2026年高考一輪復習講義：拋物線（復習講義）附答案

§8.8拋物線

【課標要求】1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程2掌握效物線的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂

點、離心率）.3.了解拋物線的簡單應用.

?落實主干知識?

I.拋物線的概念

把平面內與一個定點廠和一條定直線/（/不經過點F）的距離的點的軌跡叫做拋物線.點“叫做

拋物線的,直線/叫做拋物線的.

注意：定點/不在定直線/上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點/且垂直于直線/的一條直線.

2.拋物線的標準方程和簡單幾何性質

標準方程)2=2*(〃>0)/=-2/?4/?>0)f=2”(p>0)*=-2叫(/?0)

圖形索張率

范圍Q0,y￡RxWO,>eR代0,x^R)忘0,x^R

住/、、、占八、、

準線方程

對稱軸

頂點

離心率e=____

S自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.（請在括號中打或"X”）

（I）平面內與一個定點尸和一條定直線/的距離相等的點的軌跡是拋物線.（）

（2）方程尸表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是（1,0）.（）

（3）標準方程y2=2px（/?0）中的〃的幾何意義是焦點到準線的距離.（）

（4）焦點在y軸上的拋物線的標準方程^=±2/，（〃：＞0）,也可以寫成）=加（〃/0）,這與以前學習的二次函數的

解析式是一致的.（）

2.（多選）關于拋物線下列說法正確的是（）

A.開口向左

B.焦點坐標為(-1,0)

C.準線為x=l

D.對稱軸為x軸

3.(2024?駐馬店模擬)已知點P(6,g)在焦點為尸的拋物線C：)，2=2px(p>0)上，若|PF|=￡,則〃等于()

A.3B.6C.9D.12

4.(2024?寶雞模擬)拋物線)?=2px(p>0)過點A(2,2),則點A到拋物線準線的距離為.

國微點提醒

拋物線焦點弦的幾個常用結論

設A5是過拋物線戶2〃工(〃>0)的焦點尸的弦，若A(xi,y1),,y2),。為坐標原點，則

小P2-)

(1)xi.r2=—,y\yi=-p~；

\而\FB\p'

(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切；

(4)通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦，長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.

---------------------------探究核心題型---------------------------

題型一拋物線的定義及應用

例1(1)若拋物線d=8y上一點(期，州)到焦點的距離是該點到x軸距離的2倍，則則等于()

3

C.-D.2

2

(2)(多選)(2025?八省聯考)已知F(2,0)是拋物線C9=2度的焦點，例是C上的點，。為坐標原點.則

()

A.p=4

C.以.W為圓心且過F的圓與C的準線相切

D.當/OBW=120。時，△OFM的面積為28

思維升華“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據定義獲得簡捷、直觀的

求解.“由數想形，由形想數，數形結合”是靈活解題的一條捷徑.

跟蹤訓練1(1)(2024?貴陽模擬)拋物線產工丫上一點”到焦點的距離是10,則M到x軸的距離是()

A.4B.6C.7D.9

(2)已知點，為拋物線)，2=-4x上的動點，設點八到直線/；x=l的距離為小,到直線x?y-4=0的距離為4，

則4+%的最小值是()

A.-B.—C.2D.V2

22

題型二拋物線的標準方程

例2(1)若拋物線過點(3,-4),則拋物線的標準方程為.

(2)已知拋物線￡9=23(〃>0)的焦點為R準線為/,第一象限內的點A在石上，A8垂直/于點8,

8F交)，軸于點C,若依川=2由C|=4,則拋物線的標準方程為.

思維升華求拋物線的標準方程的方法

(I)定義法.

(2)待定系數法：當焦點位置不確定時，分情況討論.

