,。=1>0

，拋物線開口向上，對稱軸為：宜線x=l,

點尸（o,y）到對稱軸的距離：|o-i|=i,

點Q（2,%）到對稱軸的距離：|2-||二1,

點M（3,%）到對稱軸的距離：|3-1|=2,

???拋物線開口向上時，點到對稱軸的距離相等則函數值相等，距離越大，函數值越大，

/.M=%v%?

6.將拋物線y=f向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線解析式是（）

A.y=（x-2）2-3B.y=（x-2）?+3

C.廣。+2『-3D.），=（-

【答案】c

【分析】本題考查二次函數圖象的平移，利用“左加右減自變量，上加下減常數項''的平移規則計算即可得到

新拋物線的解析式.

【詳解】解：原拋物線解析式為『=/

???拋物線向左平移2個單位，根據平移規則“左加右減自變量”，得平移后解析式為y="+2）2

再將得到的拋物線向下平移3個單位，根據平移規則”上加下減常數項”，得最終解析式為y=（x+2）2-3.

7.對于拋物線y=2（x-l『+3,下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下B.拋物線的頂點坐標為（L3）

C.拋物線的對稱軸為直線x=-lD.當x>l時，隨x的增大而減小

【答案】B

【分析】根據頂點式的特點，分別判斷開口方向、頂點坐標、對稱軸和增減性即可.

【詳解】解：???拋物線解析式為了=2（x—lp+3,

：.a=2>0,

???拋物線開口向上，故A錯誤：

頂點坐標為（1,3）,故B1E確；

對稱軸為直線x=l,故C錯誤；

???拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,

???當”>1時，）'隨x的增大而增大，故D錯誤.

8.某商店銷售一種產品，成本為每件40元，原售價為每件60元，每日銷量為50件，經過市場調查，若

每件售價每漲價1元，則每日銷量減少2件.設售價為每件x元，x為正整數.有下列結論：

①若/=70,則銷售該商品當日利潤為800元；

②若要取得最大利潤，又盡量讓利消費者，則x=63；

③有兩種定價方式可以使利潤為1008元.

其中，正確結論的個數是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【分析】先根據題意得到利潤關于售價的二次函數表達式，再依次驗證三個結論，統計正確結論的個數即

可；

【詳解】解：設每日銷售利潤為了元，根據題意:每件利潤為（工-40）元,每日銷量為50-2（x-60）=170-2x,

因此利潤函數為：y=（x-4。）（170-2x）=-2X2+250X-6800

驗證結論①：當x=70時，y=（70—40）（170—2x70）=30x30=900,

???結論中說利潤為&X）元，.,?結論①錯誤；

250

驗證結論②：二次函數），=-2，+2504-6800開口向下，對稱軸為工二-24—2）=625,

???1為正整數，且要求利潤最大同時盡量讓利消費者（即售價更低），

???x=62滿足要求，結論②錯誤；

驗證結論③：令），=1008,得方程（X—40）（170—2力=1008,-125x4-3904=0,

解得》=61,X2=64,兩個根均為正整數，因此有兩種定價方式，結論③正確；

綜上，正確結論只有1個；

9.如圖，在中，ZC=90°,AC=2cm,BC=4cm,點P從點月出發，以的速度沿折線

4C7C8TA4運動，最終回到點4.設點。的運動時間為心，線段AP的長度為"利，則能夠反映y與x

之間函數關系的圖象大致是（）

【答案】A

【分析】分點P在AC、BC、A8上運動三種情況，進行討論求解即可.

【詳解】解：VZC=90°,AC=2cm,BC=4cm,

???AB=JAC2+BC?=2瓜m，

由題意，當（）"41時，點P在AC上，），=2凡為一段上升的線段；

當lvxW3時，點產在〃。上，

r.CP=2x-2,

???），=/石］=師彳工，其函數圖象是丁隨X的增大而增大，且不是線段；

當3<xW3+y/5時，點Pfl-ABI.?

y=2+4+2x/5-2x=-2x+6+2\/5,為一段下降的線段；

故符合題意的只有選項A.

1（）.如圖，拋物線丫=9-4%-5與x軸交于點A,B（點8在點A的左側），與丁軸交于點。，點用，N在

該拋物線的對稱軸上（點M在點N的上方），若MN=1,則MO+CN的最小值為（）

A.272B.4&C.4GD.3石

【答案】B

【分析】根據拋物線y=d-4X-5,得對稱軸是直線x=2,得出點C坐標為（0,-5）,將線段CNI向上平移

1個單位長度到C，M的位置（此時點N重合），當點C,M,O'在一條直線時，OA/+CM有最小值，

即QW+CV有最小值，即線段。C'的長，可得OC=4,00=4,根據勾股定理得℃=J4、42=4人，

即可求解.

