2025廣東中考數學試題（解析版）

2025年廣東省初中學業水平考試

數學

本試卷共7頁，23小題，滿分120分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準考證號、姓名、考場號和座位號

填寫在答題卡上.用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應位置填涂自己的考場號和座位

號,將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑：如需改動，用塑料橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相

應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.

不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.某品牌乒乓球產品質量參數是2.74g±。.。2g，如果一只乒乓球的質量高于標準質量U.U2g記作+0.02g，

那么低于標準質量0.02g記作（）

A.-0.02gB.+0.02gC.-0.04gD.+0.04g

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了正數和負數.根據正數和負數表示具有相反意義的量，即可解答.

【詳解】解：:一只乒乓球的質量高于標準質量0.02g記作+0.02g，

，那么低于標準質量0.02g記作-0.02g.

故選：A.

2.依據《廣東省推動低空經濟高質量發展行動方案（2024-2026年）》，預計2026年廣東省低空經濟規模

將超過3000億元.數據3000億用科學記數法表示為（）

A-3xi09B-3xlO10C.30x10,°D.3x10”

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為4X10”的形式，其中1<W<10，〃為整

數，正確確定〃以及〃的值是解題的關鍵.確定〃的值時，要看把原數變成Q時.，小數點移動了多少位,

〃的絕對值與小數點移動的位數相同，據此即可求解.

【詳解】解：3000億一3000x108-3x10”?

故選：D.

3?計算gxg的結果是（）

A.3B.6C.瓜O.276

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題關鍵.直接相乘得出答案.

【詳解】阮X6=A=6?

故選：B.

4.如圖，是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖.找到從左面看所得到的圖形即

可.

【詳解】解：從左面看得第一層有2個正方形，第二層最左邊有一個正方形.

???它的左視圖是：

BL

故選:C.

5.如圖，點E，尸分別是V43C各邊上的中點，乙4=70。，則/石。/二（）

A20°B.40°C.70°D.110°

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了三角形中位線的性質和判定，平行線的性質，首先得到W是V/BC的中位

線，得到小〃工，o歹//44,然后根據平行線的性質求解即可.

【詳解】,:點、D，E'尸分別是V/5c各邊上的中點，

:。DE，Z）/7是VABC的中位線

〃攵，DF//AB

???/DEB=/4=70°

■:DFHAB

???/EDF=NDEB=70。?

故選：C.

6.某校機器人編程團隊參加廣東省創意機器人大賽，7位評委給出的分數為

95,92,96,94,95,88,95.這組數據的中位數、眾數分別是()

A.92,94B.95,95C.94,95D,95,96

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了中位數和眾數，熟知中位數和眾數的定義是解題的關鍵.中位數是將數據從小到大排

列后位于中間位置的數：眾數是出現次數最多的數，據此即可求解.

【詳解】解：將7個評委分數從小到大排列為：88,92,94,95,95,95,96,

中位數為第4個數，即95：

數據中出現次數最多的數是95(出現3次)，故眾數為95；

.?.這組數據的中位數，眾數分別是95,95.

故選：B.

7.廣東省統計局的相關數據顯示，近年來高技術制造業呈現快速增長態勢.某公司工業機器人在今年5月

產值達到2500萬元，預計7月產值將增至9100萬元.設該公司6,7兩個月產值的月均增長率為工，可列

出的方程為()

2

A.2500(1+x)=9100B,2500(1-=9100

2

C.2500(1-2x)2=9100D,2500(1+2x)=9100

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，涉及平均增長率問題，理解題意找準等量關系列出方程是解

題的關鍵.設該公司6,7兩個月生值的月均增長率為x，根據連續兩個月的月均增長率建立方程即可.

【詳解】解：設該公司6,7兩個月產值的月均增長率為「

根據題怠，得2500(1+xy=9100.

故選：A.