跟蹤訓練2(1)拋物線C的焦點F關于其準線對稱的點為。-9),則拋物線C的方程為()

A.x2=6.yB.f=12y

C.f=18yD.』二36y

(2)“米”是象形字，數學探究課上，某同學用拋物線G：/=-2px(p>0),C2：丁=2〃刈>0)構造了一個

類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線G，。2的焦點分別為R，B，點?在拋物線G上，過

點P作x軸的平行線交拋物線。2于點。，若|PR|=2|PQ=8,則〃等于()

A.4B.6C.8D.I2

題型三拋物線的幾何性質

例3(1)(多選)對于拋物線k=/下列描述正確的是()

O

A.開口向上，焦點為(0,2)

B.開口向上,焦點為(0,2)

C.焦點到準線的距離為4

D.準線方程為產-4

(2)(多選)已知點A。［，>'i),8(X2,”)是拋物線V=8x過焦點的弦的兩個端點，焦點為凡則()

A.焦點廠的坐標為(4,0)

B.|A6|=X］十'2+4

C.y》=-8

D.1+1=-

\FA\\FB\2

思維升華應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對

稱軸、開口方向等幾何特征，體現了數形結合思想解題的直觀性.

跟蹤訓練3(1)(2024?重慶模擬)48是拋物線)?=2px(p>0)上的不同兩點，點廠是拋物線的焦點，且4

048(0為坐標原點)的重心恰為人若14H=5,則〃等于()

A.lB.2C.3D.4

(2)(多選)已知拋物線)7=2〃X(〃>0)經過點M(l,2),其焦點為F,過點尸的直線/與拋物線交于兩個不同

的點A(x”yi),8a2,”)，O為坐標原點，設直線08的斜率分別為心，k2,則()

A.p=2B.|A8|N4

C^0A0B=-4D次必=-4

答案精析

落實主干知識

1.相等焦點準線

2(r°)(~r°)(0,2)(0,D-'4書

>,=-^y=^x軸y軸

(0,0)1

自主診斷

1.⑴X(2)X(3)4(4)4

2.AD3.A4.-

2

探究核心題型

例1(1)D［已知拋物線的方程為『=8)，，可得p=4,

所以焦點為F（0,2）,準線為/:y=-2.

拋物線上一點4M,師）到焦點廠的距離等于到準線/的距離，

即|*二州+2,

又因為A到x軸的距離為光，

由已知得y（）+2=2y（）,解得和=2.]

（2）ABC[由題意得自2，貝I]〃=4,A正確；

設M（x0,加，則|MFl=xo+],|。月音,又因為xo'O,所以|MF|2|0F|,B正確；

由拋物線的定義知M到戶的距離與M到。的準線的距離相等，故以M為圓心且過戶的圓與。的準線相切，

C正確；

當/。產"=120。時，設M在第一象限，則xo>2,_y（）>0,

故Ar.wf=-^T=tan600=-/3,

工0-2

即向哈”，又據=8xo,

所以行第-8加16百二0,

解得y（）=4V3或yo=-竽（舍去），

pjfUx|Vo|=|X2X4V3=4V3,D錯誤.]

跟蹤訓練1（1）B[拋物線），2=4式的準線方程為,由拋物線定義可得“仆1=10,故如=10-1=9,則

Z

lyd=A/4^=V4V9=6,即M到工軸的距離為6.]

（2）B[直線/：A-1為拋物線），2=-4.v的準線，點?到準線的距離等于點P到焦點尸的距離，過焦點尸作直

線x+v-4=0的垂線，

如圖所示，當點P為所作直線與拋物線的交點時，力+小的值最小，為點尸到直線x+y-4=0的距離.

VF(-I,0),???(4+d2)min=k25F±二￥.]

例2(1療啜或

解析???點(3,-4)在第四象限，???拋物線開口向右或向下，

設拋物線的標準方程為盧2/以(p>0)或

把點(3,-4)的坐標分別代入,2=2p.x和『二-2〃,中，得(-4尸=2p?3,32=-2/?r(-4),

則2p#,2pi=*

???所求拋物線的標準方程為

216T29

y~—^或V;[)'?