【詳解】解：y=X2-4X-5=（X-2）2-9.

「?拋物線的對稱軸是直線x=2.

二.點。關于對稱軸直線x=2的對稱點為0（4,0）.

當工=0時，y=-5,

???點C坐標為（0,-5）,

將線段CN向上平移1個單位長度到c'M的位置（此時點M，'重合），當點C',M,O,在一條直線時,

OM+C/W有最小值，即。W+CN有最小值，即線段。C的長，

。。'=4,6X7=4,

二.0rC=9+42=4V2，即OM+CN的最小值為4&?

【點睛】本題考查了二次函數的幾何綜合，兩點之間線段最短，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.）

11.二次函數＞'=*+21+1與4軸交于（—。,0）,則。的值為.

【答案】1

【分析】二次函數圖象與x軸交點的坐標滿足二次函數解析式，將交點坐標代入函數解析式，求解關于?。的

一元二次方程即可得到〃的值.

【詳解】解：???二次函數y=/+2.r+l與x軸交于點（-4,0）,

?,?將,y=0代入y=/+2工+1得（一姨+2x（-t/）+l=0,

整理得a?一》7+1=0,

.?.gif二。

解得4=。2=L

.人的值為1.

12.二次函數>=辦2+版+。（?,b,C為常數，。<0）中，x與y的部分對應值如表:

X???-103???

y?.?n2n???

若〃?>0,且點4（加,凹），8（加+2，%）在該二次函數的圖象上，則H先.（填或“=”）

【答案】>

【分析】先根據表格中x=-l與x=3的函數值相等求出二次函數的對稱軸，再結合。<0判斷開II方向，通

過比較兩點到對稱軸的距離大小，即可判斷H與％的大小關系.

【詳解】解：由表格可知，當x=-l和x=3時，y值相等，

-1+3

因此二次函數丁=如2+法+。的對稱軸直線為x=—1=1.

因為avO,

所以拋物線開口向下，拋物線上的點到對稱軸的距離越大，對應的函數值越小.

點A（見yj到對稱軸直線x=l的距離為仰-1|,點3（川+2%）到對稱軸直線1=1的距離為M+2-1|=|/W+1].

因為〃2>0,

所以|〃?+1|="?+1>0.

當Ov〃?<l時，|m-l|=l-7n,則仙一1|-|/"+1|=1-〃2-（〃2+1）=-2m<0,即]〃?一1|.

當"亞I時，貝叩〃一1|一,〃+1|=6-1一（〃，+1）=—2<。，即

因此點A到對稱軸的距離小于點8到對稱軸的距離，可得y>%.

13.某工廠第一年的利潤為20萬元，第三年的利潤>萬元與平均年增長率x之間的函數關系式是,

自變量x的取值范圍是.

【答案】y=20（l+x『（或y=20/+40x+20）x>0

【詳解】解：由題意可知第一年的利潤為20萬元；

第二年的利潤為200+力萬元；

第三年的利潤為20（l+x）（l+x）萬元，

貝ijy=20（1十X））（或），=20/+40x+20）；

由于利潤呈增長狀態，因此增長率為正，即x>0.

14.如圖，二次函數丁=爾+以+c的部分圖象與x軸的一個交點A位于(-2,0)和(-1,0)之間，頂點尸的坐

標為下列結論：

①"cvO：②對于任意實數〃?，都有卬/+切〃-心0；③3b<2c；④若該二次函數的圖象與x軸的另一

個交點為8,則點8的橫坐標位于3和4之間.其中所有正確結論的序號是___________.

【答案】①③④

【分析】I［函數y=a?+bx+c開口向下，對稱軸％=-9=1>0,交y軸于正半軸可得〃<0,〃>0,

c>0,從而abcv0,故①正確；由頂點P的坐標為(1,〃)可得對于任意實數川，都Is,/+Z?/〃+c4a+Z?+c，

即a-KO,故②不正確；由二次函數)，=加+區+。的部分圖象與工軸的一個交點八位于(-2,0)

和(T,。)之間得y=n-〃+c>。，又。=—勿，故+即3〃<2c,故③正確；由點A和點8關于x=l

對稱和點A位于(-2,0)和(-1,0)之間可得點8的橫坐標位于3和4之間，故④正確.