8.在理想狀態下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行，其電池剩余的能量y(w?h)與騎行里程

x(km)之間的關系如圖.當電池剩余能量小于l0°W-h時，摩托車將自動報警.根據圖象，下列結論正

A.電池能量最多可充400W?h

B.摩托車每行駛1okm消耗能量300Wh

C.一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km

D.摩托車充滿電后，行駛18km將自動報警

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了實際問題的函數圖象，解題的關犍是讀懂函數圖象，根據圖象中的數據逐項求解判斷

即可.

【詳解】由圖象可得，當x=0km時，y=500W?h，

，電池能量最多可充500W?h，故A錯誤;

500-25=20（Wh）,20xl0=200（Wh）

，摩托車每行駛10km消耗能量200Wh，故B錯誤;

由圖象可得，當x=25km時，y=0W-h,

二一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km，故C正確；

（500-100）4-20=20（km）

???摩托車充滿電后，行駛20km將自動報警，故D錯誤；

故選：C.

9.如圖，在直徑8C為2啦的圓內有一個圓心角為90。的扇形,430.隨機地往圓內投一粒米，該粒米落

在扇形內的概率為（）

1I11

A.-B.-C.-D.2

543

【答案】D

【解析】

【分析】如圖所示，過點4作力。工于點。，證明出V48C是等腰直角三角形，求出

AD=BD=CD=—BC=41然后得到（8=J4D?+BD?=2,然后分別求出S痢形乂作和S圓，然后

2

根據概率公式求解即可.

【詳解】如圖所示，過點力作力于點。

A

?「BC是直徑

,ABAC=90°

AB=AC

???v力4c是等腰直角三角形

VAD1BC

:?AD=BD=CD=>BC=6,

2

?*,AB=\IAD2+BD2=2

.??,90兀象2,§_

???該粒米落在扇形內的概率為H=_.

2兀2

故選:D.

【點睛】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質，勾股定理，直徑所對的圓周角是直

角等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點.

10.如圖，在矩形/NCZ）中，E?夕是8c邊上的三等分點，連接。石，49相交于點G，連接CG.若

4B=8,8c=12,則tan/GC/的值是（）

AD

A.叵「Vx--3-7-1--0-D

10410-t

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，求角的正切值，熟練掌握以上知識點是解題的

關鍵.根據矩形的性質，證明得到絲」，然后過點G作得到

ED4

△GHEs^ocE，根據相似三角形對應邊成比例分別求出HE,G”的長，進而求出C4的長，再利用正

切的定義求解即可.

的

【詳解】解：、.矩形E，歹是8C邊上三等分點，48=8,BC=12,

-AD=BC=\2^CD=BC=g，AD//BCBE=EF=FC=4,￡C=g，

,,xAGDs^FGE，

??E?G-_E_F_—_4_—_\f

DG~AD~12~3

.EG1

??=一,

ED4

過點G作G〃_L8C，則G//〃CO,

.1D

,,AGHES^DCE，

?EHGHEG1

^C~~CD~~DE~4f

EH=-EC=-xS=2^GH=-CD=-xS=2^

4444

:?CH=CE—EH=8—2=6,

故選:B.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11,因式分解：=-------

【答案】ab(a+b)

【解析】

【分析】直接提取公因式進而分解因式得出答案.

【詳解】解：?2什加=癡(。+6).

為

故答案：ab(a+b).

【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公囚式是解題關鍵.

12.如圖，把V408放大后得到△COQ，則V403與△COD的相似比是

【答案】1

3

【解析】

【分析】本題考查求兩個位似圖形的相似比，根據題意，把V/0B放大后得到△COO,則V力04與

△C0D位似，從而得到V4°8與△C。。的相似比等于對應點到位似中心線段的比，即絲=2=，，

OD63

從而得到答案，掌握相似三角形的相似比與位似圖形之間線段的比例關系是解決問題的關鍵.

【詳解】解：把V4O5放大后得到△CO。，則V/08與△COO位似，

,?74°牛與40°。的相似比為絲=2=1，

OD63

故答案為：！.