(2))，2=4X

解析由題意知C為8尸的中點，

因為|AH=|A8|,

所以AC與3尸垂直，

因為|A/q=2|BC|=4,

所以NCA尸=30。，

所以NBA尸二60。，

方法一則AAB/為等邊三角形，設AB交)，軸于點。，如圖，

在中,易得|8。|=1,

即5=1,P=2,

故拋物線的標準方程為y2=4x

方法二喏+2,2旬,

代入E:/2/>(〃>0)可得12=2/痔+2),

化簡得p2+4/?-12=0,

由于p>0,所以/?=2（/?=-6舍去）.

故拋物線的標準方程為r=4x.

跟蹤訓練2(1)B［由題可知，拋物線開口向上，設方程為d=2p)3>0),

則拋物線的焦點為(0,0,則準線為產費，所以=2=日，

解得P=6,

所以拋物線C的方程為f=12%)

(2)D［方法一如圖，過點P作尸M_LQF2于點M,

V1^1=21^1=8,

??.|OM=2,則燈=-2,又點P在拋物線Ci:齊一2/〃(/>0)上，

-yp^p，

貝"M=2萬，

在RtAPMFi中，|MR|得-2,

22

*：\PMf+\MFA\=\PF}\,

2

.?.(2后)2+怎_2)=8?,

.*.p=l2(p=-20舍去).

方法二設P(x(),州)，貝以0<0,

V|PFi|=2|PQ|=8,

-A0+^=2(-2A{))=8,

/.xo=-2,p=\2.]

例3(l)AC[由拋物線，即f=8y,可知拋物線開口向上，焦點坐標為(0,2),焦點到準線的距離為

8

4,準線方程為y=-2.]

(2)BD[由拋物線)?=8x,可得焦點為凡2,0),故A錯誤；

由拋物線的性質可得|AB|=|4F|+|8F|=.ii+2+x2+2=Xi+%2+4,故B正確；

方法一設直線A3的方程為x=my+2,與拋物線的方程聯立，可得)48"?)，-16=0,J>0,

則力+”=8加,y\yi=-16,

1■+1■=——F—^―

\FA\\FB\Xi+2X2+2

1?1_8?8

一石亭+2-"諾+16

_8*+8xl6+8*+8xl6

一y陰+16戶+16據+16：

=3(%+、2)2-16丫1%+162

22_2

(yiy2)+16(y1+y2)32y1y2+16

_8x(8m)2+i62+162

-162+16X(8m)2+32xl6+162

=1，故C錯誤，D正確.

方法二因為〃=4,

所以山”=爐=-16,

品巾，故C錯謾，D正冉］

跟蹤訓練3(1)D［設A(xi,y.),B(X2,聞,FQ,0),

因為△OA8的重心恰為F,

-1+-2+0_P

3丁丁

(空0=o,

解得卜1+%2=要

tvi=-yz，

由y\=-)'2可知A,B關于X軸對稱，即X\=X2,

則K+X2=2笛咚，即Xi咚，

24

又因為HF|=M+9*=5,

24

解得p=4.］

⑵ABD［因為拋物線戶2pxs>0)經過點M(1,2),所以22=2p,解得p=2，故A正確；

所以拋物線方程為)?=4x,

則焦點為F(1,0),

設直線/：jv=w>f+l,

y2

聯立=4x,

x=my+1,

消去上整理得戶4〃?），-4=0,

貝IIJ=I6/?Z2+16>0,

所以yi+)，2=4〃？，yi.V2=-4,

貝I」片+也=〃7（））+）。）+2=4〃尸+2,

即12=(〃?+1)0町，2+1)

=蘇>必+6。I+”)+1=1,

所以H8|F+X2+2=4〃尸+424,故B正確；

因為a5=(xi,yi),OB=(X2,>2),

所