【詳解】解：???二次函數-加+a+c?開口向下，

:.a<0,

,二次函數y=ax2+/?x+c對稱軸x=—=1>0,

2a

/.b>0,

?/二次函數y=cix2+/zr+c交)，軸于正半軸，

/.c>0,

/.abc<0,故①正確;

??頂點P的坐標為(L〃),

???當x=l時，y最大為a+〃+c,

??刈「任意實數，〃，anr+bm+c<a+b+CfHPam2+bm-a-b<0故②不正確;

?二次函數尸加+法+C的部分圖象與X軸的一個交點A位于(-2,0)和(TO)之間,

.,?當x=T時，y=a-b+c>0,

h=-2a,即a=~~,

2

-b+c>0,H1.38<2r,故③止確：

若該二次函數的圖象與x軸的另一個交點為3,則點A和點8關于x=l對稱，

,?,點A位于(一2,0)和(TO)之間，1一(一2)=3,1-(-1)=2,

二點〃的橫坐標位于3和4之間，故④正確；

綜上所述，①③④正確.

15.已知二次函數y=/+4x+5,當一34x40時，y的取值范圍為.

【答案】1<J<5

【分析】將二次函數化為頂點式，得到開口向上，對稱軸為宜線x=-2,距離對稱軸越遠函數值越大，即可

求解.

【詳解】解：.y=f+44+5=(/+2]+1,

???開口向上，對稱軸為直線工=-2,距離對稱軸越遠函數值越大，

.?.當x=—2時，y有最小值為1,

.*.0-(-2)>-2-(-3),

.??當工=()時，>有最大值為5,

??.y的取值范圍為1"$5.

16.如圖，拋物線y=Y-4x+3交工軸于4,B兩點,交)'軸于點C,點尸為工軸上方拋物線對稱軸上一點，

當NC￡4=2N￡44時，點尸的坐標是

【答案】(2,1)

【分析】求出拋物線與x軸、)'軸的交點坐標，延長。尸交x釉卜點G,由外角的性質證得A尸=8尸，由等

腰三角形的三線合一可求出G點的坐標，利用待定系數法求直線。的解析式，從而求出點尸的坐標.

【詳解】解：令y=0得d-4x+3=0,

解價$=3,x2=1,

4(1,0),5(3,0),

令％=0得y=3,

/.C(0,3),

拋物線的對稱軸為直線x=-3=2,

2a

：.AH=\,

延長C戶交x軸于點G,

I\/

\\:/ZCFA=ZFAG+ZFGA,ZCFA=2ZFAB,

口、、G,

.\AFAG=ZFGA,

AF=GF，

F_LX軸，

AH=GH=1,

/.G(3,0),

???點G與點8重合，

設直線CB的解析式為y=kx+b,

杷C(O,3)、G(3,0)代入尸乙+人得,

=-1

解得心,，

b=3

???直線CB的解析式為y=-x+3,

把』=2代入得y=l,

??.*2,1).

三、解答題(本題共8小題，第17-21題每題8分，第22-23題每題10分，第24題12分，共72分，解答

應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.已知二次函數：y=x2-2/?tv+w2-l

⑴求證：該二次函數的圖象與x軸總有兩個不同的交點；

⑵若該二次函數的圖象與X軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且一A8C的面積為4,求小的值.

【答案】(1)

證明：?一元二次方程x2—2爾+療—1=0中。=1,b=-2m,c=m2-1?

/.A=(-2/n)2-4xlx(〃F-1)=4〃/-4//+4=4>0,

二?該二次函數圖象與x軸總有兩個不同交點；

(2)m=±y/5

【分析】(1)先判斷一元二次方程丁-2〃a+〃產-1=0根的情況?再結合二次函數與一元二次方程的關系即

可得證；

(2)令y=0,求出A、“兩點的橫坐標及|A8|；令x=0,得與)，軸交點C的縱坐標，即高，=山2-1|,根

據“8c的面積為4推得=求解即可.

【詳解】(1)略

(2)解：令)，=。，自吊方程工2一2〃次+加2一1=0,

[x-(/?/+l)][x-(/7z-l)]=0,

解得為=利+1,x2=m-\,

AB=\x}-X2|=|(/M+1)-(/7/-1)|=2,

令工=o,得與y軸交點c的縱坐標為>-1,

即高為〃二忖-1卜

「?三角形面積S=-xABx/i=-x2x|///2-1|=|m2-1|=4,

①加2-1=4時，m=±5/5:

②/-1=-4時，〃=_3(無實數解).