3

13.不解方程，判斷一元二次方程2/+工_i=o的根的情況是.

【答案】有兩個不相等的實數根

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用?元二次方程的根的判別式判斷根的情況是解題的

關鍵.先計算一元二次方程的根的判別式△=/_4℃'得出白〉。，即可得到結論

【詳解】解：???一元二次方程2/+工_1=0，

??。=2，6=1，c=-\

22

A=A-4^c=l-4x2x(-1)=9>0f

:.方程2/+x_1=0有兩個不相等的實數根.

故答案為：有兩個不相等的實數根.

14.計算2。_2sin30°的結果是-

【答案】o

【解析】

【分析】本題考查了特殊角的三角函數值以及零指數暴，熟練記憶特殊角的三角函數值是解題的關鍵.

分別計算零指數幕以及代入特殊角的三角函數值計算即可.

【詳解】解：2°-2sin30°

=1-2x1

2

=1-1

二0，

故答案為：0.

15.已知二次函數V=--+1+c的圖象經過點（c,0）,但不經過原點，則該二次函數的表達式可以是_

_.（寫出一個即可）

【答案】片*+1+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查待定系數法確定二次函數表達式，先由二次函數y=_x2+bx+c的圖象經過點（60），

得到0=_,2+從+C，再由二次函數y=_f+bx+c的圖象不經過原點，得到CW0,從而得確定

c-b=l'若取3=1'即可得到c=2,從而確定函數表達式.熟練掌握待定系數法確定函數表達式的方

法是解決問題的關鍵.

【洋解】解：.一次困數）'=一/+'+。的圖象經過點（＜?，0）,

/.0=-c2+hc+cr

二次函數y=_/+bx+0的圖象不經過原點，

二.c工0，

則c-b=1?

:若上父6=1?則c=2，

」?該二次函數的表達式可以是y=_/+x+2,

故答案為：p__2IYI7（答案不唯一）.

y-Ar\A\

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。

16.在解分式方程匕=」一一2時，小李的解法如下：

x-22-x

第步：口*-2）=-口.（一）-2,

第二步：1—x=—1—2?

第三步：

第四步：x=4.

第五步：檢驗：當x=4時，X-20,

第六步：.?.原分式方程的解為x=4，

小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據是什么？判斷小李的解答過程是否正確.若不正確，請寫出

你的解答過程.

【答案】見解析

【解析】

【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程時要注意不要漏乘，解完后要檢驗.

先去分母，化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后進行槍驗即可.

【詳解】解：第一步是去分母，去分母的依據是：等式兩邊同時乘以一個不為0的數（或式子），等式仍

然戌立；

小李的解答過程不正確，正確解答如下：

-1---X--=----1------2c,

x—22-x

1-x=-1-2x+4

-x+2x=-1+4-1?

解得：x=2.

經檢驗，x=2是增根，

???原方程無解.

17.如圖，點。是斜邊4c邊上的一點，以。/為半徑的OO與邊8c相切于點求證：AD

平分

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】本題考查了圓的切線的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質等知識點，熟練掌握各知

識點并靈活運用是解題的關鍵.

連接OO,根據圓的切線的性質得到NOQC=N5=90。，則根據平行線的判定與性質得到NI=/3,再

由等邊對等角得到N1_N2,即可等量代換求證?

【詳解】證明：連接0Q,

,:0O與邊BC相切于點D，

???OD1BC，即ZODC=90c，

???VN8C為直角三角形，

???/ODC=/B=90。，

???0D〃AB，

???/I=N3，

OD=OA

:，N1=N2'

???Z3=Z2?

???,4。平分/比40

18.如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km,主塔高0.27km,主纜可視為拋物線，主纜垂度

0.1785km，主纜最低處距離橋面0.0015km，橋面距離海平面約0.09km?請在示意圖中建立合適的

平面直角坐標系，并求該拋物線的表達式.