故m=±V5.

18.已知二次函數J，=Y+2K-3.

⑴將二次函數化成)，=a(x-h)2+k的形式，并寫出與)，軸交點坐標;

⑵在平面直角坐標系中列表畫出y=V+2x—3的圖象；

(3)結合函數圖象，直接寫出)>0時k的取值范圍.

【答案】(l)y=(x+l)、4,與y軸交點坐標為(0,-3)

(2)見解析

(3)x<-3或x>l

【分析】(1)先將)，=Y+2x-3化為頂點式，然后將x=0代入解析式，求出與y軸的交點即可；

(2)根據函數解析式，列出表格，然后畫出相應的函數圖象即可；

(3)根據(2)中的圖象，時即函數)，=Y+2x-3的圖象在x軸上方時對應的x的取值范圍，可以直

接寫出k的取值范圍.

【詳解】(1)解：y=x2+2x-3=(x+l)2-4,

當x=0時，y=-3,

即y=(x+l)2-4,與)，軸交點坐標為(0,-3)；

(2)解：列表如下：

X???-3-2-101

y0-3-4-30

函數圖象如下所示,

（3）解：由圖象可得，）>。時x的取值范圍是xv—3或x>l.

19.某公園雕塑3的頂端點A處安裝有噴水裝置，噴出的水呈拋物線形.測得雕塑。4的高度為2m,當噴

出的水柱與。4的水平距離為4m時，達到最大高度3.6m.以點。為原點，所在直線為y軸建立平面直

角坐標系（如圖）.

（1）求水柱所在拋物線的函數表達式；

（2）求水柱落地點與雕塑QA的水平距離.

【答案】⑴y=-0.1/+0.8x+2；

（2）10m.

【分析】（1）由題目所給條件可得點A的坐標和拋物線頂點坐標，設出其頂點式，把點A代入求解即可得

到該拋物線的函數表達式；

（2）題意為求點8的坐標，令（I）中求得的函數表達式值為0求解即可.

【詳解】（1）解：由題可得，點A的坐標為（0,2）,該拋物線的頂點為（4,3.6）,

設該拋物線的頂點式為y=〃（％-4）2+3.6,

把點A代入得2=16。+3.6,解得"-七，

二?該拋物線的函數表達式為），=-*（工一4）2+3.6=-0.1/+0.8%+2：

（2）解：令），二0得一0.1.產+0.8、+2=0,

兩邊同時乘以-10得-20=0,

因式分解得(x-10)(x+2)=0,

解得內=10,X2=-2,

二?點3的坐標為(10,0),

「?水柱落地點與雕塑OA的水平距離為10m.

20.某商店決定對某類商品進行降價促銷活動.己知進價為每件5元，平時以單價12元的價格售出一天可

賣80件、根據調查單價每降低1元，每天可多售出40件；設商品售價x元(售價不低于進價，x為正整數)，

這批商品的日利潤為卬元(利潤=售價■成本)，請解決以下問題：

⑴設商品售價x元，則一天可以賣出件：

(2)當商品的售價%為多少元時，銷售這批商品的日利潤最大，最大值為多少？

【答案】(1)(560-40,r)

(2)當商品售價為9元或10元時，日利潤最大，最大日利潤為800元

【分析】(1)設商品售價x元，平時以單價12元的價格售出一天可賣80件、根據調查單價每降低1元，每

天可多售出40件，據此列出代數式即可；

(2)先求出5KXK14,再根據題意列出日利潤卬的二次函數解析式，根據二次函數的性質求出最值即可.

【詳解】(1)解：設商品售價x元，則由題意可得，

804-40(12-X)=560-40X

即一天可以賣出(560-40X)件；

x>5

(2)解：由題意可得，,、八

560-40A->0

解得5—,

卬=(560-40x)(x-5)=-40x2+760x-280()

=-40(X-9.5)2+810

-40<0,

???拋物線開口向下，

???拋物線的對稱軸為直線x=9.5,x為正整數，

???根據拋物線對稱性可知，當x=9或x=10時，W取得最人值，

此時最大值為“，二T0(10—9.5『+810=800,

即當商品售價為9元或10元時，日利潤最大，最大日利潤為80()元.