【答案】該拋物線的表達式為v=—x2+0.0015

85

【解析】

【分析】本題考查待定系數法求二次函數表達式，先由題意，建立恰當的平面直角坐標系，從而得到

(0,0.0015)、4(0.85,0.18),設該拋物線的頂點式為N,將4(0.85,0.18)代入解方程即

可得到答案.根據題中示意圖，建立恰當的平面直角坐標系，并設出拋物線表達式是解決問題的關鍵.

【詳解】解：建立平面直角坐標系，如圖所示：

則拋物線頂點坐標為力(12,027_0.09)，即“(0?85,0.18),

設該拋物線的表達式為＞=奴2+oooi5'

將,4(0.85,0.18)代入y=ax2+0.0015^0.18=0.852a+0.0015,

解得a=21

85

''該拋物線的表達式為卜=21/+0oo15.

85

四、解答題(二)：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.如圖，O是Rt△48。斜邊力后上的中線，過點A,。分別作CE//AB4E與CE

相交于點后.現有以下命題:

命題1:若連接交。于點/，則S△/=2SCEF

命題2：若連接EO，則EQ_L4c.

命題3：若連接￡。，則ED二BC?

任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例.

【答案】命題1是真命題，證明見解析；命題2是真命題，證明見解析；命題3是真命題，證明見解析

【解析】

【分析】命題1：連接。石，交4c于0,如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到

CD=DA=DB、IAB，判定四邊形Ar)CF是平行四邊形，進而得到四邊形ADCF是菱形，再由中位線

2

的判定與性質得到OQ，最后利用三角形面積公式求解即可得證;

2

命題2：連接。石，交/C于0,如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到

CD=DA=DB=LAB，判定四邊形'OCE是平行四邊形，進而得到四邊形是菱形即可得證;

2

命題3：連接交4c于0,如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到

CQ=ru=O8=4/18，判定四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的判定與性質得到四邊形

2

BCED是平行四邊形即可得證.

【詳解】解：命題1：若連接8E交。I于點F，則S“F8=2S

命題1是真命題，證明如下：

連接。E，交力。于0，如圖所示：

C。是RtZk/AC斜邊48上的中線，

,\CD=DA=DB=-AB^

2

vAE//DCCE〃AB，

???四邊形力QCE是平行四邊形,

QDA=DC，

」?四邊形力。CE是菱形，

:.AC工DE，且6U=0C，OE^OD,

?；D為AB的中點，

.?.0°是V"3c的中位線，則OD=J_8C，

2

??,SCFR=，CFBC,SCFF=CFOE，則SZXCFS=2S.

6Cro27AVCF2、C￡F

命題2：若連接E。，則EOl/C.

命題2是真命題，證明如下：

連接。E，交力。于0,如圖所示：

C。是RtA^BC斜邊上的中線，

：.CD=DA=DB=-AB>

2

AE〃DC，CE〃AB，

???四邊形/IZXE是平行四邊形，

QDA=DC，

二?四邊形/4QCE是菱形，

:,ACLDE；

命題3：若連接￡。，則EQ=3C.

命題3是真命題，證明如下：

連接。石，交力。于0，如圖所示:

EC

CO是Rt△48C斜邊44上的中線，

：.CD=DA=DB=、AB，

2

vAE//DC>CE〃AB，

.二四邊形力。（7￡是平行四邊形，

:.CE=AD，

CE=DB、

?JCE〃AB，

.二四邊形BCED是平行四邊形，

ED=BC-

【點睛】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、平行

四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、三角形中位線的判定與性質、三角形面積公式等知識，熟記平

行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵.

20.2025年2月，廣東省教育廳發布《關于保障中小學生每天綜合體育活動時間不低于兩小時的通知》.

某校為更好地落實文件精神并了解學生參加體育活動的情況，隨機抽取部分學生進行問卷調查，并對所得

數據進行處理.部分信息如下：

調查問卷監理與描述

1.你每天參加體育活每天參加體育活動（含體育課）的時間統計圖

i?人數

動（合體育課）的時

8075

間（單位：小時）（701A

60

）（單選）50■4446

40-35

30

A*（）.5<x<lB.235%)

20

10

1<Y<15

JL4人i

OABCDiM

C-1.5<x<2

D-x>2

2.隨著體育活動時間希望地設的活動項目統計表

的延長，學校擬增設活動項目球類田徑類體操類水上類

體育活動項目，你希

百分比72%23%40%46%

望增設的活動項目有

（）（可）多選）

E.球類F.田徑類

G.體操類H.水上

類

根據以上信息，解答下列問題；

（1）求參與這次問卷調查的學生人數.

（2）估計該校1000名學生中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學生人數.

（3）基于上述兩項調查的數據，提煉出一條信息，并向學校提出相應的建議.

【答案】（1）200人

（2）375人（3）見解析（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了條形統計圖和扇形統計圖的信息關聯，用樣本估計總體，統計表等知識點，正確理解

題意是解題的關鍵.

（1）根據條形統計圖得到參加體育活動（合體育課）的時間人數，再相加即可：

（2）用1000人乘以每天參加體育活動時間不低于兩小時的學生人數占比即可；

（3）答案不唯一，合理即可.

【小問1詳解】

解：這次問卷調查的學生人數為：35+44+46+75=200（人），

答：參與這次問卷調查的學生人數有200人;

【小問2詳解】

解：2000x37.5%=375（人）,

答：每天參加體育活動時間不低于兩小時的學生人數為375人;

【小問3詳解】

解：從第二項活動可看出學生更加喜歡球類活動，建議：學校可以適當的增加有關球類活動的項目和設施.

（答案不唯一）

21.綜合與實踐

【閱讀材料】

如圖，在銳用V“8c中，NBNC的對邊長分別為",人，。,則有，_這

sinJsin8sinC

是解三角形的重要結論，可用于解決實際問題.

A

【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態屏障和飲用水水源地.某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部

平面示意圖，現需要知道湖中人，〃兩島間的實際距離.由于地形原因，無法利用測距儀直接測量，該小

r\D

組對這一問題進行了探究.

【方案設計】

工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）.

I*

wxZ

測角儀測距儀無人機

測最過程：

步驟1：如圖，在空曠地找一點c；

步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得N/B43。，N3B51。；

步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得341m，388.5

【問題解決】

(1)請你利用【閱讀材料】中的結論計算人，8兩島間的距離.

(參考數據:sin43°?0.682?sin51°?0.777>sin86°?0.998)

【評價反思】

(2)設計其他方案計算A，〃兩島間的距離.要求：選用【方案設計】中的工具，寫出你的方案和所用

的數學知識.

【答案】(1)499m；(2)見解析

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，理解題意是解題的關鍵.

(1)利用三角形內角和定理求出/0=180°-/力-N6=86。，根據題意可得匹=*,代入數據

sinJsinC

求出的長，即可解答：

(2)運用解直角三角形、勾股定理等數學知識設計方案即可.

【詳解】解：(1)???立/七43°，

???ZC=1800-ZJ-ZB?1800-43°-51°=86°?

由題意得，空二，也，

sinJsinC

又?:8c*341m，

.BCsinC5Csin860341x0.9984M

??AB=--------=----------?----------=499m?

sin/sin4300.682

答：A,8兩島間的距離為499m.

(2)工具：測角儀、測距儀、無人機(只能測角度、水平面高發).

測量過程：

步驟1：如圖，在空曠地找一點,，使得v/8c是銳角三角形；

步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得ZC的度數：

步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC=Qm，AC=bm.

計算過程：

過點A作《。工3C，則N/JOC=/力。8=90。，

..才RtZ\/CZ?Hi._ADCD

?在中，sinC=——，cosC=——，

...,4Q=bsinC(m),CD=bcosC(m)f

...BD=BC-CD=(<?-Z>cosC)(m),

;在R34C。中，AD2+BD2=AB2?

?，?AB=^(Z)sinC)2+(6r-Z)cosC)2(m)?