21.如圖為某拱橋的示意圖，橋面PQ平行于水面八8,拱形橋洞可近似看作拋物線的一部分，橋洞最高處

點C與橋面PQ的距離為I米，當水面距離橋面4.6m時，拱孔橫跨水面寬度48為12米.若以水面所在

直線為x軸，A8的中垂線為)'軸建立平面直角坐標系，請根據以上信息回答問題：

(1)請求出橋洞對應拋物線的表達式；

(2)若從橋面向下掛一條寬為14米的長方形橫幅橫幅上邊沿所與橋面PQ重合，G、，恰好落在

拱孔上，求橫幅的長.

【答案】⑴y=~Og+3.6

(2)4米

【分析】(1)根據43=12得勿=0B=6,根據橋洞最高處點C與橋面。。的距離為1米，水面距離橋面4.6m,

得頂點的縱坐標為4.6-1=3.6,可設拋物線解析式為y=〃2+3.6,求解即可；

2

(2)根據題意，得4.6-14=3.2當y=3.2時,3.2=-0,lx+3.6,求解即可；

【詳解】(1)解:根據舫=12得3=OB=6,橋洞最高處點C與橋面占。的距離為1米,水面距離橋面4.6m,

得頂點的縱坐標為4.6-1=3.6,

故A(-6,0)、3(6,0)、0(036),

設拋物線為產加+3.6

/.3.6=62a

解得4=-0.1,

:.橋洞所對應的拋物線的解析式為y=-0.1』+3.6；

(2)解：4.6-1.4=3.2

.,?當y=3.2時，3.2=-0.19+3.6,

解得x=±2,

，橫幅長為：2-(一2)=4米；

22.某市消防中隊引進一種新型用于高層消防的舉高噴射消防車，為了熟練掌握其性能，在某廣場進行了

一次消防演練.如圖所示，打開云梯后，消防車噴水口A離地面的高度為水流落地點為點3,噴出的

水流呈拋物線型.以0B所在直線為工軸，Q4所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.(噴水裝置和水流粗

細忽略不計)已知0A=21m,OB=7m,從A處噴出的水流高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系為

y=-3x2+bx+c.

⑴求〃，c的值；

(2)在水壓和噴口方向不變的情況下，此時水流高度能達到的最大高度是多少米？

(3)點C在點3正前方1米處，在水壓和噴口方向不變的情況下，要求在C處的水流高度達到36米，則消防

車從。點沿08方向應至少前進多少米？

【答案】(1)6=18,c=21

(2)水流高度能達到的最大高度是48米

(3)消防車從。點沿0B方向應至少前進3米

【分析】(1)根據已知數據確定點A(0,21)、8(7,0),再利用待定系數法求解即可；

(2)將拋物線表達式轉化為頂點式，即可得到答案；

(3)先求出當y=36時，x,=l,X2=5,再由平移即可得出結一金.

【詳解】(1)解：VOA=2\m,OB=7m,

：.A(0,21),8(7,0),

=21

2，

-3X7+7Z,+C=0

/?=I8

解得《

c=21

（2）解：由（1）知拋物線的表達式為：y=-3x2+18x4-21,

將表達式轉化為頂點式為：），=-3（工-3『+48,

，拋物線的頂點坐標為（3,48）,

???水流高度能達到的最大高度是48米；

（3）解：令y=36,BP-3x2+18x4-21=36?整理得：x2-6x+5=0,

解得：X=1,占=5,

???點。在點B正前方1米處，

???C（8.0）,

???至少需前進8-5=3（米），

???消防車從。點沿OB方向應至少前進3米.

23.已知直線/交拋物線y=ad-4M-3（常數。=0）于點己㈣,（人8”），s<t.

⑴求拋物線的對稱軸.

（2）當拋物線最高點到直線/的距離為9時，

①求，的值；

②若點P（X，x）,。（冷火）是。W范圍內拋物線上的兩點，且8<2,x,<x2.當取得最大值時，

記點尸向右平移3個單位后的點為求線段PQ的中點的坐標.

【答案】（l）x=2；

⑵①1=5：②（5,一5.

【分析】（1）代入拋物線對稱軸公式］=-二求解即可；

2a

（2）①利用拋物線最高點到直線/的距離為9這個條件結合拋物線頂點坐標與直線/的表達式列出

|（-4。-3）-84=9且〃<0叫求出。的值，聯立拋物線和直線/結合即口J得到/的值；②y-刈取得最大

值，在內先讓弘盡可能大，取頂點縱坐標時最大，再讓％盡可能小，從而可得到點尸（X，）'3Q（W，M）

的坐標，由平移性質得到P'的坐標，再利用中點坐標公式求得線段PQ的中點的坐標.