答：,兩島間的距離為J(bsinC)2+(“-6coscjm.

五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分.

22.《九章算術》是世界上較早給出勾股數公式的著作，掌握確定勾股數組的方法對研究直角一:角形具有

重要意義.若直角三角形的三邊長〃，獷c都是正整數，則〃，卜c為一組“勾股數”.下表中的每

一組數都是勾股數.

3,4,57,24,2511,60,615,112,1119,180,18

131

4,3,58,15,1712,35,316,63,6520,21,29

7

5,12,19,12,1513,84,817,144,1421,28,35

355

6,8,1010,—,214,48,518,80,8222,120,12

602

（1）請補全上表中的勾股數.

（2）根據上表中數據規律，用含字母（均為正整數）的代數式分別表示Q,6，c，使該組代數式能表示

上表中所有的勾股數，并證明.

（3）某校計劃在一塊綠地上種花，使之構成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成.

種花要求：僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m?

如果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花?

【答案】(1)24

(2)2222f

a=k(m-nyb=2kmn^c=k(m+n)其中“、冽、〃都是正整數，冽>〃，證明見解析

(3)280

【解析】

【分析】(1)先由表中勾股數規律，令〃=10，°，C=26,由勾股數定義列方程求解即可得到答案；

(2)由表中數據，分別用代數式表示出〃，臺，c，再由整式混合運算求證即可得證明；

(3)由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可,

根據題意可知，最短邊為20,另一個直角邊為21,然后根據勾股定理求得斜邊，即可■得到答案.

【小問I詳解】

解：由表中勾股數的規律可知，令Q=10，b，c=26，

則由勾股數定義可知a2+〃=c2，

即102+82=262，

=262-102=(26+10)(26-10)=36x16,

解得Z)=24或b=-24(舍去)；

故答案為:24.

【小問2詳解】

22f

解：由題意，a=k(nr-nyb=2kmn^c=k(nr+n)其中左、機、〃都是正整數，加>〃，證明

過程如下：

va=k(m2-n2)*b=Ikmn?c=k(m2+n2)*

222

???a=k(mf2)2=_2m2n2+〃4)=k2m4_2k2m2tt2+//,

b2=4k2m2n2，

c2=k2(m2+n2)2=k2(m4+2m2n2+?4)=k2m4+2k2m2n2+k2n4'

va24-Z>2=k2m4-2k2m2n2+k2n4+4k2m2n2=k2m4+2k2m2n2+k2n4'

a2+1)2=c2；

【小問3詳解】

解：由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，

如圖所示：

A

cB

設,4C〈8C，即直角三角形中最短邊為/c，

???僅在三角形邊上種花，三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m，三角形最短

邊種21株花，

/.AC=20m，

由題意可知，8c最小為21m，

那么48=1力。2+4。2=72()2+212=29(m),

那么這塊綠地最少需要種植(20+21+29)x4=280株花.

【點睛】本題考查由勾股數涉及的數字規律問題，難度中等偏上，涉及勾股數定義、整式加減乘法混合運

算、平方差公式等知識，觀察分析所給表中勾股數，分類找準規律并靈活運算解決實際問題是關鍵.

23.定義：把某線段一分為二的點，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外

比，這個點稱為中外比點.

(1)如圖,點〃是線段,歷\/中外比點，MP>PN'MN=2'求PN的長，

MPA

(2)如圖，用無刻度的直尺和圓規求作一點0把線段45分為中外比.(保留作圖痕跡，不寫作法)

AB

⑶如圖，動點8在第一象限內，反比例函數》=幺(〃>0/>0)的圖象分別與矩形。"8C的邊"巴

X

8c相交于點。，E，與對角線03相交于點尸.當aODE是等腰直角三角形時，探究點。，E，F是

否分別為力B，BC，。8的中外比點，并證明.