【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為1二-翌二？；

(2)解：①???直線/過點(s,8a),(I,8a),

???直線/的表達式為y=8。,

j=at2-4ax-3=a^x2-4x)-3=?(x2-4x+4)-4a-3=〃(x-2)~-4a-3,

「?該拋物線的頂點為(2,Ta-3),

,??拋物線最高點到直線/的距離為9,

/.|(-4?-3)-8?|=9,avO,

/.|-12^-3|=9,即|12a+3|=9,解得〃=一1或a=g(舍去)，

二?拋物線為)=一工2+4工一3,直線/為丁=-8,

聯立拋物線和直線/得一d+4x—3=—8,

化簡得丁一4工一5=0,即(x-5)Q+l)=O,

解行X|=5,x,=—1,

,/5<r,

."=5；

②一乂-%取得最大值，

「?另最大為當N=2時，另=1,

Aj<X2,

?'?力最小為當勺=5時，必=-8,

.?.P(2,l),0(5,-8),

??,點P向右平移3個單位后的點為F,

”(2+3,1),即P(5,l),

「?線段PQ的中點的坐標為(手，1笄，即,，—￡)?

24.如圖①，已知拋物線+笈+。與x軸交于兩點。(0,0)、A(2,0),將拋物線y向右平移兩個單位長

度，得到拋物線外，點2是拋物線片在第四象限內一點，連接以并延長，交拋物線，2于點Q.

（1）b=:

⑵設點P的橫坐標為與，點Q的橫坐標為與，求勺一4的值；

（3）如圖②，若拋物線必=/-8工+，與拋物線,=/+法+c交于點°,過點。作直線MN,分別交拋物線M

和介于點M、N（M、N均不與點。重合），設點M的橫坐標為機，點N的橫坐標為〃，試判斷|〃L〃|是否

為定值.若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由；

（4）若拋物線），；=ad+4x+q與拋物線為=ad+%r+c2（其中。=0）交于點C,過點。作直線MN,分別

交拋物線X和于點M、N（M、N均不與點C重合），設點M的橫坐標為八點N的橫坐標為=

.（請用含小伉，燈的代數式來表示）

【答案】（1）一2

（2）4

（3）加一"是定值，=6

【分析】（1）將點（0,0）代入拋物線M中先求解出c的值，再將點（2,0）代入即可求解出。的值；

（2）先求解出拋物線力和拋物線力的表達式，設出點尸的坐標，求出直線AP的函數表達式，聯立直線AP

與拋物線％求解出點。的坐標，由此可求解；

（3）先求解出點。的坐標，求出直線CM的函數表達式，聯".直線CM與拋物線力求解出點N的坐標，由

此可求解；

（4）先聯立拋物線必和為表示出點。的坐標，求出直線CM的函數表達式，聯立直線CM與拋物線內求解

出點N的坐標，由此可求解；

【詳解】（1）解：???拋物線+bx+c與x軸交于兩點0（0,0）、A（2,0）,

0=c，/b=-2

0=4+2"/解得

c=0

即，二—2；

（2）解：由（1）可知，/?=-2,c=0.

???拋物線X=Y-2X,

???拋物線y向右平移兩個單位長度，得到拋物線為，

2

Ay2=（x-2）-2（x-2）,即），2=V—6x+8,

???點P是拋物線其在第四象限內一點，

，設點尸（P，p2-2p）,其中。<〃<2,

???點A（2,0）,

設直線4P的函數表達式為y=工0）,

0=22+〃伏=〃

Jp2_2p=/M+b'解得%=-2p'

:.直線42的函數表達式為y=PX-2p,

fy=px-2n,

聯立｛2/o?即〃氏一2p=%2-6x+8,

（J2=A-6A+8

則有p(x_2)_(x_2)(x_4)=0,gp(x-2)(x-4-p)=0,

x=2x=4+p

解得或

y=0y=p2+2p

工點Q(4+p,p2+2〃),

,\xQ-xp=4+p-p=4.

(3)解：:拋物線必=/一8\+，與拋物線y=f+〃x+c交于點c,

聯立2=[=+-即x——x，

J)=x-2x

解得X，則）［J

ttt

???點c

6n一工

???點M是拋物線,上的一點，且設點M的橫坐標為

:、點M的縱坐標為病-2n，

.,.點/一2,〃),

設直線CM的函數表達式為y=0),

/-ttr=w+——2

???標-丁U+s,解得6

2c