【答案】(1)PN=3一出

(2)見解析(3)當.OOE是等腰直角三角形時，點D，E，F分別為BC’的中外比

點，證明過程見解析

【解析】

【分析】(1)、設PN=x,根據題意絲二絲，得二_=3z±，解分式方程，即可求解：

MPPN2-xx

(2)①作線段力8的垂直平分線。石，交力8于點O；②過點4作8尸,48,且BF=BD；③連接

AF；④以點尸為圓心，B尸為半徑,畫弧，交力F于點G；⑤以點A為圓心，4G為半徑，畫弧，交

4"于點。，點C即為線段片《的中外比點.

設8O=x,根據勾股定理求得力尸=4污，繼而求得<G=/C=（、污_1卜，3。=（3_石卜，分別代

入絲、AC即可求證點C為線段48的中外比點；

ACBC

（3）當△。。￡是等腰三角形時，點。、E、E分別為力8，BC，06的中外比點，分三種情況討論：

①當△。七。二90。時，證得△Q2X'BED,設點E（〃?,〃），則+根據點。、E在

反比例函數y=&（A>0,x>0）的圖象上，可構建方程〃之一〃〃一川二。，解得〃=1+石而，分別求得

x2

'芥、CE、BC5。、力。J8的值，即可求證.設直線08的函數解析式為7=皿"0）,利用

待定系數法求得直線的函數解析式為后一1聯立方程組，求得點尸的坐標，即可求證；②當

y—人

2

Z0DE=90°?同理可證點。，E，產分別為48，RC，的中外比點；③當NEOO=90。，則點

E、。分別位于V軸、x軸上，與反比例函數不符.

【小問1詳解】

解：過PN=x，則A/P=A/N-PN=2-x，

根據題意，得："丫=竺，即二_=2二，

MPPN2-xx

整理，得：--6X+4=0,解得：玉記33。，當記3向？，

V3+石＞2'

一看電困行舍去，

「?PN=3-45'

【小問2詳解】

解：如圖所示，點c為所求.

設M=x，

」.根據題意，得：AD=BD=BF=FG=x，4B=2x，

一4F=ylAB、BF2=J（2X）+X2=忑，

二NG=4C=x逐一x=（逐一l）x,^C=^5-T4C=2X-（＞/5-1）X=（3-V5）X,

?獨=__=非+'AC（，5-l,V5+1

"（石沙2，正=即郎=『

二?他口"

——H——，

父BC

??.點。為線段力B的中外比點.

【小問3詳解】

解：當△OQE是等腰三角形時，點。、E、9分別為43，BC，。8的中外比點，理由如下:

第一種情況：當△0￡。=90。，則。E=￡7），

’4OEC+/DEB=9。。，

???四邊形048。是矩形，

4OCE=NEBD=90。，

/。。￡+/。￡。=90。，

/COE=ZDEB，

..△COE1知BEO（AAS）,

設點￡（‘〃，〃），

?-0C=EB=nCE=BD=加則+,

?點、D、七在反比例函數y=\A>o,x>o）的圖象上，

X

"-=n?

得：Q〃？，

---=n-m@

由①得：k=mn,將其代入②，得：2_=〃_加，

m+n

2

整理，得：/7_mn_m-=o，

〃?士J（一〃7）’-4xlx（一療）m±

解得:n=-------------------------------=-----------

22

\=檸3〃,〃棄詈〃？（舍去）,

RP1+V5,CE=m3+6,

BE=-------niBC=-------m

22

‘二〃'，jn亞-1，jo1+石，

AD=--------mAB=-------m

22

21+逐Y3+752BCCE-3+」

BE=-------m=--------m,nccr-

222

BD-=nr1+J5V5-1,

'AB?AD=-------n:--------m=nr'

22

.sc_BE,AB_BD

"~BE~~CE'茄一而‘

二點、E、D為BC、的中外比點.

Ek（1+萬1

點在反比例函數N=*>°戶>°）的圖象上，E嘰-------m

2

j〃=匕4

2

1+A/52

反比例函數為—w,

y=--------

X

設直線的函數解析式為〉二皿4W0),

…